MATE1207 Cálculo Vectorial Solución Segundo Parcial (14/04/2011) 1. Prob Total Valor Puntos

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1 Nombre y código: 1 Universidad de los Andes Departamento de Matemáticas MATE127 Cálculo Vectorial Solución Segundo Parcial (14/4/211) 1 Sección Magistral # 21: Profesor: José Ricardo ARTEAGA B. Prob Total Valor Puntos Escriba todo su análisis si desea recibir el máximo valor en cada punto. Respuesta sin justificar se invalida. No puede usar calculadora Problema 1. [12 Ptos.] Halle el volumen del sólido que se encuentra debajo del paraboloide, z = x 2 +y 2 y encima del disco x 2 +y 2 4. Problema2. [14 Ptos.] Una placa plana de forma un cuadrilátero en el plano xy con vértices en el (, ), (2, 3), (5, 1), y (3, 2) tiene una función de distribución de densidad de masa δ(x,y) = x+y. Halle la masa de esta placa. Ayuda: Haga un dibujo y convénzase que la placa es de forma un paralelogramo. Halle las ecuaciones de los lados y úselas para hacer una transformación a un sistema de coordenadas adecuado. Problema3. [12 Ptos.] Halle z 2 dv donde R es el sólido obtenido intersectando R {1 x 2 +y 2 +z 2 4} con el doble cono {z 2 x 2 +y 2 }. Problema4. [12 Ptos.] Llene la casilla en blanco con F, en caso de ser Falso, o con V en caso de ser Verdadero. No olvide una justificación matemática. 4.a) [4 pts. ] 3 π/2 π/2 2 ρ 2 sinφdφdθdρ = 19π 3... F 1 El juramento del uniandino dice: Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis compañeros o de la misma Universidad Secciones: (22)Edgar Mayorga (23)Andrés Mejía (24)Edgar Mayorga (25)Andrés Mejía

2 Nombre y código: 2 4.b) [4 pts. ] 2 x 2 f(x,y)dydx = 4 2 y f(x,y)dxdy... 4.c) [4 pts. ] El área de la superficie f(x,y) = 5+x con x 2 +y 2 4 es 4π... Tiempo: 7 minutos Buena Suerte! V F

3 Nombre y código: 3 Solución Segundo Parcial P2 Problema 1. Planteamientos posibles: 1. En coordenadas cartesianas, [ 2 [ 4 y 2 x 2 +y 2 ] ] V = dz dx dy = 2 4 y 2 2. En coordenadas cilíndricas, V = 2π 2 2 [ [ 4 x 2 ] ] x 2 +y 2 dz dy dx = 8π. 4 x 2 [ [ 2 ] ] r 2 rdz dr dθ = 8π. a) Cualquiera de los dos planteamientos con todos sus límites correctos...6 pts. b) Algún límite mal... pts. c) Desarrollo correcto de la integral hasta obtener el resultado correcto...6 pts. La placa P es un paralelogramo (ver Figura 1). Necesitamos encontrar las ecuaciones de las Figura 1: Problema 17. La placa P rectas AB, BC, CD, DA. Existen varios métodos para hallar la ecuación de la recta PQ, que pasa por los puntos P(x P,y P ) y Q(x Q,y Q ). Usaremos el siguiente método: La ecuación de la recta PQ es, [ ] x xp y y PQ : det P =. x Q x P y Q y P

4 Nombre y código: 4 Entonces, [ ] x y AB : det = 3x 2y =. 2 3 [ ] x 2 y 3 BC : det = 2x+3y 13 = [ ] x 5 y 1 CD : det = 3x 2y 13 = [ ] x y AD : det = 2x+3y =. 3 2 Ahora podemos cambiar las coordenadas: { { u = 3x 2y x = 3 v = 2x+3y u+ 2 v y = 2 u+ 3 v (1) Luego, las rectas tienen ecuaciones siguientes con respecto a las coordenadas u y v (ver Figura 2): Figura 2: Problema 17. AB : u = ; BC : v = 13; CD : u = 13; AD : v =. El Jacobiano del cambio de las coordenadas es, [ ] 3 2 J 1 = det = 13 J = y Entonces, la masa de la placa P es M = δ(x,y)da = P δ = x+y = 1 13 (u+5v) (u+5v) dvdu = = a) Las cuatro ecuaciones de las rectas que unen los puntos del cuadrado...4 pts.

5 Nombre y código: 5 b) Cálculo correcto del Jacobiano...6 pts. c) Expresión de la función de densidad δ en términos de (u,v) correcta...2 pts. d) Desarrollo correcto de la integral hasta obtener el resultado correcto...2 pts. Problema 3 La función f(x,y,z) = z 2 es simétrica respecto al plano xy (z = ) y la región de integración R (sólido acotado por el par de esferas y el cono doble) también lo es. Por lo tanto integramos solamente cuando z y multiplicamos por 2. Usaremos coordenadas esféricas. (Ver Figura 3) R 1 Figura 3: Problema 3 2π π/4 2 z 2 dv = 2 ρ 2 cos 2 φρ 2 sinφdρdφdθ 1 ( 2 )( 2π ) ( π/4 ) =2 ρ 4 dρ dθ cos 2 φsinφdφ ( ) =2 (2π) = 4π ( )( 1 1 ) (2)

6 Nombre y código: 6 a) Cualquier planteamiento con todos sus límites correctos...8 pts. b) Por cada límite mal...-3 pts. c) Olvidó el Jacobiano si hace cambio de coordenadas, o lo calculó mal, o lo escribió mal. -6 pts. d) Desarrollo correcto de la integral...4 pts. e) Si la integral planteada tiene un solo límite incorrecto y la resuelve sin cometer errores..4 pts. Problema 4. a) La integral representa el volumen de un octavo de una bola de radio 3 con un hueco en su interior de radio 2. Es decir el volumen entre dos esferas centradas en el origen de radios 2 y 3 solo en el primer octante. V = π( ) = 19π 6 b) La región de integración es de tipo III. Por lo tanto la integral la podemos escribir sobre una región de tipo I (izquierda) que es igual a la integral sobre la misma región considerada de tipo II. El cambio de orden está correcto. (Ver Figura 4) Figura 4: Problema 3 c) f(x,y) = 5+x, por lo tanto 1+f 2 x +f 2 y = 2. Entonces A = R (3) 1+f 2 x +f2 y da = 2 Area(R) (4)

7 Nombre y código: 7 donde R es el disco, en el plano z =, centrado en el origen y radio 2. No es necesario hacer la integral si se conoce la fórmula, pero si escribir su resultado para poder comparar y decidir. El área del disco usando coordenadas polares es, A = 2 2π 2 rdrdθ = 4π 2 (5) a) Respuesta correcta de cualquiera de los ítems, sin verificar la justificación, pero que tenga alguna justificación...1 pts. b) Justificación correcta de cada ítem...3 pts. c) Si la justificación tiene el planteamiento correcto pero su cálculo es incorrecto...2 pts.