Semana N 4 Geometría Analítica II Martes 5 de Abril de 2011

Transcripción

1 Semana N 4 Geometría Analítica II Martes 5 de Abril de 011 P1.- Por el vértice de la parábola y = 4x se trazan dos rectas perpendiculares que cortan en P y Q la parábola, P Q. P Q corta el eje de simetría de la parábola en R. Probar que el foco divide al trazo OR en la razón de 1 : 3. Sea m la pendiente de la recta que pasa por P y el origen de la parábola O0, 0), luego la recta que pasa por P es y 1 = mx y la que pasa por Q es y = 1 x ya que m estas rectas son perpendiculares), intersectando y 1 e y con la parábola y = 4x su foco es F 1, 0)) obtenemos las coordenadas de P y Q, las cuales son: 4 P m, 4 ) Q4m, 4m) m Luego calculamos la recta que pasa por P y Q, de la que se obtiene: y = m m 1 x 4m ) 4m para obtener R intersectamos esta recta con el eje OX que es el eje de simetría) imponiendo y = 0, luego la ecuación es: 0 = m xr 4m ) 4m m 1 de la que resulta x R = 4, entonces el punto R posee coordenadas R4, 0). Para responder la pregunta notamos que OR = OF + F R que es equivalente a 4 = 1 + F R despejando F R = 3, así: OF F R = 1 3 P.- Considere la ecuación de la elipse x + y = 1, encontrar el punto x a b 0, ) R + tal que el rectángulo inscrito en la elipse que tiene a x 0, ) como vértice y sus lados paralelos a los ejes coordenados tiene área máxima. Nota: utilice propiedades de parábolas para determinar máximo. Notamos que en el primer cuadrante = a b a x 0 ) por pertenecer a la elipse, notemos que el área del rectángulo del primer cuadrante es x 0, así por simetría el área total del rectángulo es A = 4x 0 = 4bx a 0 a x 0, el querer maximizar A es equivalente a maximizar A, luego A = 16b a x 0a x 0) = 16b a ua u) MA Introducción al Cálculo 01/011 1

2 con u = x 0, vemos que tenemos la parábola yu) = ua u el cual su máximo es u = a, así x 0max = a y de ) tenemos max = b, luego el punto es: P max = a, b ) P3.- Para la hipérbola x y = 1 demostrar que AP BP = a donde P es un a b punto sobre la hipérbola y A y B son las intersecciones de una recta que pasa por P paralela al eje X, con las asíntotas de la hipérbola. Sin pérdida de generalidad el punto A es el punto perteneciente a la asíntota y = b x a y el B a la asíntota y = b a x, sea P x 0, ) sobre la hipérbola, luego y0 = b x 0 a ) a ), las coordenadas de A y B son imponiendo la condición de que poseen la misma coordenada Y por pertenecer a la recta paralela al eje OX) A ay b 0, ) y B ay b 0, ), luego y utilizando ): AP BP = x 0 a b )x 0 + a b ) = x 0 a b AP BP = a P4.- Considere la hipérbola de ecuación x y = 1 y un punto P = x a b 0, ) cualquiera de ella. La recta normal a la hipérbola por P corta al eje OX en A y al eje OY en B. Demuestre que P divide al trazo AB en una razón constante. La pendiente de la recta tangente a la hipérbola en el punto P es m t = b x 0 a, como la recta normal es perpendicular a la tangente por denición), tenemos así la recta normal que pasa por P es: m n = a b x 0 y = a b x 0 x x 0 ) + esta recta debemos intersectarla con los ejes X con y = 0) e Y con x = 0), luego ) ) A x 0 + b x 0 a, 0 B 0, y 0 + a b luego calculamos: AP P B = b 4 x 0 a 4 + y0 a 4 y0 b 4 + x 0 = b4 a 4 MA Introducción al Cálculo 01/011

3 esto último se logra multiplicando la fracción por b4 a 4 ), luego AP P B = b a P5.- Considere una parábola y una recta L que pasa por el foco de ésta. Escoja la posición de la parábola que más le convenga, por ejemplo con directriz vertical o bien horizontal, con el vértice en el origen o bien el foco en el origen. Suponga que L es no vertical de pendiente m y que no es paralela al eje de simetría de la parábola. Denotemos por p > 0 la distancia entre el foco y el vértice de la parábola. a) Escriba de términos de p y m una ecuación para la parábola y una para L. b) Calcule los dos puntos de intersección P y Q de L con la parábola en función de p y m. c) Encuentre el punto medio A del segmento P Q. d) Pruebe por da, P ) = da, D) donde D es la recta directriz de la parábola. e) Pruebe que la rectas tangentes a las en los puntos P y Q son perpendiculares. a) Escojo la parábola y = 4px con foco F p, 0) y directriz x = p, la ecuación para L es y = mx p). b) Intersectando la parábola con L se resuelve la ecuación de la que se obtiene: m x p) = 4px x P Q = pm + ) ± p m + 1 m Las coordenadas de los puntos P y Q son: pm + ) + p m P + 1, p1 + ) m + 1) m m Q pm + ) p m + 1, p1 m ) m + 1) m c) Aplicando la fórmula del punto medio tenemos: pm + ) A, p ) m m d) da, D) = p + pm + ) = pm + 1) m m MA Introducción al Cálculo 01/011 3

4 por otra parte: [da, P )] = 4p m + 1) m 4 + 4p m + 1) m = 4p m + 1) m 4 = [da, D)] e) La pendiente de la tangente a la parábola en el punto x 0, ) está dada por: m = p denimos una variable auxiliar a = p m + 1, luego la pendiente de la tangente en el punto P y Q son respectivamente: m T P = pm p + a multiplicando las pendientes tenemos: m T Q = pm p a m T P m T Q = 4p m 4p a = 4p m 4p 4p m + 1) = 1 luego las tangentes que pasan por P y Q son perpendiculares. P6.- Dada la recta L : y = kx y los puntos Aa, 0) y Bb, 0), se toma un punto cualquiera P sobre L y su simétrico Q con respecto al origen. Las rectas P A y QB se cortan en un punto M. Determinar el lugar geométrico de M cuando el punto P se desplaza sobre L. Como los puntos pertenecen a la recta L y son simétricos con respecto al origen, luego los puntos los escribo de la forma: P x 0, kx 0 ) y Q x 0, kx 0 ). Determino ahora las rectas P A y QB, obteniéndose: P A : y = kx 0x a) x 0 a de la ecuación de P A despejo x 0 : x 0 = QB : y = kx 0x b) x 0 + b ay ak + y kx intersectando las rectas y reemplazando el valor de x 0 en la recta QB tenemos: x 0 kx bk y) = by aykx bk y) = byak + y kx) despejando y nalmente: y = kx abk a + b MA Introducción al Cálculo 01/011 4

5 lo que nos indica que el lugar geométrico es una recta con pendiente k y corta el eje Y en 0, abk a+b ) P7.- Considere la ecuación de la hipérbola x y = 1. Encuentre el lugar geométrico a b de los puntos medios de los trazos V Q, donde V es el vértice izquierdo de la hipérbola y Q un punto cualquiera de ella. El vértice izquierdo de la hipérbola es V a, 0), y el punto Qx 0, ) el cual cumple x 0 y a 0 b = 1 ), el punto medio es P x, y), por denición satisface despejando x 0 y tenemos: x = x 0 a y = x 0 = x + a = y y reemplazando esto en ) tenemos: x + a) a y 4b = 1 que es una hipérbola. x + a ) a ) y b) = 1 P8.- Considere la elipse de ecuación x + y = 1. La recta y = b x a b a intersecta a la elipse P y R P de coordenadas positivas). Determinar el área del rectángulo inscrito en la elipse, que tiene como diagonal el trazo P R y cuyos lados son paralelos a los ejes coordenadas. Intersectando la recta con la elipse se obtiene como valor positivo P a, b ) luego el área es por simetría): A = 4 a b = ab PBonus.- La recta L tangente a la parábola y = 4px por P x 0, ) corta al eje OY en B, a la directriz en C y a la recta vertical por el foco en A. Demostrar que AF = CF y que F B es perpendicular a L. La ecuación de la recta tangente en el punto P x 0, ) a la parábola está dada por: L : y = p x x 0 ) + MA Introducción al Cálculo 01/011 5

6 Es claro que como P pertenece a parábola se tiene que y0 = 4px 0, además la directriz está dado por x = p, y su foco es F p, 0), luego determinamos el punto A, para ello intersectamos la recta x = p y L, luego se obtiene: A p, p ) p x 0 ) + Análogamente se obtiene el punto C: C p, p ) p x 0 ) + Ahora, procedemos calcular las distancias: CF = 4p + 4px 0 AF = p p x 0 ) + = p px 0 + y0 = pp + x 0) p ) p + x 0 ) = 16p3 x 0 + px 0 p ) = pp + x 0) Falta determinar B, este se calcula intersectando L con el eje OY x = 0), luego: B 0, px ) 0 = 0, px ) 0 m F B m L = px 0 = 1 F B L px 0 = AF MA Introducción al Cálculo 01/011 6