GUÍA DE EJERCICIOS - INTEGRALES MÚLTIPLES

Transcripción

1 GUÍA DE EJERIIOS - INTEGRALES MÚLTIPLES 1. Escriba la expresión que permite calcular por integrales dobles: a. El área de una región plana R. b. El volumen de un sólido V, de altura z = f(x,y). c. La masa total de una lámina R, con densidad σ(x, y). 2. En los siguientes apartados, grafique la región de integración R y plantee mediante integración iterada, de dos formas distintas, dxdy y dydx R R y x a. R. { y x y senx y x + 2 c. R. { y 0 onsidere la función x 1 0 x π b. R. { x 3 arcsen(y) = i ln (i y ± 1 y 2 ) y 0 3. alcule el área de las siguientes regiones. a. b. y = sen(x) y = 1 x 2 y = cos(x) y = x c. d. x = y 2 1 y = x 2 y = x 3 x = 1 x = 2 e. x y = 16 y = x y = 1 y = x 6 Año

2 4. Grafique las siguientes regiones y calcule el área de las mismas. a. { y sen x y 0 0 x π b. { y ln x y = 0 1 x 2 y x 2 + 2x c. { y = 3 y 3x + 6 y 2x2 d. { y x a. Indique analítica y gráficamente los cambios de coordenadas que puede realizar en el cálculo de áreas de regiones en R 2 por integrales dobles. b. Proporcione un ejemplo de región plana en el que utilice los cambios de coordenadas mencionados en el apartado a. dxdy 6. alcule, donde R es el recinto dado por x 2 + y 2 2x 0. R (4 x 2 y 2 ) alcule el área de las regiones dadas a continuación a. d. 4 x 2 + y 2 16 b. c. e. { 9x2 + 25y x 0 x 2 + y 2 = 9x 8. a Encuentre la masa y el centro de masa de una lámina triangular con vértices (0,0), (1,0) y (0,2) si la función densidad está dada por: σ(x, y) = 1 + 3x + y b. Utilizando los datos del apartado anterior, calcule el centro de masa considerando: σ(x, y) = 1 ompare las coordenadas obtenidas en ambos apartados. 9. Escriba la expresión que permite calcular por integrales triples la masa de un sólido con densidad σ(x, y, z). 10. Encontre el volumen de la región acotada por los tres planos coordenados y el plano x + 2y + 3z = 6. Año

3 11. alcule x + y dxdy, si R es la región acotada por las respectivas rectas R y x, y x y x Determine el volumen o la masa de los siguientes sólidos a. b. La masa del sólido de densidad σ(x, y) = x + Planos coordenados y + z = 2 y 2 limitado por: 0 x a { 0 y b 0 z c x = 4 c. d. 2x + y + z = 4 Planos coordenados 13. a. Indique analítica y gráficamente los cambios de coordenadas que puede realizar en el cálculo de volúmenes de regiones en R 3 por integrales triples. b. Deduzca la expresión del Jacobiano e indique su significado geométrico. 14. alcule el volumen encerrado por la superficie z 2 = x 2 + y 2 y el plano z = alcule el volumen de los sólidos definidos a continuación a. b. c. { x2 + y 2 = z 0 z 4 z = 9 (x 2 + y 2 ) { x2 + y 2 = 2y 0 z 5 Año

4 d. e. f. 4 x 2 + y 2 + z 2 16 { z = 10 x2 y 2 z = 1 z 2 = x 2 + y 2 { x 2 + y 2 = 25 z = 0 g. h. 4x y z 2 = 36 x 2 + y 2 + z 2 = 2 z = 1 x 2 + y 2 = z Plantee las integrales triples para hallar masa y centro de gravedad de un sólido acotado por las ecuaciones: x = 0, x = b, y = 0, y = b, z = 0 y z = b a. onsiderar σ(x, y, z) = k xy, siendo k una constante cualquiera. b. Qué pasa si σ(x, y, z) = k? qué puede concluir del centro de gravedad? Año

5 INTEGRALES DE LÍNEA 1. Escriba en forma paramétrica la ecuación de. a. Una recta en el plano b. Una circunferencia c. Una recta en el espacio d. Una elipse 2. uál es el concepto físico a partir del cual se define integral curvilínea para campos vectoriales? Indique la expresión que permite calcular F dr. 3. alcule el trabajo realizado por la fuerza F = (x 2 y 2 )i + 2xyj, para mover una partícula desde el punto (1,0) al punto (2,2), a lo largo de la curva y = x 2 x. 4. alcule las integrales de línea de los campos siguientes. a. F (x, y) = yi + xj, a lo largo de la curva : x 2 + y 2 = 3 recorrida en forma negativa desde ( 3, 0) hasta ( 3, 0). b. F (x, y, z) = xi + yzj (xy zx)k, a lo largo del segmento de recta de extremos(0,0,0) y (1,2,2). c. F (x, y) = xy 2 i (x 2)j, a lo largo de la curva. y = x 3 2x, desde el punto (2,4) al punto (1,-1). d. 8xdx (4x y)dy, siendo : 4x 2 + y 2 = 4 y = 1 x e. F (x, y) = yi xj, a lo largo de la curva. { x = 3t2 4 y = 3t + 1, con 1 3 t Un hombre que pesa 85 kg asciende por una escalera helicoidal. Da tres vueltas completas y transporta un balde de pintura de 20 litros (30 kg). Se considera que x = 3 cos t la ecuación de la escalera es { y = 3 sen t z = 2t a. uál es el trabajo que efectúa el hombre, en contra de la gravedad, para subir por la escalera? Año

6 b. Suponiendo que el balde de pintura tiene un orificio en su parte inferior, por el cual se van perdiendo 0.6 litros (0.9 kg) de pintura continuamente, encuentre el trabajo realizado. onsidere la función de pérdida f(x, y, z) = 20 (x2 +y 2 ). 6. omplete. a. f(x, y)ds =... b. La interpretación física que puede darse al resultado anterior es.. 7. alcule las integrales de línea con respecto a la longitud de arco dadas a continuación. a. x 3 ds b. xy 2 ds y. y = x 3 1 entre los puntos (-1,-2) y (2,7). ( 5, 2 5 ) y ( 5, 0). 2 y. x 2 + y 2 = 5 recorrida en sentido positivo entre los puntos c. (x y)ds y el triángulo de vértices (0,0), (1,0) y (0,1), recorrido en sentido negativo. z+1 8. a. uáles son las consecuencias del Primer Teorema Fundamental de Integrales de Línea? b. Para qué se usa el Segundo Teorema Fundamental de Integrales de Línea? c. uándo un campo vectorial es gradiente? d. ómo es el trabajo de un campo gradiente a lo largo de diferentes trayectorias entre dos puntos? e. uánto vale el trabajo de un campo conservativo a lo largo de una trayectoria cerrada? Justifique su respuesta. f. Indique la expresión de las funciones potenciales de los campos siguientes y las condiciones que se deben cumplir, F (x, y) y F (x, y, z). 9. Dado el campo F (x, y) = (2x + y 2 + 4)i + (2xy + 4y 5)j, a. alcule la integral del campo F a lo largo de. i.. y = x desde (0,0) hasta (1,1). ii.. y = x 2 desde (0,0) hasta (1,1). iii.. x = y 3 desde (0,0) hasta (1,1). b. Existirá otra trayectoria a lo largo de la cual la anterior también valga igual? (1,1) c. Use el teorema correspondiente para resolver F dr. (0,0) Año

7 10. El campo F (x, y) = (2xy y 3 )i + (2x 2 y 3xy 2 + 2y)j es conservativo? Si lo es, hallar la función potencial. 11. Dado el campo F (x, y) = (2xy 2 y 2 )i + (2yx 2 2xy)j, a. Determine si el campo es conservativo. Halle la función potencial, en caso de existir. (1,2) b. alcule F dr. ( 3, 1) 12. Dada la función f(x, y, z) = xyz 2 ( 1,5, 8) x sen y + 8z, calcule f dr. (2,3,4) Justifique. 13. alcule el trabajo realizado por el campo F (x, y) = (8y + 2x)i + 8xj a lo largo de x 2 + y 2 = 1, desde (0,1) a (-1,0), recorrida en sentido positivo. Si puede, aplique algún teorema para resolver el problema. 14. alcule las integrales curvilíneas aplicando el teorema de Green. a. F (x, y) = 4xyi + j y el triángulo de vértices (0,0); (1,0) y (1, 2). b. F (x, y) = (y x)i + (y 2 x)j y la frontera de la región 2 x 2 + y 2 3, x 0, y 0. c. El ejercicio 5 d (Ayuda: plantee la integral en coordenadas cartesianas) 15. alcule las integrales de línea de los campos dados a continuación, a. F (x, y) = (y x)i + xj y el segmento que une los puntos (5,45) y (10, 22). b. sen x dx + (sen x + y cos x)dy y. 2x 2 + 4y 2 = 2, recorrida en sentido positivo. c. F (x, y) = xi + yj y. x 2 + y 2 = 2y desde el punto (0,0) al punto (1,1). Año

8 INTEGRALES DE SUPERFIIE 1. Indique la expresión de ds, si la superficie está dada. a. En forma explícita z = f(x, y) b. En forma implícita S(x, y, z) = 0 2. alcule el área lateral de las superficies dadas a continuación. a. 2x + y + 4z = 8 en el primer octante b. y 2 + z 2 = 4, 0 x 6 c. y = x 2 + z 2, 0 y 2 d. x 2 + y 2 = z 2, 0 z 3 e. x 2 + y 2 + z 2 = 36 f. x 2 + y 2 = 4, 0 z 1 3. alcule el flujo de los campos siguientes. a. F (x, y, z) = 3xi 8j + zk, con S: x + y + z = 3 en el primer octante b. F (x, y, z) = xi + 2yj + 3zk, siendo S el cubo de vértices (±1, ±1, ±1) c. F (x, y, z) = xi + yj + zk, siendo S la esfera de ecuación x 2 + y 2 + z 2 = 4 4. Dado el campo F (x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k a. Indique la expresión que permite calcular la divergencia b. uál es la interpretación física? 5. Dado el campo F (x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k a. Indique la expresión que permite calcular el rotor b. uál es la interpretación física? 6. Sea f(x, y, z) un campo escalar y F (x, y, z) un campo vectorial. Diga si cada una de las expresiones siguientes tiene significado. Si no es así, explique la razón. Si tienen significado, indique si el resultado es un campo escalar o vectorial a. f b. F c. F d. f e. ( f) f. ( f) 7. Dado el campo vectorial F (x, y, z) = e x sen y i + e x cos y j + zk, determine su divergencia. 8. alcule la divergencia y el rotor del campo F (x, y, z) = (2y z)i + ( 2x + z)j + xy 2 k. Este campo es incompresible o irrotacional. Justifique. 9. Dada la siguiente figura y considerando que representa a un campo vectorial F, responda. Año

9 a. Los puntos P 1 y P 2 son fuentes o sumideros para F? Proporcione una explicación basada sólo en la figura. b. Teniendo en cuenta que F (x, y) = x 2 i + y 2 j, aplique la definición de divergencia para comprobar su respuesta en a. 10. alcule el flujo de los campos siguientes a través de las superficies indicadas. a. F (x, y, z) = e x i ye x j + yz 2 k, S: y 2 + z 2 x 2 = 0, 0 x 2 b. F (x, y, z) = y 2 i xe y j + 2k, S: x + z = 4, 0 y 3 c. F (x, y, z) = x 2 yi + xy 2 j + 2xyzk, S: x 2 + y = z, 0 z 5 d. F (x, y, z) = xyi + 3y 2 j + yx 2 k, S: x 2 + z 2 = 16 y 0 y 1 e. Repetir el cálculo del ejercicio 3c, utilizando el teorema correspondiente. 11. Enuncie el Teorema de Stokes, distinguiendo hipótesis y tesis Qué tipo de integrales relaciona? 12. alcular el flujo del rotor de los campos siguientes a través de las superficies indicadas. a. F (x, y, z) = z 2 i + yj + xzk, a través de la superficie S: z = 4 x 2 y 2 x b. F (x, y, z) 2 + y 2 = 1 = xzi + yzj + xyk, siendo. { x 2 + y 2 + z 2 = 4 c. F (x, y, z) = yzi + xzj + zk, a través de la superficie S: z = x 2 + y 2 con z 1 d. F (x, y, z) = xyi + yzj + xzk, a través de la superficie S: z = 1 x 2 con 0 y 1 e. F (x, y, z) = y 2 i + xj + z 2 y + z = 2 k, siendo. { x 2 + y 2 = 1 (Figura) Año