Solución y Pautas de Corrección

Transcripción

1 Universidad de los Andes Departamento de Matemáticas MATE127 Cálculo Vectorial Examen Final (1/12/29) 1 Prob Valor Puntos Nombre: Código: Sección: Escriba todo su análisis si desea recibir el máximo valor en cada punto. Respuesta sin justificar se invalida. NO PUEDE USAR CALCULADORA Problema 1. [1 Ptos.] Plantee la integral triple para determinar el volumen del sólido acotado por las superficies de la semiesfera x 2 +y 2 +z 2 = 25, z, y el cono 9z 2 = 16x 2 +16y 2, z. No resuelva. Solución y Pautas de Corrección Plan estratégico: Las superficies son ambas superficies de revolución de curvas que giran alrededor del eje z. Las coordenadas que usaremos serán coordenadas esféricas. La razón, el ángulo φ varía entre dos valores límites constantes, al igual que el ángulo θ y el radio ρ. No olvidaremos el jacobiano para este caso. Miremos el gráfico sobre el plano xz (y = ) dado. Sobre este plano tenemos para el cono la gráfica de z = 4 x, que son un par de semirectas que forman un ángulo de 3 ( ) ( ) 3 4 φ = sin 1 = cos con el eje z. Para la esfera en este mismo plano tenemos una semicircunferencia de radio 5. R/ V = 2π φ 5 ρ 2 sinθdρdφdθ 1 El juramento del uniandino dice: Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis compañeros o de la misma Universidad (1)

2 Nombre y código: 2 1. Error en algún límite del planteamiento (en cartesianas, en esféricas o en cilíndricas)...-5/1 2. Olvidó el jacobiano o está mal (en esféricas o en cilíndricas)...-5/1 Problema 2. [1 Ptos.] Calcule la siguiente integral de línea C (xy) dx+ (xy) dy, directamente o usando el teorema de Green, donde C es la frontera del cuadrado con vértices en A(,), B(1,), C(1,1), D(,1), recorrida en el sentido contrario a las manecillas del reloj. Plan estratégico: Usaremos el Teorema de Green porque se puede aplicar: La curva en el plano es simple, cerrada, suave por partes y las componentes del campo son suaves en todo el plano. Sea P = Q = xy, entonces Q x p = y x. Por lo tanto y C (xy) dx+ (xy) dy = 1 1 (y x) dydx = (2) R/ = 1. Planteamiento correcto (Ecuación (2))...5/1 2. Solución de la integral correcta...5/1 Problema 3. [1 Ptos.] (a) Encuentre la ecuación del plano tangente a la superficie cilíndrica S definida por x 2 + y 2 = 9, 2 z 5, en el punto P(3,,1). (b) Calcule el área superficial de S, esto es, ds. S Nota: Si requiere una parametrización de S puede usar las ecuaciones: x = 3cos(u), y = 3sin(u), z = v, u 2π, 2 v 5. Plan estratégico: La ecuación de un plano es a(x x )+b(y y )+c(z z ) =, donde a,b,c es un vector normal y (x,y z ) es un punto por donde pasa el plano que en este caso tomaremos el punto de tangencia.

3 Nombre y código: 3 (a) Usaremos la parametrización sugerida. Para esta parametrización P = r(, 1) donde, Por lo tanto, el vector normal en P es: Por lo tanto la ecuación pedida es: x = 3 r(u,v) = 3cosui+3sinuj+vk (3) r u r v (,1) = 3cosu,3sinu, u=,v=1 = 3i (4) (b) La integral de superficie pedida representa el área y el área superficial del cilindro de radio 3 y altura 7. Por lo tanto A = 2π(3)(7). R/ (a) x = 3, (b) A = 42π 1. Error al encontrar el vector normal (Ecuación (4))...-5/1 2. Por cada error en una evaluación, o en aritmética,...-2/1 Problema 4. [1 Ptos.] Se quiere construir un canal de irrigación abierto que tenga como sección transversal un rectángulo de área 2m 2. Si las paredes (lados verticales) y el fondo (lado horizontal) del canal se construyen en concreto, cuáles deben ser las dimensiones de dicho rectángulo si se desea minimizar la cantidad de material usado? A = 2m 2 Plan estratégico: Usaremos multiplicadores de Lagrange. Sea x el ancho del canal, y el alto del canal, f(x,y) = x+2y la función a optimizar y g(x,y) = xy = 2 la restricción. { f = λ g g = 2 1 = λy = 2 = λx xy = 2 = { x = 2 y = 1 (5) R/ Ancho = 2m. Altura = 1m.

4 Nombre y código: 4 1. Planteamiento correcto (Primera y segunda parte de la ecuación (5))... 5/1 2. Desarrollo correcto...5/1 3. Si escribe respuesta y = ±1...-3/1 4. No hay créditos ni por hallar ni por interpretar λ. 5. Por cada error aritmético o de descuido...-2/1 6. No se dan créditos por obtener la respuesta con un análisis errado. Problema 5. [1 Ptos.] Considere la superficie S del paraboloide z = x 2 +y 2 con z 1 (excluyendo la tapa), y el campo vectorial F(x,y,z) = xi yj. Calcule el flujo de F a través de S en la dirección de la normal que tiene componente en z negativa. Es decir, halle F ds. S El ejercicio puede resolverse ya sea calculando directamente la integral de superficie, ya sea cerrando la superficie colocándole la tapa y usando el teorema de la divergencia de Gauss. Si opta por esta alternativa, no olvide que al final deberá restar el flujo de F que atraviesa la tapa hacia arriba. Plan estratégico: Usaremos la sugerencia, es decir tapando la superficie dada. El flujo a través de la superficie dada será el flujo a través de la superficie cerrada, el cual calcularemos usando el Teorema de Gauss, menos el flujo a través de la tapa. El Teorema de Gauss se puede usar para la superficie tapada, pues tanto la superficie como el campo cumplen las hipótesis exigidas por el teorema. Denotaremos flujo con Φ. La superficie dada con Σ, la superficie tapada con Σ 1, la superficie de la tapa con Σ 2, y Ω el sólido encerrado por Σ 1. Φ Σ = Φ Σ1 Φ Σ2 (6) Φ Σ1 = F ds = F nds = Fdv = (7) Σ 1 Σ 1 Ω porque la divergencia F = 1 1 =. Parametrizamos la tapa que es un disco de la siguiente manera: donde u 1, v 2π. Para esta parametrización etenmos: Φ Σ2 = F(u,v) r u r v da = Σ 2 r(u,v) = ucosvi+usinvv+4k (8) r u r v =,,u (9) 1 2π ucosv, usinv,,,u dvdu = (1) R/ Φ Σ =

5 Nombre y código: 5 1. El valor del flujo Φ Σ1 (Planteamiento y desarrollo de la ecuación (7))...4/1 2. El valor del flujo Φ Σ2 (Planteamiento y desarrollo de la ecuación (??))...4/1 3. Resta de flujos... 2/2 4. Error de orientación en la tapa... -1/1 5. Error en hallar el vector normal (producto cruz)...-4/1 6. No se dan créditos por obtener la respuesta con un análisis errado.