OBJETIVO Lograr la comprensión conceptual y desarrollar la habilidad para plantear y aplicar los teoremas de Green, Divergencia y Stokes.

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1 EPARTAMENTO E IENIA BÁIA ALULO VETORIAL Y MULTIVARIAO TALLER 4 TEOREMA E GREEN, TEOREMA E LA IVERGENIA Y TEOREMA E TOKE BIBLIOGRAFÍA UGERIA ALULO, JAME TEWART ALULO, THOMA FINNEY OBJETIVO Lograr la comprensión conceptual y desarrollar la habilidad para plantear y aplicar los teoremas de Green, ivergencia y tokes. RITERIO E EVALUAIÓN La guía debe ser resuelta de manera grupal o individual y tendrá un valor según lo pactado. TIEMPO: 4 HORA TEOREMA E GREEN ea una región simplemente conexa con un borde liso a trozos y orientado positivamente. í el campo vectorial F ( M( i N( j Es continuamente diferenciable en tenemos que N M ( Mdx Nd da ( ) x y emostración Una región estándar es una región en que ninguna recta vertical ni horizontal corta a la frontera en más de dos puntos. Vamos a demostrar primero el teorema de Green para regiones estándar y luego indicaremos como tratar el caso general. upongamos que es una región estándar con borde. omenzamos M demostrando que y dxdy Mdx. omo es una región estándar, la frontera se compone de una porción inferior y una porción superior que son las gráficas de dos funciones L ( x), f ( x U f ) respectivamente, en un cierto intervalo a x b. En esta situación podemos calcular la integral doble por integración iterada: ocente: JOE GONZALO EOBAR LUGO alculo Vectorial 06-I.

2 M M b f ( x) M b b dxdy y dydx ( d dx y a f ( x) y = M ( f ( x)) dx a M ( f( x) dx = a Mdx Mdx = ( U Mdx Mdx) Mdx ; Análogamente tenemos que L U L N N M N M dxdy Ndy, por lo tanto da dxdy dxdy x ( ) x y x = y M ) dx ( Mdx Ndy ( Nd. Esto concluye la demostración en el caso de una región estándar. i es una región no estándar, se puede descomponer en un número finito de subregiones estándar mediante cortes horizontales y verticales, se aplica entonces a cada una de estas la demostración para regiones estándar y se suman los resultados. Las integrales curvilíneas sobre los cortes cancelan a pares, y después de las cancelaciones la única integral curvilínea que eventualmente permanece es la extendida a la frontera exterior. Por tanto N M ( Mdx Nd da ( ) x y omprobemos que se verifica el teorema de Green para la integral curvilínea, ydx xdy, donde es la curva cerrada de la figura. Primero calculamos la integral directamente. La curva consta del segmento del eje x desde (-,0) hasta (,0) seguido de la semicircunferencia desde (,0) hasta retornar a (-,0). Parametrizamos esas dos curvas: x t, y 0; t x oss, y ens ; 0 s Así: ydx xd ( ydx xd ( ydx 0 ( xd = (0dt t0) ( ens( ensds) oss( oss) ds) = ( en s os s) ds Ahora calculemos esa misma integral utilizando el teorema de Green. Observese que la curva frontera es simple y M y, N x, luego 0 ocente: JOE GONZALO EOBAR LUGO alculo Vectorial 06-I.

3 F( yi xj es continuamente diferenciable. El dominio esta definido por las relaciones, 0 y x, x. Aplicamos ahora el teorema de Green: x ( x ( ydx xd ( ) da dydx x y 0 AREA EL EMIIRULO= ( ) () EJERIIO. Halle el trabajo realizado por la fuerza F ( ( x ) i ( x y y eny ) j sobre un objeto que recorre el camino cerrado en el plano una vez, dibujado en la siguiente figura: AREA OMO UNA INTEGRAL URVILINEA ea una región plana simplemente conexa con borde liso a trozos. El área A de la región es igual a la integral A ( ydx xd ocente: JOE GONZALO EOBAR LUGO alculo Vectorial 06-I.

4 4 emostración ea F( i xj. omo F es continuamente diferenciable en, se puede aplicar el teorema de Green. ( ydx xd ( ( x) ( ) da c da luego A x y ( ydx xd x y emostremos que la elipse tiene área igual a ab b a Las ecuaciones paramétricas de la elipse son x aost, y bent, 0 t A ( ydx xd = ( ( bent )( aentdt ) ( aost)( bostdt )) = ab 0 EJERIIO. alcule el área y compruebe el resultado usando la formula elemental correspondiente: él circulo x y 4. alcule el área y compruebe el resultado usando la formula elemental correspondiente: el trapecio de vértices, ( 0,0),(4,0),(0,),(, ). Forma alternativa del teorema de Green El teorema de Green se puede expresar de una forma que se generaliza fácilmente a. Para ello debe observarse que, si F ( M( i N( j, entonces i j k N M N M rot F XF = ( ) i ( ) j ( ) k x y z z z x y M N 0 Así podemos escribir el enunciado del teorema de Green en la forma F dr ( rotf k) da. uando generalicemos este resultado lo llamaremos el teorema de tokes. FORMULA INTEGRAL ea F ( M( i N( j sobre una región con borde liso a trozos. Entonces F Nds divfda, donde N es el vector normal unitario a hacia afuera. En efecto, sea definida por R ( s) x( s) i y( s) j ; el vector tangente unitario T a es: T x ( s) i y ( s) j, así el unitario normal hacia fuera es N y ( s) i x ( s) j. Aplicando el teorema de Green b F Nds ( Mi Nj) ( y ( s) i x ( s) j) ds a b dy dx ( M N ) ds ( Ndx Md a ds ds ocente: JOE GONZALO EOBAR LUGO alculo Vectorial 06-I.

5 5 M N ( ) dxdy divfda. uando generalicemos este resultado lo x y llamaremos el teorema de la divergencia. EJERIIO 4. Un Astronauta está atrapado en una habitación alienígena sujeto a un campo del lado oscuro de la fuerza, de ecuación F( ( ye ) i ( xe x y os j. uponiendo que el astronauta esta en (0,0) y la puerta de salida está en el (5,4). Halle el camino de mínimo esfuerzo para escapar. INTEGRALE E UPERFIIE Una superficie es lisa si tiene un plano tangente en todo punto y es lisa a trozos si consta de un número finito de piezas que son superficies lisas. Por ejemplo una esfera es lisa y un cubo es liso a trozos, porque consta de seis caras lisas y dos caras adyacentes se cortan en una arista, donde la superficie no es lisa. Una superficie es orientable si es lisa con un vector normal unitario N que varia continuamente con el punto. Una superficie cerrada es la que limita un sólido. La región encerrada por se llama el interior y la otra se llama el exterior. La normal N es una normal hacia fuera si apunta hacia el exterior; si apunta hacia el interior es una normal hacia adentro. No nos interesaran superficies lisas a trozos con una sola cara, como la banda de mobius, que se obtiene retorciendo media vuelta una tira de papel y pegando los extremos. e ahora en adelante la palabra superficie significara superficie orientable lisa a trozos. ea un conjunto de puntos de. Un punto frontera de en un punto P tal que cualquier esfera de centro P contiene puntos de y puntos que no están en. La frontera de es el conjunto de todos sus puntos frontera. El conjunto es cerrado si contiene todos sus puntos frontera. Una región sólida es acotada si está contenida en una esfera. Vamos ahora a definir la integral de superficie de una función escalar g. upongamos que g está definida y es continua sobre una superficie. e hace una partición de en n subregiones y designamos * por k el área de la k-esima de ellas. ea P k un punto arbitrariamente elegido en la subregion k-esima, para k=,,...,n e forma la suma n g k ( P * k ) k y se toma el limite cuando la mayor k tiende a cero. i este ocente: JOE GONZALO EOBAR LUGO alculo Vectorial 06-I.

6 6 límite existe se llama integral de superficie de g sobre, y se designa por g ( d. uando una superficie se proyecta en el plano en una región R y se representa por z f (, entonces d f x f y da, donde da es dxdy o dydx o rdrd si da está dada en coordenadas polares, Así i es una superficie definida por z f ( y R su proyección en el plano. i f, f x, f y, son continuas en R y g es continua en, entonces la integral de superficie de g sobre es: g ( d = g( f ( )( ( f x ( ) ( f y ( ) ) da R i tomamos g=, la integral da el área de la superficie: A. uperficie = d alculemos la g ( d donde g( xz x y es la porción del plano x y z 6 que se proyecta sobre el cuadrado unidad R : 0 x ; 0 y. En la ecuación del plano despejamos z: f y (, luego d ( ) () da 4dA, por tanto g d ( = ( x xz x 4 da ( x(6 x x x 4dydx 4 6xdydx R R = z 6 x y y f x (, = 6 4 xdydx Una aplicación útil de la integrales de superficie es la de hallar el centro de masa de una lámina delgada cuya forma es la de una superficie, como muestra la figura: upongamos que ( es la densidad (masa por unidad de área) en un punto ( x, de la lámina, entonces la masa total, m de la lámina viene dada por una integral doble, que es la siguiente: m ( d ocente: JOE GONZALO EOBAR LUGO alculo Vectorial 06-I.

7 7 i designamos por ( al centro de masa de la lamina, se tiene: x x ( d, y m y ( d, z m z ( d m Hallemos la masa de una lamina de densidad del hemisferio z x ( a z x y a( a x y ) da m ( d a x y. omenzamos calculando d ) ( x) ; z y ( a x y ) ( ( z que tiene la forma d z z da = ; x y. Así la masa del hemisferio esta dada por = zd = R a x y ) a( a x y ) da ( = a INTEGRALE E UPERFIIE E AMPO VETORIALE Muchas aplicaciones de las integrales de superficie necesitan de la integral de la componente normal, de un campo vectorial F dado, es decir, de una integral de la forma F Nd, donde N es el unitario normal exterior (hacia afuera) de la superficie.. onsideremos el ejemplo siguiente: alculemos F Nd donde F i zj ( x k y es la región triangular del plano x+y+z= contenida en el primer octante. upóngase que N es la normal que apunta en sentido opuesto al origen. ea, g( z x y. Entonces g, g y el unitario normal buscado x ( ) i ( ) j k es N = ( i j k). Luego, F N ( z x, luego ( ) ( ) F N ( x y x = ( ),y d g x g y da = da y ocente: JOE GONZALO EOBAR LUGO alculo Vectorial 06-I.

8 8 La pieza que necesitamos del rompecabezas antes de calcular la integral es hallar la proyección de sobre el plano. En la figura vemos que es una región triangular, que designamos por T como el conjunto de todos los puntos ( tales que, para todo entre 0 y, la y varía entre 0 y - finalmente tenemos que F Nd = da ( ) T = x ( ) dydx = UPEFIIE EN PARAMETRIA i una superficie se define parametricamente por la función vectorial R ( u, x( u, i y( u, j z( u, k en la región del plano uv, el área de está dada por Ru Rv dudv, entonces si f es continua en, la integral de superficie de f sobre está dada por f ( d f ( R) R u R v dudv alculemos por ( x y d donde es la superficie definida en paramétricas R ( u, (u i ( u j ( u k, 0 u, 0 v i R xi yj zk, entonces x u v, y u v, z u v. omo f ( x y z tenemos que f ( R) u v u v u v. También tenemos que R i j k, R i j k, tenemos: R u v i j k R 5i 5 j k. Así ( x y d = u v 5 u f ( d f ( R) R R dudv = ( 4u (5 dud = 40 v 0 0 EJERIIO 5. alcule la integral dada, donde es el hemisferio x y 4 con z 0 (a). zd, (b). ( x d, (c). (x y ) zd 6. alcule la integral ( x y ) d donde es la superficie limitada por arriba por el hemisferio 7. alcular, (a). z x y y por abajo0 por el plano z=0. F Nd y suponga que N es la normal hacia fuera. F xi yj zk y es la parte del plano 5x y z 6 que yace sobre el cuadrado unidad 0 x, 0 y ocente: JOE GONZALO EOBAR LUGO alculo Vectorial 06-I.

9 9 (b). F x i y j z k y es el trozo del plano z y que está dentro del cilindro x y 8. alcule y (x d R( u, u i vj uk, 0 u, v 9. alcule y donde es la superficie definida por ( x d donde es la superficie definida por R( u, ui u j vk, 0 u, 0 v 0. Halle la masa de la lamina homogénea que tiene la forma de la superficie : (a). es la superficie z=0-x- con z 0, y 0 (b). es la superficie z= x y, con z 0 (c). es el triángulo con vértices (,0,0),(0,,0),(0,0, ) EL TEOREMA E TOKE El teorema de Green se puede enunciar así, F dr ( rotf k) da. onde A es la región plana limitada por la curva cerrada. El teorema de stokes es una generalización de este resultado a superficies con borde en. ORIENTAION OMPATIBLE. La superficie queda a la izquierda de alguien que camine sobre la curva en el sentido contrario a las de las agujas del reloj. Es decir la orientación de la curva cerrada trazada sobre la superficie orientable es compatible con la orientación de si la orientación de es la del sentido contrario a las agujas del reloj respecto de la normal hacia fuera de la superficie. i se apunta el pulgar derecho hacia la normal hacia fuera, los dedos se curvaran en el sentido de una curva de orientación compatible. ea una superficie orientada con vector normal unitario N y supongamos que tiene un borde, que es una curva cerrada, lisa a trozos, cuya orientación es compatible con la de. i F es un campo vectorial continuamente diferenciable en se verifica que: EMOTRAION (Ejercicio para el lector) F dr ( rotf N) d A Interpretación física del teorema de tokes Recordemos que la densidad de fluido es el campo vectorial, F V, donde V es la velocidad de un fluido con densidad. La densidad del fluido mide el volumen de fluido que cruza la superficie por unidad de tiempo y se llama también el flujo de F a través de. upongamos que la superficie está en la región en la que el fluido fluye. i N es el unitario normal a, entonces F N es la componente del flujo en dirección normal a.- Entonces la masa del ocente: JOE GONZALO EOBAR LUGO alculo Vectorial 06-I.

10 0 fluido que fluye a través de en la unidad de tiempo en la dirección normal a la superficie está dada por una integral de superficie, que se llama una integral de flujo. y esta dada por F i V es el campo de velocidades del flujo de un fluido, entonces rot V mide la tendencia del fluido a rotar o formar remolinos. Normalmente si el fluido fluye a través de la superficie, la tendencia rotacional variara de punto a punto en la superficie y la integral de superficie ( rotv N) d medirá la tendencia rotatoria acumulada sobre toda la superficie. Nd El teorema de tokes nos dice que esta tendencia rotatoria acumulada es igual a la integral curvilínea, V dr. Para interpretar esta integral curvilínea recuérdese que se puede escribir en la forma, V Tds, en función del parámetro longitud de arco s y el vector unitario tangente T a la curva. Así la integral curvilínea suma la componente tangencial del campo de velocidades V sobre el borde y es razonable interpretar V Tds como una medida de la circulación del fluido sobre. Lo que esto quiere decir, ( rotv N) d V Tds donde el miembro de la izquierda mide la tendencia acumulada de un fluido a hacer remolinos a través de una superficie y el de la derecha mide la circulación de un fluido a lo largo de una curva. En física y otras áreas aplicadas se usa el teorema de tokes como una herramienta para enunciar propiedades generales. Test de campo conservativo i F y Rot F son continuos en la región simplemente conexa, entonces F es conservativo en si y solo si rot F=0 en. En efecto, i F es conservativo, sea f una función potencial escalar o sea tal que F f, entonces por las propiedades de la rotacional rotf F f 0. Recíprocamente, si rot F = 0 sea la curva borde de la superficie lisa, el teo de stokes dice F dr ( rotf N) d 0d 0 luego la integral es independiente del camino y F debe ser conservativo. ocente: JOE GONZALO EOBAR LUGO alculo Vectorial 06-I.

11 EL TEOREMA E LA IVERGENIA ea una región del espacio limitada por una superficie orientable lisa y cerrada. i F es un campo vectorial continuo cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas en. Entonces F Nd divfdv onde N es el unitario normal hacia afuera a la superficie. EMOTRAION (Ejercicio para el lector) Aplicaciones del teorema de la divergencia i F( es la tasa de flujo por unidad de área la integral de superficie F Nd representa la tasa neta de flujo hacia fuera por unidad de volumen. Esta es la razón del nombre de divergencia, porque, F Nd divfdv. La integral de la izquierda es una integral de flujo y así determina el flujo total de fluido a través de la superficie por unidad de tiempo. La integral de la derecha mide el mismo flujo de fluido calculando el fluido hacia fuera de pequeños cubos. EJERIIO. ea, F ( ) y i j yzk, donde es el triángulo de vértices (,0,0), (0,,0), (0,0,) que está contenido en el plano x+y+z= recorrido en sentido contrario a las agujas del reloj visto desde arriba. ompruebe que se verifica el teorema de stokes.. alcule ( y dx zdy xd donde es la curva intersección del plano x+z= y el elipsoide, x y z, orientada en el sentido de las manecillas del reloj, tal como se ve desde el origen.. emuestre que el campo vectorial F yzi xzj xzk es conservativo en 4. alcule ( rotf N) d donde F xi y j ze k superficie z x y con z 0 5. ea F xi yj 5zk y sea el hemisferio z y es la porción de la 9 x y, junto con el disco x y 9 en el plano. ompruebe que se verifica el teorema de la divergencia. F Nd donde F x i j x y k y es la superficie del 6. alcule tetraedro formado por el primer octante cortado por el plano x+y+z=, con unitario normal N hacia afuera. ocente: JOE GONZALO EOBAR LUGO alculo Vectorial 06-I.