Integrales impropias (funciones no continuas sobre conjuntos acotados)

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1 Unidad Integrales Múltiples. Funciones no continuas sobre conjuntos acotados Integrales impropias (unciones no continuas sobre conjuntos acotados) Ejemplo Considere la unción (x, y) xy x 2 + y 2 En este caso si nos acercamos a cero por la recta x por lo que (, y) (, y) (x,y) (,) Por otro lado si nos acercamos a cero por la recta y x se tiene por lo que (x, x) x2 2x 2 2 (x,y) (,) (x, x) 2 de manera que esta unción no es continua en cero. Sin embargo xy x 2 + y 2 dx 2 ln(2) Dado que las integrales dobles ueron denidas para unciones continuas, lo que haremos es restringir el dominio de la unción a una región ' en la cual la unción sea continua y sin problema podamos calcular Cálculo Dierencial e Integral IV Pro. Esteban ubén Hurtado Cruz

2 Unidad Integrales Múltiples. Funciones no continuas sobre conjuntos acotados En este caso podemos denir y en si es continua por lo que [, ] [, ] xy x 2 dx + y2 ( 2 ln(2 + y 2 )y + 2 ln(y2 + )y ) 4 ln(22 ) ln(22 ) 2 4 ln(2 + ) 2 4 ln(2 + ) 4 ln(2 + ) 2 4 ln(2 + ) + 2 ln(2) Acercandonos a cero 4 ln(22 ) ln(22 ) 2 4 ln(2 + ) 2 4 ln(2 + ) 4 ln(2 + ) 2 4 ln(2 + ) + 2 ln(2) 2 ln(2) Teorema. Condición necesaria y suciente de convergencia de integrales impropias de unciones positivas. Si en, y si existe una sucesión de conjuntos en n, tal que n L entonces es convergente a L Cálculo Dierencial e Integral IV Pro. Esteban ubén Hurtado Cruz 2

3 Unidad Integrales Múltiples. Funciones no continuas sobre conjuntos acotados Demostración. Necesidad Considérese el conjunto de área A() y una sucesión de subconjuntos cerrados n cuyas áreas A( n ) tienden hacia A(). Aquí los n se amplian monótonamente en el interior de 2 n Se supone que la unción es continua en cada n. Es más debe existir una constante µ tal que n dx µ para toda n. Las integrales para cada n prman una sucesión creciente y acotada y, por tanto tiene un ite. Por el criterio de convergencia de Cauchy, para cada > puede hallarse n() tal que, para cada m > n > n() dx dx dx m n m n dx < m n para m > n > n() se concluye existe. Suciencia Basta probar que para subconjuntos n y (x, y) dx n de se cumple L L donde L I n I n L I n In Dado n compacto y como n es una sucesión de conjuntos en, entonces algún N (natural) tal que n n n > N podemos escribir n n n n H H n n siendo sobre H se tiene que I n n Intercambiando n con + n n n I n n resulta que L L L L H n > N L I n L L L Cálculo Dierencial e Integral IV Pro. Esteban ubén Hurtado Cruz

4 Unidad Integrales Múltiples. Funciones no continuas sobre conjuntos acotados Ejemplo Evaluar linea y x Sol. da donde es el triángulo acotado por los ejes X y la linea x y la En la recta y x, da no esta denida por lo tanto escribimos x dx y notamos que la integral interior es impropia por lo que x y + da + x dx o x y + dx x + 2 xdx + 2 dx 2 [ + ] 2 x 2 x Cálculo Dierencial e Integral IV Pro. Esteban ubén Hurtado Cruz 4

5 Unidad Integrales Múltiples. Funciones no continuas sobre conjuntos acotados Integrales impropias (unciones no acotadas) Sea el cuadrado unitario [, ] [, ] y sea : denida por (x, y) { x si x (, y) no está acotada en, pues conorme x se acerca a cero, se vuelve arbitrariamente grande. Sea i,j una partición regular de y ormemos las suma de iemann n n Sn (c ij ) x y Si invertimos el orden de integracón obtenemos el mismo valor. Asi en cierto i j Sea el subrectángulo que contiene a (, ) y escojamos algún C. Para n ja, podemos hacer S n tan grande como queramos al escoger C mas y mas cerca de (, ), entonces, S n no puede ser independiente de la selección de C ij sin embargo, evaluemos ormamelmente la integral iterada de, siguiendo las reglas para integrar una unción de una variable. (x, y) dx x 2 x 2 2 sentido, esta unción es integrable. La pregunta es en que sentido. Supongamos que la región D es del tipo y : D es continua y acotada exepto en ciertos puntos de la rontera. Y que es no negativa y D está descrita por a x b, φ (x) y φ 2 (x) Escogemos números δ, η > tales que D δη sea el subconjunto de D ormado por los puntos (x, y) con a + η x b η, φ (x) + δ y φ 2 (x) δ Cálculo Dierencial e Integral IV Pro. Esteban ubén Hurtado Cruz 5

6 Unidad Integrales Múltiples. Funciones no continuas sobre conjuntos acotados donde η y δ se escogen lo sucientemente pequeños para que D ηδ D. Como es continua y acotada en D ηδ existe la integral da ahora siempre que da existe, decimos que la integral D ηδ (η,δ) (,) D ηδ de sobre D es convergente o que es integrable sobre D y denimos Como es integrable sobre D ηδ podemos aplicar ubini. D ηδ da Entonces si es integrable sobre D tenemos b η φ2(x) δ a+η D da (x, y)dx φ (x)+δ b η (η,δ) (,) a+η D φ2(x) δ φ (x)+δ (η,δ) (,) (x, y)dx D ηδ Ejemplo Calcular donde [, ] [, ] xy Solución Elegimos {(x, y) 2 x, y } En se tiene ( dx xy ) ( dx x ) y ( ) ( 2 x 2 ) 2 y 2 ( 2 ) ( ) 2 2 Cálculo Dierencial e Integral IV Pro. Esteban ubén Hurtado Cruz 6

7 Unidad Integrales Múltiples. Funciones no continuas sobre conjuntos acotados Ahora tomando limite por lo tanto ( 2 ) ( ) dx 9 xy 4 Ejemplo Calcular donde {(x, y) 2 x 2 + y 2 } dx x2 + y2 Solución Elegimos {(r, θ) 2 r, θ 2π} En se tiene haciendo cambio de variables a coordenadas polares x r cos(θ), y r sen(θ) 2π r dθ dr r Ahora tomando limite por lo tanto 2π dr 2π( ) 2π( ) 2π dx 2π x2 + y2 Cálculo Dierencial e Integral IV Pro. Esteban ubén Hurtado Cruz 7