MATE1207 Preparación Examen Final MATE MATE1207 Cálculo Vectorial

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1 MATE07 Preparación Eamen Final MATE-07 Universidad de los Andes Departamento de Matemáticas MATE07 álculo Vectorial Eamen Final: Martes de Mao 0 7:00 9:00 a.m. Sección Profesor Salón 0 José Ricardo Arteaga 0 ML ML ML ML Marco Boggi O-05 Ramiro De la Vega O-30 3 O-30 4 O-30 3 O-30 6 Bernardo Uribe R-0 Mikhail Malakhaltsev ML Mauricio Velasco O-0 HON Jean arlos ortissoz B-0 Temas. Básicos. Ecuaciones de Líneas Planos en el Espacio. Superficies ilíndricas uádricas. oordenadas ilíndricas Esféricas. Funciones en varias variables(funciones Vectoriales, Funciones Escalares, urvas en el espacio). Derivadas e Integrales de Funciones de funciones en varias variables. Longitud de Arco. Velocidad Aceleración. urvas de Nivel. Derivadas Parciales. ambio de variables (Jacobiano). ambio de orden de integración.. Avanzados. Integrales de Línea. ampos onservativos. Superficies paramétricas áreas de las mismas. Integrales de Superficie. Teorema Fundamental para Integrales de Línea. Teorema de Green. Gradiente, Rotacional Divergencia. Teorema de Stokes. Teorema de Gauss. 3. Aplicaciones. Plano Tangente. Aproimaciones estimaciones de funciones sus derivadas de funciones definidas mediante una fórmula o conocidos sus valores mediante una tabla o curvas de nivel. Estimación de integrales dobles triples. Regla de la cadena. Derivadas direccionales Gradiente. Valores Máimos Mínimos. Multiplicadores de Lagrange. Integrales dobles triples en diferentes tipos de coordenadas. Integrales iteradas. Momentos entros de Masa. Momentos de Inercia. Area Superficial. Trabajo. Flujo. irculación.

2 Ejercicios Problemas Preparación Eamen Final (ap. 6) Pág. de. Las figuras, representan campos vectoriales planos F = P i+q j, donde P Q son suaves en todo el plano R, una curva orientada en sentido anti-horario (positiva) Figura Figura. El valor de la integral Pd+Qd en la figura es positivo, negativo o cero?. El valor de la integral Pd+Qd en la figura es positivo, negativo o cero? 3. El rotacional del campo en el origen en la figura es positivo, negativo o cero? 4. El rotacional del campo en el origen en la figura es positivo, negativo o cero? 5. El campo vectorial es conservativo? 6. El campo vectorial es conservativo? Solution:. positivo;. cero; 3. positivo; 4. cero; 5. No; 6. Sí.. Llene los espacios en blanco con: 0, 0, 0, 0. Las figuras,, 3 4, representan campos vectoriales planos F = P i+q j, donde P Q son suaves en todo el plano R. Problema continúa en la página siguiente...

3 Prob. cont... Preparación Eamen Final (ap. 6) Pág. 3 de Figura Figura Figura 3 Figura 4. El rotacional de F de la figura es: R/. El rotacional de F de la figura es: R/ 3. El rotacional de F de la figura 3 es: R/ 4. El rotacional de F de la figura 4 es: R/ 5. La divergencia de F de la figura es: R/ 6. La divergencia de F de la figura es: R/ 7. La divergencia de F de la figura 3 es: R/ 8. La divergencia de F de la figura 4 es: R/ Solution:. 0. = 0 3. = 0 4. = 0 5. = 0 6. = = 0

4 Preparación Eamen Final (ap. 6) Pág. 4 de 3. alcular: ( 3 3 )d+( )d, donde es la frontera de la región entre los círculos + = + = 4. Solution: 8π (Auda: Use formula de Green). 4. Sea F(,) = r r, donde: r = i + j, r = r. onsidere la curva una curva cerrada formada por media circunferencia de radio ( + = 4, 0), los segmentos que unen los puntos (0, ) con (,0) (,0) con (0,) orientada positivamente. alcular F ˆnds donde ˆn es el vector normal unitario a. Solution: (π 5 (arcsinh(/)+arcsinh())). 5. alcular el trabajo que realiza el campo de fuerzas: F(,) = ( 4, ) para mover una partícula a lo largo del cuadrado, orientado positivamente, de vértices en los puntos (0,0), (,0), (,), (0,). Solution: 6/5 (Auda: Use formula de Green). 6. alcular el flujo del campo vectorial: F(,,z) = ( e z + 4, tan ()+, sin()+z ) a través del cubo unitario en el primer octante que tiene tres caras sobre los planos coordenados. Solution: 3 (Auda: Use formula de Gauss). 7. Sea F(,,z) = e z i+(+z) j+3e z k S la mitad superior de la esfera + +z =. Hallar F d s donde S es el borde o frontera de S. S

5 Preparación Eamen Final (ap. 6) Pág. 5 de Solution: π. 8. Sea F(,,z) = e i+(e +) j. Hallar el trabajo que realiza una fuerza al mover una partícula a lo largo de la línea poligonal desde el punto (0,0), hasta el punto (,) pasando por el punto (n,0). Solution: e+. 9. Sea F : R 3 R 3 el campo vectorial: F(,,z) = ( 4,z,3z ) sea S la superficie correspondiente a la porción del plano ++z = que se encuentra en el primer octante con sus normales apuntando hacia afuera (hacia el primer octante). alcular F d s S Solution: 7/5. 0. Sea F = e z i+e z j+( e z +z )k.. Verificar que F = 0. Es un ampo Vectorial onservativo?. Eplique.. Hallar una función f tal que F = f. Solution: f(,,z) = e z + 3 z3.. onteste falso (F) o verdadero (V). Justifique.. La divergencia del campo vectorial de la figura 7 en el punto ( 0.8,.5) es negativa.. La divergencia del campo vectorial de la figura 7 en el punto ( 0.8,.5) es negativa. 3. El campo vectorial de la figura 7 es rotacional e incompresible. 4. El campo vectorial F = i+ j es incompresible. No está basado en la figura Si F = 0, G ( ) = 0, entonces F G = 0. No está basado en la figura 7.

6 Preparación Eamen Final (ap. 6) Pág. 6 de Figura 7 0 Figura 7 Solution:.,. 3. el gráfico del campo no es mu claro. 4. Sí 5. Es verdad si F G ( son conservativos. ) En general F G = G F F G. alcular la integral de superficie de f(,,z) = 4 donde S es el tetraedro de lados z = 0, = 0, +z =, =. Solution: /4+ /6. 3. alcular la integral de línea de F(,) = (, ) desde el punto (0,0) hasta el punto (,) a lo largo de la curva = 4. Solution: /. 4. Llene los espacios en blanco justifique. En la figura se muestra un campo vectorial planar F, que tiene divergencia rotacional constante una curva. En la figura se muestra el mismo campo vectorial F otra curva. Observe bien las orientaciones de las curvas.. Es F d r positiva negativa o cero?.. Es F d r positiva negativa o cero?. 3. Es F(,) positiva negativa o cero?.

7 Preparación Eamen Final (ap. 6) Pág. 7 de Figura : F _ Figura : F _ Figura Figura 4. Es F ˆnds positiva negativa o cero?. ˆn es el vector normal unitario eterior a. 5. Es D F kda positiva negativa o cero?. D es la región acotada por. Solution:. negativa;. positiva; 3. positiva; 4. positiva; 5. positiva. 5. Use el teorema de Green para evaluar: +3 d+d donde es el triángulo con vértices (0,0), (,0) (,3), orientado positivamente. Solution: 3 6. onsidere el campo vectorial, F(,,z) = i+ j +z k la curva, + = z = 0, (circunferencia en el plano ) alcule la integral de línea, F d r Solution: 0, F es conservativo es cerrada.

8 7. onsidere el campo vectorial, Preparación Eamen Final (ap. 6) Pág. 8 de F(,,z) = i+ j +z k la bola sólida E, + +z, acotada por la esfera S, + +z =. alcule la integral de superficie, flujo hacia afuera, F ds S Solution: 4π (Teorema de Gauss) 8. onsidere el campo vectorial, F(,,z) = i+ j +z k la superficie S, + +z = z 0, (hemisferio superior) alcule la integral de superficie, flujo hacia arriba, F ds S Solution: uidado!. Aquí no se puede usar el teorema de Gauss directamente pues la superficie no es cerrada, pero se puede tapar con un disco, se aplica teorema de Gauss a la nueva superficie con tapa se resta el flujo sobre la tapa. La primera integral es igual a 4π la segunda (flujo sobre la tapa) por cálculos directos es igual a cero. Sobre la tapa debe tomar el vector normal unitario n = (0,0, ). 9. Encuentre los valores máimo mínimo absoluto de la función, f(,) = ( ) +( ) () sobre el dominio rectangular D = {(,) 0,0 } los puntos donde estos valores se alcanzan. Solution: Geométricamente. El gráfico de f es un paraboloide (de revolución) abierto hacia arriba con vértice en (, ). Las curvas de nivel son circunferencias concéntricas con centro en (,). Por lo tanto el mínimo está en (,) es cero el máimo está en los vértices más lejanos del punto (,) en los puntos (0,0) (0,) este valor máimo de f igual a.

9 Preparación Eamen Final (ap. 6) Pág. 9 de 0. Encuentre el volumen del sólido dentro de la esfera + +z =, arriba del plano debajo del cono z = +. Solution: π π/ 0 π/4 0 ρ sinφdρdφdθ = π 3. Suponga que f(,,z) es una función suave que F(,,z) es un campo vectorial suave en el espacio. Además rot( F) es el rotacional ( F), div( F) es la divergencia ( F), grad(f) es el gradiente ( f). Llene las casillas en blanco con las palabras: escalar, vector o sin sentido de acuerdo si la epresión tiene valor escalar, valor vectorial o no tiene sentido respectivamente.. La derivada direccional de f en la dirección (,,).... rot(grad(f)) div(grad( F)) grad(div( F)) rot(rot F)... Solution:. Escalar. Vector (cero) 3. Sin sentido. 4. Vector 5. Vector. Decida cuál es la respuesta correcta a la pregunta: uál de los campos es conservativo? F(,,z) = i+( +z) j + k G(,,z) = z i+( +z) j + k (). F es conservativo pero G no lo es.. G es conservativo pero F no lo es. 3. Ambos son conservativos. 4. Ninguno de los dos es conservativo. Solution:. 3. alcule ds, donde es la curva dada por { : = t, = t,0 t }..

10 Ninguna de las anteriores. Preparación Eamen Final (ap. 6) Pág. 0 de Solution: Escoja la respuesta correcta. Si F es un campo vectorial el cual es el rotacional de un campo vectorial G entonces:. F es un campo vectorial constante.. F es el campo vectorial cero. 3. F tiene divergencia cero. 4. F es irrotacional. Solution: onsidere la ecuación de onda, u(,t) t uál de las siguientes funciones resuelve la ecuación?. u(,t) = cos( at). u(,t) = cos(a t) 3. u(,t) = sina( t) 4. u(,t) = asin( t) 5. Ninguna de las anteriores. = a u(,t) (3) Solution:. 6. Suponga que una partícula se mueve en el plano tal que su velocidad tiene magnitud constante. Decida cuál es la respuesta correcta.

11 Preparación Eamen Final (ap. 6) Pág. de. Su velocidad es perpendicular a su distancia al origen.. Su velocidad es cero. 3. Su velocidad es perpendicular a su aceleración. 4. Su aceleración es cero. 5. Todas las anteriores. 6. Ninguna de las anteriores. Solution: La ecuación r = cosθ (en coordenadas polares) es:. Una parábola que es convea hacia arriba.. Una parábola que es convea hacia abajo. 3. Una circunferencia con centro al lado izquierdo del origen. 4. Una circunferencia con centro al lado derecho del origen. 5. Dos hojas de una rosa. 6. Ninguna de las anteriores. Solution: 4. Multiplique por r en ambos lados por r, use polares complete cuadrados. 8.. Encuentre la ecuación del plano tangente a la superficie parametrizada por las ecuaciones = u 3, = u v, z = v en el punto (,0,).. onsidere la superficie S dada por z = + 4, 0, 0. alcule ds sobre esta superficie. S 3. onsidere de nuevo la superficie dada en el ítem anterior con orientación hacia arriba. Encuentre el flujo de F(,,z) = i+ j a través de S. Solution:. 3 6z +4 = 0. [ ]

12 Preparación Eamen Final (ap. 6) Pág. de 9. Use el teorema de Stokes para evaluar F d r con F(,,z) = e i + e j + e z k donde es la frontera del plano + + z = en el primer octante orientado en sentido antihorario visto desde arriba. Solution: Use el teorema de la divergencia para evaluar el flujo de F(,,z) = ( + 4 ) i+ 3 z 3 j + + k a través de la superficie S, donde S es la frontera de la región E debajo del paraboloide z = 5 arriba del plano. Solution: 5π