Cálculo diferencial e integral 4

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1 Cálulo diferenial e integral 4 Guía 3 Los ejeriios marados on una E deberán entregarse por equipos el día 15 de abril al iniio de lase! 1. Sean : [a, b] R n una urva de lase C 1 y on (t) 0 para todo t [a, b] y µ, λ R valores reales. a) Si f, g : ([a, b]) R son ontinuas por pedazos, demuestra que (µf + λg)ds = µ fds + λ gds b) Si F, G : ([a, b]) R n son ontinuas por pedazos, demuestra que (µf + λg) ds = µ F ds + λ G ds. 2. Sea f(x, y, z) = y y (t) = (0, 0, t), t [0, 1]. Demostrar que fds = Evaluar fds donde a) f(x, y, z) = x + y + z y (t) = (sen t, os t, t), t [0, 2π]. b) f(x, y, z) = os z y (t) = (sen t, os t, t), t [0, 2π]. ) f(x, y, z) = exp( z) y (t) = (1, 2, t 2 ), t [0, 1]. d) f(x, y, z) = x os z y (t) = (t, t 2, 0), t [0, 1]. e) f(x, y, z) = z y (t) = (t os t, t sen t, t) para 0 t t Demostrar que la integral de f(x, y) a lo largo de una trayetoria dada en oordenadas polares por r = r(θ), θ [θ 1, θ 2 ] es: θ2 θ 1 f(r os θ, r sen θ) r 2 + ( ) 2 dr dθ. dθ Calular la longitud de la trayetoria r = 1 + os θ, 0 θ 2π. 5. E. Sea : [a, b] R 3 una trayetoria desrita en oordenadas ilíndrias por (t) = (r(t), θ(t), z(t)). Demuestra que la longitud de está dada por (dr l() = b a ) 2 ( ) 2 dθ + r 2 + ( ) 2 dz. 1

2 6. E. Consideremos la urva parametrizada por (t) = (0, a sen t, a os t). Supongamos que diha urva está heha de alambre on una densidad uniforme de 2 gramos por unidad de longitud. a) Cuál es la masa del alambre? b) Cómo enontrarías el entro de masa del alambre? Justifia tu respuesta. 7. Si f : [a, b] R es de lase C 1, definimos la longitud de la gráfia de f omo la longitud de la trayetoria t (t, f(t)), t [a, b]. a) Demostrar que la longitud de la gráfia de f en [a, b] es b a 1 + (f (x)) 2 dx. b) Hallar la longitud de la gráfia de y = log x, si x [1, 2]. 8. Hallar la masa de un alambre formado por la interseión de la superfiie esféria x 2 + y 2 + z 2 = 1 y el plano x + y + z = 0 si la densidad en (x, y, z) está dada por ρ(x, y, z) = x 2 gramos por unidad de longitud del alambre. 9. Sea F (x, y, z) = xi + yj + zk. Evaluar la integral de F ds a lo largo de ada una de las siguientes trayetorias: a) (t) = (t, t, t), t [0, 1], b) (t) = (os t, sen t, 0), t [0, 2π], ) (t) = (t 2, 3t, 2t 3 ), t [ 1, 2]. 10. Evaluar ada una de las siguientes integrales de línea a) xdy ydx, (t) = (os t, sen t) on t [0, 2π]. b) xdx + ydy, (t) = (os πt, sen πt) on t [0, 2]. ) yzdx + xzdy + xydz, donde está formada por los segmentos reilíneos que unen (1, 0, 0) on (0, 1, 0) y éste on (0, 0, 1). d) x2 dx xydy + dz, donde es la parábola z = x 2, y = 0 de ( 1, 0, 1) a (1, 0, 1). 11. E. Para ada (x, y) R 2, sea F (x, y) el vetor unitario que apunta haia el origen desde (x, y). Calula el trabajo realizado al mover una partíula sobre el ambo veotorial F desde el punto (2a, 0) al (0, 0) a lo largo de la mitad superior del írulo (x a) 2 + y 2 = a Sea una trayetoria suave. a) Supongamos que F es perpendiular a (t) en el punto (t). Demostrar que F ds = 0 2

3 b) Si F es paralelo a (t) en (t), demostrar que F ds = F ds. 13. Supongamos que la trayetoria tiene longitud l y que F M. Demostrar que F ds Ml. 14. Evaluar F ds, donde F (x, y, z) = yi + 2xj + yk y la trayetoria : [0, 1] R3 está definida por (t) = ti + t 2 j + t 3 k. 15. Supongamos que 1 y 2 son dos trayetorias on los mismos extremos y que F es un ampo vetorial. Demostrar que 1 F ds = 2 F ds es equivalente a F ds = 0 donde es la urva errada que se obtiene al moverse primero a lo largo de 1 y después a lo largo de 2 en el sentido opuesto. 16. Sea (t) una trayetoria y T el vetor tangente unitario Qué es T ds? 17. E. Sea : [a, b] R 2 una parametrizaión de lase C 1 de una urva en R 2, (t) = ( 1 (t), 2 (t)). Supongamos que (t) 0 para todo t [a, b]. Sea F = (F 1, F 2 ) un ampo vetorial. Definamos la forma diferenial ω = F 2 dx + F 1 dy. Demuestra que F Nds = ω, donde N((t)) es el vetor normal unitario dado por N((t)) = ( 2(t), 1(t)). (t) 18. E. Sea F = (z 3 + 2xy)i + x 2 j + 3xz 2 k. Calular la integral de línea F a lo largo del perímetro del uadrado on vérties (±1, ±1), en sentido levógiro. 19. a) Considera la trayetoria (t) = (os 3 t, sen 3 t), t [0, 2π]. Dibujar la traza de la urva y evaluar la integral del ampo vetorial F (x, y) = xi + yj a lo largo de esta urva. b) Usando la trayetoria anterior observar que una apliaión : [a, b] R 3 de lase C 1 puede tener una imagen que no paree suave. 20. Evaluar la integral de línea 2xyzdx + x 2 zdy + x 2 ydz, donde es una uerva simple orientada que oneta (1, 1, 1) on (1, 2, 4). 3

4 21. E. Supongamos que f(x, y, z) = 2xyze x2 i + ze x2 j + ye x2 k. Si f(0, 0, 0) = 5 hallar f(1, 2, 4). 22. Sea dθ = ( ydx + xdy)/(x 2 + y 2 ). Pensando en oordenadas polares, explia porqué paree obvio que dθ = 2π, donde (t) = (a os t, b sin t), t [0, 2π]. Aeptando este eho, deduir que 2π a 2 os 2 t + b 2 sin 2 t = 2π ab. 23. E. Sea (t) = (os t, sen t), t [0, 2π] y 0 ω = (x y)dx + (x + y)dy x 2 + y 2. Calula ω. Explia uidadosamente porqué no existe ninguna funión f tal que df = ω. 24. Enontrar la euaión del plano tangente a la superfiie dada en el punto espeifiado: a) x = 2u, y = u 2 + v, z = v 2, en (0, 1, 1). b) x = u 2 v 2, y = u + v, z = u 2 + 4v, en ( 1/4, 1/2, 2). ) x = u 2, y = u sen e v, z = 1/3u os e v, en (13, 2, 1). d) x = u 2, y = v 2, z = u 2 + v 2, en u = 1 y v = E. Hallar una expresión para el vetor tangente unitario normal a ada una de las siguientes superfiies. Indentifiar la superfiie. a) x = 3 os θ sen φ, y = 2 sen θ sen φ, z = os φ, para θ [0, 2π] y φ [0, π]. b) x = (2 os v) os u, y = (2 os v) sen u, z = sen v, para u [ π, π] y φ [ π, π]. Es regular esta superfiie? 26. Obtener una fórmula para los planos tangentes a las superfiies x = h(y, z) y y = k(x, z). 27. Hallar una parametrizaión de la superfiie z = 3x 2 + 8xy y usarla para hallar el plano tangente en (1, 0, 3). 28. Hallar una parametrizaión de la superfiie x 3 + 3xy + z 2 = 2, z > 0, y usarla para hallar la euaión del plano tangente en el punto (1, 1/3, 0). 4

5 29. E. Hallar una parametrizaión para el hiperboloide x 2 + y 2 z 2 = 25 y usarla para enontrar el vetor normal unitario y la euaión del plano tangente en los puntos (x 0, y 0, 0) on x y 2 0 = Hallar el área de la superfiie de la esfera unitaria S representada paramétriamente por Φ : D S R 3, donde D = [0, 2π] [0, φ] y Φ(θ, φ) = (os θ sen φ, sen θ sen φ, os φ). 31. Hallar el área de la superfiie del helioide representada paramétriamente por Φ : D R 3, donde D = [0, 1] [0, 3π] y Φ(r, θ) = (r os θ, r sen θ, θ). 32. E. El toro T se puede representar paramétriamente por la funión Φ : D R 3, donde D = [0, 2π] [0, 2π], Φ(θ, φ) = ((R + os φ) os θ, (R + os φ) sen θ, sen φ) y R > 1. Haz un dibujo de T y enuentra el área de la superfie. 33. Enontrar el área de la porión de la esfera unitaria ontenida en el ono z x2 + y Hallar una parametrizaión de la superfiie x 2 y 2 = 1, donde x > 0, 1 y 1 y 0 z 1. Enontrar el vetor normal a la supefiie. 35. Enontrar una parametrizaión del elipsoide x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 2 = 1. Hallar el vetor normal a la superfiie en ada uno de sus puntos. 36. a) Rotamos la urva y = f(x), a x b al rededor del eje y. Demostrar que el área de la superfiie barrida viene dada por A = 2π b a x 1 + (f (x)) 2 dx. b) Hallar el área de la superfie obtenida al rotar la urva y = x 2, 0 x 1, alrededor del eje y. 37. El ilindro x 2 + y 2 = x, divide la esfera unitaria S en dos regiones S 1 y S 2, donde S 1 está dentro del ilindro y S 2 fuera. Hallar el oiente de las áreas A(S 2 )/A(S 1 ). 5

6 38. E. Calluar S xyds, donde S es la superfiie del tetraedro de aras z = 0, y = 0, x + y = 1 y x = y. 39. Evaluar S xyzds, donde S es el triángulo on vérties (1, 0, 0), (0, 2, 0) y (0, 1, 1). 40. Evaluar S (x + y + z)ds, donde S es la esfera unitaria. 41. Evaluar S x2 ds donde S es la frontera del ubo C = [ 1, 1] [ 1, 1] [ 1, 1]. 42. Una superfiie metália S tiene la forma del hemisferio z = R 2 x 2 y 2, donde (x, y) satisfae 0 x 2 + y 2 R 2. La densidad de masa en (x, y, z) está dada por m(x, y, z) = x 2 + y 2. Hallar la masa total de S. 43. Comprobar que en oodenadas esférias, sobre una esfera de radio R, T φ T θ dφdθ = R 2 sen φdφdθ. 44. Calular la integral S F ds donde S es toda la superfiie de la semiesfera x 2 + y 2 + z 2 1, z 0 orientada por la normal que apunta haia el exterior, y F = (x + 3y 5 )i + (y + 10xz)j + (z xy)k. 45. Evaluar la integral de superfiie S F nds, donde F (x, y, z) = i+j+z(x2 +y 2 ) 2 k y S es la superfiie del ilindro x 2 + y z E. Demostrar el siguiente teorema del valor medio para integrales de superfiie: Si F es un ampo vetorial ontinuo, entones F nds = [F (Q) n(q)]a(s), para algún Q S, donde A(S) es el área de S. S 47. Sea S una superfiie en R 3, que es en realidad un subonjunto D del plano xy. Demostrar que la integral de una funión esalar f(x, y, z) sobre S se redue a la integral de f(x, y, z) sobre D En qué se onvierte la integral de un ampo vetorial sobre S? 48. Para a, b, > 0, sea S la mitad superior del elipsoide } S = {(x, y, z) x2 a + y2 2 b + z2 2 = 1, z 0, 2 orientada on la normal haia arriba. Calular S F ds, donde F (x, y, z) = (x 3, 0, 0). 6