Matemática II Tema 17: integrales dobles en coordenadas polares

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1 Matemática II Tema 7: integrales dobles en coordenadas polares Índice Integrales dobles en coordenadas polares Coordenadas polares límites de integración Ejemplos de aplicación 2 Sustitución en integrales múltiples 4 Sustitución en integrales dobles 4 Trabajo práctico 6 Ejemplos con Sage 7 Cálculo de integrales dobles en polares 7 Integrales dobles en coordenadas polares Coordenadas polares límites de integración r r, ) P, ) Coordenadas polares r, ) de un punto, ) Un punto P con coordenadas cartesianas, ) también puede ser localizado por sus coordenadas polares r, ). Ambos juegos de coordenadas se relacionan por las transformaciones r cos r r sin tan Figura : coordenadas cartesianas coordenadas polares de un punto P del plano. En muchas integrales dobles, la región de integración, la función f, ), o ambos, son epresados más fácilmente en coordenadas polares r, ). r Motivación: simplificar una integral difícil Consideremos, por ejemplo, el calcular el volumen V, sobre la región del plano definida por : 2 + 2, bajo la paraboloide z 2 2. Iterando dos integrales en coordenadas cartesianas quedaría Figura 2: región de integración :

2 tema 7: integrales dobles en coordenadas polares 2 V 2 2 ) da lo cual puede costar bastante resolver ) d d La misma integral doble, pero en coordenadas polares, quedará V 2 2 ) da r 2 ) da Pero para iterar esta integral debemos conocer la epresión del elemento de área da en polares... + d da d d + d da d d r dr dr El cambio de coordenadas transforma la región en una región. Se necesita un factor r para igualar los elementos de área da d d r } dr {{ } r da da Ahora podemos iterar la integral doble, más fácilmente, en coordenadas polares Ejemplos de aplicación Ejemplo. Evaluar V 2 2 ) da r 2 ) r da 2π 2π /4 [ r 2 2π /4 [] 2π π/2 r 2 ) r dr 2 r4 4 ] e d d donde es la región semicircular acotada por el eje la curva 2. 2 π π/2 r r da r r + dr Figura 3: interpretación geométrica de un pequeño elemento de área da, en coordenadas cartesianas en coordenadas polares. r r 2π Figura 4: la transformación de coordenadas cartesianas a polares simplifica la región de integración.

3 tema 7: integrales dobles en coordenadas polares 3 {, ) } {r, ) π r }. Entonces la integral doble se iterará como e d d π π π e r2 r dr [/2 e r2] /2 e ) /2 e ) π /2 e ) [] π π/2 e ) 2,7 Ejemplo 2. Evaluar la integral ) d d. Integrando con respecto de la variable nos quedará ) 2 ) 3 /2 d 3 π/2 2 la cual es dificil de resolver sin utilizar un software o tablas Las cosas mejoran si cambiamos a coordenadas polares 2 π/2 π/2 [ r 4 4 π/2 /4 π/8, ) d d r 2) r dr ] r Figura 5: la región de integración del ejemplo 2. π/2 r r + cos 2 Ejemplo 3. Determinar los límites para integrar una f r, ) sobre la región que está dentro de la cardioide r + cos fuera de la circunferencia r. π/2 r. Bosquejar las curvas frontera. 2. Un rao desde el origen corta primero a r después a r + cos, entonces Figura 6: la región de integración del ejemplo 3. r + cos

4 tema 7: integrales dobles en coordenadas polares 4 3. Los raos deben barrer desde π/2 hasta π/2. 4. Entonces la integral quedaría π/2 +cos π/2 f r, ) r dr Sustitución en integrales múltiples Sustitución en integrales dobles Transformación de coordenadas uv en Supongamos que una región del plano uv se transforma en una región del plano por medio de las ecuaciones gu, v) hu, v) v u, v), ) u Cualquier función f, ), definida en, puede ser considerada como una función compuesta f gu, v), hu, v) ) definida en. Si g, h f tienen derivadas parciales continuas, entonces f, ) d d f gu, v), hu, v) ) Ju, v) du dv donde aparece un factor, un valor absoluto, de una función Ju, v) llamada jacobiano de la transformación de coordenadas. Jacobiano de una transformación de coordenadas Definición jacobiano). El jacobiano o determinante jacobiano de la transformación de coordenadas gu, v), hu, v) es Ju, v) u u v v u El jacobiano también suele anotarse como Ju, v), ) u, v) v u v Ejemplo 4. Determinar el jacobiano para la transformación de coordenadas polares r cos, r sin.

5 tema 7: integrales dobles en coordenadas polares 5. El jacobiano será u v Jr, ) cos r sin sin r cos u v ) r cos 2 + sin 2 r } {{ } 2. Como Jr, ) r r, para las integrales dobles se cumplirá f, ) d d f r cos, r sin ) r dr

6 tema 7: integrales dobles en coordenadas polares 6 Trabajo práctico. En cada caso, cambie la integral cartesiana a una integral polar equivalente, luego evalue esta integral polar. i) ii) iii) iv) v) vi) vii) a a 2 2 a a d d d d d d 2 + 2) d d 2 + 2) d d 2 d d ln 2 ln 2) 2 2 e d d Pista: dibuje un bosquejo de cada región de integración.