Tema 7. Integrales múltiples

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1 Tema 7 Integrales múltiples 7.. efinición. En esta sección estudiamos el cálculo de la integral de una función real de dos variables denominada integral doble. Se puede utilizar el esquema del tema anterior para la integral de Riemann. efinición 7... Sea f : [a, b] [c, d] R R acotada en el rectángulo [a, b] [c, d] Si P {x, x,, x n } es una partición de [a, b] P {,,, m } es una partición de [c, d], se obtiene una partición P P P de [a, b] [c, d] formada por los rectángulos de la forma: R i [x i, x i+ ] [ j, j+ ], i,,, n, j,,, m. Sobre cada uno de los rectángulos construimos dos paralelepípedos de alturas: m ij inf{f(x, ) : (x, ) [x i, x i+ ] [ j, j+ ], M ij sup{f(x, ) : (x, ) [x i, x i+ ] [ j, j+ ] Sumamos los volúmenes de los paralelepípedos de alturas m ij M ij : n m n m U(f, P ) M ij (x i+ x i )( j+ j ), L(f, P ) m ij (x i+ x i )( j+ j ) i j i j 5

2 Curso 4/5 Matemáticas (Grado en Química) ecimos que f es Integrable (Riemann) sobre definimos la integral de Riemann de f(x, ) sobre como: f(x, )dxd inf{u(f, P )} sup{l(f, P )}. Nota 7... Si f : R R es una función continua, al igual que ocurría en una variable, f es integrable.ado que las funciones que utilizaremos en este tema serán todas continuas,todas serán también integrables. 7.. Propiedades.- Si f g son integrables en, entonces f ± g es integrable en (f ± g)(x, )dxd f(x, )dxd ± g(x, )dxd.- Si f es integrable en α R, entonces αf es integrable en : (αf)(x, )dxd α f(x, )dxd 3.- Si f g son integrables en f(x, g(x, ) (x, ), f(x, )dxd g(x, )dxd 4.- Si f es integrable en, f es integrable en f(x, )dxd 5.- Sean f, g : R R, tales que,. f es integrable en si sólo si lo es en. En este caso: f(x, )dxd f(x, )dxd + f(x, )dxd f(x, ) dxd 7.3. Teorema de Fubini El Teorema que vamos a enunciar nos proporciona una importante herramienta para el cálculo de integrales múltiples, a que permite reducir el cálculo de una integral múltiple sobre R n al cálculo de n integrales ordinarias. 6

3 Grupos Curso 4/5 Teorema (Teorema de Fubini). Sea f : R R integrable en. Si [a, b] [c, d], entonces: ( b ) d f(x, )dxd f(x, )d dx a c Si {(x, ) R : a x b, g (x) g (x)}, con g, g : [a, b] R continuas en [a, b] tales que g (x) g (x) x [a, b], entonces: ( b ) g(x) f(x, )dxd f(x, )d dx a g (x) Si {(x, ) R : c d, h () x h ()}, con h, h : [c, d] R continuas en [c, d] tales que h () h () [c, d], entonces: ( d ) h() f(x, )dxd f(x, )dx d c h () 7.4. Cambio de variable en integrales dobles Teorema Sean f : R R integrable en h : R R de clase C en biectiva. x h (u, v) Si el cambio de variables h (u, v) transforma (región del plano (u, v)) en (región del plano (x, )) se tiene: f(x, )dxd f(h (u, v), h (u, v)) Jh(u, v) dudv x x u v donde J(u, v) u v Nota El cambio de variable más común en R es el cambio a coordenadas polares: x ρ cos θ ρ sen θ 7

4 Curso 4/5 Matemáticas (Grado en Química) El determinante de su Jacobiano es: x x ρ θ cos θ Jh(ρ, θ) sen θ ρ θ Por tanto: f(x, )dxd ρf(ρ, θ)dρdθ ρ sen θ ρ cos θ ρ 7.5. Ejercicios resueltos. Calcular I (x + )dxd, siendo J [, 3] [, ]. J SOLUCIÓN: plicando el Teorema de Fubini, resulta que 3 3 ) I dx (x + )d (x + dx. Calcular I ( x + x ) x3 J x (9 + 3/) ( + /) 9. cos xdxd, siendo J [, ] [, ]. SOLUCIÓN: plicando el Teorema de Fubini, resulta que I dx sen x x x cos xd cosxdx (sen sen ). d 3. Calcular I dxd, siendo x + {(x, ) R : x,, x }. SOLUCIÓN: El recinto es el siguiente: 3 cos xdx (x + /)dx.5. x Por lo tanto, si x [, ], entonces x; aplicando el Teorema de Fubini, se tiene que x I dx x + d x + dx x d 8

5 Grupos Curso 4/5 x + 4. Calcular I ( ) x (3 ln x + x) x x dx 3 ln. x x + dx ( ) 3 x + dx x + dxd, siendo {(x, ) R : x,, x + 4}. SOLUCIÓN: El recinto es el siguiente:..5 x Por lo tanto, si x [, ], entonces 4 x ; aplicando el Teorema de Fubini, se tiene que 4 x 4 x I dx x + d x + dx d ( ) 4 x dx 4 x x + x + dx ) x (x x (4 ). x 5. Calcular el área del recinto {(x, ) R : x x}. ( x)dx SOLUCIÓN: El recinto es el siguiente:.5. x x Por lo tanto, si x [, ], entonces x x; el área será dxd. plicando el Teorema de Fubini, se tiene que 9

6 Curso 4/5 Matemáticas (Grado en Química) emostrar que x dx d x x dx x e x dx π. ( x (x x )dx x3 3 SOLUCIÓN: Para ello, vamos a calcular la siguiente integral doble por dos métodos diferentes. Por un lado, por el Teorema de Fubini resulta que R e x dxd ( ( ) x ) e x d dx x 3 R e x ) ( ) ( e x dx e d e dx) x. Por otro lado, si realizamos el cambio a polares resulta que dxd e r rdrdα R e x π π dα (,+ ) ( π,π) re r dr π e r Por consiguiente, uniendo ambas partes, tenemos que ( de donde se deduce que e dx) x R e x e x dx π. dxd π + π. dxd 7.6. Ejercicios propuestos.- Calcular las siguientes integrales dobles en el recinto que se indica: a) e dxd, I [, ] [, 3] I b) (x + )dxd, I [, 3] [, ] I c) x dxd, {(x, ) R : x x}

7 Grupos Curso 4/5 d) e) f) g) h) i) xe dxd, {(x, ) R : x x } xdxd, {(x, ) R : x + 4 ; x +, x } xdxd, } {(x, ) R : x ; ; x sen xdxd, {(x, ) R : x ; ; x ; x } + dxd, { (x, ) R : x ; ; x } x dxd, { (x, ) R : 3 ; 4 x }.- Calcular mediante una integral doble el área del recinto: {(x, ) R : x ; x ; + x 4} 3.- Calcular mediante una integral doble el área del recinto: {(x, ) R : ; x + 3 ; 4x}