Teoría global de Cauchy

Transcripción

1 CAPÍTULO 7 Teoría global de Cauchy 7.1 INTRODUCCIÓN Los éxitos logrados con la teoría local de Cauchy invitan a refinar las herramientas básicas teorema de Cauchy, fórmula de Cauchy para ampliar su alcance. Como, por ahora, estas herramientas funcionan en discos o, a lo sumo, en abiertos estrellados, sólo hemos averiguado propiedades de las funciones holomorfas que dependen en última instancia del comportamiento de la función en un entorno de cada punto de su dominio (propiedades de carácter local). Si queremos estudiar propiedades de carácter global, hemos de profundizar en la validez del teorema y de la fórmula de Cauchy en abiertos cualesquiera. Con este propósito extenderemos la integración a colecciones de caminos cerrados (ciclos), e introduciremos el concepto de ciclos homólogos respecto de un abierto.así podremos obtener una versión muy general de la fórmula y del teorema de Cauchy en el teorema homológico de Cauchy, viendo además que son justamente los ciclos homólogos a 0 respecto de un abierto los que hacen nula la integral de toda función holomorfa en el abierto: en otras palabras, los ciclos más generales para los que va a ser válido el teorema de Cauchy si no imponemos restricciones al abierto. En el plano práctico, esto nos libera de la búsqueda (engorrosa a veces) de abiertos estrellados en los que plantear las integrales que debemos manejar, mirando tan sólo de conseguir abiertos respecto de los cuales el ciclo sobre el que se integra sea homólogo a 0. Cerrando este capítulo aparece el concepto de conexión simple y diferentes caracterizaciones del mismo, que aclaran algunos de los comportamientos anómalos con los que nos hemos ido tropezando y ponen de manifiesto el interés de saber en qué abiertos se anulan las integrales de todas las funciones holomorfas sobre todos los caminos cerrados. Son, pues, estos abiertos (los simplemente conexos) los más generales en los que el teorema de Cauchy es cierto si no queremos tener que restringir los ciclos sobre los que se integra. Referencias básicas: Rudin, W.: Análisis real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana, Madrid (1987). Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, New York (1978). 104

2 Teoría global de Cauchy CICLOS. HOMOLOGÍA. Damos una definición ingenua de ciclo. Para una definición más rigurosa, aunque menos intuitiva, ver Rudin, loc. cit., Def , pp Definición 7.1. Un ciclo es una sucesión finita de caminos cerrados, distintos o repetidos, que denotaremos por = [γ 1,γ 2,...,γ n ],enlaque no tenemos en cuenta el orden, de modo que dos ciclos y son iguales cuando consten de los mismos caminos, aunque aparezcan reordenados (es decir, = [γ σ(1),γ σ(2),...,γ σ(n) ] para alguna permutación σ ). Denominaremos a γ 1, γ 2,..., γ n los caminos que componen, y usaremos la notación γ para indicar que γ es uno de los caminos que componen. El soporte de un ciclo = [γ 1,γ 2,...,γ n ] es la unión de los soportes de γ 1, γ 2,..., γ n : sop = sop γ 1 sop γ 2 sop γ n. El soporte de un ciclo es evidentemente un conjunto compacto; por contra, no es en general conexo (ejemplo: = [γ 1,γ 2 ] donde γ 1, γ 2 son dos circunferencias concéntricas distintas). Por comodidad de lenguaje, diremos que un ciclo está contenido en un conjunto para indicar que el soporte del ciclo está contenido en el conjunto. Definición 7.2. Dado un ciclo = [γ 1,γ 2,...,γ n ],elciclo opuesto es el ciclo obtenido tomando los opuestos de los caminos que componen : = [ γ 1, γ 2,..., γ n ]. La unión o suma de dos ciclos = [γ 1,γ 2,...,γ m ], = [γ el ciclo = [γ 1,γ 2,...,γ m,γ 1,γ 2,...,γ n ]. 1,γ 2,...,γ n ],es Definición 7.3. Integración sobre ciclos. Dada una función f continua sobre el soporte de un ciclo = [γ 1,γ 2,...,γ n ],sedefine f = n k=1 γ k f = γ Consecuentemente, el índice de un punto a / sop respecto de es Ind (a) = 1 2πi γ f. dz z a = Ind γ (a). γ

3 106 Teoría global de Cauchy Definición 7.4. Sea un abierto no vacío dec y un ciclo contenido en. Diremos que es homólogo a 0 respecto de,ypondremos 0 ( ) si para todo a C \ es Ind (a) = 0. Cuando consta de un solo camino γ, suele ponerse directamente γ 0 ( ). Dos ciclos 1 y 2 contenidos en se dicen homólogos respecto de, 1 2 ( ), si para todo a C \ es Ind 1 (a) = Ind 2 (a) o, equivalentemente, si 1 ( 2 ) 0 ( ). Ejemplos. Consideremos 0 r < r 1 < r 2 < R y sea ={z C : r < z < R} el anillo de centro el origen con radio interior r y radio exterior R. Sea ahora γ 1 : t [0, 2π] γ 1 (t) = r 1 e it C la circunferencia de centro el origen y radio r 1 orientada negativamente, γ 2 : t [0, 2π] γ 2 (t) = r 2 e it C la circunferencia de centro el origen y radio r 2 orientada positivamente. Entonces = [γ 1,γ 2 ]esunciclo homólogo a 0 respecto de, mientras que no lo son los ciclos 1 = [γ 1 ]ni 2 = [γ 2 ]. Obviamente, el ciclo 1 es homólogo del ciclo 2 respecto de (y 1 de 2 ). 7.3 TEOREMA HOMOLÓGICO DE CAUCHY Lema 7.5. Si f H( ) ygestádefinida en por { f (z) f (w) g(z,w)= si w z, z w f (z) si w = z entonces g es continua en. Demostración. Rudin, loc. cit., Lema 10.29, p Teorema 7.6. Sea un abierto no vacío del plano complejo y f H( ). Sea un ciclo homólogo a 0 respecto de. Entonces: para cada z \ sop Ind (z) f (z) = 1 f (w) 2πi w z dw (fórmula de Cauchy) y f (w) dw = 0. (teorema homológico de Cauchy).

4 Teoría global de Cauchy 107 Demostración. Rudin, loc. cit.,teor , pp NOTA. Las demostraciones clásicas de este resultado eran bastante menos directas. En su momento fue una sorpresa que J. D. Dixon publicara en 1971 la demostración más simple y elemental que ahora se ha hecho estándar (Dixon, J. D.: A brief proof of Cauchy s integral theorem, Proc. Amer. Math. Soc. 29 (1971), ). Corolario 7.7. (Derivadas sucesivas). Sea un abierto no vacío del plano complejo y f H( ). Sea un ciclo homólogo a 0 respecto de. Entonces: para cada z \ sop yn N es Ind (z) f (n) (z) = n! 2πi f (w) dw. (w z) n+1 Corolario 7.8. (Homología eintegración). Sea un abierto no vacío del plano complejo y, 1, 2 sendos ciclos contenidos en. Entonces: (i) es homólogo a 0 respecto de si y sólo si f (w) dw = 0 para toda función f H( ). (ii) 1 y 2 son homólogos respecto de si y sólo si f (w) dw = f (w) dw 1 para toda función f H( ). Demostración. Las implicaciones directas son obvias a la vista del teorema homológico de Cauchy. Para obtener los recípocos, basta considerar para cada a / la función f H( ) definida por 2 f (z) = 1 z a. Vemos así que lo que realmente importa a la hora de integrar una función holomorfa sobre un ciclo no es tanto el ciclo en cuestión como la clase de homología asociada a él (esta idea es la que se toma como guía enladefinición de ciclo que se da, por ejemplo, en Rudin, loc. cit.). En la práctica, este hecho permite muchas veces simplificar cálculos, sustituyendo un ciclo complicado o poco adaptado a la función por otro homólogo más conveniente (o un camino cualquiera γ 1 por otro γ 2 con los mismos extremos siempre que γ 1 ( γ 2 ) sea homólogo a 0).

5 108 Teoría global de Cauchy 7.4 CONEXIÓN SIMPLE Definición 7.9. Diremos que un subconjunto no vacío de C es simplemente conexo si es una región tal que para todo ciclo y para toda f H( ) se verifica f (z) dz = 0. Evidentemente, esta última condición equivale a que la integral de toda f H( ) se anule sobre cualquier camino cerrado contenido en. Teorema (Caracterizaciones de la conexión simple). Sea una región de C. Las siguientes propiedades son equivalentes entre sí: (1) es simplemente conexo. (2) Todo camino cerrado γ contenido en es homólogo a 0 respecto de. (3) todo ciclo contenido en es homólogo a 0 respecto de. (4) (Existencia de primitivas) Toda función f H( ) admite una primitiva en, esdecir, f = F para alguna F H( ). (5) (Existencia de armónica conjugada) Para toda función u armónica en existe f H( ) tal que u =Re fen. (6) (Existencia de logaritmos holomorfos) Para toda función f H( ) tal que f (z) 0 en todo z existe g H( ) tal que exp(g(z)) = f (z) para todo z. (7) (Existencia de raíces cuadradas holomorfas) Para toda función f H( ) tal que f (z) 0 en todo z existe g H( ) tal que g 2 (z) = f (z) para todo z. Demostración. Las implicaciones (2) (3) (1) (4) son obvias o consecuencia inmediata de resultados anteriores. (4) (5). Dada una función u armónica en construimos la función h = u x iu y, que, por ser u armónica, cumple las condiciones de Cauchy-Riemann ydediferenciabilidad y por tanto es holomorfa en. SiH es una primitiva de h y U =Re H, puesto que h = H = U x iu y y es conexo debe existir una constante C R tal que u = U + C. Lafunción f = H + C es entonces una función holomorfa en tal que Re f = u. (5) (6). Dada f H( ) tal que f (z) 0entodo z, pongamos u =Re f, v =Im f.esfácil comprobar que α = ln f = 1 2 ln ( u 2 + v 2) es una función armónica en, luego existirá h H( ) tal que Re h = α = ln f. Pero entonces e h = e Re h = f, con lo cual e h f = 1

6 Teoría global de Cauchy 109 y por tanto la función e h /f, holomorfa y no nula en la región, debe mantenerse constante. Si c es el valor de esa constante, g = h Log c es una función holomorfa en para la que e g = e h Log c = eh c = f. (6) (7). Dada f H( ) tal que f (z) 0entodo z, sipara alguna g H( ) es e g = f, para la función holomorfa h = e 1 2 g es h 2 = e g = f. (7) (2). Sea a / y γ un camino cerrado contenido en.lafunción f H( ) definida por f (z) = z a no se anula en, luego existe f 1 H( ) tal que f 2 1 = f. Reiterando, se encuentra para cada n N una f n H( ) tal que f 2 n = f n 1 yasí ( f n ) 2n = f, n N. Derivando 2 n ( f n ) 2n 1 f n = 1, n N, con lo cual 2 n f n (z) f n (z) = 1 f (z) = 1, n N, z. z a Se sigue que para todo n N ha de ser 1 2 Ind n γ (a) = 1 1 dz 2 n 2πi γ z a = 1 f n (z) 2πi γ f n (z) dz = 1 2πi = Ind fn γ (0) Z, lo que sólo es posible si Ind γ (a) = 0. Observaciones. (1) Nótese que para que no sea simplemente conexo es, pues, necesario y suficiente que haya al menos una función holomorfa en que no tenga primitiva. (2) Se pueden añadir equivalencias a la lista anterior (cf. Rudin, loc. cit., Teor , pp. 311 y ss.). De momento, daremos una descripción geométricotopológica de los conjuntos simplemente conexos de C. Esta nueva caracterización necesita un lema previo, fácil de visualizar pero de demostración un tanto enrevesada. Se trata de construir un ciclo que rodee a un compacto K contenido en un abierto. Laidea básica consiste en tomar una colección finita de segmentos que constituye la frontera de una imagen digitalizada de K ligeramente ampliada. El punto delicado de la demostración está en comprobar que estos segmentos se pueden organizar para formar un ciclo respecto del cual los puntos de K resulten tener índice 1 y los puntos fuera de tengan índice 0. f n γ dw w

7 110 Teoría global de Cauchy Lema Sea un abierto no vacíodec y sea K un conjunto compacto contenido en. Existe entonces un ciclo en \ K tal que (1) para a / se tiene Ind (a) = 0,esdecir, 0 ( ), (2) para cada z K Ind (z) = 1. Demostración. VerRudin, loc. cit., Sección 13.4 y Teor , pp Dado que Ind (z) = 1 para z K, está justificada la expresión rodea a K en ; en cierto modo, podríamos decir que K queda en el interior de yel complementario de en el exterior de.elciclo sirve como contorno de K en diferentes contextos, no sólo en la teoría defunciones holomorfas. Teorema Sea una región de C. Entonces es simplemente conexo si y sólo si C \ es conexo en la esfera de Riemann C. Demostración. SiC \ es conexo, es simplemente conexo. En efecto: tomemos un ciclo cualquiera contenido en. Elconjunto C \ sop tendrá una colección finita o numerable de componentes conexas, todas ellas acotadas excepto una que denotaremos por B. Entonces, las componentes conexas de C \ sop serán las componentes acotadas de C \ sop más B { }. Dado que C \ es conexo y está contenido en C \ sop, necesariamente C \ B { }, oloque es lo mismo C \ B. Puesto que el índice respecto de es 0enB, componente no acotada de C \ sop,enparticular para cualquier a C \ B se tiene Ind (a) = 0. Para demostrar el recíproco, probaremos que si C \ no es conexo, no puede ser simplemente conexo. Supongamos, pues, que C \ no sea conexo, con lo que existirán conjuntos A y B no vacíos disjuntos cerrados en C tales que C \ = A B. Sea B: entonces A C es acotado (en caso contrario, A = A), luego compacto, contenido en C \ B que es un abierto de C. Según el lema anterior en estas condiciones existe un ciclo contenido en (C \ B) \ A = tal que Ind (a) = 1 para todo a A. Pero A C \, con lo que no es homólogo a 0 respecto de y no es simplemente conexo. Este resultado se traduce en lenguaje coloquial en que los conjuntos simplemente conexos de C son los que no tienen agujeros, mirando como agujeros de las componentes acotadas de C \.

8 Teoría global de Cauchy 111 Ejemplos. (1) Son conjuntos simplemente conexos todos los abiertos estrellados (en particular, C, C \ (, 0], los discos, todos los abiertos convexos,...) (2) Puede dar el lector un ejemplo de abierto simplemente conexo no estrellado? (Hay muchos ejemplos sencillos) (3) Aunque son abiertos conexos, no son simplemente conexos los anillos D(a; r, R) ={z C : r < z a < R}, a C,0 r < R +.Enparticular, C \{0} no es simplemente conexo. (4) En relación con lo anterior, qué puede decirse del abierto si 0 < r < R < +? D(0; r, R) \ [r, R] Comentario final: homotopía. No podemos tratar la conexión simple sin nombrar al menos su caracterización más importante quizá desde el punto de vista estrictamente topológico, que se expresa en términos de homotopía. El concepto de homotopía se define mediante conceptos puramente topológicos, lo que permite hablar de conjuntos simplemente conexos en espacios topológicos arbitrarios. Dado un espacio topológico X, una curva en X es, como sabemos, una aplicación continua de un intervalo compacto de R en X. Supongamos que tenemos dos curvas γ 0 y γ 1, parameterizadas en el intervalo I = [0, 1], cerradas (γ 0 (0) = γ 0 (1), γ 1 (0) = γ 1 (1)). Se dice que γ 0 y γ 1 son homótopas si existe una aplicación continua H : I I X tal que para s, t I cualesquiera se verifica H(s, 0) = γ 0 (s), H(s, 1) = γ 1 (s), H(0, t) = H(1, t). Intuitivamente, que γ 0 y γ 1 sean homótopas corresponde a que podamos deformar γ 0 con continuidad dentro de X para transformarla en γ 1, siendo γ t = H(, t) las curvas intermedias en la deformación. Si toda curva cerrada γ es homótopa en X a una curva constante, se dice que X es simplemente conexo. En esta definición, entonces, los conjuntos simplemente conexos son aquellos en los que toda curva cerrada se puede deformar con continuidad dentro del conjunto hasta reducirla a un punto. No es evidente que para subconjuntos del plano esto sea exactamente lo mismo que todo camino cerrado no dé ninguna vuelta alrededor de los puntos que no pertenecen al conjunto (caracterización homológica), o que el conjunto no tenga agujeros. Un estudio de la relación entre homotopía y homología en C, entre homotopía e integración, y la prueba de la equivalencia entre la definición homotópica de la conexión simple y las anteriores puede verse en Rudin, loc. cit., Sección 10.38, pp , y en Conway, loc. cit., Cap. IV, Sec. 6, pp