5x + 4y 20 = 0! 5 ( x) + 4 ( y) 20 = 0! 5x 4y 20 = 0. al origen O. En resumen, la ecuación 5x + 4y 20 = 0 no tiene ninguna simetría.

Transcripción

1 Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio, grupo, capítulo II, página 0.. Discute la ecuación + 0 = 0, estudiando las intersecciones, las simetrías la etensión. Después traza la grá ca correspondiente. Solución: ) Intersecciones a) Con el eje X. + 0 = 0 Haciendo = 0 + (0) 0 = 0 0 = 0 = El eje X es intersectado en =. b) Con el eje Y. + 0 = 0 Haciendo = 0 (0) + 0 = 0 0 = 0 = El eje Y es intersectado en =. ) Simetrías a) Respecto al eje Y.! + 0 = 0! ( ) + 0 = 0! + 0 = 0 La ecuación cambia de forma por lo tanto la grá ca no es simétrica respecto al eje Y: b) Respecto al eje X.! + 0 = 0! + ( ) 0 = 0! 0 = 0 La ecuación cambia de forma por lo tanto la grá ca no es simétrica respecto al eje X: c) Respecto al origen O.!! + 0 = 0! ( ) + ( ) 0 = 0! 0 = 0 La ecuación cambia de forma por lo tanto la grá ca no es simétrica respecto al origen O. En resumen, la ecuación + 0 = 0 no tiene ninguna simetría. ) Etensión a) En el eje X. Debemos despejar en función de. Tenemos = + Para todo valor de real obtenemos un valor real de, así que la etensión de es todo el eje real.

2 b) En el eje Y. Debemos despejar en función de. Tenemos = + Para todo valor de real obtenemos un valor real de, así que la etensión de es todo el eje real. Resumiendo, la etensión de la curva es ( ; +) ; ( ; +) La grá ca de la función + 0 = 0 es En esta grá ca podemos notar las intersecciones con los ejes ( ), la falta de simetría la etensión.

3 Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 9, grupo, capítulo II, página Discute la ecuación 6 = 0, estudiando las intersecciones, las simetrías la etensión. Después traza la grá ca correspondiente. Solución: ) Intersecciones a) Con el eje X. 6 = 0 Haciendo = 0 6 (0) = 0 = 0 La curva intersecta al eje X en el origen. b) Con el eje Y. 6 = 0 Haciendo = 0 6 (0) = 0 = 0 La curva intersecta al eje Y en el origen. La única intersección con los ejes es en el origen. ) Simetrías a) Respecto al eje Y.! 6 = 0! 6 ( ) = 0! 6 + = 0 La ecuación cambia de forma por lo tanto la grá ca no es simétrica respecto al eje Y: b) Respecto al eje X.! 6 = 0! 6 ( ) = 0! 6 = 0 La ecuación NO cambia de forma por lo tanto la grá ca es simétrica respecto al eje X: c) Respecto al origen O.!! 6 = 0! 6 ( ) ( ) = 0! 6 + = 0 La ecuación cambia de forma por lo tanto la grá ca no es simétrica respecto al origen O. La ecuación es simétrica únicamente respecto al eje Y. ) Etensión a) En el eje X. Debemos despejar en función de. Tenemos = p Es claro que para que sea real, debemos tener 0. b) En el eje Y. Debemos despejar en función de. Tenemos

4 = 6 Para todo valor de real obtenemos un valor real de, así que la etensión de es todo el eje real. La etensión de la curva es 0 ( ; ) La grá ca de la función 6 = 0 es Notese que la grá ca sólo intersecta a los ejes en el origen, que es simétrica respecto al eje Y que sólo puede ser cero o positiva puede tomar cualquier valor real.

5 Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 7, grupo, capítulo II, página Discute la ecuación + = 0, estudiando las intersecciones, las simetrías la etensión. Después traza la grá ca correspondiente. Solución: ) Intersecciones a) Con el eje X. + = 0 Haciendo = 0 + (0) (0) = 0 = 0 = 0 La curva intersecta al eje X en el origen. b) Con el eje Y. + = 0 Haciendo = 0 (0) + = 0 = 0 ( ) = 0 = 0 = La curva intersecta al eje Y en el origen en =. ) Simetrías a) Respecto al eje Y.! + = 0! ( ) + = 0! + = 0 La ecuación NO cambia de forma por lo tanto la grá ca es simétrica respecto al eje Y: b) Respecto al eje X.! + = 0! + ( ) ( ) = 0! + + = 0 La ecuación cambia de forma por lo tanto la grá ca no es simétrica respecto al eje X: c) Respecto al origen O.!! + = 0! ( ) + ( ) ( ) = 0! + + = 0 La ecuación cambia de forma por lo tanto la grá ca no es simétrica respecto al origen O. La ecuación es simétrica únicamente respecto al eje Y. ) Etensión a) En el eje X. Debemos despejar en función de. Tenemos = p Es claro que para que sea real, debemos tener. b) En el eje Y.

6 Debemos despejar en función de. Tenemos = p La valores de que den un valor de real son aquellos para los cuales 0 La forma más sencilla para ver en que valores de la función es maor o igual a cero, lo que hacemos es la grá ca de la función cuadrática, De esta grá ca es claro que = ( ) 0 para los valores de entre cero cuatro. En resumen la etensión de es [0; ] La etensión de la curva es [ ; ] [0; ] La grá ca de la función + = 0 es

7 Notese que la grá ca intersecta al eje X en 0, al eje Y en 0 ; la curva es simétrica respecto al eje Y únicamente; es claro que la etensión de la curva se reduce al rectángulo [ ; ] [0; ].

8 Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio, grupo, capítulo II, página Discute la ecuación = 0, estudiando las intersecciones, las simetrías la etensión. Después traza la grá ca correspondiente. Solución: ) Intersecciones a) Con el eje X = 0 Haciendo = 0 (0) (0) = = 0 = p 7 = p 7 La curva intersecta al eje X en p p 7 = 0: en 7 = : 88 b) Con el eje Y = 0 Haciendo = 0 9 (0) 8 (0) 8 = 0 8 = 0 = p + = p + La curva intersecta al eje Y en p + = 8: en p + = 0: ) Simetrías a) Respecto al eje Y.! = 0! 9 ( ) 8 ( ) 8 = 0! = 0 La ecuación cambia de forma por lo tanto la grá ca no es simétrica respecto al eje Y: b) Respecto al eje X.! = 0! ( ) ( ) = 0! = 0 La ecuación cambia de forma por lo tanto la grá ca no es simétrica respecto al eje X: c) Respecto al origen O.!! = 0! ( ) 9 ( ) 8 ( ) 8 ( ) = 0! = 0 La ecuación cambia de forma por lo tanto la grá ca no es simétrica respecto al origen O. La ecuación no tiene ninguna simetría. ) Etensión a) En el eje X.

9 Debemos despejar en función de. Tenemos = p + + La valores de que den un valor de real son aquellos para los cuales La forma más sencilla para ver en que valores de la función + + es maor o igual a cero, lo que hacemos es la grá ca de la función cuadrática, De esta grá ca es claro que ++ 0 para todos los valores de reales. En resumen la etensión de es ( ; +) b) En el eje Y. Debemos despejar en función de. Tenemos = p ( ) ( 7) La valores de que den un valor de real son aquellos para los cuales ( ) ( 7) 0 La forma más sencilla para ver en que valores de la función ( ) ( 7) es maor o igual a cero, lo que hacemos es la grá ca de la función cuadrática,

10 De esta grá ca es claro que ( ) ( 7) 0 para los valores que no estén entre uno siete. En resumen la etensión de = [; 7]. La etensión de la curva es ( ; +) = [; 7] La grá ca de la función = 0 es 0 Notese que la grá ca intersecta al eje X en p p 7 = 0: en 7 = : 880, al eje Y en en p + = 8: en p + = 0:; la curva

11 no es simétrica; es claro que la etensión de la curva es ( ; +) = [; 7].

12 Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio, grupo 6, capítulo II, página 6. Construir la curva correspondiente a la ecuacion = 0. Solución: Para construir la curva que corresponde a una ecuación, antes que nada debemos hacer un análisis cuidadoso de la ecuación: ) Intersecciones a) Con el eje X. = 0 Haciendo = 0 (0) (0) = 0 = 0 Esta última igualdad es imposible, por lo tanto la curva no intersecta al eje X. b) Con el eje Y. = 0 Haciendo = 0 (0) = 0 = 0 = La curva intersecta al eje Y en =. ) Simetrías a) Respecto al eje Y.! = 0! ( ) = 0! = 0 La ecuación cambia de forma por lo tanto la grá ca no es simétrica respecto al eje Y: b) Respecto al eje X.! = 0! ( ) ( ) = 0! + = 0 La ecuación cambia de forma por lo tanto la grá ca no es simétrica respecto al eje X: c) Respecto al origen O.!! = 0! ( ) ( ) ( ) = 0! + = 0 La ecuación cambia de forma por lo tanto la grá ca no es simétrica respecto al origen O. La ecuación no tiene ninguna simetría. ) Etensión a) En el eje X. Debemos despejar en función de. Tenemos =

13 El único valor que no puede tomar es, así que la etensión de es ( ; +) fg. b) En el eje Y. Debemos despejar en función de. Tenemos + El único valor que no puede tomar es 0, así que la etensión de es ( ; +) f0g. ) Asíntotas a) Verticales Para encontrar las asíntotas verticales, despejamos como función de, = hacemos los denominadores lineales igual a cero. En este caso = 0 es la ecuación de la línea recta vertical asíntota a la curva. b) Horizontales Para encontrar las asíntotas horizontales, despejamos como función de, = + hacemos los denominadores lineales igual a cero. En este caso = 0 es la ecuación de la línea recta horizontal asíntota a la curva. ) Construir una tabla con algunos valores de la función

14 Con todos estos elementos trazamos las asíntotas que sirven como guía para el trazado de la curva marcamos las intersecciones con los ejes

15 La grá ca de la función = 0 es donde hemos gra cado también las asíntotas. Finalmente, a sin asíntotas la grá ca es

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17 Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 9, grupo 6, capítulo II, página 6. Construir la curva correspondiente a la ecuacion ++ + = 0. Solución: Para construir la curva que corresponde a una ecuación, antes que nada debemos hacer un análisis cuidadoso de la ecuación: ) Intersecciones a) Con el eje X = 0 Haciendo = 0 + (0) + (0) + (0) = 0 + = 0, Solution is: p p ; = p La curva intersecta al eje X en + p p = 0: en = :. b) Con el eje Y = 0 Haciendo = 0 (0) + (0) + + (0) = 0 = 0, Solution is: p p + ; = p La curva intersecta al eje Y en + p p = : en = 0: ) Simetrías a) Respecto al eje Y.! = 0! ( ) + ( ) + + ( ) = 0! + = 0 La ecuación cambia de forma por lo tanto la grá ca no es simétrica respecto al eje Y: b) Respecto al eje X.! = 0! + ( ) + ( ) + ( ) = 0! = 0 La ecuación cambia de forma por lo tanto la grá ca no es simétrica respecto al eje X: c) Respecto al origen O.!! = 0! ( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) = 0! = 0 La ecuación cambia de forma por lo tanto la grá ca no es simétrica respecto al origen O. La ecuación no tiene ninguna simetría. ) Etensión a) En el eje X.

18 Debemos despejar en función de. Tenemos = p p Los valores de posibles son aquellos que hacen que sea real; es decir, sólo son admisibles los valores de tales que 0, ó bien ó nalmente. La etensión de es ( ; ]. b) En el eje Y. Debemos despejar en función de. Tenemos = p p + Los valores de posibles son aquellos que hacen que sea real; es decir, sólo son admisibles los valores de tales que + 0, ó bien ó nalmente. La etensión de es [ ; +). La curva está limitada al rectángulo ( ; ] [ ; +). ) Asíntotas a) Verticales Para encontrar las asíntotas verticales, despejamos como función de, = p p hacemos los denominadores lineales igual a cero. En este caso no ha denominadores la curva no tiene asíntotas verticales. b) Horizontales Para encontrar las asíntotas horizontales, despejamos como función de, = p p + hacemos los denominadores lineales igual a cero. En este caso no ha denominadores la curva no tiene asíntotas horizontales. ) Construir una tabla con algunos valores de la función

19 La grá ca de la función = 0 es

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21 Geometría Analítica. Charles H. Lehman. Limusa 989. Capítulo II, grupo de problemas 6. Ejercicio, página 6. Construir la curva correspondiente a la ecuación 9 = 0: Solución:. Intersección con los ejes a) Intersección con el eje X. Para determinar las intersecciones con el eje X, debemos hacer = 0 en la ecuación resolver la ecuación resultante para. Tenemos 9 = 0! (0) 9 (0) = 0! 9 = 0! = 9 Por tanto, la curva intersecta al eje X en 9. b) Intersección con el eje Y. Para determinar las intersecciones con el eje Y, debemos hacer = 0 en la ecuación resolver la ecuación resultante para. Tenemos 9 = 0! (0) 9 (0) = 0! = 0! = Por tanto, la curva intersecta al eje Y en.. Simetrías a) Simetría respecto al eje X: Para determinar las simetrías respecto al eje X, debemos sustituir por en la ecuación de la curva. Tenemos 9 = 0! ( ) 9 ( ) = 0! 9 + = 0 Como la ecuación sí cambia de forma, la curva no es simétrica respecto al eje X. b) Simetría respecto al eje Y: Para determinar las simetrías respecto al eje Y, debemos sustituir por en la ecuación de la curva. Tenemos 9 = 0! ( ) 9 ( ) = 0! + 9 = 0 Como la ecuación sí cambia de forma, la curva no es simétrica respecto al eje Y. c) Simetría respecto al origen O: Para determinar las simetrías respecto al origen O, debemos sustituir por por en la ecuación de la curva. Tenemos 9 = 0! ( ) ( ) 9 ( ) ( ) = 0! = 0 Como la ecuación sí cambia de forma, la curva no es simétrica respecto al origen O.. Etensión a) Etensión en el eje X: Para determinar la etensión en el eje X, debemos despejar a como función de en la ecuación de la curva. Primeramente vemos que si = 0 en la ecuación 9 = 0; esta se reduce a la ecuación = 0; cua solución es = :Por tanto, = 0 es un valor de la etensión en X: Si 6= 0, la ecuación 9 = 0 es de segundo grado para, podemos resolverla con la fórmula general, = ( ) q ( ) () ( 9 ) = p () Por tanto, los valores posibles de son aquellos que hacen que Es claro que todos los números reales satisfacen dicha desigualdad; es decir, puede ser cualquier número real. Así que la etensión en X son todos los números reales. La curva ocupa de hasta +: b) Etensión en el eje Y: Para determinar la etensión en el eje Y, debemos despejar a como función de en la ecuación de la curva. Procedemos 9 = 0 9 = 0! 9 = 0! = + 9 = + ( + ) ( ) Por tanto, los valores que no puede tomar son -, así que la etensión en Y son todos los reales menos el el -.. Asíntotas a) Asíntotas verticales Para determinar las asíntotas verticales debemos despejar a como función de en la ecuación de la curva. Eso a lo hicimos obtuvimos = p con 6= 0: Ahora hacemos cero los denominadores lineales. Es decir, = 0: La única asíntota vertical es = 0; el eje Y: b) Asíntotas horizontales Para determinar las asíntotas horizontales debemos despejar a como función de en la ecuación de la curva. Eso a lo hicimos obtuvimos = + ( + ) ( ) con 6= 6= :

22 Ahora hacemos cero los denominadores lineales. Es decir, + = 0 = 0: Se tienen dos asíntotas horizontales, = = :. Determinación de algunos puntos de la curva No eiste No eiste La grá ca de 9 =

23 Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 7, grupo 6, capítulo II, página 6. Construir la curva correspondiente a la ecuacion + = 0. Solución: Para construir la curva que corresponde a una ecuación, antes que nada debemos hacer un análisis cuidadoso de la ecuación: ) Intersecciones a) Con el eje X. + = 0 Haciendo = 0 (0) + (0) = 0 = 0 = La curva intersecta al eje X en : b) Con el eje Y. + = 0 Haciendo = 0 (0) + (0) (0) = 0 = 0 Esta última ecuación no tiene sentido lo que indica es que la curva no intersecta jamás al eje Y. Resumen: La única intersección de la curva con los ejes es con el eje X en =. ) Simetrías a) Respecto al eje Y.! + = 0! ( ) + ( ) ( ) = 0! + = 0 La ecuación cambia de forma por lo tanto la grá ca no es simétrica respecto al eje Y: b) Respecto al eje X.! + = 0! ( ) + ( ) = 0! = 0 La ecuación cambia de forma por lo tanto la grá ca no es simétrica respecto al eje X: c) Respecto al origen O.!! + = 0! ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) = 0! + = 0 La ecuación cambia de forma por lo tanto la grá ca no es simétrica respecto al origen O. Resumen: La ecuación no tiene ninguna simetría. ) Etensión a) En el eje X.

24 Debemos despejar en función de en la + = 0. Tenemos si = 0 la ecuación queda = 0, que no tiene sentido, así que no puede tomar el valor cero. Si 6= 0 entonces = p (9 + 8) Los valores de posibles son aquellos que hacen que sea real; es decir, sólo son admisibles los valores de tales que (9 + 8) 0. Para ver que valores de satisfacen esta desigualdad, gra camos la función cuadrática (9 + 8) = Es claro que (9 + 8) es negativo "entre" sus dos raices, 0 8=9: Como a vimos que el 0 no pertenece a la etensión de la curva, la etensión de son todos los valores reales fuera del intervalo ( 8=9; 0]. b) En el eje Y. Debemos despejar en función de en la + = 0. Tenemos si = la ecuación queda = 0, que no tiene sentido, así que no puede tomar el valor, si = la ecuación queda = 0, que no tiene sentido, así que no puede tomar el valor, entonces ni ni Si 6= 6=, = pertencen a la etensión de la curva. +. Para cualquier valor de, ecepto los dos a ecluidos, esta epresión es real, así que la etensión de es ( ; +) f ; g Resumen: ( ; +) ( 8=9; 0] ( ; +) f ; g,

25 ) Asíntotas a) Verticales Para encontrar las asíntotas verticales, despejamos como función de, = p (9 + 8) = p (9 + 8) si 6= 0 hacemos los denominadores lineales igual a cero. En este caso tenemos = 0 el eje Y será una asíntota. b) Horizontales Para encontrar las asíntotas horizontales, despejamos como función de, = + = ( + ) ( ) hacemos los denominadores lineales igual a cero. En este caso tenemos dos asíntotas horizontales, una dada por + = 0 la otra dada por = 0 Resumen: Ha tres asíntotas, una vertical que es el eje Y, dos horizontales, = =. ) Construir una tabla con algunos valores de la función usando la epresión de en función de ; es decir, = + = ( + ) ( ), No está definida No está definida Finalmente, para construir la grá ca trazamos las tres asíntotas (que son las rectas verde azul, morada (el eje Y )). La línea recta punteada de color rosa

26 delimita la etensión de la variable : Notamos también la intersección las simetrías, Trazamos la grá ca con sus asíntotas la grá ca de la función + = 0 es 6

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28 Geometría Analítica. Charles H. Lehman. Limusa 989. Capítulo II, grupo de ejercicios 6, ejercicio 7, página 7 Construa la curva correspondiente a la ecuación Solución:. Intersecciones a) Con el eje X Debemos hacer en la ecuación resolverla; es decir, debemos resolver. Por lo tanto, es la única intersección con el eje X. b) Con el eje Y Debemos hacer en la ecuación resolverla; es decir, debemos resolver. Por lo tanto, es la única intersección con el eje Y. Simetrías a) Simetría respecto al eje X Debemos sustituir por en la ecuación original. Como la ecuación cambia, la curva no es simétrica respecto al eje X. b) Simetría respecto al eje Y Debemos sustituir por en la ecuación original. Como la ecuación cambia, la curva no es simétrica respecto al eje Y. c) Simetría respecto al eje origen O Debemos sustituir por por en la ecuación original. Como la ecuación cambia, la curva no es simétrica respecto al origen O.. Etensión de la curva a) Etensión en el eje X Debemos despejar a como función de determinar los valores de que son posibles. Primero tenemos de donde es claro que si hacemos obtenemos la ecuación, ó sea. Encontramos una contradicción que nos indica que el valor de no es una valor permitido. Si tenemos Vemos claramente que el único valor que no puede tomar es. La etensión en el eje X es b) Etensión en el eje Y Debemos despejar a como función de determinar los valores de que son posibles. Tenemos la ecuación, la podemos escribir como

29 para que quede claro que se trata de una ecuación de segundo grado para. Notamos facilmente que si la ecuación que resulta es, es decir, En el caso tenemos la ecuación que para resolverla usamos la fórmula general de la ecuación general de segundo grado,, que es Tenemos entonces Finalmente tenemos Por tanto, no puede tomar ningun valor negativo, a que en ese caso no eiste como un número real. La etensión en el eje Y es.. Asíntotas. a) Asíntotas verticales. Para determinar las asíntotas verticales debemos despejar como función de e igualar los denominadores lineales a cero. Ya hemos despejado como función de encontramos con. Hacemos ahora los denominadores lineales igual a cero; es decir,, por lo tanto, la única asíntota vertical es la línea recta con ecuación b) Asíntotas horizontales. Para determinar las asíntotas horizontales debemos despejar como función de e igualar los denominadores lineales a cero. Ya hemos despejado como función de encontramos con. Hacemos ahora los denominadores lineales igual a cero; es decir, asíntota horizontal es la línea recta con ecuación. Determinación de algunos puntos de la curva, por lo tanto, la única ()

30 .00 No eiste Finalmente tenemos la gráfica

31 Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio, grupo 7, capítulo II, página 9. Factoriza la ecuación = 0 traza la grá ca correspondiente. Solución: Tenemos claramente que = ( + ) ( ) Dado que los dos factores son ecuaciones lineales en la dos variables,, la grá ca de cada factor es una linea recta; por lo tanto, basta encontrar dos puntos de cada una de las grá cas para trazarlas. En el caso de + = 0, tenemos que si = 0 también = 0. Si = entonces = =. Así que la primer línea recta pasa por los puntos (0; 0) (; =) : En el caso de = 0, tenemos que si = 0 también = 0. Si = entonces = =. Así que la primer línea recta pasa por los puntos (0; 0) (; =) : Finalmente trazamos ambas líneas rectas, que son a su vez la grá ca de la ecuación = 0,

32 Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 9, grupo 7, capítulo II, página 9. Factoriza la ecuación = 0 traza la grá ca correspondiente. Solución: Para factorizar = 0 notamos primero que es un factor comun, por tanto, = + + +, además = ( + ) ( + ) ( ) = ( + ) ( + ), así que nalmente = ( + ) ( + ) Dado que los tres factores son ecuaciones lineales en la dos variables,, la grá ca de cada factor es una linea recta; por lo tanto, basta encontrar dos puntos de cada una de las grá cas para trazarlas. En el caso = 0, tenemos el eje Y a. En el caso de + = 0, ó bien = tenemos claramente una recta horizontal a una distancia hacia abajo del eje X. En el caso de + = 0, tenemos que si = 0 también =. Si = 0 entonces =. Así que la línea recta pasa por los puntos (0; ) ( ; 0). Finalmente trazamos las tres líneas rectas, que son a su vez la grá ca de la ecuación = 0,

33 Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 7, grupo 7, capítulo II, página 9. Halla, analítica grá camente, los puntos de intersección, cuando los haa, para las curvas + = 8 =. Solución: I) Tracemos primero la grá ca de la ecuación + = 8. Para ello llevamos a cabo todo el análisis de la ecuación que hemos aprendido. ) Intersecciones a) Con el eje X. + = 8 Haciendo = 0 + (0) = 8 = p 8 La curva intersecta al eje X en p p 8 = : 8 en 8 = : 8 b) Con el eje Y. + = 8 Haciendo = 0 (0) + = 8 = p 8 La curva intersecta al eje Y en p p 8 = : 8 en 8 = : 8 ) Simetrías a) Respecto al eje Y.! + = 8! ( ) + = 8! + = 8 La ecuación NO se altera por lo tanto la grá ca es simétrica respecto al eje Y: b) Respecto al eje X.! + = 8! + ( ) = 8! + = 8 La ecuación NO se altera por lo tanto la grá ca es simétrica respecto al eje X: c) Respecto al origen O.!! + = 8! ( ) + ( ) = 8! + = 8 La ecuación NO se altera por lo tanto la grá ca es simétrica respecto al origen O. La grá ca es completamente simétrica, tanto respecto a los ejes como respecto al origen. ) Etensión a) En el eje X. Debemos despejar en función de. Tenemos = p 8

34 La valores de que den un valor de real sonp aquellos para losp cuales 8 0. Es decir, los valores de maores que 8 menores que 8. En resumen la etensión de es p 8; p 8 b) En el eje Y. Debemos despejar en función de. Tenemos = p 8 La valores de que den un valor de real sonp aquellos para losp cuales 8 0. Es decir, los valores de maores que 8 menores que 8. En resumen la etensión de es p 8; p 8 La etensión de la curva es p 8; p 8 p 8; p 8. Es decir, la grá ca está restringida al cuadrado p 8; p 8 p 8; p 8, que es un cuadrado con centro en el origen lado igual a p 8. ) Asíntotas. Dado que la grá ca tiene una etensión limitada, no tiene asíntotas. Finalmente la grá ca de la función + = 8 es Vemos que se trata de una circunferencia con su centro en el origen de radio p 8. I) Tracemos ahora la grá ca de la ecuación =. Para ello llevamos a cabo todo el análisis de la ecuación que hemos aprendido. ) Intersecciones a) Con el eje X. =. Haciendo = 0 (0) = = 0

35 La curva intersecta al eje X en el origen. b) Con el eje Y. =. Haciendo = 0 = (0) = 0 La curva intersecta al eje Y en el origen. Resumen: Respecto a los ejes lo que sabemos es que sólo los intersecta en el origen. ) Simetrías a) Respecto al eje Y.! =.! = ( )! =. La ecuación se altera por lo tanto la grá ca NO es simétrica respecto al eje Y: b) Respecto al eje X.! =.! ( ) =! =. La ecuación NO se altera por lo tanto la grá ca es simétrica respecto al eje X: c) Respecto al origen O.!! =.! ( ) = ( )! =. La ecuación se altera por lo tanto la grá ca NO es simétrica respecto al origen O. Resumen: La única simetría de la grá ca es con respecto al eje Y. ) Etensión a) En el eje X. Debemos despejar en función de. Tenemos = p La valores de que den un valor de real son aquellos para los cuales 0. Es decir, los valores de maores o iguales a cero. En resumen la etensión de es [0; +). b) En el eje Y. Debemos despejar en función de. Tenemos = Es claro que cualquier valor real de es permitido, por tanto la etensión de son todos los números reales. En resumen la etensión de es ( ; +). La etensión de la curva es [0; +) ( ; +). ) Asíntotas.

36 En el punto anterior vimos que = p ó = =. En ningún caso tenemos denominadores por lo tanto, la grá ca de la ecuación no tiene asíntotas ni verticales ni horizontales. Finalmente la grá ca de la función = es 6 Vemos que se trata de una parábola con su vertice en el origen con su eje coincidente con el eje X. Trazamos ahora en un mismo grá co las dos curvas para ver sus intersecciones. Tenemos 6

37 Grá camente vemos que ha dos intersecciones. Una en el punto (; ) otra en el punto (; ). Veri caremos este resultado analiticamente. Para ello, debemos resolver simultaneamente las dos ecuaciones + = 8 =. Es mu sencillo dado que a está despejado en la segunda ecuación sustituendo en la primera tenemos + = 8 que es una ecuación + 8 = 0, de segundo grado en, que se resuelve facilmente como = =. Ahora sustituimos de regreso para, = ( ) que es = p 8 que no eiste en los números reales. Para el otro valor tenemos = () por tanto, = p = Así que los puntos de intersección son (; ) (; ), como habíamos encontrado grá camente.

38 Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio, grupo 8, capítulo II, página. Halla la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que a) se conserva siempre a unidades a la izquierda del eje Y ; b) está siempre unidades arriba del eje X; c) está siempre a iguañ distancia de los ejes X Y. Despues de haber obtenido la ecuación del lugar geométrico construe la curva de acuerdo a lo dicho en el artículo 9 del libro. Solución: a) La condición geométrica la debemos traducir a una condición analítica; es decir, la tenemos que epresar en términos de una ecuación. En este caso es mu sencillo, la distancia al eje Y es la abscisa, así que la condición geométrica se traduce en = que es la ecuación buscada. Es evidente que todos los puntos que satisfacen la ecuación = satisfacen también la condición geométrica; es decir, todos ellos estan a una distancia a la izquierda del eje Y. En el plano el lugar geométrico es o sea, una recta vertical a una distancia a la izquierda del eje Y. b) La condición geométrica la debemos traducir a una condición analítica; es decir, la tenemos que epresar en términos de una ecuación. En este caso es mu sencillo, la distancia al eje X es la ordenada, así que la condición geométrica se traduce en =

39 que es la ecuación buscada. Es evidente que todos los puntos que satisfacen la ecuación =, satisfacen también la condición geométrica; es decir, todos ellos estan a una distancia arriba del eje X. En el plano el lugar geométrico es o sea, una recta horizontal a una distancia arriba del eje X. c) La condición geométrica la debemos traducir a una condición analítica; es decir, la tenemos que epresar en términos de una ecuación. En este caso, la distancia al eje Y es la abscisa la distancia al eje X es la ordenada, así que la condición geométrica se traduce en =, que es la ecuación buscada. Es evidente que todos los puntos que satisfacen la ecuación =, satisfacen también la condición geométrica; es decir, todos ellos estan a la misma distancia de los dos ejes. En el plano el lugar geométrico es

40 o sea, una recta a grados que pasa por el origen.

41 Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 9, grupo 8, capítulo II, página. Una recta l, que pasa por el punto ( ; ), es perpendicular a otra recta cua pendiente es /. Epresar analíticamente el que un punto cualquiera P (; ) esté sobre la recta l, deducir a partir de aquí, su ecuación. Solución: Si la recta l es perpendicular a una recta cua pendiente es /, quiere decir que su pendiente es recíporca de signo contrario; es decir, es. Sabemos ademas que la recta pasa por el punto ( ; ) que si P (; ) es un punto cualquiera de ella, su pendiente es m = ( ) = + Como a sabemos que la pendiente es igual a, tenemos entonces + = Esta es a la ecuación de la recta l; sin embargo, es conveniente darla en la froma más simpli cada posible, = =) = ( + ) =) = + 0 =) + = 0 + La ecuación es + = 0 la grá ca es

42 Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 7, grupo 8, capítulo II, página. Un punto se mueve de tal manera que la diferencia de sus distancias a los dos puntos A (; 0) B ( ; 0) es siempre igual a. Hallar la ecuación de su lugar geométrico. Solución: Para hallar la ecuación del lugar geométrico debemos epresar la condición geométrica en forma analítica. En este caso la traducción de: "sus distancias a los dos puntos (; 0) ( ; 0) es siempre igual a " a una condición analítica es jp Aj jp Bj =. Esta condición se escribe qcomo q( ) + ( 0) ( + ) + ( 0) = que es q q( ) + ( + ) + = =) q ( ) + = + =) q ( + ) + ( ) + = + q( + ) + =) q = ( + ) + + ( + ) + =) q 6 7 = 8 ( + ) + + ( + ) =) q 6 7 = 8 ( + ) =) q 6 = 8 ( + ) + =) q = ( + ) + =) i ( ) = h( + ) + =) = =) = =) 0 = 0 =) = La ecuación del lugar geométrico es 0 = 0 ó bien =.

43 Para construir la curva que corresponde a esta ecuación, antes que nada debemos hacer un análisis cuidadoso de la ecuación: ) Intersecciones a) Con el eje X. = Haciendo = 0 (0) = = = La curva intersecta al eje X en. b) Con el eje Y. = Haciendo = 0 (0) = = Esta ecuación no tiene solución en los números reales por lo tanto la curva no intersecta al eje Y. Resumen: La curva intersecta al eje X en, no intersecta al eje Y. ) Simetrías a) Respecto al eje Y.! ( ) = =) = =) = La ecuación no se altera por lo tanto la grá ca es simétrica respecto al eje Y: b) Respecto al eje X.! ( ) = =) = =) = La ecuación no se altera por lo tanto la grá ca es simétrica respecto al eje X: c) Respecto al origen O.!! ( ) ( ) = =) = =) = La ecuación no se altera por lo tanto la grá ca es simétrica respecto al origen O. Resumen: La curva tiene todas las simetrías que hemos estudiado. ) Etensión a) En el eje X.

44 Debemos despejar en función de en la ecuación = p p =, Por tanto, podrá tomar únicamente aquellos valores que hagan a real; es decir, tendremos que tener 0 que se traduce en que ó. En otras palabras, la etensión de es ( ; ] [ [; +). b) En el eje Y. Debemos despejar en función de en la ecuación = p p + =, Por tanto, podrá tomar únicamente aquellos valores que hagan a real; es decir, tendremos que tener + 0. Esto sucede siempre, sucede para cualquier valor real de, así que la etensión en son todos los números reales. Resumen: ( ; ] [ [; +) ( ; +). ) Asíntotas. De los despejes del inciso anterior tenemos = p p = p p + como las dos epresiones no tienen denominadores, podemos concluir que esta curva no tiene asíntotas ni verticales ni horizontales. En el capítulo VIII, veremos que esta curva tiene asíntotas oblícuas, que están dadas como p + = 0 p = 0. Finalmente, para construir la grá ca marcamos las intersecciones: La curva intersecta al eje X en, no intersecta al eje Y.

45 La gra ca es simétrica respecto a los dos ejes respecto al origen, por lo tanto basta construir la cruva en el primer cuadrante. La etensión es ( ; ][[; +) ( ; +), la representamos en el plano cartesiano, Trazamos ahora las asíntotas

46 Finalmente calculamos unos puntos en el primer cuadrante con la computadora Grá camos la curva en el primer cuadrante,

47 Usando la simetría de la curva, la pintamos en los cuatro cuadrantes Ahora presentamos la gra ca sin todos los auiliares para construirla, 6

48 Se trata de una hipérbola con centro en el origen eje transverso coincidente con el eje X. 7

49 Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio, grupo 8, capítulo II, página. Los etremos de la base de un triángulo son los puntos A (0; 0) B (; 0). Hallar la ecuación del lugar geométrico del vértice opuesto C si se mueve de tal manera que el ángulo en la base CAB es siempre igual al doble del ángulo en la base CBA. Solución: A las coordenadas del punto C; general del lugar geométrico, las denotaremos como (; ). (),C ()0,0 A (),0 B Lo primero que debe quedar claro es que siempre debemos considerar que 6= 0, a que si = 0 el triángulo se colapsa. Del dibujo es mu claro que el ángulo CAB d es tal que tan CAB d =. Para encontrar el ángulo CBA d debemos recordar la fórmula para el ángulo entre dos rectas dadas sus pendientes. Si tenemos dos rectas, l l, de pendientes m m respectivamente, el ángulo formado por ellas es tan = m m + m m siendo el ángulo que va de la recta l a la recta l. Usando está fórmula encontramos tan CBA d 0 = = + (0) Debemos aplicar ahora la condición geométrica, que es CAB d = CBA d Tenemos entonces tan CBA d tan d CAB = tan d CBA = tan CBA d sustituendo las epresiones que a habíamos encontrado para las tangentes de estos ángulos, encontramos = que si la desarrollamos nos da

50 = 0 como a sabemos que 6= 0, entonces la ecuación del lugar geométrico es + 9 = 0 Para trazar en el plano cartesiano, la curva correspondiente a esta ecuación, debemos hacer el análisis de ella: Para construir la curva que corresponde a esta ecuación, antes que nada debemos hacer un análisis cuidadoso de la ecuación: ) Intersecciones a) Con el eje X. + 9 = 0 Haciendo = 0 (0) + 9 = = 0 = = La curva intersecta al eje X en. b) Con el eje Y. + 9 = 0 Haciendo = 0 (0) (0) + 9 = 0 = 9 = = La curva intersecta al eje Y en. Resumen: La curva intersecta al eje X en, al eje Y en. ) Simetrías a) Respecto al eje Y.! + 9 = 0 =) ( ) ( ) + 9 = 0 =) = 0 La ecuación se altera por lo tanto la grá ca NO es simétrica respecto al eje Y: b) Respecto al eje X.! +9 = 0 =) ( ) +9 = 0 =) +9 = 0 La ecuación no se altera por lo tanto la grá ca es simétrica respecto al eje X: c) Respecto al origen O.!! + 9 = 0 =) ( ) ( ) ( ) + 9 = 0 =) = 0 La ecuación se altera por lo tanto la grá ca NO es simétrica respecto al origen O. Resumen: La curva es simétrica respecto al eje X.

51 ) Etensión a) En el eje X. Debemos despejar en función de en la ecuación + 9 = 0, = p p ( ) ( ) Por tanto, podrá tomar únicamente aquellos valores que hagan a real; es decir, tendremos que tener ( ) ( ) 0. Para que esto suceda ambos factores debe ser del mismo signo; así que o. Es claro que si también se cumple que, así que en el primer caso basta con poner. Ahora si se satisface también que, así que en el segundo caso ambas condiciones se satisfacen si sólo pedimos que. En resumen, ( ) ( ) 0 si o. En otras palabras, la etensión de es ( ; ] [ [; +). Otra manera de ver en que región de los números reales es la función cuadrática ( ) ( ) negativa, es haciendo una grá ca de ella. Efectivamente en la grá ca que presentamos a continuación se ve claramente que la función es negativa únicamente en el intervalo (; ) por lo tanto esos valores de no forman parte de la etensión de la curva: b) En el eje Y. Debemos despejar en función de en la ecuación + 9 = 0, = p p + + Por tanto, podrá tomar únicamente aquellos valores que hagan a real; es decir, tendremos que tener + 0. Esto sucede siempre, sucede para cualquier valor real de, así que la etensión en son todos los números reales. Resumen: ( ; ] [ [; +) ( ; +). ) Asíntotas. De los despejes del inciso anterior tenemos = p p ( ) ( ) = p p + +

52 como las dos epresiones no tienen denominadores, podemos concluir que esta curva no tiene asíntotas ni verticales ni horizontales. En el capítulo VIII, veremos que esta curva tiene asíntotas oblícuas, que están dadas como + p = 0 p = 0. Finalmente, para construir la grá ca marcamos las intersecciones: La curva intersecta al eje X en, al eje Y en. La grá ca de la curva es simétrica respecto al eje X. La etensión es ( ; ][[; +) ( ; +), la representamos en el plano cartesiano,

53 Trazamos ahora las asíntotas Finalmente calculamos unos puntos, únicamente en la parte superior del plano, a que la grá ca es simétrica respecto al eje X:

54 Grá camos la curva en el primer cuadrante, Usando la simetría de la curva, la pintamos en los cuatro cuadrantes 6

55 Ahora presentamos la gra ca sin todos los auiliares para construirla, Se trata de una hipérbola con centro en el punto (; 0) eje transverso coincidente con el eje X. Finalmente presentamos una grá ca de la curva con uno de los triángulos motivo de este problema: 7

56 EXTRAS: Calculo de puntos sobre la hipérbola para dibujar un triángulo + 9 = 0 p ; Solution is: p! ; = p p! ;,(; 0) p = ( ) = p = + p p + 9 = 0 p ( ) = + p p + p p 8

57 Calculo de las asíntotas: + 9 = 0 = 9 + = 9 + ( ) = ( ) = ( ) = 0 p + p = 0 p = 0 + p = 0. 9

58 Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 0, grupo 0, capítulo V, página 9. Simpli que la ecuación = 0 por una traslación de los ejes coordenados. Solución: Sustituimos las coordenadas por las que se obtendrían con una translación del eje de coordenadas = 0 + h = 0 + k Sustituendo en la ecuación 0 ( 0 + h) ( 0 + k) + ( 0 + h) ( 0 + k) 80 = 0 h k h 0 + 0k hk 80 = k h 0 + h k + 0hk 80 = ( + 0k) 0 ( 0h) 0 + h k + 0hk 80 = 0 Por lo tanto, sólo podemos hacer cero los coe cientes de los términos lineales, + 0k = 0 0h = 0 de donde k = 0 = h = 0 = 6 la ecuación queda = = =

59 Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio, grupo, capítulo V, página. Hallar las nuevas coordenadas del punto (; ) cuando los ejes coordenados giran un ángulo de 0. Solución: El cambio de coordenadas cuando se realiza una rotación en un ángulo esta dado por las epresiones = 0 cos 0 sin = 0 sin + 0 cos La transformación inversa es 0 = cos + sin 0 = sin + cos Así que el punto (; ) se transforma en 0 = cos 0 sin 0 0 = sin 0 cos 0 que da p! 0 = = p p! 0 = = p nalmente las nuevas coordenas del punto (; ) son p p ; p p ; = 0:60 :

60 Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 8, grupo, capítulo V, página. Hallar la transformada de la ecuación = 0 al girar los ejes coordenados un ángulo de. Solución: El cambio de coordenadas cuando se realiza una rotación en un ángulo esta dado por las epresiones = 0 cos 0 sin = 0 sin + 0 cos así que p! p p! +6 0 p p! 0 p 0 = 0 ( 0 ) + ( 0 ) = 0 Finalmente tenemos la ecuación en el nuevo sistema de coordenadas = 6 p p 0 + 0!

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62 Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio, grupo, capítulo V, página 7. Simpli ca la ecuación = 0 por una transformación de coordenadas. Solución: La grá ca de la ecuación es Hacemos una translación = 0 + h = 0 + k la ecuación nos queda ( 0 + h) + ( 0 + h) ( 0 + k)+ ( 0 + k) ( 0 + h) 0 ( 0 + k)+ = 0 ó h + hk + h 0 + h 0 h + k + k 0 + k 0 0k + ( 0 ) ( 0 ) = 0 ó (h + k ) 0 + (h + k 0) 0 + h + hk h + k 0k + = 0 Anulando los términos de primer grado h + k = 0 h + k 0 = 0 Con sumas restas h + k = h k = 0 queda k = 9 k = h = k = () = Resumen h = k =

63 Cómo queda la ecuación? h + hk h + k 0k + = 0 ó h + 6h h = 0 ó ( ) + 6 ( ) ( ) = 0 ó = 0 nalmente + + = Ahora rotamos para quitar el término cruzado 0 = 00 cos 00 sin 0 = 00 sin + 00 cos la ecuación queda ( 00 cos 00 sin ) +( 00 cos 00 sin ) ( 00 sin + 00 cos )+( 00 sin + 00 cos ) = 0 ó ( 00 cos 00 sin ) +( 00 cos 00 sin ) ( 00 sin + 00 cos )+( 00 sin + 00 cos ) = ó ( 00 ) +( 00 ) +( 00 ) sin cos ( 00 ) sin cos + cos sin = 0 así que tenemos que hacer cos sin = 0 ó bien = Entonces p p sin = cos = nos queda ( 00 ) + ( 00 ) + (00 ) (00 ) ó (00 ) + (00 ) = 0 ó = 0 ( 00 ) + ( 00 ) =

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65 Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio, grupo, capítulo VI, página.. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen directriz la recta + = 0. Solución: Como el vértice es el punto medio del segmento formado por el foco la intersección del eje con la directriz, si llamamos a b a las coordenadas del foco tenemos 0 = a + ( ) b = ó sea a = b = 0 es decir, el foco está en el punto (; 0). Tenemos entonces que la distancia entre el foco el vértice es igual a ; es decir, p = : Por tanto, la ecuación de la parábola es =

66 Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio, grupo, capítulo VI, página.. Hallar la longitud de la cuerda focal de la parábola + 8 = 0 que es paralela a la recta + 7 = 0. Solución: La recta + 7 = 0 se puede reeescribir como = + 7 vemos que su pendiente es m =. Por tanto, esa es también la pendiente de la recta que buscamos. Pasa por el foco, Dónde está el foco? = 8 es de la forma = p es decir, es una parábola con vértice en el origen, su eje es el eje Y su distancia focal es. Su foco está entonces en el punto (0; ) Ecuación de la recta ( + ) = ( 0) = En donde intersecta esta recta a la parábola + 8 = 0? Como = tenemos + 8 = = 0 = 8 = = = 8 = 8 = ( ) = Intersecta en los puntos (8; 8) ; que son los etremos de la cuerda focal. Por qtanto, d = (8 ( )) + ( 8 ( =)) = d =

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68 Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 7, grupo, capítulo VI, página Hallar la ecuación de la parábola cuos vértice focos son los puntos (-, ) (-, ), respectivamente. Hallar también las ecuaciones de su directriz de su eje. Solución: Vértice: ( ; ) Foco: ( ; ) ( ) = () ( + ) ( ) () ( + ) = = 0 Ecuación de la directriz: = 7 El eje pasa por el vértice por el foco, así que su ecuación es =

69 Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio, grupo, capítulo VI, página 9.. Reduzca la ecuación 8 0 = 7 a la segunda forma ordinaria de la ecuación de la parábola, halle las coordenadas del vértice del foco, las ecuaciones de la directriz eje, la longitud del lado recto. Solución: 0 = = = = + = ( + ) Por tanto, es una parábola con vértice= ; eje paralelo al eje X con p = > 0 por lo tanto crece hacía la derecha. Su foco está en ; La ecuación de la directriz es = La ecuación del eje es = El lado recto mide

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71 Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio, grupo, capítulo VI, página 9.. La ecuación de una familia de parábolas es = a + b. Hállese la ecuación del elemento de la familia que pasa por los dos puntos (; 8) ( ; ) Solución: = a + b (; 8) ( ; ) 8 = a () + b () = a + b = a ( ) + b ( ) = a b a + b = 8 a b = a = + b ( + b) + b 8 = 6b + = 0 b = a = = =

72 Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 9, grupo, capítulo VI, página Hallar la ecuación de la tangente de pendiente - a la parábola 8 = 0: Solución: La familia de rectas de pendiente es = + k Debemos encontrar la intersección de dicha familia con la parábola 8 = 0 es decir, debemos resolver ( + k) 8 = 0 que se reduce a k k + 8 = 0 Para que esta ecuación tenga una única solución, el discriminante debe ser cero, así que ( k 8) () k = k + 6 = 0 que se reduce a k + 6 = 0 cua única solución es k = Por tanto, la tangente de pendiente a la parábola 8 = 0 es =

73 Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 7, grupo, capítulo VI, página Hallar el ángulo agudo de intersection de la circunferencia + = la parábola = 0 en uno cualquiera de sus dos puntos de intersección. Solución: + = = 0 Despejamos en la segunda = Sustituimos en la primera + = 0 Desarrollamos 6 + = 0 Ha cuatro soluciones i p p ; i p p ; ; El valor sustituido en = = = nos da El valor sustituido en = nos da = = Los puntos de intersección son (; ) ( ; ) Escojo el (; ) m Radio = m C = De las fórmulas que tenemos m p = que nos da m P = 8 Por tanto, tan = 8 8 arctan = 80 = 0:99 8

74 + = = 0 = 0 = 0 =

75 Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Ejercicio 9, grupo 6, capítulo VI, página Hallar los valores de para los cuales la función + es positiva, negativa cero, tiene un máimo o un mínimo. Comprobar los resultados gra camente. Solución: = + + = = Vértice en ; 9 Eje paralelo al eje Y Distancia focal p = Como p es positivo, la función cuadrática crece hacía arriba. Por lo tanto, tiene un mínimo en el vértice. Dicho mínimo ocurre para = 9 su valor es. Los ceros de la función se obtienen de la ecuación + = 0 Son ; La función es negativa en el intervalo (; ) La función es positiva en ( ; ) [ (; ) La función es cero en

76 Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Capitulo VII, Grupo 7, Ejercicio 7, página 78. Hallar las coordenadas de los vértices focos, las longitudes de los ejes maor menor, la ecentricidad la longitud de cada uno de sus lados rectos de la elipse + 9 = 6 Trazar discutir el lugar geométrico. Solución: La ecuación de la elipse + 9 = 6 la dividimos entre 6 obtenmos 9 + = ó bien + = que es la forma canónica. Esta forma pone en evidencia: La longitud del semieje maor a = La longitud del semieje menor b = Los vértices están en ( ; 0) (; 0) La distancia focal es c = p a b, por tanto, c = p = p p p Los focos están en ; 0 ; 0 Los dos lados rectos valen b ; es decir, a Lado recto= () = 8 La ecentricidad es e = c ; es decir, p a e = 0:7

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78 Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Capitulo VII, Grupo 7, Ejercicio, página 78.. Hallar la ecuación de la elipse cuos focos son los puntos (; 0) ( ; 0), su ecentricidad es igual a =. Solución: El centro de la elipse es el punto medio del segmento que une los dos focos, así que en este caso el centro de la elipse es el origen del sistema de coordenadas. La distancia focal c es la distancia de cualquiera de los dos focos al centro; en este caso es c =. Evidentemente el eje focal de la elipse coincide con el eje X. Sabemos que la ecentricidad e está dada como e = c. Por lo tanto, podemos a determinar la longitud del semieje maor; tenemos a = c que sustituendo los valores nos da a = e = =. Finalmente determinamos la longitud del semieje menor mediante la relación a = b + c, despejando b; b = p a c que nos da b = p = p Finalmente tenemos para la ecuación de la elipse 9 + =

79 Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Capitulo VII, Grupo 7, Ejercicio, página 78.. Una elipse tiene su centro en el origen su eje maor p coincide con pel eje X. Hallar su ecuación sabiendo que pasa por los puntos 6; ;. Solución: Cuando la elipse tiene centro en el origen su eje coincide con el eje X, su ecuación es de la forma a + b = donde a es la longitud del semieje maor b es la longitud del semieje menor. Tenemos entonces dos constantes o parámetros por determinar, a b. Para determinar esas dos constantes utilizamos el que la elipse pase por los dos puntos dados. Tenemos entonces p 6 a + ( ) b = () p a + b = Estas dos ecuaciones se reducen a 6 a + b = a + b = ó bien 6b + a = a b b + a = a b Despejando b en la primera a b = p con a 6= p 6 a 6 Sustituendo en la segunda a p + a = a a p a 6 a 6 que se pone como a a 6 + a = a a 6 o bien a a 6 + a a a 6 = 0 nalmente a a 8 a = 0 6 Las raices que tenemos son: Dos veces a = 0 a = p 8 a = p 8 La única que tiene sentido para este problema es a = p 8: Ahora podemos determinar b. Usando que a b = p con a 6= p 6 a 6

80 tenemos p 8 b = q p8 = 6 La respuesta con el signo negativo no tiene signi cado para este problema, así que nalmente 8 + = p p 6; = : 9 :0 ; = :0 :

81 Geometría Analítica; C. H. Lehmann. Capitulo VII, Grupo 8, Ejercicio 9, página Los focos de una elipse son los puntos (; 8) (; ), la longitud de su eje menor es 8. Hallar la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus vértices su ecentricidad. Solución: El centro de la elipse es el punto medio del segmento formado por los dos focos. Recordemos que el punto medio del segmento formado por los puntos P ( ; ) P ( ; ) es = + = + Por tanto, + C = ; 8 + = (; ) Ademas, la distancia focal c es la distancia de cualquiera de los focos al centro; es decir, en este caso c = Teniendo el semieje menor b la distancia focal c, podemos determinar el semieje maor a mediante la fórmula a = p b + c que en este caso es a = p + = Los vértices están en (; 0) (; 0) La ecentricidad e es e = c a = La ecuación es ( ) ( ) + = = 0