Unidad 1: Integrales Múltiples

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1 Unidad 1: Integrales Múltiples 1.1 Integrales dobles y triples. (1) Definir qué es una función integrable Riemann. (2) Decidir cuándo una función es integrable Riemann. (3) Enunciar y aplicar las propiedades básicas de la integral de Riemann. (4) Calcular la integral de Riemann de funciones definidas en rectángulos. (5) Enunciar y ejemplificar el Teorema de Fubini. (a) Repasar la construcción de la integral de Riemann en una variable. (b) Definir particiones, sumas de Riemann y definir lo que es una función integrable Riemann, para funciones definidas en rectángulos. Se puede también introducir el concepto de integrabilidad vía sumas superiores e inferiores de Darboux. (c) Mostrar ejemplos del comportamiento de estas sumas en un caso particular sencillo, para convencer a los estudiantes de que realmente las sumas convergen. (d) Presentar las propiedades de la integral: linealidad y aditividad de dominios. Presentar una pseudodemostración (sin ɛ y δ) de alguna de ellas. Y cómo se pueden usar estas para calcular integrales de funciones más complicadas que las conocidas. (e) Usar la interpretación geométrica de la integral, para calcular la integral en casos, donde los conocimientos básicos permitan calcularlas. Por ejemplo el cálculo de volúmenes. 1

2 Unidad 1: Integrales Múltiples (f) Enunciar que las funciones continuas son todas integrables, presentar un ejemplo de una función que no sea integrable Riemann y otro donde la función no sea continua pero integrable. Según la madurez de los estudiantes explicar el Teorema de Lebesgue sobre la caracterización de las funciones integrables Riemann. (g) Enunciar el Teorema de Fubini y presentar una pseudo-demostración (sin ɛ y δ) en el caso más sencillo cuándo la función a integrar es continua. Mostrar como se usa este Teorema y el Teorema Fundamental del Cálculo para reducir el cálculo de integrales en dos y tres variables al cálculo de integrales en una variable. 1.2 Aplicaciones de las integrales dobles al cálculo de áreas y volúmenes. (1) Definir qué es una región elemental. (2) Decidir cuándo una región del plano o del espacio es o se puede descomponer como unión de regiones elementales con interiores disjuntos. (3) Calcular la integral de una función definida en una región elemental. (4) Enunciar y ejemplificar el Principio de Cavalieri. (a) Definir regiones elementales y ejemplificar. (b) Definir el área de regiones elementales y usar el Teorema de Fubini para mostrar cómo se calcula el área de estas regiones. (c) Presentar el Principio de Cavalieri, dar una demostración usando el Teorema de Fubini. Mostrar varios ejemplos de cómo se usa este principio para el cálculo de volúmenes conociendo las áreas de secciones transversales. (d) Definir y calcular algunos ejemplos de centro de masa y momento de inercia. 2

3 Unidad 1: Integrales Múltiples 1.3 Aplicaciones de las integrales triples al cálculo de volúmenes. 1.4 Teorema del cambio de variables en las integrales dobles y triples. 1.5 Cambio de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. (1) Definir qué es una región elemental. (2) Decidir cuándo una región del plano o del espacio es o se puede descomponer como unión de regiones elementales con interiores disjuntos. (3) Calcular la integral de una función definida en una región elemental. (1) Definir qué es un cambio de coordenadas. (2) Enunciar el Teorema del cambio de Variable. (3) Calcular integrales dobles y triples usando el Teorema del Cambio de Variable. (1) Definir qué son las coordenadas polares, esféricas y cilíndricas. (2) Calcular las imágenes y pre-imágenes de regiones elementales por estos cambios de coordenadas. (3) Calcular integrales dobles y triples usando los cambios de coordenadas polares, esféricas o cilíndricas. (a) Definir regiones elementales y ejemplificar. (b) Definir el área de regiones elementales y usar el Teorema de Fubini para mostrar cómo se calcula el volumen de estas regiones. (c) Definir y calcular algunos ejemplos de centro de masa y momento de inercia. (a) Definir cambios de variables (difeomorfismos), presentar como ejemplo los cambios afines de coordenadas. (b) Enunciar el Teorema de Cambio de Variable, comparar con el caso de una variable. (c) Presentar ejemplos que muestren la utilidad del Teorema ( simplificación de cálculos). (a) Definir coordenadas polares, esféricas y cilíndricas. (b) Mostrar cómo transforman estas coordenadas algunos subconjuntos del plano y el espacio, de manera de desarrollar la intuición del estudiante. (c) Mostrar cómo se aplica el Teorema del Cambio de Variable en estos casos, enfatizando el cálculo de las regiones trasformadas. En particular, mostrar cómo se calcula el área de una región elemental en coordenadas polares. 3

4 Unidad 1: Integrales Múltiples Estrategias de evaluación: La evaluación de estos temas será hecha con un examen escrito. Se evaluaran directamente la comprensión de las definiciones, teoremas ( lemas, corolarios, proposiciones ) dados en clase. La evaluación será el viernes de la semana siguiente a la semana en que se terminan las exposiciones de los temas. La evaluación valdrá el 8 % del total de la nota. Recursos: Pizarrón y tiza. Al menos tres ejemplares de los libros recomendados en la bibliografía. Acceso a internet. Licencias de los programas Mathematica y Maple, usados para graficar los objetos estudiados en este curso. Cronología: 13 clases ( semanas ). 4

5 Unidad 2: Operadores Diferenciales Clásicos 2.1 Campos escalares y campos vectoriales. 2.2 Gradiente, rotacional y divergencia, propiedades e interpretación geométrica. (1) Definir qué es un campo escalar y un campo vectorial y mostrar sus diferencias. (2) Representar geométricamente un campo vectorial en R 2 y en R 3. (1) Definir qué son los operadores gradiente, rotacional y divergencia. (2) Enunciar qué propiedades tienen. (3) Interpretar geométricamente estos operadores. (4) Calcular estos operadores usando sus propiedades básicas. (a) Definir campos escalares y vectoriales en R 2 y en R 3. (b) Presentar los ejemplos clásicos: el campo gravitacional, campo giratorio. (c) Mostrar como se representan los campos vectoriales, usando intuitivamente la noción de vector libre (anclado). (d) Definir las componentes de un campo vectorial y mostrar su interpretación geométrica. (a) Definir el gradiente de un campo escalar y dar una interpretación geométrica del mismo. (b) Definir el rotacional y la divergencia de un campo vectorial y dar una interpretación geométrica de ellos. (c) Presentar las propiedades del gradiente, el rotacional y la divergencia y demostrar alguna de ellas. (d) Definir un campo conservativo, rotacional y solenoidal. Mostrar que el campo gravitacional es conservativo. (e) Mostrar cómo se puede calcular una función potencial de un campo rotacional en algunos casos ( recuerde que depende de la forma del dominio ). 5

6 Unidad 2: Operadores Diferenciales Clásicos Estrategias de evaluación: La evaluación de estos temas será hecha con un examen escrito. Se evaluaran directamente la comprensión de las definiciones, teoremas ( lemas, corolarios, proposiciones ) dados en clase. La evaluación será el viernes de la semana siguiente a la semana en que se terminan las exposiciones de los temas. La evaluación valdrá el 8 % del total de la nota. Recursos: Pizarrón y tiza. Al menos tres ejemplares de los libros recomendados en la bibliografía. Acceso a internet. Licencias de los programas Mathematica y Maple, usados para graficar los objetos estudiados en este curso. Cronología: 3 clases ( 1 semana ). 6

7 Unidad 3: Integrales de Línea 3.1 Curvas en R 2 y R 3, parametrización y orientación. 3.2 Integral de Línea de un campo escalar y de un campo vectorial. (1) Definir curva parametrizada. (2) Describir la noción de curva identificandola con la de un subconjunto de R 2 o R 3 que es descrito por un parámetro. (3) Describir la noción de orientación de una curva e identificarla con la dirección en la que ella es recorrida cuando el parámetro que la describe recorre el intervalo donde varía. (1) Definir la integral de línea de campos escalares e interpretarla en términos de la longitud de arco de la curva sobre la que está definida (área de una cortina curva). (2) Definir la integral de línea de campos vectoriales e interpretarla en términos del trabajo hecho por el campo vectorial sobre la curva. (a) Recordar la definición de curva parametrizada suave (diferenciable), de la velocidad y la rapidez.. Presentar los ejemplos básicos: un punto, la recta, cónicas, hélices, cicloides. (b) Mostrar el concepto de orientación, enfatizando que toda curva tiene dos orientaciones posibles. Mostrar ejemplos: en la recta, en el círculo. (a) Definir longitud de arco de una curva. Dar una motivación de la definición usando sumas de Riemann. (b) Definir la integral de línea de un campo escalar y presentar la interpretación geométrica como el área de la cortina definida por la curva y el campo escalar. (c) Definir la integral de un campo vectorial y presentar la interpretación geométrica de esta como el trabajo hecho por el campo vectorial sobre la curva. 7

8 Unidad 3: Integrales de Línea 3.3 Ejemplos de la integral de línea: vía longitud de un curva; vía el trabajo hecho por un campo vectorial sobre una curva. 3.4 Propiedades de la integral de línea: linealidad, independencia de la parametrización para integrales de línea de campos escalares, dependencia de la orientación de la curva para integrales de línea, invariabilidad de la integral sobre caminos homotópicos, etc. (1) Calcular integrales de línea a partir de la definición y su interpretación geométrica. (1) Enunciar las propiedades de la integral de línea de campos escalares. (2) Enunciar las propiedades de la integral de línea de campos vectoriales. (3) Calcular integrales de línea usando las propiedades de ésta. (a) Presentar ejemplos de cálculos de integrales de línea donde la geometría del problema permita calcularlas usando la interpretación geométrica. (a) Enunciar la propiedad de linealidad de la integral de línea y esbozar su demostración. (b) Enunciar y demostrar la propiedad de la independencia de la parametrización en el caso de campos escalares. Ilustrar la propiedad con ejemplos sencillos. En particular cómo usar esta propiedad para calcular integrales de línea cuándo la parametrización de la curva no está dada. (c) Enunciar y demostrar la dependencia de la orientación en el caso de campos vectoriales. Ilustrar la propiedad con ejemplos sencillos. (d) Presentar la noción de curvas homotópicas y mostrar ejemplos. Enunciar la propiedad de invariabilidad de la integral de línea sobre curvas homotópicas. Mostrar como usar esta propiedad para facilitar el cálculo de integrales de líneas. 8

9 Unidad 3: Integrales de Línea 3.5 Teorema de Green en R 2. (1) Enunciar el teorema de Green. (2) Explicar la conexión que hay entre integrales dobles y de línea hecha por el teorema de Green. (3) Calcular integrales dobles usando el Teorema de Green. (4) Calcular integrales de línea usando el Teorema de Green. (a) Enunciar el teorema de Green y presentar la demostración en el caso del cuadrado unitario. (b) Presentar la interpretación del Teorema de Green en términos de la divergencia del campo vectorial. (c) Mostrar algunos ejemplos de cómo se usa el Teorema de Green para calcular integrales de línea e integrales dobles. (d) 3.5 Caracterización de campos vectoriales conservativos. (1) Decidir cuándo un campo vectorial es conservativo. (2) Calcular la función potencial de un campo conservativo. (a) Mostrar la caracterización de un campo conservativo en términos de la anulación del trabajo hecho por este sobre cualquier curva cerrada. En particular, mostrar que en dominios simplemente conexos (explicarlo de forma intuitiva) todo campo rotacional es conservativo. (b) Mostrar métodos para calcular el potencial de un campo conservativo. 9

10 Unidad 3: Integrales de Línea Estrategias de evaluación: La evaluación de estos temas será hecha con un examen escrito. Se evaluaran directamente la comprensión de las definiciones, teoremas ( lemas, corolarios, proposiciones ) dados en clase. La evaluación será el viernes de la semana siguiente a la semana en que se terminan las exposiciones de los temas. La evaluación valdrá el 8 % del total de la nota. Se hará una evaluación integral de las unidades 1,2,3 que tendrá un valor de 30 %. Recursos: Pizarrón y tiza. Al menos tres ejemplares de los libros recomendados en la bibliografía. Acceso a internet. Licencias de los programas Mathematica y Maple, usados para graficar los objetos estudiados en este curso. Cronología: 6 clases ( 2 semanas ). 10

11 Unidad 4: Integrales de superficie 4.1 Superficies en R 3 : parametrizadas, como conjunto de ceros de una función escalar, etc. ( cilindros, conos, toros, paraboloides, hiperboloides, elipsoides). (1) Interpretar la noción de superficie como aquellos conjuntos en R 3 que pueden ser descritos por dos parámetros. (2) Decidir de forma intuitiva cuándo un subconjunto de R 3 es una superficie. (3) Calcular parametrizaciones de subconjuntos de R 3 que son superficies. (a) Recordar qué es una superficie parametrizada suave (diferenciable), mostrar ejemplos como el plano, la esfera, el cono, el toro. Presentar el criterio que permite obtener algunas superficies como conjuntos de ceros de funciones escalares con gradiente no nulo. 4.2 Orientación de superficies. (1) Interpretar la noción de orientación de una superficie, como la posibilidad de definir dos lados en ésta. (a) Definir la orientabilidad de una superficie en términos de la existencia de campos normales. Presentar ejemplos como el plano, la esfera, el toro. (b) Mostrar cómo la existencia de campos normales, permite crear la noción de lado de una superficie. Presentar el ejemplo de la Banda Möbius como un caso donde esto no se puede hacer. (c) Enfatizar que todas las superficies que se obtienen como conjuntos de ceros de una función escalar con gradiente no nulo son las orientables. 11

12 Unidad 4: Integrales de superficie 4.3 Integral de superficie de un campo escalar y de un campo vectorial. 4.4 Ejemplos de la integral de superficie: vía el área de una superficie; vía el flujo de un campo vectorial a través de una superficie. (1) Definir la integral de superficie de campos escalares. (2) Definir la integral de superficie de campos vectoriales. (3) Interpretar la integral de superficie de un campo vectorial como la medida de la cantidad de flujo que sale o entra en la superficie. (1) Calcular integrales de superficie a partir de la definición y su interpretación geométrica. (a) Definir el elemento de área de una superficie parametrizada y usarlo para definir el área de una superficie parametrizada. Motivar la definición vía sumas de Riemann. (b) Definir la integral de superficie de un campo escalar sobre una superficie parametrizada. Mostrar ejemplos de cómo se calcula. (c) Definir la integral de superficie de un campo vectorial sobre una superficie parametrizada. Mostrar ejemplos de cómo se calcula. (d) Mostrar cómo se define la integral de superficie, cuándo esta se puede escribir como imagen de una parametrización cuya inyectividad falla en el borde de su dominio de definición. (e) Mostrar cómo se puede reescribir la integral de superficie de u n campo vectorial, en términos del flujo que sale o entra en la superficie. (a) Presentar ejemplos de cálculos de integrales de superficie donde la geometría del problema permita calcularlas usando la interpretación geométrica. 12

13 Unidad 4: Integrales de superficie 4.5 Propiedades de la integral de superficie: linealidad, independencia de la parametrización para integrales de superficie de funciones escalares, dependencia de la orientación de la superficie para integrales de superficie de campos vectoriales. (1) Enunciar las propiedades de las integrales de superficie. (2) Utilizar las propiedades de las integrales de superficie para su cálculo. (a) Enunciar la propiedad de linealidad de la integral de superficie y esbozar su demostración. (b) Enunciar y demostrar la propiedad de la independencia de la parametrización en el caso de campos escalares. Ilustrar la propiedad con ejemplos sencillos. En particular cómo usar esta propiedad para calcular integrales de superficie cuándo la parametrización de la superficie no está dada. (c) Enunciar y demostrar la dependencia de la orientación en el caso de campos vectoriales. Ilustrar la propiedad con ejemplos sencillos. 4.5 Teorema de Gauss. (1) Enunciar el Teorema de Gauss. (2) Exponer la conexión que hay entre integrales triples y de superficie hecha por el teorema de Gauss. (3) Utilizar el Teorema de Gauss para calcular tanto integrales triples como de superficie. 4.5 Teorema de Stokes. (1) Enunciar el Teorema de Stokes. (2) Exponer la conexión que hay entre integrales de línea y de superficie hecha por el Teorema de Stokes. (3) Utilizar el Teorema de Stokes para calcular tanto integrales de línea como de superficie. (4) Señalar que el Teorema de Green es un caso particular del Teorema de Stokes. (a) Enunciar el Teorema de Gauss y presentar la demostración en el caso del cubo unitario. Enfatizar en el enunciado, como éste depende de la orientación del borde del dominio donde se aplica. (b) Mostrar algunos ejemplos de cómo se usa el Teorema de Gauss para calcular integrales de superficie e integrales triples. (a) Enunciar el Teorema de Stokes. Enfatizar en el enunciado, como éste depende de la orientación del borde del dominio donde se aplica. (b) Mostrar algunos ejemplos de cómo se usa el Teorema de Stokes para calcular integrales de superficie e integrales de línea. 13

14 Unidad 4: Integrales de superficie 4.5 Caracterización de campos vectoriales solenoidales. (1) Decidir cuándo un campo vectorial solenoidal. (2) Calcular el potencial vectorial de un campo solenoidal. (a) Mostrar la caracterización de un campo solenoidal en términos de la anulación del flujo de éste a través de cualquier superficie cerrada. (b) Mostrar métodos para calcular el potencial vectorial de un campo solenoidal. 14

15 Unidad 4: Integrales de superficie Estrategias de evaluación: La evaluación de estos temas será hecha con un examen escrito. Se evaluaran directamente la comprensión de las definiciones, teoremas ( lemas, corolarios, proposiciones ) dados en clase. La evaluación será el viernes de la semana siguiente a la semana en que se terminan las exposiciones de los temas. La evaluación valdrá el 8 % del total de la nota. En la mitad de esta unidad se hará una evaluación integral con un peso del 30 % y que abarcará las unidades 1,2,3 y parte de ésta. Recursos: Pizarrón y tiza. Al menos tres ejemplares de los libros recomendados en la bibliografía. Acceso a internet. Licencias de los programas Mathematica y Maple, usados para graficar los objetos estudiados en este curso. Cronología: 9 clases ( 3 semanas ). 15

16 Unidad 5: Introducción a las Ecuaciones diferenciales ordinarias 5.1 Introducción al concepto de ecuación diferencial ordinaria: definición, existencia de soluciones, unicidad de soluciones. 5.2 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. (1) Definir qué es una ecuación diferencial ordinaria. (2) Definir qué es una solución de una ecuación diferencial ordinaria y decidir que una función es una solución. (3) Explicar qué quiere decir que la solución de una ecuación diferencial ordinaria es única. (4) Definir qué es el grado y el orden de una ecuación diferencial ordinaria. (1) Identificar cuándo una ecuación diferencial de primer orden es lineal, distinguiendo los casos homogéneos y no homogéneos. (2) Calcular las soluciones de una ecuación diferencial de primer orden lineal. (3) Calcular soluciones de una ecuación diferencial de primer orden lineal que cumpla con ciertas condiciones dadas. (a) Definir una ecuación diferencial ordinaria. Dar ejemplos: y = t, y = y, y = t, y = sen(t), etc. (b) Definir cuando una función y(t) es solución de una ecuación diferencial ordinaria e ilustrar la definición con varios ejemplos. (c) Mostrar que una ecuación diferencial ordinaria tiene muchas soluciones y usar esto para introducir el concepto de unicidad de las soluciones (problema de Cauchy). Presentar el ejemplo y = y 1/2, para ilustrar la no unicidad de soluciones. (a) Presentar la ecuación lineal de primer orden y = a(t) y+b(t) y deducir por integración la forma general de sus soluciones. (b) Mostrar la unicidad de soluciones para el problema de Cauchy, usando la forma general de las soluciones. (c) Presentar varios ejemplos de cómo usando la fórmula general se pueden conseguir soluciones que cumplan ciertas condiciones dadas: acotación de la solución, comportamiento en el infinito, etc. 16

17 Unidad 5: Introducción a las Ecuaciones diferenciales ordinarias 5.3 Ecuaciones diferenciales de variables separables. 5.4 Ecuaciones que se reducen a una de variables separables, por un cambio de variables. 5.5 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. (1) Decidir cuándo una ecuación diferencial ordinaria es de variables separables. (2) Saber calcular sus soluciones. (1) Identificar algunos tipos de ecuaciones diferenciales lineales que se puedan resolver haciendo cambio de variables. (2) Calcular las soluciones de algunas ecuaciones diferenciales ordinarias que por cambio de variable se reducen a las ya conocidas. (1) Identificar cuándo una ecuación diferencial de segundo orden es lineal, distinguiendo los casos homogéneos y no homogéneos y cuándo es de coeficientes constantes. (2) Calcular las soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden lineal. (3) Calcular soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden lineal que cumpla con ciertas condiciones dadas. (a) Presentar la ecuación diferencial ordinaria: y = f(t) g(y) y deducir por integración la forma general de la solución de esta ecuación. Hacer énfasis en la hipótesis g(y) 0. (b) Estudiar el caso cuándo g(y) = 0, y mostrar por qué este caso tiene que ser estudiado por separado. (a) Explicar qué significa el cambio de variables en una ecuación diferencial ordinaria y cómo obtener la nueva ecuación a partir de la anterior en algún ejemplo sencillo, por ejemplo y = 1 t+y+1 con el cambio de variables x = t + y + 1. (b) Presentar otros ejemplos como la ecuaciones homogéneas, Ricatti, Bernoulli, etc. según tiempo disponible. (a) Presentar la ecuación lineal de segundo orden y + a(t) y + b(t)y + c(t) = 0, tratar primero el caso homogéneo. (b) En el caso de coeficientes constantes, usar el caso lineal como motivación para la búsqueda de soluciones de la forma e λt y de aquí obtener el polinomio característico. (c) Presentar el principio de superposición, con la idea de construir la solución general. 17

18 Unidad 5: Introducción a las Ecuaciones diferenciales ordinarias (d) Presentar los tres casos posibles de soluciones (caso de coeficientes constantes), según sea la forma de las raíces del polinomio característico. En el caso complejo, trabajar por analogía con el caso real. (e) Presentar la construcción de la solución general en el caso no homogéneo. (f) Observar que en el caso de coeficientes no constantes, la solución sólo se puede construir si se conocen dos soluciones linealmente independientes conocidas. (g) Según la disponibilidad de tiempo, presentar varios ejemplos de cómo usando la fórmula general se pueden conseguir soluciones que cumplan ciertas condiciones dadas: acotación de la solución, comportamiento en el infinito, etc. 5.6 Soluciones singulares de una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden y desarrollo mediante series alrededor de un punto singular. (1) No hay tiempo (a) 18

19 Unidad 5: Introducción a las Ecuaciones diferenciales ordinarias 5.7 Interpretación geométrica de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden en forma normal y aplicaciones. 5.8 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden no resueltas respecto a la derivada e interpretación geométrica. (1) No hay tiempo (a) (1) No hay tiempo (a) 19

20 Unidad 5: Introducción a las Ecuaciones diferenciales ordinarias Estrategias de evaluación: La evaluación de estos temas será hecha con un examen escrito. Se evaluaran directamente la comprensión de las definiciones, teoremas ( lemas, corolarios, proposiciones ) dados en clase. La evaluación será el viernes de la semana siguiente a la semana en que se terminan las exposiciones de los temas. La evaluación valdrá el 8 % del total de la nota. Se hará una evaluación integral de las unidades 4 y 5 que tendrá un valor de 30 %. Recursos: Pizarrón y tiza. Al menos tres ejemplares de los libros recomendados en la bibliografía. Acceso a internet. Licencias de los programas Mathematica y Maple, usados para graficar los objetos estudiados en este curso. Cronología: 10 clases ( semanas ). 20