Funciones de variable compleja.

Transcripción

1 Funciones de variable compleja. Eleonora Catsigeras * 15 de mayo de 2006 Notas para el curso de Funciones de Variable Compleja de la Facultad de Ingeniería * Instituto de Matemática y Estadística Rafael Laguardia (IMERL), Fac. Ingenieria. Universidad de la República. Uruguay. Address: Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. 1

2 Funciones de variable compleja. Eleonora Catsigeras. 15 Mayo PRÓLOGO: Este curso está dirigido a estudiantes universitarios de grado de las carreras de Ingeniería. Se supone conocido el cuerpo de los complejos, la interpretación geométrica en el plano complejo de las operaciones de cuerpo, los conceptos básicos de topología del plano complejo o de R 2, el cálculo diferencial e integral en una y dos variables reales, la geometría de curvas paramétricas planas diferenciables, y el cálculo vectorial, diferencial e integral de campos reales en R 2. El texto está dividido en tres partes. Cada parte está separada en secciones temáticas. En las secciones 4, 11 y 17, se hace la síntesis de los resultados más importantes de las secciones anteriores. El curso se completa con el tema de Transformada de Laplace que se encuentra en las notas de J. Vieitez y N. Möller, y con las listas 1 a 7 de ejercicios publicadas en el año BIBLIOGRAFÍA: Ahlfors, L. : Análisis de Variable Compleja. Editorial Aguilar, España, Rudin, W. : Análisis Real y Complejo. Editorial Alhambra, España, Universidad de Zaragoza : Notas de Funciones de Variable Compleja. Guelfond, A. : Los residuos y sus aplicaciones. Editorial MIR, Moscú, Vieitez, J. - Möller, N. : Apuntes para el curso de funciones de variable compleja. Transformada de Laplace. IMERL, Facultad de Ingeniería, UdelaR. Montevideo, ( IMERL: Listas de ejercicios para el curso de funciones de variable compleja. Repartidos 1 a 7. IMERL, Facultad de Ingeniería, UdelaR. Montevideo, (

3 2 Funciones de variable compleja. Eleonora Catsigeras. 15 Mayo Índice Prólogo y Bibliografía 1 Primera parte: FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA, DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN Funciones complejas de variable compleja Notaciones y conceptos previos Argumento, Logaritmo y Raíz n-ésima Compactificación del plano complejo Transformaciones de Moebius o bilineales Derivación y funciones holomorfas Derivación de funciones complejas y funciones holomorfas Transformaciones conformes Funciones armónicas Integración y Convergencia Uniforme Integración compleja Convergencia uniforme de series de funciones complejas Segunda parte: FUNCIONES ANALÍTICAS Y TEORÍA DE CAUCHY Síntesis de la primera parte Derivación y funciones holomorfas Integración compleja Convergencia uniforme de series de funciones complejas Funciones analíticas y teoría del índice Definición y derivabilidad infinita de las funciones analíticas Principio de prolongación analítica Construcción de funciones analíticas mediante integración Teoría del índice Teoría de Cauchy local Sucesión de rectángulos encajados convergentes para acotar integrales Teoría de Cauchy-Goursat en rectángulos Analiticidad de las funciones holomorfas Teoría de Cauchy global Teorema de Cauchy global Fórmulas integrales de Cauchy global Recíprocos de los Teoremas de Cauchy

4 Funciones de variable compleja. Eleonora Catsigeras. 15 Mayo Consecuencias de la Teoría de Cauchy Principio del módulo máximo Otras consecuencias de la Teoría de Cauchy Series de Fourier Aplicaciones al cálculo de integrales impropias Lema de deformación de curvas y sus aplicaciones Lema de Jordan y sus aplicaciones Transformada de Fourier Otros resultados y ejercicios resueltos Consecuencias del principio de módulo máximo Aplicaciones de otros teoremas Teoremas de la función inversa y forma local de las transformaciones analíticas Transformaciones del disco unitario en sí mismo Tercera parte: SINGULARIDADES Y TEORÍA DE LOS RESIDUOS Síntesis de la segunda parte Funciones analíticas Teoría del índice Teoría de Cauchy Consecuencias de la teoría de Cauchy Lema de Jordan y de deformación de curvas Ceros y singularidades aisladas Funciones racionales Ceros de las funciones analíticas Clasificación de las singularidades aisladas Polos complejos y en Singularidades esenciales Series de Laurent Definición de serie de Laurent y corona de convergencia Desarrollo en serie de Laurent Caracterización de singularidades aisladas por su desarrollo de Laurent Ejemplos de desarrollo de Laurent Funciones meromorfas y teoremas de aproximación Funciones meromorfas Aproximación por funciones racionales Convergencia uniforme en compactos de funciones analíticas Familias normales

5 4 Funciones de variable compleja. Eleonora Catsigeras. 15 Mayo Teoría de los residuos Residuos Principio del argumento Teorema de Rouché Ejemplos Ejercicios resueltos sobre cálculo de residuos Integrales de funciones racionales en la circunferencia Integrales impropias mediante el cálculo de residuo en alguna raíz n ésima Integrales impropias de potencias reales de z Otros ejemplos Síntesis de la tercera parte Ceros y singularidades aisladas Series de Laurent Teoremas de aproximación en compactos Teoría de los residuos