Carácter Modalidad Horas de estudio semestral (16 semanas) Seminario Taller Con Indispensable X

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1 PROGRAMA DE ESTUDIOS: CÁLCULO VECTORIAL PROTOCOLO Fechas Mes/año Clave Semestre 3 0 Elaboración 07/2004 Nivel Licenciatura X Maestría Doctorado Aprobación Ciclo Integración Básico X Superior Aplicación Colegio H. y C.S. C. y T. X C. y H. Plan de estudios del que forma parte: Ciclo Básico del Colegio de Ciencia y Tecnología Propósito(s) general(es) Al término de este curso el estudiante: Manejará y dominará los métodos básicos del cálculo vectorial y visualizará a este como una herramienta que le permitirá adquirir un esquema lógico de razonamiento a nivel vectorial, a través del estudio de curvas y superficies en el espacio, y de los conceptos de diferenciabilidad e integrabilidad para campos escalares y campos vectoriales; lo anterior servirá para plantearse modelos bidimensionales y tridimensionales que tienen que ver con los procesos tecnológicos. Carácter Modalidad Horas de estudio semestral (16 semanas) Seminario Taller Con Indispensable X Docente Teóricas 32 Autónomas Teóricas 16 Curso X Curso-taller Prácticas 64 Prácticas 16 Carga horaria semanal: Carga horaria Optativa * Laboratorio Clínica 6 x 16 = 96 semestral: Asignaturas Previas Álgebra y Geometría Analítica, Cálculo Diferencial, Cálculo Integral. Asignaturas Posteriores: Ecuaciones Diferenciales, Estadística y Probabilidad, Análisis Numérico y las propias de Ingeniería. Requerimientos para cursar la asignatura Conocimientos y habilidades: Elementos básicos de álgebra, geometría analítica y cálculo. Perfil deseable del profesor: Formación matemática a nivel licenciatura o posgrado. Academia responsable del programa: Matemáticas Diseñador (es): Aquellas en las que se ofrece la posibilidad de cursar una de las asignaturas, para cubrir un requisito INDISPENSABLE será considerada INDISPENSABLE.

2 Introducción El cálculo vectorial es una herramienta poderosa que permite modelar matemáticamente en áreas del conocimiento como física, química, ingeniería etc, y cuenta con aplicaciones a la industria. Así, en la formación del ingeniero, es de gran importancia tratar con modelos funcionales en los cuales el valor de una cantidad depende de dos o más valores; esto es así, ya que el espacio ambiente en el que vivimos (universo) ha sido modelado por representaciones tridimensionales espaciales y de mayor dimensión. En la materia de cálculo vectorial el estudiante desarrollará habilidades para analizar, inferir, abstraer y generalizar y trabajará los conocimientos necesarios para visualizar el cálculo como una herramienta poderosa que le permitirá abordar materias posteriores como ecuaciones diferenciales, estadística y probabilidad etc, y le permitirá ir conformando un pensamiento científico en su forma de razonar y actuar para su futuro quehacer profesional. De esta forma, al término del curso de cálculo vectorial el estudiante podrá realizar las operaciones básicas entre vectores y su interpretación geométrica, comprenderá el concepto de función entre espacios euclidianos, sus operaciones, gráficas y las nociones de límite, continuidad y diferenciabilidad (derivada direccional, derivada parcial, gradiente, jacobiana, divergencia, rotacional etc). El estudiante podrá obtener el desarrollo de Taylor para campos escalares en la vecindad de un punto y encontrará los máximos, mínimos y puntos silla. También utilizará los multiplicadores de Lagrange. Conocerá los conceptos de integral múltiple, integral de línea y superficie. Aprenderá, discutirá y aplicará los teoremas de Green, Gauss y Stokes a la física, geometría e ingeniería Todos estos conocimientos le aportarán al estudiante las herramientas necesarias para poder abordar el estudio y la interpretación de los fenómenos de interés desde la perspectiva científica y tecnológica. La materia será abordada a través de clases teóricas activas en las que el estudiante planteará preguntas y definirá estrategias de aprendizaje que lleven a despejar sus dudas a través de la resolución de problemas diversos y propios de la carrera que esta cursando. Se fortalecerá el trabajo en grupo y el papel del profesor será de orientador de las discusiones de los problemas planteados. Propósitos generales Al término de este curso el estudiante: Manejará y dominará los métodos básicos del cálculo vectorial y visualizará a este como una herramienta que le permitirá adquirir un esquema lógico de razonamiento a nivel vectorial, a través del estudio de curvas y superficies en el espacio, y de los conceptos de diferenciabilidad e integrabilidad para campos escalares y vectoriales; lo anterior para plantearse modelos bidimensionales y tridimensionales que tienen que ver con los procesos tecnológicos

3 Nombre del programa de estudios: Cálculo Vectorial. 1. EL ESPACIO EUCLIDIANO R n. No. de sesiones: 8 El estudiante conocerá las operaciones básicas de suma de vectores en R n y multiplicación de un vector en R n por un escalar en R; así como, las propiedades que satisfacen estas operaciones. Podrá representar geométricamente a los vectores en R 2 y R 3, conocerá las aplicaciones a la geometría y a la física. Se familiarizará con los conceptos de producto punto estándar y norma euclidiana en R n ; conocerá las propiedades y la relación que existe entre estos dos conceptos. Manejará el concepto de producto vectorial en R 3 y sus aplicaciones a la mecánica y al electromagnetismo, conocerá la regla de la mano derecha y podrá relacionar este concepto con el producto punto para obtener los conceptos de triple producto escalar y vectorial. El estudiante recordará conceptos del álgebra lineal que serán de utilidad aquí. Manejará los conceptos de combinación lineal, dependencia e independencia y base estándar de vectores en R n Definición del espacio euclidiano n-dimensional R n Norma y producto punto de vectores en R n Producto vectorial en R Base canónica de vectores en R n. 2. FUNCIONES ENTRE LOS ESPACIOS EUCLIDIANOS R n. No. de sesiones: 8 El estudiante conocerá y trabajará la definición de función vectorial de variable real, también denominada curva. Aprenderá a dibujar las imágenes de estas funciones en R 2 y R 3. Conocerá las operaciones que se pueden definir entre ellas: (suma, producto punto, producto vectorial, producto escalar etc). Conocerá la definición de campo escalar y verá un buen número de ejemplos. Para poder dibujar las gráficas de campos escalares de R 2 en R y de R 3 en R, el estudiante deberá conocer los conceptos de conjuntos de nivel (curvas y superficies de nivel) y gráfica de un campo escalar. Conocerá las operaciones que se pueden definir entre campos escalares y trabajará con ellas. El estudiante conocerá la definición de campo vectorial y trabajará con diversos ejemplos de campos vectoriales. Dibujará la imagen de campos vectoriales de R 2 en R 2 y de R 3 y R 3 y conocerá las operaciones entre ellos Funciones vectoriales de variable real (curvas) Funciones reales de variable vectorial (campos escalares) Funciones vectoriales de variable vectorial (campos vectoriales).

4 3. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES ENTRE LOS ESPACIOS EUCLIDIANOS R n No. de sesiones: 8 El estudiante conocerá los conceptos de límite y continuidad para funciones vectoriales de variable real, funciones reales de variable vectorial y funciones vectoriales de variable vectorial y sus propiedades. Trabajará sobre un número significativo de ejemplos y ejercicios relacionados con estos conceptos Límite y continuidad de curvas Límite y continuidad de campos escalares Límite y continuidad de campos vectoriales. 4. DIFERENCIABILIDAD DE FUNCIONES ENTRE LOS ESPACIOS EUCLIDIANOS R n. No. de sesiones: 8 El estudiante conocerá la definición de derivada de una función vectorial de variable real y su interpretación geométrica y física. Se familiarizará con las propiedades de funciones diferenciables. Verá la generalización de la regla de la cadena que aprendió en cálculo diferencial y el concepto de longitud de arco de una curva. Conocerá los conceptos de derivada direccional, derivada parcial y gradiente. Trabajará con sus propiedades y con la interpretación geométrica y física. Discutirá la diferencia entre los conceptos de diferenciabilidad y derivabilidad de campos escalares. Conocerá y manejará la regla de la cadena para funciones reales de variable vectorial. Comenzará haciendo una revisión de los conceptos de matriz y determinante de matrices cuadradas. Trabajará los conceptos de jacobiana, divergencia y rotacional de campos vectoriales, y sus propiedades. También conocerá en este caso la regla de la cadena para campos vectoriales.. El estudiante comprenderá y discutirá el teorema de Taylor. Trabajará con la formula de Taylor para campos escalares de R 2 en R. Conocerá el concepto de extremo (máximo, mínimo) de campos escalares, discutirá las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de extremos y trabajará con los criterios prácticos para la determinación de extremos. Cuando el caso lo amerite, (condiciones de restricción) resolverá problemas utilizando el método de multiplicadores de Lagrange Diferenciabilidad de curvas Diferenciabilidad de campos escalares Diferenciabilidad de campos vectoriales Teorema de Taylor y máximos y mínimos.

5 5. LA INTEGRAL MÚLTIPLE. No. de sesiones: 8 El estudiante conocerá las definiciones de integral múltiple e integral iterada de campos escalares y sus propiedades. Discutirá y comprenderá teoremas tales como el teorema de Fubini y el teorema del valor medio para integrales múltiples. Trabajará con el concepto de región elemental en R 2 y R 3, y se familiarizará con la clasificación de este tipo de conjuntos. También discutirá regiones más generales (unión de regiones elementales etc). Adquirirá y comprenderá el contenido del teorema del cambio de variable para integrales múltiples y lo aplicará para el caso de los sistemas de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. Consolidará los conceptos anteriores, trabajando sobre un cierto número de ejemplos y ejercicios Integrales dobles y triples El teorema del cambio de variable. 6. INTEGRALES DE LÍNEA. No. de sesiones: 8 El estudiante conocerá las definiciones de integral de trayectoria e integral de línea y sus propiedades. Trabajará con las diversas aplicaciones que tienen estas integrales en física y geometría (valor promedio de un campo escalar a lo largo de una trayectoria, masa de un alambre de un cierto material, trabajo realizado por una fuerza sobre un cuerpo material, relación de la corriente eléctrica con sus efectos magnéticos ley de Ampe re - etc). Conocerá, discutirá y comprenderá el contenido del teorema de Green y lo aplicará para calcular integrales de línea difíciles de realizar. También obtendrá áreas de regiones en R Integrales de trayectoria (integrales de campos escalares) Integrales de línea (integrales de campos vectoriales) Teorema de Green.

6 7, INTEGRALES DE SUPERFICIE. No. de sesiones: 12 Horas programadas: 18 El estudiante conocerá las definiciones de superficie regular, plano tangente a una superficie regular, orientación de una superficie regular e integrales de superficie de 1 a y 2 a especie, y trabajará con un buen número de ejemplos y ejercicios con aplicaciones a la física, geometría e ingeniería (masa de una superficie cuando se conoce la función de densidad de una superficie, promedio de un campo escalar sobre una superficie, cantidad de flujo que pasa a través de una superficie dada, área de una superficie, longitud de arco de una curva sobre una superficie etc). El estudiante conocerá, discutirá y comprenderá dos de los teoremas más importantes del cálculo vectorial. Trabajará con campos incompresibles, irrotacionales y solenoidales. Verá el significado que estos resultados tienen en física, geometría (electromagnetismo, fluidos, gravitación, etc) e ingeniería Integrales de superficie de 1 a especie (integrales de campos escalares) Integrales de superficie de 2 a especie (integrales de campos vectoriales) Teoremas de Stokes y Gauss.

7 Metodología: Las actividades desarrolladas en el curso de cálculo vectorial como son clases teóricas y sesiones de resolución de problemas tendrán como objetivo que el estudiante constantemente se plantee preguntas y las discuta; que desarrolle estrategias de aprendizaje y obtenga recursos que le permitan investigar y analizar tanto la información obtenida en clase como la obtenida en la resolución de problemas. Que trate de entender las ideas claves involucradas en cálculo vectorial así como las definiciones y los teoremas que forman parte importante de los diferentes temas que conforman esta materia y los analice desde distintas perspectivas. Que reflexione sobre el uso de la información obtenida pensando en que ello desempeñará un papel importante en la búsqueda del conocimiento. El profesor a su vez deberá propiciar la conformación de grupos de trabajo donde el estudiante socialice el estudio del material involucrado de cálculo vectorial. En estos grupos, la discusión deberá ser una actividad central; también proporcionará información y preparara actividades que ayuden a mejorar la disciplina por parte de los estudiantes. De esta forma, las clases se dividirán en clases teóricas, sesiones de ejercicios y laboratorio de cómputo. Las clases teóricas comenzaran con una exposición del profesor en la cual se introducirán los conceptos necesarios vía el uso de ejemplos, los cuales serán tomados de diversas disciplinas haciendo énfasis en las interpretaciones intuitiva y geométrica. Será recomendable que el alumno lea previamente el material a exponer en clase por el profesor para una mejor comprensión de éste. En las sesiones de resolución de problemas, los alumnos plantearán, discutirán y resolverán problemas. El trabajo extra-clase consistirá de series de ejercicios y lecturas de determinados libros referentes al material que se este tratando en ese momento. Finalmente, dado que las nuevas tecnologías computacionales abren todo un universo de posibilidades en el ámbito de la docencia, y como las matemáticas están en la base del desarrollo tecnológico, se hace imprescindible el uso de software para la visualización de las funciones y la resolución de problemas. Los programas matemáticos recomendados por su eficiencia y fácil manejo son: MATLAB, MAPLE Y MATHEMATICA. Evaluación de aprendizajes: Siguiendo el espíritu del modelo educativo de la UACM, se hará una evaluación continua e integral del alumno contemplando contenidos que involucren concepto, aptitud y procedimiento. Las evaluaciones serán: Evaluación Diagnóstica. Será necesario evaluar al alumno al inicio del curso para detectar si éste cuenta con los conocimientos que se requieren como prerrequisitos de la materia de cálculo vectorial. Estos prerrequisitos son: Un dominio aceptable de los conocimientos y técnicas de álgebra, cálculo diferencial y cálculo integral; así como tambien conocimientos de álgebra lineal. Evaluaciones Formativas. Estas comprenderán: Exámenes parciales escritos (3 o4 a lo largo del semestre). Tareas que pueden ser series de problemas a resolver o practicas que se tengan que hacer utilizando algún programa especifico de computadora. Lecturas de libros o artículos tanto de investigación como de divulgación. Evaluación de Certificación. El estudiante certificará la materia de cálculo vectorial si demuestra tener Un dominio conveniente de la teoría.

8 Capacidad para desenvolverse de manera óptima con el manejo de los conceptos y resultados. Habilidad para plantear y resolver problemas utilizando: límites, continuidad, diferenciabilidad e integrabilidad de funciones vectoriales. Intuición para interpretar los resultados obtenidos. Bibliografía: Textos Básicos 1.- Marsden, J. E. y Tromba, A. J.: Cálculo Vectorial. 5ª edición. Editorial Pearson Addison-Wesley, (Excelente texto introductorio de nivel intermedio que hace énfasis en el enfoque geométrico del cálculo vectorial con diversas aplicaciones al electromagnetismo y a la física de fluidos. Prácticamente cubre todos los temas del programa de cálculo vectorial). 2.- Pita, C.: Cálculo Vectorial. Editorial Prentice-Hall (Texto introductorio de nivel intermedio que trabaja muy detalladamente los ejemplos y algunas demostraciones de teoremas. Cubre completamente todos los temas del programa de cálculo vectorial). 3.- Stewart, J.: Cálculo Multivariable. Trascendentes Tempranas. 4ª edición. Editorial Thomson (Texto introductorio de fácil lectura que incluye un gran número de ejemplos trabajados en detalle e incorpora un número impresionante de ejercicios, algunos de ellos interesantes. Cubre todos los temas del programa de cálculo vectorial). Bibliografía Complementaria. 1.- Hildebrand, F. B.: Advanced Calculus for applications. 2ª edición. Editorial prentice-hall, (Texto de nivel ligeramente superior al nivel intermedio. El material de interés para este curso esta contenido en los capítulos 6 y 7 en los cuales el autor hace un manejo riguroso de la notación vectorial.) 2.- Kreyszing, E.: Matemáticas Avanzadas para Ingeniería volumen 1. 3er edición. Editorial Limusa, (Texto de nivel intermedio. Los capítulos 7 y 8 cubren de manera general todos los temas del programa de cálculo vectorial.) 3.- Lang, S.: Calculus of several variables. Editorial Addison-Wesley (Texto introductorio excelentemente escrito de nivel intermedio. Básicamente cubre todos los temas del programa de cálculo vectorial). 4.- O Neil. P. V.: Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. Volumen 1, 3ra edición. Editorial CECSA (Texto de nivel intermedio. El material de interés se localiza en el capítulo 11 y cubre el primer tema del programa de cálculo vectorial). 5.- O Neil. P. V.: Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. Volumen 2, 3ra edición. Editorial CECSA (Texto de nivel intermedio. Los capítulos 15 y 16 cubren la parte de cálculo diferencial vectorial y cálculo integral vectorial. El autor hace énfasis en las aplicaciones a la física ya la ingeniería). Otros Recursos. Textos relacionados con los temas de cálculo vectorial (obviamente se incluyen los indicados en la bibliografía), apuntes de clase proporcionados por el profesor, programas matemáticos de computación como MATLAB, MAPLE y MATHEMATICA y dispositivos ópticos y electrónicos tales como proyector, cañón etc.