Tema 4.2: Teorema de Cauchy para el triángulo. Versión elemental del teorema de Cauchy y de la fórmula de Cauchy
|
|
- Lidia Montero Nieto
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Tema 4.: Teorema de Cauchy para el triángulo. Versión elemental del teorema de Cauchy y de la fórmula de Cauchy Facultad de Ciencias Experimentales, Curso E. de Amo Comenzamos con este tema toda una saga de resultados (teoremas de tipo Cauchy) conducentes a lograr que El primero de ellos precisa de una condición muy concreta a veri car por parte de la curva: cuando se trate de los lados de un triángulo, la fórmula anterior será cierta sean quienes sean la función holomorfa f y el abierto sobre el que esté de nida. Dados a; b; c C; el triángulo formado por dichos tres puntos es el conjunto 4 (a; b; c) := fa + b + c : ; ; 0; + + = g : Observa que 4 (a; b; c) es la envolvente convexa de los puntos a; b y c: Es un convexo compacto del plano C. Teorema (de Cauchy para el triángulo. Cauchy-Goursat, 905). Sean un abierto del plano y una función f H (). Supongamos, dados tres puntos a; b; c, que 4 (a; b; c). Entonces [a;b;c;a] Demostración (de Prinsheim, 935). Notaremos N 0 := 4 (a; b; c) y 0 := [a; b; c; a]. Llamemos I 0 := R 0 f. Si ji 0 j = 0, no hay nada que probar. Podemos suponer, por tanto, que ji 0 j 6= 0. Denotemos a 0 := b + c ; b0 := a + c ; c0 := a + b ; y consideremos, en, el siguiente recorrido: a! c 0! b 0! a 0! c 0! b! a 0! b 0! c 0! a 0! c! b! a:
2 Así, el triángulo inicial N 0, queda dividido en cuatro triángulos N := 4 (a; c 0 ; b 0 ) ; N := 4 (c 0 ; b; a 0 ) ; N 3 := 4 (a 0 ; b 0 ; c) ; N 4 := 4 (a 0 ; b 0 ; c 0 ) : Llamando J k := R k f, para k 4, tendremos I 0 = J + J + J 3 + J 4 : Es trivial deducir que, para alguno de esos k, se tiene que ji 0 j 4 jj k j : Acordemos que sea para k = cuando se veri ca tal relación. Por comodidad en este razonamiento, sea := : Así, tendremos, de momento, que 8 >< >: ji 0 j 4 ji j ; N N 0 ; diám(n ) = diám(n 0) ; long( ) = long( 0) : Haciendo hipótesis de inducción: para cierto natural n, asumimos cierta la situación 8> < >: ji 0 j 4 n ji n j ; N n N n ; diám(n n ) = diám(n n 0 ) ; long( n ) = long( n 0 ) : ( n := n ) Podemos rehacer sobre el par (N n ; I n ) el razonamiento dado inicialmente sobre el par (N 0 ; I 0 ), de modo que obtenemos un nuevo par (N n+ ; I n+ ) veri cando 8 >< >: ji 0 j 4 n+ ji n+ j ; N n+ N n ; diám(n n+ ) = diám(n n+ 0 ) ; long n+ = long( n+ 0 ) : Por el teorema de Cantor de los intervalos compactos encajados, 9z 0 : + \ n=0 N n = fz 0 g : Razonemos por argumentos de holomorfía para la función f: dado " > 0, existe > 0, tal que si z D (z 0 ; ), entonces Para tal, jf(z) f(z 0 ) f 0 (z 0 ) (z z 0 )j " jz z 0 j : 9m N : n m ) diám (N n ) = n diám (N 0) < :
3 Así, N n D (z 0 ; ); de donde, en particular, n D (z 0 ; ) : Ahora bien, como n (f(z 0 ) + f 0 (z 0 ) (z z 0 )) dz = 0 ( por qué?), y podemos razonar así para z N n : I n = f = n [f(z) n (f(z 0 ) + f 0 (z 0 ) (z z 0 ))] dz; de donde Luego ji n j long ( n ) kf(z) (f(z 0 ) + f 0 (z 0 ) (z z 0 ))k " diám (N n ) : jij 4 n long ( 0) n diám (N 0) " = long ( 0 ) diám (N 0 ) "; de donde, por la arbitrariedad de ", se sigue que jij = 0: Q.E.D. Teorema (Pseudo-extensión del teorema de Cauchy para el triángulo). Sean un abierto del plano, y f :! C. Supongamos que f C () y f H (n fg). Entonces, para todo triángulo N, Demostración. Sea un triángulo N := 4 (a; b; c) arbitrario en. Se distingirán cuatro casos. Caso : = N: Podemos seleccionar un abierto e, tal que N e y =. e Ocurre que f H e y N ; e luego, aplicando el teorema anterior, Caso : fa; b; cg; por ejemplo, = a: Elijamos puntos x ]; b[ e y ]; c[; y consideremos la triangulación [; x; y; ] ; [x; b; y; x] ; [y; b; c; y] : Así, después de las cancelaciones convenientes (el recorrido en la triangulación será:! x! y!! x! b! y! x!! y! b! c! y! ) 3
4 y de aplicar el caso, tendremos: f = [;x;y;] Ahora, por argumentos de continuidad de f sobre compactos: En consecuencia: f = f: 9M > 0 : jf(z)j M; 8z N: [;x;y;] f M long ([; x; y; ]) = M (j xj + jx yj + jy j) ; para cualesquiera puntos x ]; b[ e y ]; c[ ; luego haciendo x; y! ; tenemos que f! 0: Caso 3 : n fa; b; cg. Supongamos que ]a; b[ : Consideremos la triangulación dada por! c! a!! b! c! : Surgen así triángulos N := 4 (a; ; c) y N := 4 (; b; c) tales que se les puede aplicar el caso : f = f + Caso 4 : N Triangulando de la forma a! b!! a!! b! c!! a!! c! a; nos aparecen tres triángulos en las condiciones del caso. Q.E.D. Nota: se le da el adjetivo de "pseudo-extensión" al teorema anterior debido a que, realmente, si bien a primera vista parece que estamos generalizando el teorema de Cauchy para el triángulo, se verá (más adelante) que esta aparente rebaja no lo es tal: el punto excepcional ; donde la función continua f deja de ser holomorfa, no puede darse. En cualquier caso, esta formulación nos resultará apropiada para la demostración de la fórmula de Cauchy para la circunferencia (llamada también teorema local o versión elemental de la fórmula de Cauchy). El siguiente resultado, que nos dará la tesis deseada (a saber, que R f = 0) impondrá codiciones sobre el abierto. Lo curioso será que su demostración está sustentada sobre el teorema de Cauchy-Goursat (que imponía las restricciones sobre la curva ). 4
5 De nición. Sean un dominio y un punto del mismo. Diremos que es estrellado respecto de (o que es un centro de estrella para ) si [; z] ; 8z : Claramente, se tiene que un dominio es convexo si, y sólo si, todos sus puntos son centros de estrella. Teorema (de Cauchy para dominios estrellados). Sean un dominio estrellado y una función f H (). Entonces f admite primitiva en : En particular, 9F H () : F 0 = f: f = 0 para toda curva regular cerrada con : Demostración. La estrategia que vamos a seguir es la de aplicar convenientemente el teorema de Cauchy para el triángulo, de modo que nos resulte una fórmula susceptible de serle aplicado el lema de construcción de primitivas. Sea un centro de estrella para. De namos F (z) := f; 8z : [;z] Para a ; existe D(a; ). Con z D (a; ), tenemos 4 (; a; z) = [ w[a;z] [; w] : ( Acompáñate de un dibujo que te aclare la situación!) Aplicando el teorema de Cauchy para el triángulo: 0 = f = f + f + f [;a;z;] [;a] [a;z] [z;] = F (a) + f F (z); luego [a;z] F (z) = F (a) + f; 8z ; [a;z] de donde aplicando el lema de construcción de primitivas, se tiene lo deseado. Q.E.D. No tiene ningún problema aceptar el siguiente enunciado: 5
6 Teorema (Pseudo-extensión del teorema de Cauchy para dominios estrellados). Sean un dominio estrellado en un punto y una función f C () \ H (n fg). Entonces 9F H () : F 0 = f: Y como los discos son dominios estrellados: Corolario Las funciones holomorfas admiten, localmente, primitiva. Corolario Si f es una función entera (f H (C)), entonces f = 0 para cualquier curva regular a trozos y cerrada en el plano C: El siguiente lema es importante en sí mismo, y de vital importancia en el desarrollo posterior de la teoría: Lema Para r > 0 y a C, se tiene que = i; 8z D(a; r): w z Demostración. Sean z D(a; r) y w C(a; r) arbitrarios. Como ocurrirá que w z = (w a) + (a z) = w a (z a) n (w a) n+ = jz r n+ z a w a = +X n=0 ajn = n jz aj ; r r (z a) n (w a) n+ ; luego hay convergencia puntual de la serie en todo z punto del disco D(a; r). Pero hay más: aplicando el test de Weierstrass, w + z = X (z a) n (w a) n+ n=0 uniformemente sobre la curva C(a; r): Ésto, nos permite conmutar serie e integral: + I := w z = X (z a) n (w a) n+ : Ahora, para n = 0: I = n=0 + ire it dt = i; reit 6
7 y para n N: w! (w a) n+ es una función de nida en el abierto Cnfag, que admite primitiva w! n (w a) n ; luego n+ = 0; (w a) de donde se sigue lo deseado. Q.E.D. El resultado cumbre de este tema llega ahora. La clave: la convexidad de los discos del plano; es decir, que sean estrellados en todos sus puntos. Teorema (Fórmula de Cauchy para la circunferencia, versión elemental o local de la fórmula de Sean un abierto del plano C, una función holomorfa en él, f H () y un disco cerrado en él contenido D(a; r). Entonces if(z) = f (w) ; 8z D(a; r): w z Demostración. Consideremos z D(a; r); jo pero arbitrario. Podemos encontrar > r tal que D(a; ). Esto nos interesa para poder de nir una función auxiliar g(w) := f(w) f(z) w z :::; w D(a; )nfzg f 0 (z) ::::::; w = z : Esta función cae en las hipótesis del teorema de pseudo-extensión para dominios estrellados ( obsérvalo con detalle!); luego f(w) f(z) f(w) 0 = g = = f(z) w z w z w z ; de donde, aplicando el lema anterior, se tiene la fórmula buscada. Q.E.D. Notas:. La sospecha de que la bondad de la función del integrando la hereda la propia f será la línea de trabajo en el siguiente tema (4.3) para obtener la analiticidad de las funciones holomorfas (Teorema de Taylor).. Que el comportamiento de la función f sobre la determine su comportamiento sobre todo el disco D, será el objetivo del tema 4.4 (Principio de Identidad). EJERCICIOS PROPUESTOS. 7
8 . Sea f H (C) y sean a; b C, con a 6= b, y R > max fjaj ; jbjg. Prueba que f(z) (z a) (z b) dz = i f(b) f(a) : b a C(0;R) Deduce, a partir de este hecho, que toda función entera y acotada es constante.. (Índice de un punto respecto de una curva) Sea K C un conjunto compacto y conexo del plano complejo. Demuestra que, para cualesquiera a; b K y cualquier camino cerrado (o sea, curva regular a trozos y cerrada) tal que \ K =?, se tiene donde Ind (; a) = Ind (; b) ; Ind (; z) := i w z ; 8z Cn : Deduce de este hecho que la función f(z) := z a z b admite primitiva holomorfa ' en el abierto CnK; veri cando exp (' (z)) = z z a ; 8z CnK: b (Para la primera parte, razona cómo se debe comportar la función Ind sobre cada una de las dos componentes conexas de Cn :) 3. Sea la curva dada por la mitad superior de la elipse x a + y b = ; y el segmento [ Calcula a; a], recorrida en el sentido inverso de las agujas del reloj. cos (z) dz: 4. Sea := [i; ] = f( t) i + t : t [0; ]g : Prueba que para z, y deduce de ahí que Cuál es el verdadero valor de R z 4 4 ; z 4 dz 4p : z 4 dz? 8
9 5. Para r >, se de nen: I(r) := R C(0;R) z z 3 + dz; J(r) := R z e z [ r; r+i] z+ dz: Prueba que lim I(r) = lim J(r) = 0: r!+ r!+ 6. Calcula la integral dz + z donde (t) := cos t + i sin t; 0 t : 7. Prueba que para una función continua f : D(a; r)! C, se tiene f(w) if(a) = lim r!0 w a : Compara este resultado con el caso en el que f sea holomorfa en a: 8. Para := C(a; R) y z ; z Cn, calcula los posibles valores de la integral dz (z z ) (z z ) en función de la posición relativa de los puntos z y z respecto de : 9. Calcula la integral para z ( e z z) 3 dz := C 4 ; : 0. Para 0 < r 6=, calcula la integral z + z (z + 4) dz: C(0;r). Calcula, con n N, la siguiente integral: log(z) C(; ) z n dz: 9
Tema 6.2: Forma general del teorema de Cauchy y Fórmula general de Cauchy
Tema 6.2: Forma general del teorema de Cauchy y Fórmula general de Cauchy Facultad de Ciencias Experimentales, Curso 2008-09 Enrique de Amo, Universidad de Almería Comenzamos introduciendo las de niciones
Más detallesTema 4.3: Desarrollo de Taylor. Equivalencia entre analiticidad y holomorfía. Fórmula de Cauchy para las derivadas
Tema 4.3 Desarrollo de Taylor. Euivalencia entre analiticidad y holomorfía. Fórmula de Cauchy para las derivadas Facultad de Ciencias Experimentales, Curso 008-09 E. de Amo Tal y como ya anunciábamos en
Más detallesTema 8.3: Teorema de Riemann (fundamental) de la Representación Conforme. Clasi cación de los abiertos simplemente conexos del plano
Tema 8.3: Teorema de Riemann (fundamental) de la Representación Conforme. Clasi cación de los abiertos simplemente conexos del plano Facultad de Ciencias Experimentales, Curso 2008-09 Enrique de Amo, Universidad
Más detallesTema 8.2: Lema de Schwarz. Automor smos conformes del disco unidad. Isomor smos conformes entre discos y semiplanos
Tema 8.: Lema de Schwarz. Automor smos conformes del disco unidad. Isomor smos conformes entre discos y semiplanos Facultad de Ciencias Experimentales, Curso 008-09 Enrique de Amo, Universidad de Almería
Más detalles13. Series de Laurent.
Funciones de variable compleja. Eleonora Catsigeras. 3 Mayo 2006. 33 3. Series de Laurent. 3.. Definición de serie de Laurent y corona de convergencia. Definición 3... Serie de Laurent. Se llama serie
Más detallesTema 5.2: Comportamiento local de una función holomorfa. Teoremas de la aplicación abierta y de la función inversa
Tema 5.: Comportamiento local de una función holomorfa. Teoremas de la aplicación abierta y de la función inversa Facultad de Ciencias Experimentales, Curso 8-9 Enrique de Amo, Universidad de Almería En
Más detallesTema 3.2: Transformaciones de Möbius
Tema 3.2: Transformaciones de Möbius Facultad de Ciencias Experimentales, Curso 2008-09 E. de Amo Hay, al menos, tres razones importantes (en las que no entraremos en detalles más que los necesarios para
Más detallesFórmula de Cauchy Fórmula de Cauchy
Lección 8 Fórmula de Cauchy Llegamos al que se puede considerar como punto culminante de la teoría local de Cauchy, probando el resultado que se conoce como fórmula de Cauchy. Nos da una representación
Más detalles16. Ejercicios resueltos sobre cálculo de residuos.
7 Funciones de variable compleja. Eleonora Catsigeras. 3 Junio 26. 6. Ejercicios resueltos sobre cálculo de residuos. En esta sección se dan ejemplos de cálculo de integrales de funciones reales, propias
Más detallesTema 1.2: Topología del plano complejo. La esfera de Riemann
Tema 1.2: Topología del plano complejo. La esfera de Riemann Facultad de Ciencias Experimentales, Curso 2008-09 E. de Amo Pretendemos dotar al plano complejo C de una estructura topológica. Si de lo que
Más detallesTeoremas de Convergencia
Capítulo 24 Teoremas de Convergencia El teorema de la convergencia monótona (Lema 21.3) establece ciertas condiciones sobre una sucesión de funciones medibles para que se puedan permutar los símbolos y
Más detallesFunciones armónicas La parte real de una función holomorfa. Lección 10
Lección 10 Funciones armónicas En una segunda serie de aplicaciones de la teoría local de Cauchy, empezamos por analizar las propiedades de la parte real e imaginaria de una función holomorfa, funciones
Más detallesTeorema del Valor Medio
Tema 6 Teorema del Valor Medio Abordamos en este tema el estudio del resultado más importante del cálculo diferencial en una variable, el Teorema del Valor Medio, debido al matemático italo-francés Joseph
Más detallesFunciones Inversas. Derivada de funciones inversas
Capítulo 15 Funciones Inversas En este capítulo estudiaremos condiciones para la derivación de la inversa de una función de varias variables y, en particular, extenderemos a estas funciones la fórmula
Más detallesD. Teorema de Cauchy Goursat: Práctica 4
Analiticidad y transformaciones conformes ondiciones de auchy Riemann Transformaciones conformes Integración en el Plano omplejo Parametrización de arcos e integrales de contorno auchy, auchy Goursat y
Más detallesProblemas de VC para EDVC elaborados por C. Mora, Tema 4
Problemas de VC para EDVC elaborados por C. Mora, Tema 4 Ejercicio Determinar las funciones enteras f para las que Solución f( + w) = f()f(w), w C. En primer lugar, f(0) = f(0 + 0) = f(0)f(0) = f(0) 2,
Más detallesFunciones de Variable Real
Tema 1 Funciones de Variable Real 1.1. La Recta Real Los números reales se pueden ordenar como los puntos de una recta. Los enteros positivos {1, 2, 3, 4,...} que surgen al contar, se llaman números naturales
Más detallesTema 3.1: Interpretación geométrica de la derivada. Aplicaciones conformes
Tema 3.1: Interpretación geométrica de la derivada. Aplicaciones conformes Facultad de Ciencias Experimentales, Curso 2008-09 E. de Amo En esta lección pretendemos conectar la derivabilidad de las funciones
Más detallessi existe un entorno V de a contenido en A, tal que la diferencia f(x) f(a) no cambia de signo cuando x V :
Capítulo 7 Extremos Relativos Una aplicación clásica del Teorema Local de Taylor es el estudio de los extremos relativos de una función escalar. Aunque la analogía con el caso de una variable es total,
Más detallesContinuidad. 5.1 Continuidad en un punto
Capítulo 5 Continuidad 5.1 Continuidad en un punto Definición 5.1.1 (Aplicación continua en un punto). Sean (X, τ) e (Y, τ ) dos espacios topológicos, y sea f : X Y una aplicación entre ellos. Diremos
Más detallesDiferenciales de Orden Superior
Capítulo 10 Diferenciales de Orden Superior En este capítulo extenderemos a las funciones definidas sobre espacios normados el concepto de función r-veces diferenciable y de clase C r y obtendremos las
Más detallesDerivadas Parciales de Orden Superior
Capítulo 9 Derivadas Parciales de Orden Superior La extensión a funciones de varias variables del concepto de derivada de orden superior, aunque teóricamente no ofrece ninguna dificultad, presenta ciertas
Más detallesContinuidad y monotonía
Tema 14 Continuidad y monotonía Generalizando lo que se hizo en su momento para sucesiones, definiremos la monotonía de una función, en forma bien fácil de adivinar. Probaremos entonces dos resultados
Más detallesCÁLCULO DIFERENCIAL Muestras de examen
CÁLCULO DIFERENCIAL Muestras de examen Febrero 2012 T1. [2] Demostrar que la imagen continua de un conjunto compacto es compacto. T2. [2.5] Definir la diferencial de una función en un punto y demostrar
Más detallesTema 5. Series de Potencias
Tema 5. Series de Potencias Prof. William La Cruz Bastidas 21 de noviembre de 2002 Tema 5 Series de Potencias Definición 5.1 La sucesión de números complejos {z n } tiene un límite o converge a un número
Más detallesPropiedades de la integral
Capítulo 4 Propiedades de la integral En este capítulo estudiaremos las propiedades elementales de la integral. En su mayoría resultarán familiares, pues las propiedades de la integral en R se extienden
Más detallesSeries Sucesiones y series en C
Series En este capítulo vamos a estudiar desarrollos en serie de funciones holomorfas, para lo cual vamos en primer lugar a revisar resultados de la teoría de series, adaptándolos a series de términos
Más detallesVariable Compleja I ( ) Ejercicios resueltos. Convergencia de series. Series de potencias
Variable Compleja I (04-5) Ejercicios resueltos Convergencia de series. Series de potencias Ejercicio Calcule el radio de convergencia de la serie de potencias ( ) n z n3. Solución. Observemos primero
Más detallesy valores extremos. En esta sección estudiaremos los conjuntos convexos. Recordemos que un conjunto K R n es convexo si, para todo x,y K y t [0,1],
Capítulo 4 Convexidad 1. Conjuntos convexos En este capítulo estudiaremos el concepto de convexidad, el cual es sumamente importante en el análisis. Estudiaremos conjuntos convexos y funcionesconvexas
Más detallesDefinición 11.1 Sea f : A E F una aplicación r-veces diferenciable en un punto a A. o
Capítulo 11 Teoremas de Taylor Una vez más nos disponemos a extender a las funciones de varias variables resultados ya conocidos para funciones de una variable, los teoremas de aproximación de Taylor.
Más detallesSucesiones en R n. Ejemplos.-Considerando el espacio R 2 sea la sucesión {x k } 1 dada por x k = ( k, 1 k) podemos listar como sigue:
Sucesiones en R n Definición. Una sucesión en R n es cualquier lista infinita de vectores en R n x, x,..., x,... algunos de los cuales o todos ellos pueden coincidir entre si. Dada una sucesión x, x,...,
Más detallesExtensiones finitas.
2. EXTENSIONES ALGEBRAICAS. Hemos dividido este tema en dos secciones: Extensiones finitas, y Clausura algebraica. En la primera relacionamos extensión finita y extensión algebraica: probamos que toda
Más detallesFórmula integral de Cauchy
Fórmula integral de Cauchy Comentario: de acuerdo con esta fórmula, uno puede conocer el valor de f dentro del entorno, conociendo únicamente los valores que toma f en el contorno C! Fórmula integral de
Más detallesDerivadas. Jesús García de Jalón de la Fuente. IES Ramiro de Maeztu Madrid
Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid Recta tangente a una curva Recta tangente a una curva Recta tangente a una curva Recta tangente a una curva Recta tangente a una curva Recta
Más detallesContinuidad y monotonía
Tema 14 Continuidad y monotonía Generalizando lo que se hizo en su momento para sucesiones, definiremos la monotonía de una función, en forma bien fácil de adivinar. Probaremos entonces dos resultados
Más detallesPOLÍGONOS REGULARES CONSIDERACIONES GENERALES
POLÍGONOS REGULARES CONSIDERACIONES GENERALES CONSTRUCCIONES DE POLÍGONOS REGULARES DADA LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA CONSTRUCCIONES DE POLÍGONOS REGULARES DADO EL LADO DEL CONVEXO, EL LADO DEL ESTRELLADO
Más detallesTema 7.2: Teorema de los residuos. Aplicaciones del cálculo con residuos
Tema 7.: Teorema de los residuos. Aplicaciones del cálculo con residuos Facultad de Ciencias Experimentales, Curso 8-9 Enrique de Amo, Universidad de Almería La teoría de residuos proporciona una técnica
Más detallesEjemplos y problemas resueltos de análisis complejo (2014-15)
Variable Compleja I (3 o de Matemáticas y 4 o de Doble Titulación) Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (04-5) Teoremas de Cauchy En estos apuntes, la palabra dominio significa, como es
Más detallesEspacios completos. 8.1 Sucesiones de Cauchy
Capítulo 8 Espacios completos 8.1 Sucesiones de Cauchy Definición 8.1.1 (Sucesión de Cauchy). Diremos que una sucesión (x n ) n=1 en un espacio métrico (X, d) es de Cauchy si para todo ε > 0 existe un
Más detallesCÁLCULO II. Grado M+I. Sucesiones y series de funciones. Sucesiones y series de funciones 1 / 27. Grado M+I () CÁLCULO II
CÁLCULO II Grado M+I Sucesiones y series de funciones Sucesiones y series de funciones 1 / Sucesiones funciones. Convergencia puntual Sucesión de funciones Definición Una sucesión de funciones será cualquier
Más detallesFunciones de Clase C 1
Capítulo 7 Funciones de Clase C 1 Vamos a considerar ahora la extensión a varias variables del concepto de función de clase C 1. Cada vez que establezcamos una propiedad de las funciones diferenciables,
Más detallesALGEBRA LINEAL. David Delepine, Mauro Napsuciale, Simón Rodríguez
ALGEBRA LINEAL David Delepine, Mauro Napsuciale, Simón Rodríguez 30 de octubre de 2005 Índice general 1. Espacios euclidianos 2 1.1. Productos escalares........................ 2 1.2. Normas y distancias.......................
Más detallesProblemas resueltos de variable compleja con elementos de teoría. Ignacio Monterde, Vicente Montesinos.
Problemas resueltos de variable compleja con elementos de teoría Ignacio Monterde, Vicente Montesinos. Índice general Introducción V 1. Teoría elemental 1 1.1. Elementos de teoría........................
Más detalles5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.1. FUNCIONES Y
5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.1. FUNCIONES Y LÍMITES. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2010-2011 5.1.1. Las magnitudes variables: funciones. 5.1.1. Las magnitudes variables:
Más detallesSeminario de problemas-bachillerato. Curso Hoja 6
Seminario de problemas-bachillerato. Curso 2012-13. Hoja 6 37. Dada una cuerda AB de una circunferencia de radio 1 y centro O, se considera la circunferencia γ de diámetro AB. Sea P es el punto de γ más
Más detallesEspacios Topológicos 1. Punto de Acumulación. Al conjunto de puntos de acumulación de A se le denomina el conjunto derivado de A (A a Notación).
Espacios Topológicos 1 Punto de Acumulación Definición: Sea A un subconjunto arbitrario de R n, se dice que x R n es un punto de acumulación de A si toda bola abierta con centro x contiene un punto A distinto
Más detallesEspacios conexos. Capítulo Conexidad
Capítulo 5 Espacios conexos 1. Conexidad En este capítulo exploraremos el concepto de conexidad en un espacio métrico, y estudiaremos algunas de sus aplicaciones. Definición 5.1. Decimos que el espacio
Más detallesTeoría Tema 2 Concepto de función
página 1/7 Teoría Tema Concepto de función Índice de contenido Función, dominio e imagen... Función inyectiva...4 Función sobreyectiva...6 Función biyectiva...7 página /7 Función, dominio e imagen Una
Más detallesReconocer y utilizar las propiedades sencillas de la topología métrica.
3 Funciones continuas De entre todas las aplicaciones que pueden definirse entre dos espacios métrico, las aplicaciones continuas ocupan un papel preponderante. Su estudio es fundamental no sólo en topología,
Más detallesTerminaremos el capítulo con una breve referencia a la teoría de cardinales.
TEMA 5. CARDINALES 241 Tema 5. Cardinales Terminaremos el capítulo con una breve referencia a la teoría de cardinales. Definición A.5.1. Diremos que el conjunto X tiene el mismo cardinal que el conjunto
Más detallesEspacios compactos. Capítulo Cubiertas. En este capítulo estudiaremos el concepto de compacidad en un espacio métrico.
Capítulo 3 Espacios compactos 1. Cubiertas En este capítulo estudiaremos el concepto de compacidad en un espacio métrico. Definición 3.1. Sea (X, d) un espacio métrico y A X. Una cubierta de A es una familia
Más detalles=, una sucesión de intervalos cerrados. f x una función continua en el punto x = x0. = 0, el teorema queda demostrado. Si ( )
CONTINUIDAD DE FUNCIONES. TEOREMAS FUNDAMENTALES. Cuando una función es continua en un intervalo cerrado [ a, ] y en un extremo es positiva y en otro negativa, la intuición indica que, en algún punto intermedio
Más detallesÁrea La integral definida Propiedades de la integral definida Teorema del valor medio para la integral definida Teoremas fundamentales del cálculo Aplicaciones de la integral definida: Área de una región
Más detallesEspacios métricos completos
5 Espacios métricos completos Comenzamos introduciendo las sucesiones de Cauchy, que relacionamos con las sucesiones convergentes. En el caso de que coincidan, se trata de un espacio métrico completo.
Más detallesFUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO. El Tª de Bolzano es útil para determinar en algunas ocasiones si una ecuación tiene soluciones reales:
FUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO Teoremas de continuidad y derivabilidad Teorema de Bolzano Sea una función que verifica las siguientes hipótesis:. Es continua en el intervalo cerrado [, ]. Las imágenes
Más detallesSucesiones y convergencia
Capítulo 2 Sucesiones y convergencia 1. Definiciones Una de las ideas fundamentales del análisis es la de límite; en particular, el límite de una sucesión. En este capítulo estudiaremos la convergencia
Más detallesConstrucción de polígonos regulares en teselados regulares
Construcción de polígonos regulares en teselados regulares Gustavo Piñeiro Introducción: Un teselado regular es una familia de polígonos regulares, congruentes entre sí, que cubren completamente el plano
Más detallesTema 2.1: Función exponencial. Funciones trigonométricas
Tema.1: Función exponencial. Funciones trigonométricas Facultad de Ciencias Experimentales, Curso 008-09 E. de Amo Comenzaremos tratando de de nir la función exponencial sobre todo el plano C de modo que
Más detallesGrado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación. Universidad de Sevilla. Matemáticas I. Departamento de Matemática Aplicada II.
Grado en Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación Universidad de Sevilla Matemáticas I. Departamento de Matemática Aplicada II. Tema 1. Curvas Paramétricas. Nota Informativa: Para explicar en clase
Más detalles9. Aplicaciones al cálculo de integrales impropias.
Funciones de variable compleja. Eleonora Catsigeras. 8 Mayo 26. 85 9. Aplicaciones al cálculo de integrales impropias. Las aplicaciones de la teoría de Cauchy de funciones analíticas para el cálculo de
Más detallesEspacios topológicos. 3.1 Espacio topológico
Capítulo 3 Espacios topológicos 3.1 Espacio topológico Definición 3.1.1. Un espacio topológico es un par (X, τ), donde X es un conjunto, y τ es una familia de subconjuntos de X que verifica las siguientes
Más detallesIntroducción al Análisis Complejo
Introducción al Análisis Complejo Aplicado al cálculo de integrales impropias Complementos de Análisis, I.P.A Prof.: Federico De Olivera Leandro Villar 13 de diciembre de 2010 Introducción Este trabajo
Más detalles1. Curvas Regulares y Simples
1. Regulares y Simples en R n. Vamos a estudiar algunas aplicaciones del calculo diferencial e integral a funciones que están definidas sobre los puntos de una curva del plano o del espacio, como por ejemplo
Más detallesLa función, definida para toda, es periódica si existe un número positivo tal que
Métodos con series de Fourier Definición: Función periódica La función, definida para toda, es periódica si existe un número positivo tal que para toda. El número en un periodo de la función. Si existe
Más detallesƒ : {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7)}.
SECCIÓN 5. Funciones inversas 5. Funciones inversas Verificar que una función es la inversa de otra. Determinar si una función tiene una función inversa. Encontrar la derivada de una función inversa. f
Más detallesSemana 09 [1/28] Sucesiones. 29 de abril de Sucesiones
Semana 09 [1/28] 29 de abril de 2007 Semana 09 [2/28] Definición Sucesión Una sucesión real es una función: f : N R n f (n) Observaciones Para distinguir a una sucesión de las demás funciones, se ocupará
Más detallesAPUNTES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
CAPÍTULO 1: LA RECTA EN EL PLANO Conceptos Primitivos: Punto, recta, plano. APUNTES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Definición 1 (Segmento) Llamaremos segmento a la porción de una línea recta comprendida entre
Más detalles1. Problemas de inducción.
Proyecto I: Más sobre números reales Objetivos: Profundizar el estudio de los números reales. 1. Problemas de inducción. Ejercicio 1.1 Sea n. Definiremos los coeficientes binomiales ( n ) mediante la expresión
Más detallesx si x 2 Q 1 x si x 2 R Q
Relacion 4.CONTINUIDAD Y LÍMITE FUNCIONAL 1 Demuestrese i) que si una función tiene límite, éste es único. ii) aplicando la de nición de límite, que a) lim!0 sen 1 =0 b) lim!1 1 = 1 ( 1) 4 iii) que no
Más detalles2. Derivación y funciones holomorfas.
18 Funciones de variable compleja. Eleonora Catsigeras. 24 Abril 2006. 2. Derivación y funciones holomorfas. 2.1. Derivación de funciones complejas y funciones holomorfas. Sea Ω abierto contenido en C,
Más detalles1. Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de las siguientes funciones:
APLICACIONES DE DERIVADAS 1. Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de las siguientes funciones: a. 6 9 b. c. 2 d. 2 e. f. 1 2. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes
Más detallesGRAFOS GEOMÉTRICOS. Introducción. Número de corte. Aplicaciones. Incidencias de puntos y rectas. Distancias unitarias. k-sets.
GRAFOS GEOMÉTRICOS CROSSING LEMMA Y APLICACIONES GEOMÉTRICAS Introducción. Número de corte. Aplicaciones. Incidencias de puntos y rectas. Distancias unitarias. k-sets. Qué es un grafo geométrico? vi =
Más detallesCálculo I (Grado en Ingeniería Informática) Problemas adicionales resueltos
Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) - Problemas adicionales resueltos Calcula el ĺımite lím ( n + n + n + ) n Racionalizando el numerador, obtenemos L lím ( n + n + n (n + n + ) (n + ) + ) lím
Más detallesUn resumen de la asignatura. Junio, 2015
Un resumen de la asignatura Departamento de Matemática Aplicada a las Tecnologías de la Información y las Comunicaciones ETSIT (UPM) Junio, 2015 1 Los Números Reales(R) Los números Irracionales Continuidad
Más detallesSucesiones acotadas. Propiedades de las sucesiones convergentes
Sucesiones acotadas. Propiedades de las sucesiones convergentes En un artículo anterior se ha definido el concepto de sucesión y de sucesión convergente. A continuación demostraremos algunas propiedades
Más detallesEspacios compactos. 1. Cubiertas
Capítulo 3 Espacios compactos 1. Cubiertas En este capítulo estudiaremos el concepto de compacidad en un espacio métrico. La compacidad se puede estudiar desde dos puntos de vista: el topológico, a través
Más detallesEL TEOREMA DE LOS CUATRO
EL TEOREMA DE LOS CUATRO VÉRTICES Prof. Rafael López Camino Departamento de Geometría y Topología Universidad de Granada Material docente para el alumno Asignatura: Geometría Diferencial. Curso 1995/96
Más detallesTEMA 4: DERIVADAS. En símbolos, la pendiente de la curva en P = lim Q P (pendiente de P Q).
TEMA 4: DERIVADAS 1. La derivada de una función. Reglas de derivación 1.1. La pendiente de una curva. La pendiente de una curva en un punto P es una medida de la inclinación de la curva en ese punto. Si
Más detallesDerivada de la función compuesta. Regla de la cadena
Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena Cuando en las matemáticas de bachillerato se introduce el concepto de derivada, su significado y su interpretación geométrica, se pasa al cálculo de
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS DE PREPARACIÓN PARA OPOSICIONES. Problemas 02
PROBLEMAS RESUELTOS DE PREPARACIÓN PARA OPOSICIONES Problemas 0 Salvador Pérez Gómez pies3coma14@hotmail.com 4 de abril de 007 PROBLEMA 1 Sea n un número natural. Sea A n = n + n + 3n. a) Demostrar que
Más detallesCálculo Diferencial en una variable
Tema 2 Cálculo Diferencial en una variable 2.1. Derivadas La derivada nos proporciona una manera de calcular la tasa de cambio de una función Calculamos la velocidad media como la razón entre la distancia
Más detallesFunciones de Una Variable Real I. Derivadas
Contents : Derivadas Universidad de Murcia Curso 2010-2011 Contents 1 Funciones derivables Contents 1 Funciones derivables 2 Contents 1 Funciones derivables 2 3 Objetivos Funciones derivables Definir,
Más detallesFunciones y Cardinalidad
Funciones y Cardinalidad Definición 1 Llamaremos función f entre dos conjuntos A y B a una relación que verifica las siguientes propiedades: i) Dom(f) = A ii) Si (a, b), (a, c) f entonces b = c Dicho de
Más detallesVARIABLE COMPLEJA Y ANÁLISIS FUNCIONAL
VARIABLE COMPLEJA Y ANÁLISIS FUNCIONAL (Curso 00-00) HOJA Ejercicio. Determina en qué recintos es holomorfa la siguiente función: f(x + iy) x + ay + i(bx + cy) En este caso consideramos: u(x, y) x + ay
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS. NÚMEROS Y FUNCIONES. CONTINUIDAD Y LÍMITE FUNCIONAL.
EJERCICIOS RESUELTOS. NÚMEROS Y FUNCIONES. CONTINUIDAD Y LÍMITE FUNCIONAL. 1. Estúdiese la continuidad de la función f : R R, definida por f (x) = xe(1/x) si x = 0, f (0) = 1.. Sea f : R R continua, mayorada
Más detalles2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones
Métodos Matemáticos (Curso 2013 2014) Grado en Óptica y Optometría 7 2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones Límite de una función en un punto Sea una función f(x) definida en el entorno de un punto
Más detallesx, y = x 0 y 0 + x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. Es fácil ver que verifica 1. Es simétrica. x, y = y, x para todo x, y R 4.
1 Tema 2. Sección 1. Espacio vectorial de Minkowski. Manuel Gutiérrez. Departamento de Álgebra, Geometría y Topología. Universidad de Málaga. 29071-Málaga. Spain. Abril de 2010. En este capítulo se recordará
Más detallesFunciones integrables en R n
Capítulo 1 Funciones integrables en R n Sean un subconjunto acotado de R n, y f : R una función acotada. Sea R = [a 1, b 1 ]... [a n, b n ] un rectángulo que contenga a. Siempre puede suponerse que f está
Más detallesCONTINUIDAD DE FUNCIONES. SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO IV. CONTINUIDAD DE FUNCIONES SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos. 121 A. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CONTINUA. Una función
Más detallesTEMA 1: Cálculo Diferencial de una variable
TEMA 1: Cálculo Diferencial de una variable Cálculo para los Grados en Ingeniería EPIG - UNIOVI Curso 2010-2011 Los números Naturales I Los números Naturales N = f1, 2, 3, g I Principio de inducción Supongamos
Más detallesTeoría global de Cauchy
CAPÍTULO 7 Teoría global de Cauchy 7.1 INTRODUCCIÓN Los éxitos logrados con la teoría local de Cauchy invitan a refinar las herramientas básicas teorema de Cauchy, fórmula de Cauchy para ampliar su alcance.
Más detallesLímites y Continuidad
Tema 2 Límites y Continuidad Introducción En este tema se trata el concepto de límite de una función real de variable real y sus propiedades, así como algunas de las técnicas fundamentales para el cálculo
Más detallesClase 10: Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange
Clase 10: Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange C.J. Vanegas 7 de abril de 008 1. Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange Estamos interesados en maximizar o minimizar una función
Más detallesConjuntos Infinitos. Ramón Espinoza Armenta AVC APOYO VIRTUAL PARA EL CONOCIMIENTO
Ramón Espinoza Armenta AVC APOYO VIRTUAL PARA EL CONOCIMIENTO El estudio de los conjuntos infinitos se inicia con Las Paradojas del Infinito, la última obra del matemático checo Bernard Bolzano, publicada
Más detallesEl Teorema de la Convergencia Dominada
Capítulo 22 l Teorema de la Convergencia Dominada Los dos teoremas de convergencia básicos en la integración Lebesgue son el teorema de la convergencia monótona (Lema 19.10), que vimos el capítulo y el
Más detallesPor el teorema de Green, si llamamos D al interior del cuadrado, entonces. dxdy. y. x P. 1 dx. 1 (4x 3 2y) dy =
TEOREMA E GREEN. 1. Calcular y dx x dy, donde es la frontera del cuadrado [ 1, 1] [ 1, 1] orientada en sentido contrario al de las agujas del reloj. Por el teorema de Green, si llamamos al interior del
Más detallesFunciones de variable compleja.
Funciones de variable compleja. Eleonora Catsigeras * 15 de mayo de 2006 Notas para el curso de Funciones de Variable Compleja de la Facultad de Ingeniería * Instituto de Matemática y Estadística Rafael
Más detallesTema 2: Teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados.
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS GRADO EN MATEMÁTICAS. CURSO 215/216 Tema 2: Teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados. 1.1. Grupo abeliano libre. Bases. Definición 1.1. El grupo Z n con
Más detallesEJERCICIOS TEMA 1 CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE
EJERCICIOS TEMA CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE EJERCICIOS TEMA EJERCICIOS TEMA 3 CONJUNTOS NUMÉRICOS Ejercicio Demostrar, aplicando el principio de inducción, las siguientes propiedades a) + + 3 +
Más detallesx 2 + 1, si x 0 1 x 2 si x < 0 e x, si x > 0 x si 0 x < 2 f(x) = x + 2 si 2 x < 3 2x 1 si 3 x < 4 tgx, 0 < x < π/4
CÁLCULO. Curso 2003-2004. Tema 7. Derivabilidad.. Estudiar la continuidad y la derivabilidad de las funciones: {, si 0 (a) e, si > 0 2 +, si > 0 (b), si = 0 2. Dada la función (c) 2 si < 0 e, si > 0 2
Más detalles