Funciones de 2 variables.

Transcripción

1 Funciones de variables. INTRODUCCIÓN En el curso anterior estudiamos las funciones reales de variable real, donde estaban involucradas únicamente dos variables (, ). Una de ellas era la variable independiente la otra la variable dependiente. Se definió una función de este tipo como una relación epresada por una regla de correspondencia que asocia a cada valor de un valor único de. En este tema abordaremos aquellas funciones que tienen más de una variable independiente, en especial las de dos variables. DEFINICIÓN Sea D un conjunto de parejas ordenadas de números reales. Una función f que asocia a cada pareja, en D un número real único representado como f (, ) se llama una función de dos variables. El conjunto D es el dominio el conjunto de imágenes Rconstitue el contradominio. D R, 1 1 f 1,, 3 3, n n 3 n El dominio de la función lo podemos representar como una región en el plano cartesiano, : D R Las siguientes epresiones constituen ejemplos de funciones de dos variables: cos sen 5. ln e 9

2 Ejemplo 1: Obtenga el dominio de 5 A(, 5) B( 1, ) C( 1, ) D, 1 E(, ). Determine la imagen de represéntelo en el plano cartesiano. Solución: Debemos observar si eisten funciones racionales, que el denominador no se anule. También como ha raíces de orden par, el radicando debe ser maor o igual a cero. En nuestro caso la epresión otras palabras: debe ser maor o igual a cero para que el radical eista. En 0 Y en el caso etremo. Traamos entonces la gráfica de que representa la frontera del dominio con una línea punteada debido a que también se debe cumplir la condición que no puede ser igual a para que no se anule el denominador: Todos los puntos que están dentro de la región sombreada pertenecen al dominio de la función, sin incluir a la frontera. Se nos pide también calcular la imagen de los puntos A, B, C, D E por lo que sustituimos los valores de proporcionados, en la regla de correspondencia. Para A : Para B : Para C : Para D : Para E :

3 Resulta que para el punto D E la función no está definida, lo que significa que estos puntos no pertenecen al dominio de la función como se aprecia en la gráfica: A E C B D Graph Limited School Edition - Ejemplo : Obtenga el dominio de 1 represéntelo en el plano cartesiano. Solución: Debemos observar si eisten funciones racionales, que el denominador no se anule. En nuestro caso la epresión 1 debe ser diferente de cero para que no se produca una indeterminación: Traamos entonces la gráfica de 1 que representa la frontera del dominio con una línea punteada: Graph Limited School Edition Todos los puntos del plano cartesiano pertenecen al dominio ecepto los que están sobre la recta 1.

4 Ejemplo 3: Obtenga el dominio de ln represéntelo en el plano cartesiano. Solución: Debemos observar para qué valores del argumento la función logarítmica no eiste. Sabemos entonces que para que eista se debe cumplir que 0. Esto se presenta para dos situaciones distintas: a) Los valores de deben ser positivos simultáneamente. b) Los valores de deben ser negativos simultáneamente. La gráfica que satisface estas condiciones se muestra enseguida: El dominio consiste en todos los puntos que pertenecen al primer tercer cuadrante sin tocar a los ejes coordenados. Ejemplo : Obtenga el dominio de ln represéntelo en el plano cartesiano. Solución: Debemos observar para qué valores del argumento la función logarítmica no eiste. Sabemos entonces que para que eista se debe cumplir que: 0 La frontera de esta desigualdad se da en, el dominio estará formado por el conjunto de puntos que se encuentran por encima de la frontera, como se muestra en la gráfica Graph Limited School Edition

5 Ejercicios Represente el dominio de las siguientes funciones en un plano cartesiano: a) Graph Limited School Edition -6 b) Graph Limited School Edition -10 c) e Superficies Como vimos anteriormente, una función de variables se epresa como f (, ) donde, son las variables independientes la variable dependiente. La función de variables geométricamente representa una superficie, a diferencia de las funciones de una variable que constituían curvas en el plano. La grafica de una superficie se genera utiliando un sistema cartesiano de tres ejes:,,, como se ilustra en el siguiente esquema:

6 Las superficies que estudiaremos en el presente curso se dividen en: I. Superficies de revolución II. Superficies cilíndricas III. Superficies cuadráticas Superficies de revolución Son aquellas superficies que aparecen cuando se hace girar una curva contenida en un plano respecto a algún eje, conocido como eje de revolución. la función f ( ) acotada entre a b se hace girar respecto al eje se obtiene el siguiente sólido: f ( ) a b sólido de revolución Ejemplo 5: Obtenga la superficie generada por la curva del eje al hacerla girar alrededor 5 9 Curva antes de hacerla girar (Alrededor de ) Curva después de hacerla girar (Sólido de revolución) Ejemplo 6: Obtenga la superficie generada por la curva girar alrededor del eje al hacerla Curva antes de hacerla girar (Alrededor de ) Curva después de hacerla girar (Sólido de revolución)

7 Superficies de cilíndricas C es una curva en un plano l es una recta que no está en el plano, entonces el conjunto de puntos que se encuentran sobre las rectas paralelas a l que intersecan a C se llama cilindro. La curva C se conoce como directri la recta l es la generatri. Los siguientes casos son ejemplos de superficies cilíndricas: Directri Directri Generatri Generatri Directri Directri Generatri Generatri En este curso consideraremos que la directri se encuentra contenida en un plano cartesiano la generatri es paralela a uno de los ejes coordenados (perpendicular a la directri). Ejemplo 7:Describa la superficie cilíndrica cua directri es la curva paralela al eje. 1 con generatri 16 Se debe empear por traar la curva en el plano. La ecuación representa una elipse con centro en el origen, semieje maor paralelo a ( a 16 ) semieje menor paralelo a ( b ).

8 Posteriormente se traa el eje los ejes ' ' que forman un plano paralelo al plano. A una distancia arbitraria, se vuelve a dibujar la directri (fig. 1). Finalmente se traan varias líneas paralelas al eje, que constitue la generatri, tocando todo el contorno de la directri (fig. ). ' ' ' ' Fig. 1 Fig. Ejemplo 8: Describa la superficie cilíndrica cua directri es la curva generatri paralela al eje. 1 3 con En primer lugar se tabula la función se dibuja la gráfica en el plano Después se traa el eje los ejes auiliares ', '. Posteriormente se dibuja la directri en el plano ' ' se traan las rectas paralelas a la generatri. La figura que resulta se muestra a continuación. ' '

9 Ejemplo 9: Describa la superficie cilíndrica cua directri es la curva con generatri paralela al eje. guiendo el procedimiento anterior llegamos a los siguientes resultados: ' - ' Superficies de cuadráticas Son aquellas superficies generadas a partir de una función de segundo grado. Las siguientes epresiones representan una superficie cuadrática: * 1 * 9 0 * 0 Para poder construir la gráfica de una superficie cuadrática ha que considerar las traas las curvas de nivel. Traa: Las traas de una superficie son las intersecciones de dicha superficie con los tres planos cartesianos. Ejemplo 10: Obtener las traas de la superficie generada por la función 9. Primero encontraremos la traa con el plano. Esto se logra haciendo 0 sustituendo en la ecuación original: Esta epresión representa una circunferencia con centro en el origen radio r 3. La gráfica se muestra enseguida: -3 3 traa Posteriormente se obtiene la traa en el plano, haciendo 0 sustituendo en la ecuación original:

10 Esta ecuación representa una parábola cuo eje coincide con el eje. Para hacer la gráfica tabulamos desde 3 hasta El sentido positivo del eje se dibuja hacia abajo, considerando la perspectiva que se muestra en el sistema cartesiano tridimensional. La gráfica quedaría de la siguiente forma: traa Finalmente se obtiene la traa con el plano haciendo 0 sustituendo en la ecuación original: Esta última epresión también representa una parábola como se muestra enseguida: traa Curvas de Nivel: Son las curvas de la función f (, ) en planos paralelos a un plano cartesiano. Suponga que tenemos una sandía. Las rebanadas que se obtienen de esta piea constituen las curvas de nivel. Ejemplo 11: Obtenga las curvas de nivel de la superficie generada por la función en planos paralelos a. 9, Se deben elegir varios planos paralelos a en distintos niveles de, por ejemplo para 0, 5,

11 Estas epresiones representan circunferencias de radio 3,, 1.La última ecuación representa un punto en el origen. La gráficas se muestran a continuación en el plano en tres dimensiones: Z=0 Z=5 =5 1 3 =8 =9 Z=8 sobreponemos una de las traas obtenidas en el ejemplo anterior estaríamos construendo finalmente la gráfica de la superficie cuadrática. Podemos establecer como conclusión que con las curvas de nivel las traas se puede identificar graficar a una superficie cuadrática. Ejemplo 1: Obtenga la gráfica de la superficie generada por la función. Traa : 0 0 Circunferencia con centro en el origen radio r. Traa : 0 0 Hipérbola equilátera con centro en el origen eje transverso paralelo a. Traa : 0 0 Hipérbola equilátera con centro en el origen eje transverso paralelo a.

12 A continuación se obtienen algunas curvas de nivel en planos paralelos a : ( 6) 0 6 () 6 0 Ubicamos directamente las curvas de nivel en el sistema tridimensional dibujamos también las traas. De esta forma obtenemos la grafica de la superficie. Ejemplo 1: Obtenga la gráfica de la superficie generada por la función. Traa : 0 0 Parábola con eje paralelo a que abre hacia abajo. Traa : origen eje transverso paralelo a. 0 Hipérbola equilátera con centro en el Traa : 0 Parábola con eje paralelo a que abre hacia arriba. - - A continuación se obtienen algunas curvas de nivel en planos paralelos a : ( 3) () Ubicamos directamente las curvas de nivel en el sistema tridimensional dibujamos también las traas. De esta forma obtenemos la grafica de la superficie.

13 Ejercicios Obtenga las superficies que se indican a continuación: Superficies Cilíndricas * ** cos 0 Superficies Cuadráticas * **

14 UNIVERSIDAD DEL MAR MATEMÁTICAS II ALUMNO: TAREA # Obtenga la gráfica de la superficie que se indica: Superficies de revolución: 1. sen3 0 Eje de revolución eje. sen 0 Eje de revolución eje Superficies Cilíndricas: 3. Generatri: sen3 0 Directri: eje.. Generatri: sen 0 Directri: eje Generatri: Directri: eje. 6. Generatri: sen Directri: eje. Superficies Cuadráticas