Variable compleja para calcular integrales racionales trigonomtricas

Transcripción

1 Variable compleja para calcular integrales racionales trigonomtricas Juan Carlos Ponce Campuzano Universidad de Colima 4 de mayo de 3. Problemática Los sistemas de cómputo algebraico CAS, por sus siglas en inglés: Computer Algebraic System) son un tipo de software que nos permiten manipular expresiones algebraicas, graficar funciones y manipular números. Para el cálculo de primitivas, se vuelve una herramienta de gran valor, debido a que están elaborados con algoritmos eficientes, los cuales son consecuencias de resultados matemáticos. Uno de los principales problemas con esta herramienta, radica en la interpretación de los resultados, en particular cuando parece haber algo erróneo Elbaz-Vincent, 5).

2 Iniciamos mencionando la existencia de una problemática en términos generales con relación al cálculo de integrales, primitivas, integrales indefinidas y del Teorema Fundamental de Cálculo. Por ejemplo si un estudiante o profesor pretende calcular π cos x dx con los métodos tradicionales, seguramente procederá a encontrar una primitiva de fx) cos x, con el método de cambio de variable u tan x. Si hace esto seguramente), obtendrá la función: F x) arctan tan x ). Con la cual se encuentra el valor de cero para la integral. Analicemos esto con más detalle, pero ahora con la ayuda de la herramienta tecnológica. Si deseamos calcular el valor de π cos x dx, con ayuda de algún CAS en este caso usamos Derive 6), nos arroja el resultado de π 4. Si pedimos a Derive la fórmula general, con la cual se supone determina este valor, nos muestra cos x dx x 4 arctan sen x ) cos x+3. De esta manera, usando el Teorema Fundamental, con esta función podemos corroborar que efectivamente π cos x dx x 4 arctan sen x cos x+3 )) π π 4.

3 Sin embargo, en los libros de Cálculo la manera expuesta para resolver la integral, es por medio del cambio de variable u tan x. Si usamos este método tradicional encontramos cos x dx arctan tan x ). Al usar este resultado obtenemos π cos x dx arctan tan x ) π. Aquí se pueden observar dos problemas. En primer lugar, nos encontramos con una contradicción al encontrar dos valores distintos para una integral definida; de hecho, debido a que la función fx) esta definida y es positiva en todos los reales como se puede apreciar en la Figura ), el valor de la integral definida debe ser positivo. En segundo lugar, entra en conflicto el hecho de que dos primitivas de una función difieren en una constante; es decir, si H x) y G x) son funciones diferenciables tales que, para toda H x) G x) gx) en un intervalo a, b) para una función g x), entonces H x) y G x) difieren en una constante en a, b). En este caso, los dos resultados anteriores tienen dominios distintos, si se quiere hacer la diferencia entre ellas, tendría que considerarse un dominio común. Este dominio común consiste de intervalos abiertos ajenos separados por los puntos de la forma x n + ) π, donde n es un número entero. En cada uno de estos intervalos hay una constante para la diferencia. Recordemos que una función P x), derivable en un intervalo, se llama función primitiva de gx), si satisface P x) g x), para todos los puntos del intervalo. En estos términos 3

4 la función F x) arctan tan x ), ) ver Figura en la siguiente página) es primitiva de fx), sólo en los intervalos 5+3 cos x de la forma k + ) π, k + 3) π), para k entero. No obstante, debido a que fx) es una función definida en todos los reales, lo natural es encontrar una primitiva definida también en todos los reales, como es el caso de Gx) x 4 arctan ) sen x cos x+3. ) ver Figura 3). En este caso, la función ) cumple que F x) f x) excepto en una cantidad numerable de puntos, así que en el sentido estricto no es una primitiva de f x). Sabemos de los resultados del Cálculo que la integral indefinida F x) x a ft)dt, con a un número real, es continua para cualquier función integrable fx). Si fx) es una función continua, entonces F x) es una primitiva de fx) en virtud del Teorema Fundamental del Cálculo. Sea fx) una función continua y Gx) una primitiva cualquiera de fx). Como F x) x a ft)dt 4

5 es también una primitiva de fx), entonces Gx) F x) C, es decir Gx) x a ft)dt + C. De esta manera, cualquier primitiva de una función continua se puede expresar en términos de la integral indefinida más una constante y como consecuencia debe ser continua. Cuando calculamos una integral definida de una función, en la mayoría de los casos esta función es continua en el intervalo de integración, por lo que esperamos que la primitiva de la función integrada sea también continua. Pero no siempre sucede esto. El cálculo de la primitiva es un proceso algebraico y la noción de integral indefinida se puede confundir con la noción de primitiva, cuando no se específica nada acerca de la función a integrar. La respuesta sencilla obtenida con el método convencional, simplemente no produce una primitiva porque este método reduce el dominio de la variable. Por otra parte tanto a nivel de textos, como de artículos de investigación sobre la enseñanza y aprendizaje del Cálculo muestran una serie de confusiones en los términos, primitiva, integral definida; no se trata sólo de semántica sino de un uso adecuado de la terminología que en algunos casos puede conducir a situaciones conflictivas como la anterior. El fenómeno expuesto antes, puede presentarse en otras integrales como: sen x dx, cos x + 4 sen x dx, + 3 sen x cos x dx. 5

6 En general, para integrales de la forma Rsen x, cos x)dx, donde R es una función racional de sen x y cos x, con las siguientes particularidades:. Que no sea impar en sen x, ni tampoco en cos x.. Y que el denominador nunca se anule. Para estos casos, algunos sistemas de cómputo algebraico como Dervie 6) nos dan primitivas definidas en todos los reales, pero al aplicar algún método de integración tradicional, expuesto en los libros de Cálculo, obtenemos una función que es primitiva sólo en intervalos.. Otra manera para resolver a+b cos x dx: Supóngase a > b. Por conveniencia, se buscará primero la siguiente integral a b a + b cos x dx. El integrando se puede ver de la siguiente forma a b a + b cos x a + b cos x) + a b a + b cos x a + b cos x b cos x + a a b ). a + b cos x Así a b a + b cos x dx b cos x + a a b ) ) dx a + b cos x b cos x + a a b ) dx dx. a + b cos x 6

7 El problema ahora es calcular la integral b cos x + a a b ) dx. a + b cos x Haciendo el cambio de variable acostumbrado u tan x u, sabemos que cos x y +u como x arctan u, dx +u du. Entonces b cos x + a a b ) dx a + b cos x b u +u ) a + b + a a b ) ) u +u + u du a a b + b ) + a a b + b ) u a + b) + a b) u ) + u du. ) Para facilitar los cálculos se hará el siguiente renombre de variables m a a b + b n a a b b p a + b q a b que al sustituir tenemos a a b + b ) + a a b + b ) u du a + b) + a b) u ) + u ) m + nu p + qu ) + u ) du. Descomponiendo en fracciones parciales el integrando obtenemos m + nu m n n + p + qu ) + u ) p m n q p + qu q p) + u. 7

8 Así que m + nu n + m n p + qu ) + u ) du p m n q p + qu q p) + u n + m n p q p + qu du mq np arctan p q q p) ) du m n q p) + u du ) q u p m n q p arctan u regresando todo en términos de a y b tenemos ) mq np q arctan u m n ) a b arctan u a b) arctan u + arctan u p q q p) p q p a b) a + b) a + b) como a valor de u De esta manera > b, entonces se reduce a arctan u arctan a b a u b arctan tan x ) a b arctan a b tan x ) ), sustituyendo el a b b cos x + a ) a b a + b cos x dx dx dx a + b cos x x arctan tan x ) a b + arctan a b tan x ) x arctan tan x ) a b arctan a b tan x )) Y por tanto, dado que a > b, tenemos a + b cos x dx [x arctan tan x ) a b arctan a b a b tan x ))]. 3) Está primitiva es aparentemente continua, pero esto falso, porque evidentemente, esta función no está definida en x k + )π para cada k entero. Sin embargo, el límite de 3), cuando x tiende a k + )π, existe para cada k entero. Esto se puede justificar de 8

9 la siguiente manera. Al usar las identidades arctan x arctan y arctan sen x + cos x, tan x sen x cos x + ) x y, + xy y haciendo algunos cálculos, se puede obtener arctan tan x ) a b arctan a b tan x ) ) b sen x arctan b cos x + a b + a + b ) 4) Sean F x) Gx) [x arctan tan x ) a b arctan a b a b tan x ))] )] b sen x [x arctan a b b cos x + a b + a + b ) Usando la identidad 4) tenemos lím F x) lím Gx) x k+)π x k+)π Gk + )π)) k + )π a b El límite del lado derecho existe porque la función Gx) está definida en todo R. Con lo anterior, se puede concluir que )] a + b cos x dx b sen x [x arctan a b b cos x + a b + a + b ). Aquí se debe hacer la aclaración de que la anterior solución, la cual es continua, se obtuvo al encontrar una identidad trigonométrica adecuada. Y también se debe observar, que la identidad 4) no se cumple para x k + )π con k entero. 9

10 Nota : Con la fórmula anterior se encuentra cos x dx x 4 ) sen x arctan. cos x + 3 Otros resultados generales que se pueden obtener como el anterior, son los siguientes a + b sin x dx a tan x [ arctan + b a b a b [x + arctan ) + arctan a b b cos x tan x ) b sin x + a b + a + b ) ] x )] Si b > a )] a + b cos x dx a [x arctan tan x) + arctan tan x a a + b a + b a a + b [x arctan b sin x b cos x + a + b + a ) )] a + b sen x dx a + b [x arctan tan x) + arctan a a + b a a a + b [x arctan b sen x b cos x a + b + a ) )] tan x )]. El anterior procedimiento se hizo para obtener una solución definida en todo R y para encontrar los resultados que da Derive al usar el método tradicional de integración. Sin embargo, si empezáramos usando la siguiente igualdad a + b cos x a + b cos x a + b cos x) + a + b cos x a ) + b cos x a + b cos x

11 y siguiendo un procedimiento como el que se siguió anteriormente; es decir, haciendo el cambio de variable u tan x y usando fracciones parciales, con la condición a > b, obtendríamos tan a + b cos x dx x arctan x ) + a b x ) ) a b arctan a b tan. Otros resultados generales obtenidos como este último, son los siguientes: a + b sin x dx a tan x a b arctan + b ) + arctan tan x ) x. a b Si a b > a + b cos x dx x arctan tan x) + arctan a a + b ) a tan x a + b y ) a + b sin x dx x arctan tan x) + a + b arctan tan x. a a + b a Como se puede apreciar, las anteriores fórmulas generales no están definidas en todo R. 3. Usando variable compleja La variable compleja es una herramienta muy útil que funge como una extensión del Cálculo. Muchos problemas que pueden ser complicados de resolver en Cálculo resultan muy sencillos si aplicamos la teoría de variable compleja. Los resultados que se muestran en la sección anterior para las primitivas continuas concuerdan si usamos variable Se intiva al lector a cerciorarse por sí mismo de los resultados generales presentados en esta sección; ya sea, haciendo los cálculos manualmente o usando alguna herramienta tecnológica.

12 compleja para encontrar la integral definida entre y π de la función fx) a+b cos x, con a > b. Pero para ello, primero mencionemos algunas definiciones y resultados. Definición : Sea f continua en A C y : [a, b] C una curva suave por tramos tal que [a, b]) C. La expresión se llama integral de contorno. n f fz)dz ai i a i f t)) t) dt Proposición : Si fz) ux, y) + ivx, y), entonces f [ux, y)dx vx, y)dy] + i [ux, y)dy vx, y)dx]. Demostración: f t)) t) [uxt), yt)) + ivxt), yt))] [x t) + iy t)] [uxt), yt))x t) vxt), yt))y t)] +i [vxt), yt))x t) + uxt), yt))y t)] Cuando integramos en ambos lados sobre el intervalo [a i, a i+ ] con respecto a t y si usamos la definición obtenemos lo que necesitamos. Un hecho básico en el Cálculo de funciones de variable real, es el Teorema Fundamental. Básicamente dice que la integral de la derivada de una función es la diferencia entre los valores de la función en los extremos del intervalo de integración y la integral indefinida de una función es una antiderivada de la función. En la variable compleja existe una analogía en la integración de trayectorias complejas.

13 Teorema : Teorema Fundamental para Integrales de Contorno. Sea F una función definida y analítica en un conjunto abierto G que contiene a. Donde : [, ] C es una curva suave por tramos. Entonces F z)dz F )) F )). En particular, si ) ) entonces F z)dz. Demostración: Sean g, u y v funciones definidas como F t)) gt) ut) + ivt). Entonces por lo que F t)) t) g t) u t) + iv t) F z)dz F t)) t)dt u t)dt + i v t)dt g t)dt [u) u)] + i [v) v)] [u) + iv)] [u) + iv)] g) g) F )) F )). Mencionemos ahora un resultado el cual es una versión un tanto informal del teorema de Cauchy. 3

14 Teorema : Teorema de Cauchy. Sea f analítica en una región G. Sea una curva cerrada en G. La cual es homotópica a un punto en G. Entonces f. Demostración: Usaremos el teorema de Green como herramienta para demostrar este teorema. El teorema de Green establece que dadas las funciones suaves Px, y) y Qx, y), [ ] Q P Px, y)dx + Qx, y)dy x, y) x, y) dxdy. x y Donde A es en interior de. A Ahora, sea f u + iv. De esta manera tenemos f fz)dz u + iv) dx + idy) udx vdy) + i udy + vdx). Aplicando el teorema de Green a cada integral, obtenemos [ f v x u ] dxdy + i y A A [ u x v y ] dxdy. Ambos términos son cero debido a las ecuaciones de Cauchy-Riemman. Otros términos que usaremos son los siguientes: Definición : Sean una curva cerrada en C y z C un punto que no está en. Entonces, el índice de con respecto de z número de giros de con respecto a z ) está definido como I, z ) πi 4 dz z z.

15 Definición 3 : Fórmula Integral de Cauchy. Sea f analítica en una región A, sea una curva cerrada en A que es homotópica a un punto, y sea z A tal que z no está en. Entonces, fz ) I, z ) πi fz) z z dz. La fórmula anterior se aplica a menudo cuando es una curva cerrada simple y z está dentro de. Entonces I, z ), por lo que la fórmula se convierte en fz ) πi fz) z z dz, la cual significa que el valor de f está determinado por sus valores frontera. Veamos otro resultado cuya demostración se omite debido a lo largo de ella. Teorema 3 : Teorema de Expansión de Laurent. Sea r, r > r y z C y considere la región A {z C r < z z < r }. Se admite que r i o r o ambos). Sea f analítica en la región A. Entonces, podemos escribir fz) a n z z ) n + n n b n z z ) n donde ambas series en el lado derecho de la ecuación, convergen absolutamente en A y uniformemente en cualquier conjunto de la forma B ρ,ρ {z ρ < z z < ρ } donde r < ρ < ρ < r. Si es un círculo alrededor de z con radio r, con r < r < r, entonces los coeficientes están dados por a n πi b n πi fζ) dζ n,,,... ζ z ) n+ fζ)ζ z ) n dζ n,,... 5

16 Cabe mencionar que cuando r, f es analítica en {z C < z z < r }, que es la r -vecindad agujerada de z y decimos que z es una singularidad aislada de f y así se puede expandir la serie de Laurent como sigue fz)... + válido para < z z < r. b n z z ) n b z z + a + a z z ) + a z z ) +... Algunos términos derivados del teorema anterior, los cuales estaremos usando, son: Singularidad aislada: Es un punto z en el cual una función f es analítica en una región A que contiene alguna vecindad ɛ-vecindad agujerada de z. Polo: Es un punto z, el cual es una singularidad aislada de f donde todos los b n, excepto un número finito, son cero. Si k es el mayor entero tal que b k, z es un polo de orden k. Si z es un polo de primer orden, también decimos que es un polo simple. Residuo: A b se le llama residuo de f en z. Singularidad esencial: Si un número infinito de b k es distinto de cero, z es llamada una singularidad esencial. Singularidad removible: Si todos los b k son cero, decimos que z es una singularidad removible. Todo este camino nos lleva hasta el último teorema que nos ayudará a calcular la integral π a + b cos x dx. 6

17 Teorema 4 Teorema del Residuo: Sea A una región y sean z,..., z n A puntos distintos de A. Sea f analítica en A\ {z,..., z n }. Sea una curva cerrada en A, homotópica a un punto a un punto en A. Ningún z i no está en. Entonces n f πi [Resf, z i )] I, z ). i Una demostración precisa se puede ver en []. Con los anteriores resultados se pueden resolver fácilmente integrales de la forma π Rsen x, cos x)dx 5) donde el integrando es una función racional de sen x y cos x, al evaluarse por medio de residuos. Por supuesto estas integrales se pueden calcular también con integración explícita, pero está técnica es muy laboriosa. Lo natural es hacer la sustitución z e ix, lo cual transforma a 5) en la integral [ i R z ), z + )] dz i z z z. z Basta ahora determinar los residuos que corresponden a los polos del integrando adentro del círculo unitario. Primero calculemos la integral π dx, a >. a + cos x Esta integral no se extiende sobre, π), pero como cos x toma los mismos valores en los intervalos, π) y π, π), es claro que la integral de a π es la mitad de la integral 7

18 de a π. Tomando esto en consideración, podemos hacer los siguientes cálculos. π a + cos x dx π a + cos x dx [ i z a + [ i z i z z + z z z + az + z + az + dz. ] ) dz z ] dz z El denominador se puede factorizar como z α)z β) con α a + a, β a a donde evidentemente α < y β >. Así que i dz i z + az + z y como el residuo en α es α β, tenemos π dx i a + cos x z z α)z β) dz i [πi Res f, α) + Res f, β))] [ πi π α β π a π a. α β )] Calculemos ahora la integral π a + b cos x dx, a > b. 8

19 Entonces π a + b cos x dx π a + b cos x dx [ i z a + b [ i z i i b z z z + z z bz + az + b bz + az + b dz z + a b z + dz ] ) dz z ] dz z El denominador se puede factorizar como z + α)z β) con α a b + a, β b a b a b donde evidentemente α > y β <. Así que i b z z + a b i z + dz b i b y como el residuo en β es α+β, tenemos π i dx a + b cos x b z z + α)z β) dz [πi Res f, α) + Res f, β))] [ πi α + β π b α + β) π b b a b π a b )] 9

20 Lo cual concuerda si usamos fórmula )] a + b cos x dx b sen x [x arctan a b b cos x + a b + a + b ) para calcular la integral de a π. Es decir, )] π a + b cos x dx b sen x [x arctan a b b cos x + a b + a + b ) π a b. π La generalización de lo anterior queda de la siguiente manera: Proposición : Sea Rx, y) una función racional de x, y; cuyo denominador no se anula en el círculo unitario. Entonces donde π Rsen θ, cos θ)dθ πi [residuos de fz) dentro del círculo unitario] fz) R i ) z z, iz )) z + z. Demostración: Si z x + iy está en el círculo unitario, entonces x z ) i z y z + ). z Debido a que R no tiene polos en el círculo unitario, tampoco los tiene f, y si es el círculo unitario, tenemos, por el teorema del residuo, f πσ residuos de f dentro de ).

21 Por lo que π Rsen θ, cos θ)dθ π π f. ) e iθ e iθ R, eiθ + e iθ ie iθ dθ i ieiθ f e iθ) ie iθ dθ Referencias [] M. A. Armstrong., Topología Básica., Editorial Reverté, S. A., España., 987). [] N. Bourbaki., Elementos de la historia de las matemáticas., Alianza Universal, 976). [3] C. B. Boyer., A history of mathematics., Utah C. Merzbach, Second Edition. [4] 9. G.Buskes & A. Van Rooij., Topological Spaces: From Distance to Neighborhood. Springer-Verlag New York.997). [5] A. García-Máynez & A. Tamariz., Topología General., Editorial Porrúa, S. A., México. 988) [6] A. Illanes., Notas de Hiperespacios., 99 no publicadas). [7] A. Illanes, A characterization of dendroids by the n connectedness of the Whitney levels., Fundamenta Mathematicae, 4 99), [8] A. Illanes & S. B. Nadler Jr., HYPERSPACES Fundaments and Recents Advances., Monographs and Textbooks in Pure and Applied Math., Marcel Dekker, New York and Basel. 999).

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