FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS TALLER NOMBRE DE LA ASIGNATURA: CALCULO VECTORIAL Y MULTIVARIADO MÓDULO DE TRABAJO No : TALLER No : 01

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1 FAULTAD DE IENIAS BÁSIAS TALLER NOMBRE DE LA ASIGNATURA: ALULO VETORIAL Y MULTIVARIADO MÓDULO DE TRABAJO No : TALLER No : 0 TÍTULO: DURAIÓN: BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA FUNIONES VETORIALES ALULO, JAMES STEWART ALULO, THOMAS FINNEY OBJETIVO Utilizar las funciones vectoriales en el estudio del movimiento en el plano y en el espacio para resolver problemas propuestos. PREGUNTAS ONEPTUALES 5. Qué es una función vectorial? 6. Qué diferencias encuentra entre funciones vectoriales y funciones escalares? 7. ómo se determina una curva espacial? 8. Qué aplicaciones encuentra de las funciones vectoriales en Física? 9. ómo determina la longitud de una curva espacial? EJERIIOS. Determinar el dominio de las siguientes funciones F( t) ln( t) itan 3tje. alcular los siguientes límites si eisten. lim t lim 5t k t, F( t) 3t t isen tj k t 3t 0 i 3 5t 4 j t k t 4 t t 4t 3t 7 i 3 5t 4 j 4 3t k 3t 8t t t t 5 3. Hallar las derivadas de las siguientes funciones F( t) 3t ti 5tsent 3 j t 4t k, F( t) 3 isec tjlog5 3k 5t 3 4. Evalué la integral 7t tan ti3e jt t 5k dt 4, t costitan tj 3 0 PROBLEMAS DE APLIAIÓN. La posición de una partícula está dada por la función ( t) 3t t i 3t 6j, determinar: la posición, velocidad, aceleración y k F 3 rapidez de la partícula cuando t 3 t k dt

2 . La aceleración de una partícula en cualquier instante t está dada por a( t) 5t t i t3j, la velocidad y posición de la partícula cuando t k t v( ) i3j4k, y s( ) ik Son, respectivamente. Determinar las funciones velocidad y posición en cualquier instante t. FAULTAD DE IENIAS BÁSIAS TALLER NOMBRE DE LA ASIGNATURA: ALULO VETORIAL Y MULTIVARIADO MODULO DE TRABAJO No.: TALLER No. 0 TITULO: DERIVADAS PARIALES DURAIÓN: HORAS BIBLIOGRAFÍA: ALULO DE JAMES STEWART ALULO DE THOMAS FINNEY OBJETIVO Interpretar en funciones de varias variables el proceso de derivación parcial y utilizar sus propiedades en la solución de problemas de ingeniería. PREGUNTAS ONEPTUALES. ómo se calculan límites en funciones de varias variables?. ómo se determinan las primeras y segundas derivadas parciales de f con respecto a y a y.? 3. ómo se aplica la regla de la cadena en funciones de varias variables? EJERIIOS Y PROBLEMAS DE APLIAIÓN. Evaluar: lim ( 3 4y + 5y 7) ( (, -3) y. Demostrar que el lim no eiste ( (o,o) + y 3. Obtenga las primeras derivadas parciales de ( = 4 y 3 -y +3y+ w 4. Use la regla de la cadena para encontrar y y w/ en w = senv, = + y, v = y

3 3 4. El radio r y la altura h de un cilindro circular recto aumentan a razón de 0.0 cm/min y 0.0 cm/min, respectivamente. Use la regla de la cadena para calcular la tasa de crecimiento del volumen con respecto al tiempo, cuando r = 4 cm y h = 7 cm. on qué rapidez varia el área de la superficie curva? FAULTAD DE IENIAS BÁSIAS TALLER NOMBRE DE LA ASIGNATURA: ALULO VETORIAL Y MULTIVARIADO MODULO DE TRABAJO No.: TALLER No. 03 TITULO: DERIVADAS PARIALES DURAIÓN: BIBLIOGRAFÍA: OBJETIVO HORAS ALULO DE JAMES STEWART ALULO DE THOMAS FINNEY Interpretar en funciones de varias variables el proceso de derivación parcial y utilizar sus propiedades en la solución de problemas de ingeniería. PREGUNTAS ONEPTUALES 5. Qué son derivadas direccionales 6. Qué es el vector gradiente y cómo se emplea en la determinación de planos tangentes y rectas normales a superficies? 7. ómo se calculan máimos y mínimos en función de varias variables? 8. ómo se emplean los multiplicadores de Lagrange en el cálculo de máimos y mínimos de funciones de varias variables. EJERIIOS Y PROBLEMAS DE APLIAIÓN. alcular la derivada direccional de f ( = 5y + 3y en el punto P(3, -) en la dirección u = i + 3j. Encontrar el gradiente de f ( = 7y 5 en el punto P (,6) 3. Encuentre las ecuaciones del plano tangente y la recta normal a la Gráfica de ecuación 4 4 -y +3z = 0 en el punto P(, -3,) 4. Halle los máimos y mínimos de f ( = + y + 3y 5. alcular el volumen máimo del paralelepípedo rectangular con caras paralelas a los planos coordenados que se puede inscribir en el elipsoide 6 + 4y + 9z = 44

4 4 FAULTAD DE IENIAS BÁSIAS TALLER NOMBRE DE LA ASIGNATURA: ALULO VETORIAL Y MULTIVARIADO MÓDULO DE TRABAJO No : TALLER No : 04 TÍTULO: DURAIÓN: BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA INTEGRAIÓN MULTIPLE ALULO, JAMES STEWART ALULO, THOMAS FINNEY OBJETIVO Lograr la comprensión conceptual y desarrollar la habilidad para plantear y aplicar modelos matemáticos con el uso de las integrales dobles. PREGUNTAS ONEPTUALES 0. ómo determina las integrales iteradas para calcular una integral múltiple?. Establezca las diferencias y las semejanzas entre integrales con una variable e integrales múltiples.. ómo utiliza las gráficas en el plano para hallar las regiones de integración? 3. Si f es una función constante f( ky R={(:a b; cyd } será que kda k( ba)( dc), es decir el volumen de un paralelepípedo? R EJERIIO. Sea R = {(:0 6;0 y4. Sea R = {(:- ;0y }, calcular R y da. }, evalué cos ( da y ddy 3. Evalúe la integral iterada 0 0 y 4. Trace la región de integración y cambie el orden de integración y f R 0 y 5. Evalúe la integral invirtiendo el orden de integración cos PROBLEMAS DE APLIAIÓN, cos 0 arcseny y ddy ddy. Si f es una función constante f( ky R={(:a b; cyd } será que kda, es el volumen de un paralelepípedo?. En caso afirmativo determine las R dimensiones y el volumen.

5 5. alcule el volumen del sólido comprendido entre la superficie z y, z y arriba de la región R y:,0 y y y z, 0, z0en el primer octante. 3. Halle el volumen del sólido limitado por el cilindro y los planos FAULTAD DE IENIAS BÁSIAS TALLER NOMBRE DE LA ASIGNATURA: ALULO VETORIAL Y MULTIVARIADO MÓDULO DE TRABAJO No : TALLER No : 05 TÍTULO: DURAIÓN: BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA INTEGRAIÓN MULTIPLE ALULO, JAMES STEWART ALULO, THOMAS FINNEY OBJETIVO Desarrollar integrales dobles utilizando el cambio a coordenadas polares. PREGUNTAS ONEPTUALES. uál es la epresión de la diferencial de área en coordenadas polares?. En que situaciones es ventajoso utilizar las coordenadas polares para evaluar integrales dobles? EJERIIOS. Evalúe la integral dadonde R es el disco con centro en el origen y radio 5. R. Utilice una integral doble en coordenadas polares para hallar el área de la región de un pétalo de Rosa r cos 3. y 3. Evalúe la integral e dydpasando a coordenadas polares Evalúe la integral iterada pasando a coordenada polares PROBLEMAS DE APLIAIÓN 0 0 y dyd.. Utilice coordenadas polares para hallar el volumen del sólido limitado por los paraboloides 3 z 3y, z 4 y.. Hallar el área de la superficie del paraboloide Z y que se encuentra bajo el plano Z 4.

6 6 FAULTAD DE IENIAS BÁSIAS TALLER NOMBRE DE LA ASIGNATURA: ALULO VETORIAL Y MULTIVARIADO MÓDULO DE TRABAJO No : TALLER No : 06 TÍTULO: DURAIÓN: BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA INTEGRAIÓN MULTIPLE ALULO, JAMES STEWART ALULO, THOMAS FINNEY OBJETIVO Desarrollar integrales triples utilizando el cambio de coordenadas. PREGUNTAS ONEPTUALES. uál es la epresión de la diferencial de volumen en coordenadas cilíndricas?. uál es la epresión de la diferencial de volumen en coordenadas esféricas? 3. En que situaciones es ventajoso utilizar las coordenadas cilíndricas para evaluar integrales triples? 4. En que situaciones es ventajoso utilizar las coordenadas esféricas para evaluar integrales triples? EJERIIOS. Evalúe E zdv, donde E es el tetraedro sólido limitado por los cuatro planos 0, y 0, z 0, y yz.. Evalúe la integral triple 3. Evalúe la integral triple y z 4 4 y el plano 4. PROBLEMAS DE APLIAIÓN z y y 0 ze ddydz 0. 0 dv donde E esta limitado por el paraboloide E 3. Utilice una integral triple para hallar el volumen del sólido limitado por el cilindro elíptico 4 z 4 y los planos y 0, yz. 4. Halle el volumen del solido acotado por arriba por la esfera. y por abajo 3 por el cono.

7 7 FAULTAD DE IENIAS BASIAS GUIAS DE APRENDIZAJE NOMBRE DE LA ASIGNATURA: MODULO DE TRABAJO No. : GUIA DE APRENDIZAJE No. : TITULO: DURAION: ONEPTOS PREVIOS: RITERIOS DE EVALUAION: BIBLIOGRAFIA SUGERIDA: ALULO VETORIAL Y MULTIVARIADO 07 AMPOS VETORIALES, ROTAIONAL Y DIVERGENIA Vectores e integrales múltiples La guía debe ser resuelta de manera grupal o individual y tendrá un valor según lo pactado. ALULO, JAMES STEWART ALULO, THOMAS FINNEY TEMA: AMPOS VETORIALES, AMPOS ONSERVATIVOS, ROTAIONAL Y DIVERGENIA OBJETIVO - Lograr la comprensión conceptual y desarrollar la habilidad para plantear y aplicar modelos matemáticos con el uso de los campos vectoriales, el rotacional y la divergencia. RITERIOS DE EVALUAIÓN La guía debe ser resuelta de manera grupal o individual y tendrá un valor según lo pactado. TIEMPO: HORAS TEMATIA AMPOS VETORIALES, AMPOS ONSERVATIVOS, ROTAIONAL Y DIVERGENIA Un campo vectorial en tres dimensiones es una función F cuyo dominio D es un subconjunto de R 3, y cuyo contradominio es un subconjunto dev 3. Si ( D, entonces F ( M( in( jp( k, donde M, N y P son funciones escalares de tres variables y cuyo contradominio constituye un subconjunto de V 3.

8 8 Un campo vectorial en dos dimensiones es una función F cuyo dominio D es un subconjunto de R, y cuyo contradominio es un subconjunto dev. Si ( D, entonces F ( M( in( j, donde M y N son funciones escalares de dos variables y cuyo contradominio constituye un subconjunto de V. Por ejemplo, podemos representar la velocidad V( de un fluido mediante un vector dibujado en cada punto ( del dominio del fluido, y la colección de vectores que resulta es un campo de velocidades. Para hacerse una idea visual de un campo vectorial, se dibujan vectores V ( en forma de flechas, en puntos seleccionados de D. Un diagrama de este tipo es la gráfica del campo. EJEMPLO. Vamos a dibujar la gráfica del campo F( yij, para esto hallamos el valor de F en varios puntos: F( 3,4) 4i 3 j ; F(,) i j ; F(,0) 0i j; F( 0, ) i0 j Podemos calcular tantos valores de F como queramos. La siguiente figura muestra varios de ellos y fue obtenida con MATHEMATIA: Se utilizo los comandos <<Graphics`PlotField` y PlotVectorField[{-},{-,},{-,}, Aes->True, AspectRatio->Automatic, PlotPoints->5, Frame->True, ScaleFunction->(.5#&)] Gráfica del campo vectorial F( yij Parece que cada vector es tangente a un círculo con centro en el origen. Para confirmar esto, tomamos el producto punto del vector de posición i yj con el vector F( yij el cual da cero. Observe que el radio del círculo es igual a la magnitud del vector F( yij.

9 9 La gráfica de un campo vectorial suministra información interesante sobre las propiedades del campo. Por ejemplo supongamos que F representa la velocidad de un fluido compresible, por ejemplo un gas, en un punto (, del plano. Entonces F asigna un vector velocidad a cada punto (, del plano, y la gráfica de F es una imagen del flujo del gas. Para un flujo constante como Y un flujo circular como F( 5i 3j F( 5 yi3j, tenemos las siguientes gráficas: F( 5i 3j F( 5 yi3j EJEMPLO. La siguiente gráfica representa el campo vectorial de flujo del aire. ampo vectorial de flujo del aire EJEMPLO. Vamos a dibujar la gráfica del campo F( 0i 0jzk, para esto hallamos el valor de F en varios puntos: F( 3,4, ) 0i 0jk ; F(,,3) 0i 0j3k ; F(,0,0) 0i 0j0k ; F( 0,,5) 0i 0j5k. Podemos calcular tantos valores de F como queramos. La siguiente figura muestra varios de ellos y fue obtenida con MATHEMATIA: Se utilizo los comandos <<Graphics`PlotField3D` y PlotVectorField3D[{0,0,z}, {-,},{-,},{z,-,}, Aes->True, AspectRatio->Automatic, PlotPoints->8, Frame- >True, VectorHeads->True, AesLabel->{z}];

10 0 F( 0i 0jzk El campo vectorial anterior se puede graficar a mano gracias a la sencillez de su fórmula, pero resulta prácticamente imposible trazar a mano la mayor parte de los campos vectoriales tridimensionales y es necesario emplear un sistema algebraico de cómputo. EJEMPLOS F( yizjk F( yij k F( y i j z k z z 4 Nótese que las fórmulas de los dos primeros campos vectoriales tienen formulas semejantes, pero los vectores de la segunda figura, en general, apuntan en la dirección negativa del eje Y, porque su segunda componente es siempre. Si el campo vectorial de la tercera figura representara un campo de velocidades, entonces el movimiento de una partícula seria hacia arriba, en forma de espiral alrededor del eje Z, visto desde arriba, en el sentido de las manecillas del reloj. EJERIIOS. Dibuje algunos vectores representantes del campo vectorial dado (A) F( iyj; (B) F( iyj; () F( yij; (D) F( ij3k ; (E) F( i jzk; (F) F( iyj3k ; (G) F( iyjzk.

11 AMPO DE VARIAION INVERSA AL UADRADO DE LA DISTANIA r iyjzk el vector de posición de un punto k ( Sea. Se dice que un campo vectorial F es un campo de variación inversa al cuadrado de la distancia sí ( c u donde c es un escalar y u es un vector unitario que tiene la r u r. r F misma dirección que r y está dada por EJEMPLO Describamos el campo omo ( c u con c < 0. r F u r y r iyjzk entonces F( c u cr = r r r 3 = c( iyjzk) 3 ( y z ) F ( z es un múltiplo escalar negativo de r, la dirección de c ( F( la magnitud de F es r k( z al origen. k ( z se aleja del origen, la longitud del vector F ( z disminuye. En la figura siguiente se indican algunos vectores Observamos que ) F es hacia el origen. Además inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del punto ) Esto significa que cuando el punto ) asociado ) típicos de este campo. La fuerza de la gravedad determina un campo de tipo de variación inversa al cuadrado. Según la ley de gravitación universal de Newton, si una partícula de masa M se coloca en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares, entonces la fuerza que ejerce sobre una partícula de masa m localizada en k ( es ( G Mm u r F donde G es la constante de gravitación universal, r es el vector de posición del punto k ( y u r. r

12 También en la teoría de la electricidad aparecen los campos de tipo de variación inversa al cuadrado. La ley de coulomb afirma que si una carga eléctrica puntual Q (en coulombs) se encuentra en el origen, entonces la fuerza F ( que ejerce sobre otra carga q (en coulombs) localizada en ( c es una constante, u r y r iyjzk r misma forma que la ley de gravitación universal de Newton. k es F( c Qq u donde r. Observe que la ley de coulomb tiene la AMPO VETORIAL ONSERVATIVO (independencia del camino) Si w f(, entonces el gradiente de la función w f(, w f ( i fy( j fz( k es un campo vectorial. Por un teorema anterior la dirección del vector w en cualquier punto k( es normal a la superficie de nivel S de f que pasa por k (, además la magnitud de w es igual a la razón máima de cambio de f en el punto k (. Se dice que un campo vectorial F ( es un campo vectorial conservativo si es el gradiente de una función escalar, es decir, si F( f ( para una función f. Si F ( es conservativo, entonces la función f es una función de potencial para F (, y w f( se llama potencial en el punto k (. EJEMPLO F( yi j es conservativo y tiene ( y. En efecto f yi j el cual coincide con F. omprobemos que el campo vectorial potencial escalar f Una región D se llama conea si se pueden unir cualesquiera dos de sus puntos por un arco enteramente contenido en D y si además toda curva cerrada encierra solo puntos de D, se dice que D es simplemente conea. Sea F ( M( in( j donde M y N tienen primeras derivadas parciales continuas en una región D abierta y simplemente conea, entonces F ( M( in( j M N es conservativo en D, si y solo si y

13 3 EJEMPLO Dado el campo vectorial F( ( e seny i( e cosy ) j M ( e seny y y N( e cosy ) M N, entonces y f F M( f ( y y N( f ( Sea ) luego F es conservativo. Ahora hallemos una función potencial f tal que, observemos que debe ser ) y hacemos una integración parcial, es decir, integramos con respecto a y tomamos a y como constante:, como también debe ser M( d( e seny de seny y f( c( f y N( calculamos la derivada parcial con respecto a así obtenemos: f y e y y c y e y dc y(, ) ( sen ( )) cos igualando a y dy N( e cosy y despejando dc dy tenemos cos dc e y e cosy dy dc integrando hallamos que c( yc, luego dy f( e seny yy c. ualquier función de esta familia es un potencial f( e seny yy así escalar de F, luego podemos tomar EJERIIO. Demuestre que todo campo vectorial del tipo de variación inversa al cuadrado (o de tipo gravitacional) es conservativo. 3. Demuestre que el campo vectorial F es conservativo y halle un potencial escalar f. (A) () F ( yi j (B) F ( ( i( y ) j F y os e (, ) ( ( osy yseny )) i( e Seny ) j i j k y z Definimos el operador diferencial vectorial una función escalar f, da como resultado el gradiente de f. grd f f f i f jk f k y z. Si actúa sobre ROTAIONAL DE F Sea Funa función vectorial en tres dimensiones dada por F ( M( in( jp( k donde M, N y P tienen derivadas

14 4 parciales en alguna región. El Rotacional de F está dado por rotf XF( P N ) i( M P ) j( N M ) k y z z y Se usará el símbolo rotf XF para denotar el vector rotf ( o XF (, asociado a (., La fórmula para rotf( se puede considerar como el desarrollo de un determinante con respecto al primer renglón. EJEMPLO Encontremos el rotacional de i rotf XF y z 4 j y yz i j k rotf XF y z M N P F 4 3 ( y z i( yz ) jy z k k z 3 y z (3y z 3 4 ) i4y z j(4yy k Si F es el campo de velocidades en un fluido (líquido o gas) que se mueve a través de un sistema de coordenadas rectangulares, entonces rotf XF da información acerca del aspecto giratorio o rotativo del movimiento. Si se considera un punto k ( alrededor del cual el fluido gira, entonces rotf XFcoincide con el eje de rotación y se puede emplear para describir las propiedades rotacionales del campo. INTERPRETAION FISIA DEL ROTAIONAL

15 5 Si un fluido se mueve en una región del plano se puede imaginar el rotacional como la circulación del fluido. Una buena manera de medir el efecto de la circulación (módulo, dirección y sentido) es colocar una pequeña rueda con aspas en el fluido el rotacional mide la tasa de rotación del fluido en el punto k( en el que se coloca la rueda con aspas en la dirección de su eje. El rotacional es positivo para la rotación en el sentido contrario a las manecillas del reloj y negativo en el sentido de las manecillas del reloj. Sea F ( M( in( jp( k la velocidad de un fluido incompresible y supongamos que introducimos una rueda con aspas en el fluido, de tal manera que su eje es el eje z. Despreciamos el peso de las aspas. El fluido tiende a arremolinarse alrededor del eje z haciendo que giren las aspas. Podemos estudiar el movimiento del fluido mediante el de las aspas. Se puede ver que la velocidad angular del líquido: P N y z ( M P z ( N M y Alrededor del eje es proporcional a ( ) Alrededor del eje y es proporcional a ) Alrededor del eje z es proporcional a ) rotf XF Así la tendencia del fluido a formar un remolino viene medida por. Si =0 el fluido no tiene movimiento rotacional y se dice que es irrotacional. rotf XF DIVERGENIA DE F Sea F ( M( in( jp( k donde M, N y P tienen derivadas parciales en alguna región. La Divergencia de F está dado por DivF F M N p y z F Se usa el símbolo para la divergencia por que la formula puede establecerse tomando lo que parece ser el producto escalar de y F. EJEMPLO Encontremos la divergencia F 4 3 ( y z i( yz ) jy z k y z y z y z 4 3 DivF F ( ) ( ) ( ) y z y z y z DivF F da información DivF en un punto k ( k ( z. Si Si F es el campo de velocidades en un fluido, entonces acerca del flujo o desplazamiento de la masa. Si 0 entonces la masa fluye hacia el punto y se dice que hay un sumidero en )

16 DivF 0 k (. La condición 0, entonces la masa fluye desde el punto y se dice que hay una fuente en DivF es característica de los fluidos incompresibles. EJERIIOS Sea f una función escalar y F una función vectorial. Probar que 4. ff f F f F 5. F G F G 6. F G F G 7. ff f F f F 8. FG F G G F F ( M( in( jp( k En un campo vectorial,, donde M, N y P son funciones escalares de tres variables pueden definirse limites, continuidad, derivadas parciales e integrales múltiples usando las componentes de F ( M( in( jp( k tal como se hizo para las funciones vectoriales de una variable. EJERIIOS Halle la divergencia y el rotacional de: 09. F( Seni osyj 0. F( iy jz k. F ( ( i( y j( z) k y z yz. F( e ie je k en ( 3,,0 ) 6

17 7 NOMBRE DE LA ASIGNATURA: MODULO DE TRABAJO No. : GUIA DE APRENDIZAJE No. : TITULO: DURAION: ONEPTOS PREVIOS: RITERIOS DE EVALUAION: BIBLIOGRAFIA SUGERIDA: FAULTAD DE IENIAS BASIAS GUIAS DE APRENDIZAJE ALULO VETORIAL Y MULTIVARIADO 08 INTEGRALES DE LINEA Integrales múltiples, ampos vectoriales, campos conservativos, rotacional y divergencia. La guía debe ser resuelta de manera grupal o individual y tendrá un valor según lo pactado. ALULO, JAMES STEWART ALULO, THOMAS FINNEY TEMA: INTEGRALES DE LINEA OBJETIVO - Lograr la comprensión conceptual y desarrollar la habilidad para plantear y aplicar modelos matemáticos con el uso de las integrales de linea. RITERIOS DE EVALUAIÓN La guía debe ser resuelta de manera grupal o individual y tendrá un valor según lo pactado. TIEMPO: HORAS TEMATIA INTEGRALES DE LINEA O INTEGRALES URVILINEAS Definición de Integral curvilínea. Para construir modelos matemáticos de ciertas nociones físicas, como trabajo o potencial, hay que generalizar el concepto original de integral considerando límites de sumas cuyos sumandos dependen de una cierta forma de una curva, llamada camino de integración. Esto nos lleva al concepto de integral curvilínea, que es realmente la integración a lo largo de una curva en el espacio. omenzamos definiendo la integral curvilínea de una función f sobre una curva con respecto a. Las integrales correspondientes respecto de y o de z se definen de manera análoga.

18 8 Una curva de ecuaciones paramétricas R ( t) ( t) iy( t) jz( t) k se llama lisa en ' ' ' el intervalo t t t si las tres derivadas ( t), y ( t) y z ( t) son continuas y no se anulan simultáneamente en ningún punto t del intervalo. Más generalmente, es lisa a trozos si se puede descomponer en un número finito de partes lisas. Se dice que es orientable si es posible definir una dirección sobre cuando t crece. Supongamos que es una porción de una curva lisa a trozos, orientable, que comienza en p p0 y termina en q pn. Supongamos que se hace una partición de en n trozos mediante los puntos P 0, P, P,..., P k, P k,..., P n, P n y sean ( k, yk, zk ) las coordenadas del punto P k, finalmente para k=,, 3,...,n elijamos arbitrariamente un punto P k ( k, y k, z k) en el arco que va de P n hasta P k, y sean k k k, y k yk yk, z k zk zk. Al mayor k lo llamaremos la - norma de la partición y la designaremos por. Se pueden definir de manera análoga, la y norma y la z norma. Para una función escalar dada f formamos la n suma S n k f ( Pk ) k y se define la integral curvilínea fd Lim f( Pk ) siempre y cuando eista este límite. De manera análoga se define: n n fdy Lim f ( Pk ) y y 0 k, fdz Lim z f ( 0 k k Pk ) z k 0 k k

19 9 Propiedades de las integrales curvilíneas Sea f una función escalar dada, definida con respecto a en una curva lisa a trozos y orientada. Entonces se verifican las siguientes propiedades: Regla del múltiplo constante: kfd k fd, donde k es una constante. Regla de la suma: ( f f) d fd fd, donde f y f son funciones escalares definidas respecto de en. Regla de la dirección opuesta: curva recorrida en sentido opuesto. Regla de subdivisión: fd subarcos y con número finito de subdivisiones. Las integrales de la forma fd fd fd fd y, donde designa a la misma, donde esta subdividida en. Esta propiedad se generaliza a un gdy, o, hdz gozan de las mismas propiedades. Demostración: La demostración se sigue directamente de la definición de integral curvilínea y de las propiedades de los límites. alculo de integrales curvilíneas en paramétricas: En la práctica casi nunca se calcula la integral fd mediante la definición. En lugar de eso observamos que, si la función integrando f ( es continua en y si se puede representar en paramétricas por la función vectorial R ( t) ( iy( t) jz( t) k en la que eiste la derivada y es distinta de cero para todo a t b, entonces b d fd f t y t z t dt a ( ( ), ( ), ( )). De manera análoga, si g y h son continúas en, dt b gdy g t y t z t dy b ( ( ), ( ), ( )) dt dz, hdz h( ( t), y( t), z( t)) dt a dt a Estas fórmulas nos permiten convertir las integrales curvilíneas en integrales de riemann ordinarias, que pueden ser calculadas por los métodos conocidos. Se tiene el mismo resultado independientemente de la parametrización de elegida. dt EJEMPLO Sea el trozo de la parábola ( ydy ) ) y desde (0,0) a (,4). Hallemos yd ( y

20 0 Sol: Hacemos, yd ) dy t dt t luego ( = t Ahora y t, en el intervalo 0 t d. omo dt ( t ) d dt 6 t dt dt 0 3 ( ) y t t dy dt t. 6 0, así 0 t 0 dt se tiene que EJERIIO yz. alcule dz para t. e donde es la curva de ecuaciones paramétricas t, yt, zt INTEGRALES URVILINEAS DE AMPOS VETORIALES Vamos a estudiar ahora que se entiende por calcular una integral curvilínea de un campo vectorial. Sea F ( f( ig( jh( k un campo vectorial, y sea la curva definida por las paramétricas R ( t) ( t) iy( t) jz( t) k, designamos a la integral de F sobre por F dr y la definimos, así: dr fd gdy hdz F = b f( t), y( t), z( t) d g ( t), y( t), z( t) dy h ( t), y( t), z( t) dz dt a EJEMPLO alculemos F dr, donde F y z i yz j ( ) ( ) k ecuaciones paramétricas t, yt, zt para 0t. F dr t t 4 6 t dt 9, luego FdR (6t 3 8t t ) dt 0 30 dt dt y es la curva de dt EJEMPLO Sea, F yi yj, calculemos la integral dr F entre los puntos,0,,4 0 sobre los caminos: (a) el segmento que une esos puntos y (b) el arco de la parábola y que une esos puntos. (a). La recta que pasa por los dos puntos tiene como ecuación y, luego una parametrización es t, yt para 0t, así R( t) titj y dr dti dtj, luego t it j y F dr4t dt4t dt y FdR 8t dt3 0 F 3

21 y se parametriza por t, yt para 0t ( t) tit j, luego 5 4 F yi yjt i t j y 5 F drt dtt dt t dt 5 FdR 3t dt3 (b). La parábola R 0, así y En este ejemplo hemos visto que el valor de la integral es el mismo para los dos caminos. Además se puede demostrar que, para la integral curvilínea dr F F es la misma para cualquier camino que una yi yj 0,0, con,,4. OJO, que esto no es cierto para cualquier F, pero cuando es cierto decimos que la integral curvilínea es independiente del camino. EJEMPLO alculemos ( yd d donde es el camino cerrado de la siguiente figura El camino cerrado se describe mejor usando tres ecuaciones distintas,,, 3. Sea F yij de tal manera que F dryd d luego F dr= F dr+ F dr+ F dr. 3

22 osty, Sent para 0t R ( t) ( ost ) i( Sentj ) y dr ( Sentd ) i( ostdt ) j Sobre, la parametrización es, luego, luego F yij( Sent ) i( ostj ) y así F dr = ( Sen tdtostdt ) dt 0 0 Sobre, la parametrización es 0, yt para 0t, luego R ( t) ( t) j dr dtj y así F dr= 0 0 Sobre 3 0, la parametrización es, t, y0 para 0t y F dr 3 F dr = F dr + F dr + F dr.= 00 3 EJERIIO. alcule F dr donde F yi j y,0, hasta,0 3. Sea, F ( 5 ij, calculemos la integral dr y =0 de donde y es la semicircunferencia superior recorrida en el sentido contrario a las agujas del reloj desde F entre los puntos 0,0,, sobre los caminos: (a) el segmento que une esos puntos y (b) el segmento rectilíneo desde,0 0, 0, hasta,. alculo del trabajo mediante integrales curvilíneas 0 hasta seguido del segmento rectilíneo desde Una de las aplicaciones físicas más importantes de las integrales curvilíneas es el cálculo del trabajo. Recordemos que si un objeto se mueve sobre una línea recta un desplazamiento R en presencia de un campo de fuerzas constante F, el trabajo efectuado es, F R. El caso en que la fuerza F no es constante y el objeto se mueve sobre una curva lisa requiere atención adicional. Supongamos que esta parametrizada R (t) y orientada en el sentido del movimiento. Se hace una partición de por puntos P 0, P,..., P n, como se muestra en la siguiente figura:

23 3 Para k,,..., n sea Qk un punto elegido arbitrariamente en el k esimo subarco k (on etremos P k y p k ) y sea F k el valor del campo de fuerzas F en Q k. Si la longitud del subarco k es muy pequeña, Fserá, aproimadamente constante, con valor F k sobre k y el desplazamiento del objeto a lo largo de k estará aproimado por el vector secante Rk que va desde P k hasta p k entonces el trabajo realizado por la fuerza cuando el objeto recorre k se puede aproimar por Wk = ( Rk Fk ) t sumando los trabajos a lo largo de todos los subarcos tenemos una estimación del trabajo total realizado por F cuando el objeto se mueve sobre. uando t 0, el valor límite de esta suma es la integral de, es decir: n WLim t 0k Rk Fk t t 0 F dr/ dt Aquí F es un campo continuo de fuerza en un dominio D. t = F dr dt= dt F dr EJEMPLO un objeto se mueve en el campo de fuerzas F y i( ) yj, en sentido contrario a las agujas del reloj, desde el punto (,0 ), sobre el camino elíptico 4y 4 hasta (,0 ) y luego vuelve al punto (,0 ) moviéndose sobre el eje. Vamos a calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas sobre el objeto: Sea el camino total descrito por el objeto. El Trabajo total W que realiza F sobre el t objeto al desplazarse este sobre está dado por la integral F dr. Dividimos en dos partes (elipse) y (segmento del eje ). Se parametriza la curva así: osty, Sent0 t. Así R ( t) (ost ) i( Sent ) j y dr ( t) ( Sentdt ) i( ostdt ) j. Sustituyendo tenemos, F ( Sent) i(4ostsent Sent ) j, Así W FdR = ( Sen 3 t4ostsent Sentost ) dt 0 0 La curva tiene como ecuación y 0 luego, sobre ella, 0 W FdR 0, por consiguiente, W W W 00 0 F, y por tanto,

24 4 EJERIIO 4. Se da un campo de fuerzas plano por la epresión F ( y ) i yj. Halle el trabajo total realizado por esta fuerza al mover un punto material en sentido contrario a las manecillas del reloj por el perímetro del cuadrado de vértices ( 0,0),(,0),(,),(0,) alculo de integrales curvilíneas respecto de la longitud de arco Las integrales curvilíneas de la forma F dr se pueden epresar a menudo de otras formas. Por ejemplo recordemos que T dr es un vector tangente unitario a ds la curva en el punto P ( donde S es el parámetro longitud de arco. Tenemos que dr F = ds F dr Tds ds F. En particular, el trabajo realizado por un campo de fuerzas F sobre un objeto que se mueve sobre una curva se puede epresar en la forma W FdR FTds. Esta integral se llama integral curvilínea de la componente tangencial de F y se puede escribir también en la forma f ( ds. Eistirá la integral si f es continua en y si es lisa a trozos, con longitud finita. Se puede obtener una fórmula para calcular esta integral curvilínea observando que, si R ( t) ( t) iy( t) jz( t) k, entonces dr d dy dz d dy k dz i j ) ds dt dt dt dt dt ( ) ( dt dt ) dt f ds ds f( dt dt R ( t) ( t) iy( t) jz( t) k donde a t b, entonces b ' ' f( ds f( ( t), y( t), z( t)) ( ' ( t)) ( y( t)) ( z ( t )) dt ( de tal forma que (. Así si f es continua sobre la curva lisa y está definida por a EJEMPLO Hallemos ( y ds donde es la curva en paramétricas dada por t, y, t zt, para0 t. d dt omo,,, tenemos que dy dz dt dt ( y ds ( () ( )) () () () t t dt t.

25 5 EJERIIO 5. alcular ( ds donde viene dado por R ( t) ( ost) i( Sent) j con t alcular ( y ) dsdonde viene dado por R ( t) ( ost) i( Sent) j con 0t EL TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS INTEGRALES URVILINEAS Recuérdese que, en virtud del teorema fundamental del cálculo si la derivada continua en b a b, entonces ' d [ f( )] f ( ) d f( b) f( a) a El siguiente teorema es una generalización para las integrales curvilíneas: b a f ' es Sea F un campo vectorial conservativo en la región D y sea f una función potencial escalar de F, es decir, tal que f F. Entonces, si es una curva lisa a trozos contenida completamente en D, con punto inicial P y final Q, se tiene Por tanto, la integral dr Demostración F dr f( Q) f( P) F es independiente del camino. Probaremos este teorema en el caso en que la curva sea lisa en D, dejando el caso más general, en que es lisa a trozos, como ejercicio. Supongamos que está definida por la función vectorial R ( t) ( t) iy( t) j para a t b, P R(a ), Q R(b ). omo F( f ( f ( i f ( y j tenemos que: F dr b a y ) dr b F dt f y d f y dy dt dt [ a (, ) y(, ) ] dt dt b d = [ f ( ( t), y( t)] dt regla de la cadena al revés a dt = f( ( b), y( b)) f( ( a), y( a)) teorema fundamental del cálculo. f( Rb ( )) f( Ra ( )) f( Q) f( P) EJEMPLO Hallemos F dr donde F e Seny y i e ( ) ( osy ) j 3 t por R ( t) ( t Sen t ) i( os( )) j, para 0t. y es el camino dado

26 6 El cálculo de esta integral por métodos paramétricos es difícil y tedioso. Primero veamos que el campo vectorial F( ( e seny i( e cosy ) j es conservativo y hallemos una función potencial: Sea M ( e seny y N( e cosy ) M N, entonces luego F es y f F conservativo. Ahora hallemos una función potencial f tal que, observemos que debe ser M( f( y N( fy( hacemos una integración parcial, es decir, integramos con respecto a y tomamos a y como constante:, como también debe ser M( d( e seny de seny y f( c( f y N( calculamos la derivada parcial con respecto a así obtenemos: f y e y y c y e y dc y(, ) ( sen ( )) cos igualando a y dy N( e cosy dc y despejando dy tenemos cos dc e y e cosy dc así dy dy c( yc, luego f e seny yy c es un potencial escalar de F, luego podemos tomar f( e seny yy integrando hallamos que (. ualquier función de esta familia. En virtud del teorema fundamental de las integrales curvilíneas, el valor de esta integral solo depende de los valores de f en los etremos del camino. Naturalmente hay que comprobar que se satisfacen las hipótesis del teorema para F y. En el etremo para t 0 se tiene que R( 0) 0i [( ) os( )] j 0i 0j 0 f ( 0,0) e Sen En el etremo correspondiente a t se tiene que R() [ Sen ] i[( ) os ] j i j f (, ) e Sen e 3 Aplicamos ahora el teorema fundamental de las integrales curvilíneas: FdR f( Q) f( P) f(, )- (0,0 ) 3 f = e -0= e 3,

27 7 EJERIIO 7. Demuéstrese que no se realiza trabajo cuando, en un campo conservativo de fuerzas, se hace recorrer a un objeto un circuito cerrado, partiendo de un punto y finalizando en el mismo. TEOREMA DE LA URVA ERRADA PARA UN AMPO ONSERVATIVO El campo vectorial continuo F es conservativo en una región D abierta y conea si y solo si F dr 0 para toda curva cerrada, lisa a trozos, contenida en D. Demostración Si una integral curvilínea F dr es independiente del camino en la región D abierta y conea, entonces F dr 0 para toda curva cerrada, lisa a trozos, contenida en D. En efecto, si P y Q son dos puntos del camino y T es el camino de P a Q por la parte de arriba y es el camino de Q a P por la parte de abajo, se debe tener B B F dr F dr y F dr F dr T + F dr T = FdR B - F dr T T dr =0 Recíprocamente, si F 0 para toda curva cerrada en D, (termine la demostración). Resumiendo: Supongamos que F( tiene derivadas parciales primeras continuas en una región abierta y conea D y sea una curva lisa a trozos en D. Las condiciones siguientes son equivalentes: I. F dr es independiente del camino en D II. F es conservativo, es decir, F f, para una cierta función f definida en D III. F dr 0 para todo camino cerrado que encierra solo puntos de D.

28 8 EJEMPLO Demuestre que curva: para la F ( y ) i ( j es conservativo y calcule yd ydy y, y ; P (, ), Q (,0 ) ( y ) y, ( y ) y y yd ydy Hallemos las derivadas cruzadas conservativo y =0. por lo tanto F es EJERIIO 8. Demuestre que F ( y ) i ( j la curva: para es conservativo y calcule yd ydy (a). y, P (, ), Q (,0 ) (b). P (, ), Q (,0 ) El ejemplo y el ejercicio anteriores sirve para mostrar que la integral curvilínea es cero si el campo F es conservativo y el camino es cerrado. Además, si la curva no es cerrada, entonces el valor de la integral es independiente de los caminos indicados.

29 9 NOMBRE DE LA ASIGNATURA: MODULO DE TRABAJO No. : GUIA DE APRENDIZAJE No. : TITULO: DURAION: ONEPTOS PREVIOS: FAULTAD DE IENIAS BASIAS GUIAS DE APRENDIZAJE ALULO VETORIAL Y MULTIVARIADO 09 TEOREMA DE GREEN, TEOREMA DE LA DIVERGENIA Y TEOREMA DE STOKES RITERIOS DE EVALUAION: BIBLIOGRAFIA SUGERIDA: Integrales múltiples, ampos vectoriales, campos conservativos, divergencia, e integrales curvilíneas. La guía debe ser resuelta de manera grupal o individual y tendrá un valor según lo pactado. ALULO, JAMES STEWART ALULO, THOMAS FINNEY TEMA: TEOREMA DE GREEN, TEOREMA DE LA DIVERGENIA Y TEOREMA DE STOKES OBJETIVO - Lograr la comprensión conceptual y desarrollar la habilidad para plantear y aplicar los teoremas de green, divergencia y stokes. RITERIOS DE EVALUAIÓN La guía debe ser resuelta de manera grupal o individual y tendrá un valor según lo pactado. TIEMPO: 4 HORAS TEMATIA TEOREMA DE GREEN Sea D una región simplemente conea con un borde liso a trozos y orientado positivamente. Sí el campo vectorial F ( M( in( j Es continuamente diferenciable en D tenemos que ( Md Nd ( N M ) da D y

30 30 Demostración Una región estándar es una región en que ninguna recta vertical ni horizontal corta a la frontera en más de dos puntos. Vamos a demostrar primero el teorema de Green para regiones estándar y luego indicaremos como tratar el caso general. Supongamos que D es una región estándar con borde. omenzamos demostrando que M ddy D Md. y omo D es una región estándar, la frontera se compone de una porción inferior L y una porción superior U que son las gráficas de dos funciones f ( ), f( ) respectivamente, en un cierto intervalo a b. En esta situación podemos calcular la integral doble por integración iterada: M M M b f( ) b b ddy D y dyd ( dyd ) D y a = f( ) y ( f ( )) d a M( f ( a Md Md U = L Md Md ) Md U L N ddy D Ndy N M da N ddy M ( ) ddy D D = D M ) d ( Md y M ) d = ( ; Análogamente tenemos que, por lo tanto y concluye la demostración en el caso de una región estándar. Ndy Nd (. Esto Si D es una región no estándar, se puede descomponer en un número finito de subregiones estándar mediante cortes horizontales y verticales, se aplica entonces a cada una de estas la demostración para regiones estándar y se suman los resultados. Las integrales curvilíneas sobre los cortes cancelan a pares, y después de las cancelaciones la única integral curvilínea que eventualmente permanece es la etendida a la frontera eterior. Por tanto ( Md Nd ( N M ) da D y

31 3 EJEMPLO omprobemos que se verifica el teorema de Green para la integral curvilínea, yd dy, donde es la curva cerrada de la figura. Primero calculamos la integral directamente. La curva consta del segmento del eje desde (-,0) hasta (,0) seguido de la semicircunferencia desde (,0) hasta retornar a (-,0). Parametrizamos esas dos curvas: t, y0; t ossy, Sens ; 0 s ( yd d ( yd d d = Así: ( yd (0 t0) ( Sens ( Sensds ) oss ( oss ) ds) ( Sen soss ) ds 0 0 dt = Ahora calculemos esa misma integral utilizando el teorema de Green. Observese que la curva frontera es simple y M y, N luego F( yij es continuamente diferenciable. El dominio D está definido por las relaciones, 0 y,. Aplicamos ahora el teorema de Green: ( ( ) da dyd D y 0 ( ) () ( yd d AREA DEL SEMIIRULO= EJERIIO. Halle el trabajo realizado por la fuerza F ( ( y ) i( y y Seny ) j sobre un objeto que recorre el camino cerrado en el plano una vez, dibujado en la siguiente figura:

32 3 AREA OMO UNA INTEGRAL URVILINEA Sea D una región plana simplemente conea con borde liso a trozos. El área A de la región D es igual a la integral A ( yd d Demostración Sea F( ij. omo F es continuamente diferenciable en D, se puede aplicar el teorema de Green. c ( yd d ( ( ) ( ) da D daluego A y D ( yd d EJEMPLO y b tiene área igual a ab a aost, ybsent, 0t A ( yd d = ( ( bsent )( asentdt ) ( aostbostdt )( )) = ab 0 Demostremos que la elipse Las ecuaciones paramétricas de la elipse son EJERIIO. alcule el área y compruebe el resultado usando la formula elemental correspondiente: él circulo y 4 3. alcule el área y compruebe el resultado usando la formula elemental correspondiente: el trapecio de vértices, ( 0,0),(4,0),(0,3),(,3 ).

33 33 Forma alternativa del teorema de Green El teorema de Green se puede epresar de una forma que se generaliza facilmente 3 a. Para ello debe observarse que, si, entonces F ( M( in( j i j k rotf XF = ( N ) i( M ) j( N M ) k y z z z y M N 0 Así podemos escribir el enunciado del teorema de Green en la forma F dr ( rotfk) da. uando generalicemos este resultado lo llamaremos el D teorema de Stokes. FORMULA INTEGRAL Sea F ( M( in( j sobre una región D con borde liso a trozos. Entonces F Nds divfda, donde N es el vector normal unitario a hacia D afuera. En efecto, sea definida por R ( s) ( s) iy( s) j; el vector tangente unitario T a ' ' ' ' es: T ( s) iy ( s) j, así el unitario normal hacia fuera es N y ( s) i( s) j. Aplicando el teorema de Green M dy d Md b F Nds ( Mi Nj) ( y ' ' ( s) i( s) j) ds b ( N ) ds ( Nd a a ds ds M N ) ddy D divfda D (. uando generalicemos este resultado lo y llamaremos el teorema de la divergencia. EJERIIO 4. Un Astronauta está atrapado en una habitación alienígena sujeto a un campo del lado oscuro de la fuerza, de ecuación F y ye y y (, ) ( y 3 ) i( e 3 y osyj ). Suponiendo que el astronauta esta en (0,0) y la puerta de salida está en el (5,4). Halle el camino de mínimo esfuerzo para escapar.

34 34 INTEGRALES DE SUPERFIIES Una superficie es lisa si tiene un plano tangente en todo punto y es lisa a trozos si consta de un número finito de piezas que son superficies lisas. Por ejemplo una esfera es lisa y un cubo es liso a trozos, porque consta de seis caras lisas y dos caras adyacentes se cortan en una arista, donde la superficie no es lisa. Una superficie es orientable si es lisa con un vector normal unitario N que varía continuamente con el punto. Una superficie cerrada es la que limita un sólido. La región encerrada por S se llama el interior y la otra se llama el eterior. La normal N es una normal hacia fuera si apunta hacia el eterior; si apunta hacia el interior es una normal hacia adentro. No nos interesaran superficies lisas a trozos con una sola cara, como la banda de mobius, que se obtiene retorciendo media vuelta una tira de papel y pegando los etremos. De ahora en adelante la palabra superficie significara superficie orientable lisa a trozos. 3 Sea S un conjunto de puntos de. Un punto frontera de S en un punto P tal que cualquier esfera de centro P contiene puntos de S y puntos que no están en S. La frontera de S es el conjunto de todos sus puntos frontera. El conjunto S es cerrado si contiene todos sus puntos frontera. Una región sólida es acotada si está contenida en una esfera. Vamos ahora a definir la integral de superficie de una función escalar g. Supongamos que g está definida y es continua sobre una superficie S. Se hace una partición de S en n subregiones y designamos por Sk el área de la k-esima de ellas. Sea P un punto arbitrariamente elegido en la subregion k-esima, para * k k=,,...,n Se forma la suma n g * ) k ( P k S y se toma el limite cuando la mayor Sk k tiende a cero. Si este límite eiste se llama integral de superficie de g sobre S, y se designa por S g ( ds. uando una superficie se proyecta en el plano y en una región R y y S se representa por z f(, entonces ds f f y da donde da y es ddyo dydo rdrd si da y está dada en coordenadas polares, Así Si S es una superficie definida por f( R su proyección en el plano. Si z y y

35 f, f, f son continuas en y superficie de g sobre S es: S g ds R R y g es continua en S, entonces la integral de ( = g( f( )( ( f( ) ( fy( ) ) day y Si tomamos g=, la integral da el área de la superficie: A. Superficie = S ds EJEMPLO alculemos la S g ( ds dónde g( z 3y y S es la porción del plano 3y z6 que se proyecta sobre el cuadrado unidad R y : 0; 0y. En la ecuación del plano despejamos z: z 63y y f (, f y ( 3, luego S ds 4dA g ( ds= z 4dA ( ) (3) day ( 3 S y y, por tanto ( dyd 4 6dyd = 6 4 dyd 3 4 = ( R y R y Una aplicación útil de la integral de superficie es la de hallar el centro de masa de una lámina delgada cuya forma es la de una superficie S, como muestra la figura: Supongamos que ( es la densidad (masa por unidad de área) en un punto (, de la lámina, entonces la masa total, m de la lámina viene dada por una integral doble, que es la siguiente: m ( ds S Si designamos por ( al centro de masa de la lámina, se tiene: ( ds m S y y ( ds m,, S S z z ( ds m

36 36 EJEMPLO Hallemos la masa de una lámina de densidad ( z que tiene la forma del hemisferio z a y. omenzamos calculando ds z ( a ) ( ) y ds z da por z y y ; ( a y ) ( y ); a( a y ) da = y. Así la masa del hemisferio S está dada ( z ds= S zds= y ) a( a y ) R m ) S y ( a da = INTEGRALES DE SUPERFIIE DE AMPOS VETORIALES Muchas aplicaciones de las integrales de superficie necesitan de la integral de la componente normal, de un campo vectorial F dado, es decir, de una integral de la, donde N es el unitario normal eterior (hacia afuera) de la forma F S NdS superficie S. onsideremos el ejemplo siguiente: EJEMPLO z y y a 3 alculemos F NdSdonde F yi zj( k S y S es la región triangular del plano +y+z= contenida en el primer octante. Supóngase que N es la normal que apunta en sentido opuesto al origen. Sea, g( z y. Entonces g, g y el unitario normal buscado es N ( ) i( ) jk = ( i j k). Luego, F N ( yz ( ) ( ) 3 3 F N ( y y = ( y ),y ds g gy day 3 3 y, luego 3 da = y La pieza que necesitamos del rompecabezas antes de calcular la integral es hallar la proyección de S sobre el plano y. En la figura vemos que es una región triangular, que designamos por T como el conjunto de todos los puntos ( tales que, para todo entre 0 y, la y varía entre 0 y - finalmente tenemos que F NdS= ( y) 3dA T y 3 S = 0 0 ( y ) dyd 3 = 4

37 37 SUPEFIIES EN PARAMETRIAS Si una superficie S se define parametricamente por la función vectorial R ( u, v) ( u, v) i y( u, v) j z( u, v) k en la región D del plano uv, el área de S está dada por R R dudv D u v f( ds f( R) Ru R f sobre D está dada por, entonces si f es continua en D, la integral de superficie de S D v dudv EJEMPLO alculemos ( y ds donde S es la superficie definida en paramétricas por S R ( u, v) (u v) i( u v) j( u3v ) k, 0u, 0v R iyjzk, entonces u v, yu v, zu3v. omo f( yz f( R) u vuv u3. También tenemos que i j k Ru i jk, Rv ij3k, tenemos: Ru Rv 5i 5j5k. Así 3 Si tenemos que v S ( y ds= f( ds f( R) R R dudv= ( 4u v)( 5 3dudv ) = 40 3 S D u v 0 0 EJERIIOS 5. alcule la integral dada, donde S es el hemisferio y 4 (a). S zds, con z 0 y ) zds (b). ( ds, (c). S ( S ( y ) donde S es la superficie limitada por arriba por S 6. alcule la integral ds el hemisferio z y y por abajo0 por el plano z=0. 7. alcular, F NdSy suponga que N es la normal hacia fuera. S (a). F iyj3zk y S es la parte del plano 5 y 3z 6 que yace sobre el cuadrado unidad 0, 0y (b). F iy j z k y S es el trozo del plano y y ( y ds S R( u, v)u ivjuk, 0u, v 8. alcule z que está dentro del cilindro donde S es la superficie definida por

38 9. alcule y ( ds donde S es la superficie definida por S R( u, v)uiu jvk, 0u, 0v 0. Halle la masa de la lámina homogénea que tiene la forma de la superficie S: (a). S es la superficie z=0-- con z 0, y0 y, con z 0 (b). S es la superficie z= (c). S es el triángulo con vértices (,0,0),(0,,0),(0,0, ) 38 EL TEOREMA DE STOKES El teorema de Green se puede enunciar así, A F dr rotfk) da (. Donde A es la región plana limitada por la curva cerrada. El teorema de stokes es una 3 generalización de este resultado a superficies con borde en. ORIENTAION OMPATIBLE. La superficie S queda a la izquierda de alguien que camine sobre la curva en el sentido contrario a las de las agujas del reloj. Es decir la orientación de la curva cerrada trazada sobre la superficie orientable S es compatible con la orientación de S si la orientación de es la del sentido contrario a las agujas del reloj respecto de la normal hacia fuera de la superficie. Si se apunta el pulgar derecho hacia la normal hacia fuera, los dedos se curvaran en el sentido de una curva de orientación compatible. Sea S una superficie orientada con vector normal unitario N y supongamos que S tiene un borde, que es una curva cerrada, lisa a trozos, cuya orientación es compatible con la de S. Si F es un campo vectorial continuamente diferenciable en S se verifica que: DEMOSTRAION (ejercicio para el lector) S F dr ( rotfnds ) Interpretación física del teorema de Stokes F V Recordemos que la densidad de fluido es el campo vectorial,, donde V es la velocidad de un fluido con densidad. La densidad del fluido mide el volumen de fluido que cruza la superficie S por unidad de tiempo y se llama también el flujo de F a través de S. Supongamos que la superficie S está en la región en la que el fluido fluye. Si N es el unitario normal a S, entonces F N es la componente del flujo en dirección normal a S.- Entonces la masa del fluido que fluye a través de S en la unidad de tiempo en la dirección normal a la superficie está dada por una integral de superficie, que se llama una integral de flujo. y está dada por F S NdS

39 39 Si V es el campo de velocidades del flujo de un fluido, entonces rot V mide la tendencia del fluido a rotar o formar remolinos. Normalmente si el fluido fluye a través de la superficie S, la tendencia rotacional variara de punto a punto en la superficie y la integral de superficie ( rotvnds medirá la tendencia rotatoria acumulada sobre toda la superficie S. ) S El teorema de stokes nos dice que esta tendencia rotatoria acumulada es igual a la integral curvilínea, V dr. Para interpretar esta integral curvilínea recuérdese que se puede escribir en la forma, V Tds, en función del parámetro longitud de arco s y el vector unitario tangente T a la curva. Así la integral curvilínea suma la componente tangencial del campo de velocidades V sobre el borde y es razonable interpretar V Tds como una medida de la circulación del fluido sobre. Lo que esto quiere decir, ( rotv N) ds V Tds donde el miembro de la izquierda mide la tendencia S acumulada de un fluido a hacer remolinos a través de una superficie S y el de la derecha mide la circulación de un fluido a lo largo de una curva. En física y otras áreas aplicadas se usa el teorema de stokes como una herramienta para enunciar propiedades generales. EJEMPLO Test de campo conservativo Si F y Rot F son continuos en la región simplemente conea D, entonces F es S (rotv N) conservativo en D si y solo si rot F=0 en D. En efecto, Si F es conservativo, sea f una función potencial escalar o sea tal que F f, entonces por las propiedades de la rotacional rotf F f 0. Recíprocamente, si rot F = 0 sea la curva borde de la superficie lisa S, el teo de stokes dice F dr ( rotfnds ) 0dS0 luego la integral es independiente S del camino y F debe ser conservativo. S EL TEOREMA DE LA DIVERGENIA Sea D una región del espacio limitada por una superficie orientable lisa y cerrada S. Si F es un campo vectorial continuo cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas en D. Entonces