L.M. Alejandro Peregrino Pérez Fecha de elaboración: Agosto de 2004 Fecha de última actualización: Julio de 2010

Transcripción

1 PROGRAMA DE ESTUDIO Programa Educativo: Área de Formación : Licenciatura en Matemáticas Integral Profesional Geometría Diferencial de Superficies Horas teóricas: 3 Horas prácticas: 2 Total de Horas: 5 Total de créditos: 8 Clave: F1125 Tipo : Asignatura Carácter de la Optativa asignatura Programa elaborado por: M.C. Laura del Carmen Sánchez Quiroga L.M. Alejandro Peregrino Pérez Fecha de elaboración: Agosto de 2004 Fecha de última actualización: Julio de 2010 Seriación explícita Asignatura antecedente No Asignatura Subsecuente Seriación implícita Conocimientos previos: Si Se recomienda manejar los conceptos de diferenciabilidad en varias variables, Transformaciones lineales entre espacio vectoriales F1125 Geometría Diferencial de Superficies 1/6

2 Presentación Este curso muestra al alumno un estudio de las superficies regulares desde el punto de vista local, basándose en los conocimientos de curvas y superficies que se adquieren en el curso de geometría de curvas. Se inicia con el estudio del concepto de plano tangente y la primera forma fundamental hasta llegar a la comprensión de las propiedades topológicas de las superficies. La parte central del curso es la transformación de Gauss y el estudio de las curvaturas de una superficie dada. Finalmente se estudia el teorema egregium de Gauss y las geodésicas en una superficie. Objetivo General El alumno aprenderá las principales propiedades locales de una superficie regular. Comprenderá las propiedades topológicas de las superficies. Comprenderá los conceptos de plano tangente y la primera forma fundamental Competencias que se desarrollaran en esta asignatura Conocimiento de los conceptos de Superficie regular, diferenciabilidad entre plano tangente y orientación. Capacidad para calcular el mapeo de Gauss y su Diferencial. Habilidad en el cálculo de Geodésicas. Responsabilidad en las tareas asignadas Rigor de pensamiento y capacidad de autocrítica. Competencias del perfil de egreso que apoya esta asignatura Capacidad para expresarse correctamente utilizando el lenguaje de la matemática. Capacidad de abstracción, incluido el desarrollo lógico de teorías matemáticas y las relaciones entre ellas. Capacidad para utilizar las herramientas computacionales de cálculo numérico y simbólico para plantear y resolver problemas. F1125 Geometría Diferencial de Superficies 2/6

3 Espíritu de innovación y actitud crítica en la búsqueda de mejores soluciones. Disciplina y hábitos de estudio que le permitan superarse constantemente para afrontar nuevos retos. Honestidad, compromiso y responsabilidad. Escenario de aprendizaje Salón de clases, sala de computo, biblioteca, congresos y seminarios Perfil sugerido del docente ( preferentemente con posgrado ) Contenido Temático Unidad No. Objetivo particular 1 Superficies Regulares El alumno comprenderá el concepto de plano tangente a una superficie regular. Calculará la diferencial de una transformación entre superficies regulares Aprenderá a calcular la primera forma fundamental. Conocerá las principales propiedades topológicas y utilizando el concepto de matriz de cambio de base podrá determinar si una superficie es o no orientable. Demostrará teoremas relacionados con la diferenciabilidad de transformaciones. Hrs. estimadas 30 Temas Resultados del Sugerencias didácticas Estrategias y criterios de F1125 Geometría Diferencial de Superficies 3/6

4 aprendizaje evaluación 1.1. Introducción Plano tangente La diferencial de una transformación entre superficies regulares Primera forma fundamental Orientación de superficies Propiedades topológicas de superficies. (Conexidad, compacidad, ) Comprensión de: los conceptos de plano tangente, diferenciabilidad y primera forma fundamental de superficies. Habilidad para demostrar la orientabilidad de una superficie utilizando la matriz de cambio de base y el concepto de conexidad Unidad No. 2 La Geometría del Mapeo de Gauss Objetivo particular El alumno manejará las herramientas matemáticas necesarias para calcular la transformación de Gauss y las curvaturas de una superficie regular. Calculara la segunda forma fundamental y la relacionara con la Geometría de la Superficie. Hrs. estimadas 25 Temas Resultados del Sugerencias didácticas Estrategias y criterios de F1125 Geometría Diferencial de Superficies 4/6

5 aprendizaje evaluación 2.1. Definición de la transformación de Gauss y sus propiedades Segunda forma fundamental Curvatura normal, curvaturas principales y puntos umbilicales Transformación de Gauss en coordenadas locales Campos vectoriales. Conocer y Comprender la definición de la Transformada de Gauss y sus propiedades. Habilidad para calcular la segunda forma fundamental, curvatura normal, curvaturas principales y puntos umbilicales de una superficie usando correctamente las definiciones. Resolver problemas relacionados, usando las definiciones las propiedades y resultados de campos vectoriales Unidad No. 3 Geometría Intrínseca de Superficies Objetivo particular El alumno identificará isometrías entre superficies a través de ejemplos y ejercicios. Estudiará el teorema de Gauss y calculará las ecuaciones geodésicas de una superficie regular. Hrs. estimadas 25 Temas Resultados del aprendizaje Sugerencias didácticas Estrategias y criterios de evaluación F1125 Geometría Diferencial de Superficies 5/6

6 3.1. Isometrías Transformaciones conformes Teorema de Gauss y ecuaciones de compatibilidad Geodésicas Teorema fundamental de la teoría local de superficies. Comprensión de la noción de isometría Conocerá el teorema de Gauss y comprenderá las ecuaciones de compatibilidad. Conocerá la teoría de las geodésicas Bibliografía básica 1. Cordero, L. A. (1995). Geometría diferencial de curvas y superficies con Mathematica. México: Addison-Wesley- Iberoamericana. 2. Do Carmo, M.P. (1976) Geometría Diferencial de Curvas y Superficies. México: Publicaciones del Departamento de Matemáticas. Facultad de Ciencias, UNAM. 3. Valencia, A. (1990). Geometría Diferencial I. México: UNISON. Bibliografía complementaria 1. Hsiung, C.C. (1981). A First Course in Differential Geometry. New York: John Wiley and Sons. 2. Keith, Burns. (2005). Differential Geometry and Topology With a View to Dynamical Systems. Estudies in advanced Mathematics. Florida: CHAPMAN & HALL/CRC. 3. Marsden, Tromba. (1999). Cálculo Vectorial. 4ª ed. New Jersey: Prentice-Hall. 4. Thorpe, J. A. (1979). Elementary Topics in Differential Geometry. New York: Springer-Verlag. F1125 Geometría Diferencial de Superficies 6/6