Universidad de Puerto Rico. Recinto Universitario de Mayagüez Departamento de Ciencias Matemáticas Examen Final Mate de mayo de 2016

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1 Universidad de Puerto Rico. Recinto Universitario de Mayagüez Departamento de Ciencias Matemáticas Examen Final Mate de mayo de 26 Nombre. Sección Número de Estudiante Profesor Número de puntos disponibles: 8 puntos En esta prueba se permite el uso de calculadoras científicas. I. Llene los blancos. Escriba una integral definida que represente cada una de las siguientes cantidades (NO COMPUTE EL VALOR DE LA INTEGRAL) a. (4 PUNTOS)El volumen del sólido obtenido al girar con respecto al eje de x la región acotada por la curva y = x 2,el eje de x y la recta x =. A = πx 4 dx b. (4 puntos) El volumen del sólido obtenido al girar con respecto al eje de y la región acotada por la curva y = x 2,el eje de x y la recta x =. Usando capas cilíndricas A = 2πx 3 dx Usando arandelas con franjas horizontales: A = π( y)dy c. (3 puntos) El largo del arco de la curva y = x 2, x A = + 4x 2 dx d. (3 puntos)el área de la superficie obtenida al girar en torno al eje de y la curva y = x 2, x. A = 2π x + 4x 2 dx

2 2. Considere los vectores a = 3i + j + 2k b = i 2j k Encuentre: a. (4 puntos) La medida en grados del ángulo θentre a y b θ = cos ( 7 ) = b. (4 puntos)proy a b = 7 4 a = 3 2 i 2 j k c. (4 puntos) a b = 3i j + 5k d. ( 4 puntos) Ecuaciones simétricas para la recta que pasa por el punto ( 2,,) que es paralela al vector a (x + 2) 3 = y = z 2 e. (4 puntos) La ecuación escalar del plano que pasa por el punto ( 2,, ) y que está determinado por los vectores a y b 3x y + 5z = 3. ( 3 puntos ) La ecuación polar que representa a la recta x + y = 8 es 8 r = senθ + cosθ

3 II. Conteste las siguientes preguntas de respuesta abierta. Muestre todo el trabajo necesario para llegar a sus respuestas. Soluciones presentadas sin trabajo podrían no recibir crédito. Respuestas numéricas deben presentarse como expresiones matemáticas exactas, no mediante una aproximación decimal. Use aproximaciones decimales solo en casos en que las instrucciones del problema las pida.. Evalue cada uno de los siguientes integrales a. ( 6 puntos) xe 3x dx Integración por partes tomando u = x, dv = e 3x dx xe 3x dx = xe 3x 3 e 3x 9 + C b. (6puntos) 5x 3 x 2 3x 8 dx 5x 3 x 2 3x 8 = 5x 3 = A(x + 3) + B(x 6) Si x = 6, tenemos A = 3 Si x = 3, tenemos B = 2 A x 6 + B x + 3 5x 3 x 2 3x 8 dx = 3 x 6 dx + 2 x + 3 dx = 3Ln x 6 + 2Ln x C (2 puntos( 2. (7 puntos) Determine si e x dx converge o diverge. Si converge x encuentre su valor. Mediante la sustitución u = x se tiene b e x x dx = b 2e u du = 2e u b = 2 e 2e b e x x dx = lim b 2 e 2e b = 2 e

4 3. (6puntos)Trace la curva polar que satisface la ecuación r = 2senθ usando la estrategia de. bosquejar la gráfica en coordenadas 2. cartesianas de la variable r como una función de. (4 puntos)escriba una integral para representar el area de la región acotada por el lazo interior de la gráfica polar r = 2senθ. (NO COMPUTE EL VALOR DE LA INTEGRAL A = 2 5π 6 π 6 ( 2senθ)2 dθ

5 4. (4 puntos)demuestre que lim n n = Por la regla de L Hospital lim Entonces lim n = lim (e ln n ) n = lim ln n n e ln n n = lim =. n ln lim = e n = e = 5. ( 4 puntos)determine si n= encuentre su valor. Como n= 2 n 3 5 n = 2 n 3 5 n 2 n n= n converge o diverge. Si converge = La serie es geométrica convergente con a = 2 y r = 2 5 n= ( )n 2 n 3 n= = 5 n = 2 6. (5 puntos)determine si respuesta. lim 5+3n n= (+n 2 ) 2 Compare en el límite contra la serie convergente 5 + 3n ( + n 2 ) 2 n 3 (5 + 3n) = lim n2 n 3 (5n+3n 2 ) = lim lim = 3 = 3 (+n 2 ) (+n 2 ) Concluímos que la serie converge. converge o diverge. Justifique su n= n 3. Como ( + n 2 )( + n 2 ) = lim n 2 (5n + 3n 2 ) ( + n 2 )( + n 2 ) 7. (8 puntos)encuentre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la serie de potencias ( ) n (x 2) n n= n4 n lim (x 2)n ( )n n4 n n = lim x 2 n n 4 = x 2 4 Por la prueba de la raíz la serie converge si x 2 < 4 y la serie diverge si x 2 > 4. El radio de convergencia es R = 4. Sabemos que la serie converge para 4 < x 2 < 4Es decir sabemos que la serie converge para 2 < x < 6. Observe que si x = 2, la serie de potencias se reduce a la p serie divergente n=.observe que si x = 6, la serie de potencias se reduce a la serie n alternante convergente ( ) n n= ( punto) El intervalo de convergenc n

6 8. (5 puntos)encuentre el polinomio de Taylor de grado 2, T 2 (x), alrededor de a = que se asocia con f(x) = +x. f(x) = +x f (x) = (+x) 3 2 f (x) = 3 4(+x) 5 2 f() = f () = f () = 3 4 T 2 (x) = x x 9. (8 puntos)considere la curva C representada paramétricamente por x = 2t 3 y = + 4t t 2 z = + t 2 Encuentre ecuaciones paramétricas para la recta tangente a C en el instante en que punto (-2,-4,2). La curva pasa por el punto (-2,-4,2) cuando t =. Como r (t) =< 6t 2, 4 2t, 2t > (2puntos) La recta tangente pasa por (-2,-4,2) y es paralela al vector r ( ) =< 6,6, 2 >. (2 puntos)las ecuaciones paramétricas de esta recta son x = 2 + 6t y = 4 + 6t z = 2 2t (3 puntos). (8 puntos)sea r (t) = +t i sen (πt) j + +t 2 k. Encuentre r (t)dt r (t)dt +t = dt i sen (πt)dt j + dt +t 2 k. = 2 + t i + cos(πt) π j + tan t k. = (2 2 2)i 2 π j + π 4 k.