Solution: Sea R = r = x 2 +y 2 +z 2. (b) Cálculo directo. 1 x2 +y 2 +z 2 = 1 R. (c) f =

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1 Universidad de los Andes Departamento de Matemáticas MAT7 Cálculo Vectorial Tarea 3 Individual ntregue en clase a su profesor de la MAGISTRAL la semana 5 (Ma. 3 Vi. 6 Dic.). (4 points) [Rotacional, Divergencia, C.V.C., Trabajo] Suponga que el campo gravitacional es: F( r) = r donde r = (x,y,z) r ( 3 ) x y z F(x,y,z) = (x +y +z ) 3/, (x +y +z ) 3/, (x +y +z ) 3/ (a) Muestre que es irrotacional F =. (b) Muestre que su divergencia es cero F =. (c) Muestre que este campo es conservativo y halle un potencial escalar f. (d) Halle el trabajo que realiza un cohete, para ir desde la superficie de la tierra hasta el infinito. (e) ncuentre el trabajo hecho por el campo gravitacional cuando la tierra se mueve desde el afelio (distancia máxima de la tierra al sol.5 8 km.) al perihelio (distancia mínima de la tierra al sol.47 8 km.). Use los valores m = kg., M =.99 3 kg., y G = 6.67 Nṁ /kg. Ver ejemplo 4 de la sección 6. del texto guía. Si necesita más datos puede consultar en: Datos Tierra Solution: Sea R = r = x +y +z. (a) Cálculo directo. (b) Cálculo directo. (c) f = x +y +z = R (d) Por el teorema fundamental del cálculo para integrales de línea el trabajo para ir desde A hasta B es la diferencia de potenciales, f(b) f(a), es decir, es el potencial evaluado en el infinito y sobre la superficie de la tierra. n el infinito es cero el potencial y en la superficie de la tierra es simplemente el radio de la tierra. Así que la respuesta es W =. l menos significa que se viaja en sentido de contrario al campo.

2 (e) l trabajo es la diferencia de potenciales. (4 points) [Integral de linea] Calcule la integral de linea (x+y +z)dx+xdy +xdz donde C es el camino definido C por la curva de intersección de cilindro parabolóico x = y y el plano x + y + z =, recorrido desde el punto (,,) hasta el punto (,, ). Solution: l campo es conservativo con potencial f(x,y,z) = x +xy+xz y por lo tanto la respuesta es f(, ) (f(,,) =. 3. (4 points) [Integral de linea] Calcule C (arctan(x)+y)dx+(sin(y) x)dy, donde C es el camino cerrado determinado por la frontera del triángulo definido por los vértices (, ), (, ) y (,), camino que debe ser recorrido en la dirección contraria a la de las manecillas del reloj. Solution: Calculando Q P = = tenemos que el teorema de Green x y implica que la integral de camino es igual a la integral doble de la región del valor, esto es, veces el área del triángulo, es decir 3 = (4 points) [Area de superficie] Calcule el área de la superficie definida por x+y +z =, x +y. Solution: x = rcosθ y = rsinθ z = rcosθ r sinθ (r,θ) [,] [,π] ( r(r,θ) = rcosθ, rsinθ, rcosθ r ) sinθ ( ) r r r 3 r r r θ =,, r r r θ = r A = π 3 r drdθ = Page 3 (π)

3 5. (4 points) [Teorema de Gauss] Hallarelflujodelcampovectorial F = z k atravésdelapartedelelipsoidex +3y +z = encima el plano z =. Solution: Solución. Sea el solido acotado por el elipsoide y el plano. La frontera de es la superficie S = Σ Σ donde Σ es la región en el plano z = acotada por la elipse x +3y =. Por el teorema de Gauss tenemos que F ds = divf dv = dv = Vol(). S Por otro lado F ds = F ds + F d S y F d S = Σ ntonces, el flujo es S Σ Σ F nds = Area(Σ ) ( el signo menos está por la orientación de S!). Σ Σ F d S = Vol()+Area(Σ ). Para encontrar el volumen usamos el cambio de coordenados x = rcosϕ, y = 3 rsinϕ, z = z y tenemos que Vol() = π r r dzdrdϕ = π(4 5) Para hallar el área de la elipse Σ usamos el mismo cambio x = rcosϕ, y = 3 rsinϕ y obtenemos que A(Σ ) = π 6. Por lo tanto la respuesta es Σ F d S = Vol()+Area(Σ ) = π(4 5) π = π( ) Solución. Tomamos la función con valores en R 3 : ( ) r(u,v) = ucos(v), 3usin(v), u 3 con el dominio u, v π. ntonces, ( r = ) u cos(v), 3 3sin(v), u u r = ( ) v usin(v), 3 3ucos(v),.. Page 3

4 La función r(u,v) nos da una parametrización de la superficie Σ en los puntos enteros del rectángulo [,] [,π], en la frontera las condiciones de parametrización no se cumplen ( r (,v) = y r(u,) = r(u,π)). Sin embargo, la frontera tiene medida v cero, por lo tanto podemos tomar la integral sobre el rectángulo cerrado. Observamosquelaparametrizaciónescompatibleconlaorientación: ( ) ( ) tenemos r (,) = u, y r (,) =, 3,, entonces el vector r r (,) (,) = ( v u v 3,, 6 ) apunta arriba, afuera del elipsoide. Tenemos que en el punto r(u,v) el campo F = F(u,v) = (,, u ). Por lo tanto π F ds cos(v) 3 3sin(v) u u = det usin(v) 3 3ucos(v) dudv = u ) Σ = π u u dudv = π( ) (4 points) [Teorema de Stokes] Calcule la circulación total (neta) del campo vectorial F(x,y,z) = ( 4xz 3x y,yz x 3 y,y +x ) alrededor de la curva C que es la intersección de las superficies: x + y + z = 4, x+y +z =. La curva C tiene orientación antihorario vista desde arriba. Solution: Podemos usar en este caso el teorema de Stokes. La curva es cerrada pues es la intersección de un plano y una esfera. Calculamos el rotacional: F = (,,) Por lo tanto usando el teorema de Stokes la circulación pedida es cero. 7. (4 points) [Area superficial y volumen de un sólido] Considere en el espacio tridimensional los cilindros: y +z = y x +z =. Page 4

5 Dos cilindros (a) Plantee la integral con todos sus límites para hallar el área de la superficie de intersección en coordenadas cartesianas en el primer octante (b) Plantee la integral con todos sus límites para hallar el volumen del sólido acotado por la intersección de los dos cilindros en el primer octante usando, coordenadas cartesianas, coordenadas cilíndricas. Solution: Usaremos simetrías. Sea f(x,y) = x x, por lo tanto f x = x y f y =. Sea R la región triangular en el plano xy limitada por y =, y = x, x =. (a) A = +f x +f y dydx A = R x x dydx (b) V = x dydx V = V = R x π/4 secθ x dydx r cos θ rdrdθ 8. (4 points) [Volumen de un sólido] Considere los tres cilindros en el espacio tridimensional: x + y =, y + z = y x +z =. Page 5

6 Tres cilindros ncuentre el volumen del sólido acotado por los tres cilindros. Solution: Usaremos simetrías. Sea f(x,y) = x x, por lo tanto f x = x y f y =. Sea D el sector circular en el plano xy en el primer cuadrante limitado por la circunferencia x +y =. Usaremos coordenadas cilíndricas. V = 6 π/4 r cos θ rdzdrdθ 9. (4 points) [Integral doble] Sea la región definida por x +4y 4. valúe x da Solution: Consideremos el siguiente cambio de variables: x da = x = rcosθ y = rsinθ r θ π π J = r ( 4r cos θ ) (r) drdθ = π. (4 points) [Integral triple en coordenadas cartesianas] Considere la siguiente integral triple: x y f(x,y,z)dzdydx Page 6

7 (a) Haga un dibujo de la región en 3D (Sólido) de integración. (b) Plantee las cinco(5) integrales triples iteradas restantes según los diferentes órdenes para el diferencial de volumen. Solution: (a) Dibujo del sólido. (b) Planteamiento de integrales. Figura : jercicio x y z x z z y y y x x z f(x,y,z)dzdydx y f(x,y,z)dxdydz f(x,y,z)dydxdz y f(x,y,z)dxdzdy f(x,y,z)dzdxdy f(x,y,z)dydzdx Page 7

8 . (4 points) [Integral triple en coordenadas cartesianas] Considereelsólido enelprimeroctanteacotadoporlassuperficiesz = x,y = x, y los planos coordenados. (a) Haga un dibujo del sólido. (b) Plantee la integral triple, xyz dv en sus seis formas diferentes según el orden del diferencial de volumen dv. (c) Resuelva cada una de las integrales anteriores. Solution: (a) Dibujo con las proyecciones sobre los planos coordenados. Figura : jercicio (b) Planteamiento de las integrales. x x xyz dzdydx y x xyz dzdxdy Page 8

9 z x x z x xyz dxdzdy + xyz dydzdx xyz dydxdz y y y y y z z xyz dxdydz + y z xyz dxdzdy xyz dxdydz (c) Resultado numérico (4 points) [Aplicación: Valor promedio] ncuentre el valor promedio de f(x,y,z) = xyz sobre el cubo de lado L ubicado en el primer octante con un vértice en el origen del sistema coordenado y las caras sobre los planos coordenados. (l cubo está en el primer octante). Solution: Sea el cubo. ntonces, el valor promedio de la función f(x,y,z) = xyz es L L L f = fdv = xyzdxdydz = Vol() L 3 8 L6 = L3 8. Respuesta. L (4 points) [Interpretación integral triple] ncuentre la región tal que la integral triple ( 9 9x y 9z ) dv tiene valor máximo. Solution: Sea Q = {(x,y,z) 9 9x y 9z } el elipsoide sólido. Tenemos que = ( \Q) ( Q), Page 9

10 entonces 9 9x y 9z dv = 9 9x y 9z dv + 9 9x y 9z dv. \Q Q La función f(x,y,z) = 9 9x y 9z es positiva dentro del elipsoide Q y negativa afuera del elipsoide. ntonces, las propiedades de la integral triple implican que 9 9x y 9z dv \Q y 9 9x y 9z dv 9 9x y 9z dv. Q ntonces, 9 9x y 9z dv 9 9x y 9z dv; Q y toma el valor máximo si Q =. Respuesta. = {(x,y,z) 9 9x y 9z }. 4. (4 points) [Diferenciación implícita, plano tangente y recta normal] Considere que z = z(x, y) y la superficie definida implícitamente mediante la ecuación: sin(xyz) = x+y +3z (a) ncuentre la ecuación del plano tangente en el punto (,,) a la superficie en el punto (,,). (b) ncuentre la ecuación de la recta normal a la superficie en el punto (,,). Solution: Podemos ver la superficie dada como una superficie de nivel (g=) de la función g(x,y,z) := x+y +3z sin(xyz). Recta normal significa perpendicular a la superficie en el punto mencionado, lo cual también quiere decir perpendicular al plano tangente en ese punto. Page

11 valuandoelgradiente g(x,y,z) = yzcos(xyz), xzcos(xyz),3 xycos(xyz) en el punto dado obtenemos g(,,) =,,5. ste vector es normal a la superficie en el punto (,,). La ecuación del plano tangente es entonces: (x )+(y ( ))+5(z ) = y simplificando: x+y +5z =. La ecuación paramétrica de la recta normal a la superficie en el punto (,,) es: r(t) = +t, +t,5t. 5. (4 points) [Optimización. Método multiplicadores de Lagrange] (a) Dada la función f(x,y) = x 4x+y 4y + y la región R del plano xy acotada por las rectas x =, y =, y = x en el primer cuadrante. (a) ncuentre los puntos críticos de f. (b) ncuentre los valores máximos y mínimos de f en R. (c) n qué puntos de R la función f obtiene esos valores extremos?. specifique. (b) Considere que las variables x e y son no negativas. Maximice P = 3x+4y sujeto a, { x+y 4 6x+y Solution: Problema 5 (): (a) l gradiente f = 4(x ),(y ) se anula en el punto (,) y éste es el único punto crítico de f. (b) Ahora restringimos f a cada uno de los tres segmentos que forman la frontera de R: n el segmento {} [,], f = f(y) = y 4y+ = (y ) 3 toma su mínimo (f = 3) cuando y = y toma su máximo (f = ) cuando y =. n el segmento [,] {}, f = f(x) = x 4x 3 = (x ) 5 toma su mínimo (f = 5) cuando x = y su máximo (f = 3) cuando x =. Page

12 nelsegmentoy = xconx [,],f = f(x) = 6x x+ = 6(x ) 5 tomasumínimo(f = 5)cuandox = ysumáximo(f = )cuandox =. Se sigue entonces que en R la función f tiene un valor máximo de que se toma en el punto (,) y un valor mínimo de 5 que se toma en el punto (,). Otra forma de llegar a esta conclusión es notando que f(x,y) = (x ) +(y ) 5 es un paraboloide elíptico con vértice (,, 5). Sus curvas de nivel son elipses centradas en (,) con eje mayor paralelo al eje y. s evidente que la curva de nivel más alto que interseca a R es la elipse que pasa por (,) y la curva de nivel más bajo es el punto (,) R. (c) Queremos maximizar P(x,y) = 3x + 4y sobre la región encerrada por el cuadrilátero con vértices (,), (,), (,3) y (,4) (note que (,3) es el punto de intersección de las rectas x + y = 4 y 6x + y = ). Como el gradiente P(x,y) = 3,4 nunca se anula, sabemos que el máximo no puede ocurrir en el interior del cuadrilátero. Además este gradiente no es perpendicular a ninguno de los lados del cuadrilátero, así que el máximo debe ocurrir en uno de los vértices. Calculamos el valor de la función objetivo en cada vértice: P(,) =, P(,) = 6, P(,3) = 5 y P(,4) = 6. Vemos que el máximo valor es 6 y ocurre en el punto (,4). Page