11. Integrales múltiples.

Transcripción

1 Tema 1. plicaciones del cálculo diferencial. urso 17/ Integrales múltiples. En este tema nos vamos a centrar en tratar de integrar funciones de varias variables. eniremos los conceptos de integral múltiple y cómo reducirlas a integrales simples Integrales dobles sobre rectángulos. ada una función de una variable, sabemos cómo integrarla en un intervalo (cerrado y acotado) de la forma [a, b], que son los conjuntos más simples y, en cierto sentido, los que generan a todos los demás. Pero en, tendremos que denir un nuevo tipo de conjuntos simples para poder integrar en ellos. Parece lógico tomar rectángulos del plano, es decir, conjuntos de la forma = [a, b] [c, d]. Incluso si nos plantamos integrar funciones de 3 variables, podremos pensar en elegir como conjuntos simples los paralelepípedos, es decir, conjuntos de la forma = [a, b] [c, d] [e, f]. En general, éstos van a ser los conjuntos elegidos. enición Sea f : = [a, b] [c, d] acotada en el rectángulo = [a, b] [c, d] (a) Si P 1 = {x, x 1,, x n } es una partición de [a, b] y P = {y, y 1,, y m } es una partición de [c, d], se obtiene una partición P = P 1 P de [a, b] [c, d] formada por los rectángulos de la forma i,j := [x i, x i+1 ] [y j, y j+1 ], 1 i n, 1 j m. (b) Sobre cada uno de los rectángulos construimos dos paralelepípedos de alturas: m ij = ínf{f(x, y) : (x, y) [x i, x i+1 ] [y j, y j+1 ]}, M ij = sup{f(x, y) : (x, y) [x i, x i+1 ] [y j, y j+1 ]} (c) Sumamos los volúmenes de los paralelepípedos de alturas m ij y M ij : U(f, P ) = n m M ij (x i+1 x i )(y j+1 y j ), L(f, P ) = i=1 j=1 n m m ij (x i+1 x i )(y j+1 y j ) i=1 j=1 (d) ecimos que f es Integrable (iemann) sobre si ínf{u(f, P )} = sup{l(f, P )}. En ese caso, denimos ese supremo e ínmo como la integral de iemann de f(x, y) sobre y lo denotaremos por f(x, y)dxdy. epartamento de nálisis Matemático 1 nálisis Matemático (Grado en Física)

2 Tema 1. plicaciones del cálculo diferencial. urso 17/18 Observación 11.. Esta denición de integral doble es fácilmente extrapolable a cualquier número de variables. Teorema 11.3 (Teorema de Fubini para rectángulos). Sea f : = [a, b] [c, d] una función acotada e integrable en. Supongamos que para cada y [c, d], la integral unidimensional (y) := b a Es decir, se cumple que f(x, y)dx existe. Entonces, si existe f(x, y)dxdy = d (y(dy, entonces coincidirá con la integral doble. c b a ( d c ) f(x, y)dy dx. e forma análoga, siempre que todo tenga sentido, podemos alterar el orden de integración en el Teorema de Fubini y escribir f(x, y)dxdy = d c ( b a ) f(x, y)dx dy. Interpretación geométrica: El Teorema de Fubini junto con el principio de avalieri nos garantizan que si f : (, + ) es una función acotada en el rectángulo, entonces f(x, y)dxdy representa el volumen del sólido S := {(x, y, z) 3 : (x, y), z f(x, y)}. Fig. 1: Interpretación geométrica de la integral doble en un rectángulo a través del Teorema de Fubini. Ejemplo Vamos a calcular (x sen y ye x )dxdy donde = [ 1, 1] [, π/]. plicando el Teorema de Fubini, vamos a integrar primero respecto de x y llamar (y) al resultado: (y) = 1 1 (x sen y ye x )dx = x sen y yex x=1 x= 1 = ey + y/e. epartamento de nálisis Matemático nálisis Matemático (Grado en Física)

3 Tema 1. plicaciones del cálculo diferencial. urso 17/18 Integrando ahora respecto de y, obtendremos el resultado nal (x sen y ye x )dxdy = π/ = (1/e e) (y)dy = π/ π/ ( ey + y/e)dy = ydy = (1/e e)π /8. Vamos a comprobar que, al intercambiar el orden de integración, no alteramos el resultado. (x sen y ye x )dxdy = = ( ) π/ (x sen y ye x )dy dx = 1 ( π e x /8 + x)dx = π e x /8 + x ( x cos y 1 ) y=π/ y e x dx = 1 x=1 x= 1 = (1/e e)π /8. enición Sea un subconjunto acotado del plano. Se dice que el conjunto tiene contenido nulo si para cada ε > existe un conjunto nito de rectángulos que recubre a y cuya suma de áreas no supera ε. y= icho de otro modo, un conjunto plano acotado de contenido nulo puede cubrirse con una cantidad nita de rectángulos cuya área total sea tan pequeña como se quiera. Las siguientes propiedades relativas a los conjuntos acotados de contenido nulo son sencillas consecuencias de esa denición. Propiedades (a) ualquier conjunto nito de puntos del plano tiene contenido nulo. (b) La unión de una cantidad nita de conjuntos de contenido nulo también es de contenido nulo. (c) Todo subconjunto de un conjunto de contenido nulo tiene contenido nulo. (d) Todo segmento de recta tiene contenido nulo. Teorema Sea f : una función acotada en un rectángulo. Si f es continua en, salvo en un conjunto de contenido nulo, entonces f es integrable en. En particular, las funciones continuas son integrables en rectángulos. epartamento de nálisis Matemático 3 nálisis Matemático (Grado en Física)

4 Tema 1. plicaciones del cálculo diferencial. urso 17/ Integrales dobles sobre regiones proyectables. Hasta ahora sólo hemos denido la integral doble sobre rectángulos pero, por ejemplo, no sobre un círculo. Esto se puede solucionar muy fácilmente de la siguiente forma. Sea un conjunto acotado, es decir, existe un rectángulo tal que. Sea f : una función acotada. iremos que f es integrable sobre si es integrable en la función f : dada por f(x, y) si (x, y) f(x, y) = en otro caso. En tal caso, escribiremos f(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy. La integral doble,así denida, tiene propiedades similares a la integral de iemann. Propiedades Sean f, g : dos funciones integrables en y λ. Entonces, (a) f ± g es integrable en y (f ± g)(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy ± g(x, y)dxdy. (b) αf es integrable en (αf)(x, y)dxdy = α f(x, y)dxdy. (c) Si f(x, y) g(x, y) (x, y), entonces f(x, y)dxdy (d) f es integrable en y f(x, y)dxdy f(x, y) dxdy g(x, y)dxdy. (e) Si = 1 y 1 tiene contenido nulo, entonces f es integrable en si y sólo si lo es en 1 y. En este caso: f(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy + f(x, y)dxdy. 1 la vista del Teorema 11.7, incluso en el más simple de los casos en que el integrando sea una función constante, la integrabilidad de f sobre dependerá de lo complicada que sea la frontera del conjunto. Por ejemplo, si la frontera son segmentos de recta (pensemos que es un polígono), entonces la frontera de tendrá contenido nulo y, por tanto, las funciones continuas en serán integrables. En realidad, la frontera del conjunto de integración, necesitaría ser, en cierto modo, un conjunto de contenido nulo en sí mismo. El siguiente resultado nos permite determinar que la frontera de un conjunto plano es de contenido nulo. epartamento de nálisis Matemático 4 nálisis Matemático (Grado en Física)

5 Tema 1. plicaciones del cálculo diferencial. urso 17/18 Proposición Sea ϕ : [a, b] una función de una variable continua. Entonces, su gráca {(x, ϕ(x)) : a x b} es un conjunto de contenido nulo. on esta proposición, por ejemplo, una circunferencia es un conjunto de contenido nulo y podremos integrar sobre ella. El Teorema de Fubini nos proporciona una herramienta fundamental para el cálculo de integrales dobles sobre rectángulos, veamos cómo podemos extenderlo a otro tipo de regiones. enición Un conjunto se dice que es proyectable sobre el eje de abscisas si lo podemos escribir de la siguiente forma: = {(x, y) : x [a, b], α(x) y β(x)}, donde α y β son funciones continuas tales que α(x) β(x) x [a, b]. nálogamente se pueden denir los recintos proyectables sobre el eje de ordenadas como aquéllos conjuntos B que pueden escribirse de la forma B = {(x, y) : y [c, d], α(y) x β(y)}, donde α y β son funciones continuas tales que α(x) β(x) x [c, d]. d y=β (x) x=α (y) x=β (y) y=α (x) c a b Fig. : ecintos proyectables sobre el eje de abscisas (izquierda) y ordenadas (derecha). epartamento de nálisis Matemático 5 nálisis Matemático (Grado en Física)

6 Tema 1. plicaciones del cálculo diferencial. urso 17/18 Es claro que la frontera de recintos proyectables son de contenido nulo. demás, en una región proyectable sobre el eje de abscisas, para cada punto t [a, b] la recta vertical x = t corta a en un segmento que une la curva y = α(x) e y = β(x). nálogamente, en una región B proyectable sobre el eje de ordenadas, para cada punto t [c, d] la recta horizontal y = t corta a B en un segmento que une la curva x = α(y) y x = β(y). Ejemplo El círculo = {(x, y) : (x 1) + y 1} se puede escribir como recinto proyectable sobre ambos ejes: = {(x, y) : x, 1 (x 1) y 1 (x 1) } = {(x, y) : 1 y 1, 1 1 y x y } Teorema 11.1 (Teorema de Fubini sobre recintos proyectables.). Sea = {(x, y) : x [a, b], α(x) y β(x)} un recinto proyectable sobre el eje de abscisas. Sea f : una función acotada en y continua en. Entonces, existe f(x, y)dxdy y, además, se cumple que f(x, y)dxdy = b a ( ) β(x) f(x, y)dy dx. Existe una versión análoga de este resultado para recintos proyectables sobre el eje de ordenadas. α(x) En este caso, se tendrá que B f(x, y)dxdy = d ( ) β(y) f(x, y)dx dy. c α(y) omo hemos visto en el Ejemplo 11.11, hay recintos proyectables sobre ambos ejes. En tal caso, el orden de integración será indiferente, aunque suele ocurrir que una de las formas sea más complicada que la otra ambio de variables en integrales dobles. En esta sección vamos a tratar de generalizar la fórmula ϕ(b) ϕ(a) a integrales de dos variables. f(x) dx = b a f(ϕ(t))ϕ (t) dt epartamento de nálisis Matemático 6 nálisis Matemático (Grado en Física)

7 Tema 1. plicaciones del cálculo diferencial. urso 17/18 En la situación será la siguiente. Para calcular f(x, y)dxdy, realizaremos un cambio de variables h : (u, v) (x(u, v), y(u, v)) con el n de que el nuevo recinto de integración, o la nueva función a integrar sean más sencillos que los originales. Teorema Sea h : (u, v) (x(u, v), y(u, v)) una función inyectiva en con h( ) =. Sea f : una función integrable en. Entonces f(x, y)dxdy = f(x(u, v), y(u, v)) det(j h(u, v)) dudv donde J h(u, v) denota la matriz jacobiana del cambio de variables. Este teorema es fácilmente generalizable a cualquier dimensión n. demás, también es cierto si la función del cambio h deja de ser inyectiva en un conjunto de contenido nulo. Ejemplo omo primer ejemplo, vamos a usar los cambios de variables lineales, es decir, x = u + Bv En este caso, J h(u, v) = y = u + v. B = B. Si esta cantidad es no nula, h dene una biyección de en y, por tanto, f(x, y)dxdy = B f(u + Bv, u + v)dudv. omo aplicación, vamos a calcular (x y) e x+y dxdy, donde el cuadrado cuyos vértices son (, ), (1, 1), (, ) y (1, 1). x + y = u x = (u + v)/ Si hacemos el cambio de variables, el recinto se transforma en el rectángulo = [, ] [, ], por lo tanto, como J 1/ 1/ h(u, v) = 1/ 1/ = 1, se tiene x y = v y = (u v)/ que y) (x e x+y dxdy = 1 ( ) ( ) v e u dudv = e u du v dv = 4 e 1. 3 epartamento de nálisis Matemático 7 nálisis Matemático (Grado en Física)

8 Tema 1. plicaciones del cálculo diferencial. urso 17/ ambio a coordenadas polares. Ya vimos en el Tema 9 el cambio a coordenadas polares es x = r cos θ y = r sen θ cos θ con r y θ [, π). Su Jacobiano es det(j p (r, θ)) = sen θ r sen θ r cos θ = r. Por tanto, si una región se transforma en mediante el cambio de variables a coordenadas polares, tendremos que f(x, y)dxdy = f(r cos θ, r sen θ) r drdθ. Ejemplos (a) Vamos a calcular radio que está en el Primer uadrante. 4 x y dxdy, donde la parte del círculo centrado en el origen y La presencia de x + y así como la forma circular del recinto son claros indicios de que hay que usar el cambio a polares. Este cambio transforma, claramente, en = [, ] [, π/], por lo tanto, 4 x y dxdy = r ( ) π/ ( ) 4 r drdθ = dθ r(4 r ) 1/ dr = ( ) r= = π (4 r ) 3/ = 4π (b) Vamos a demostrar que e x dx = π. Para ello, vamos a calcular la siguiente integral doble e x y dxdy mediante el cambio a polares. Por un lado, por el Teorema de Fubini resulta que + ( + ) x y e dxdy = e x y dy dx = ( + ) ( + ) ( + = e x dx e y dy = e dx) x. r= epartamento de nálisis Matemático 8 nálisis Matemático (Grado en Física)

9 Tema 1. plicaciones del cálculo diferencial. urso 17/18 Por otro lado, si realizamos el cambio a polares resulta que x y e dxdy = = (,+ ) ( π,π) π + π dθ e r rdrdθ = re r dr = π 1 e r + = π. Por consiguiente, uniendo ambas partes, tenemos que de donde se deduce que (c) Vamos a calcular + ( + e dx) x = e x dx = π. x y e dxdy = π y x + y dxdy donde es el semicírculo x + (y 1) 1, y Las curvas que limitan el recinto quedan en polares y = 1 r sen θ = 1 r = 1/ sen θ x + y = y r = r sen θ r = sen θ. epartamento de nálisis Matemático 9 nálisis Matemático (Grado en Física)

10 Tema 1. plicaciones del cálculo diferencial. urso 17/18 sí pues, el recinto se transforma en := y x + y dxdy = r sen θ r rdrdθ = = 3π/4 π/4 { π 4 θ 3π } 4, 1 sen θ r sen θ. Por lo tanto, 3π/4 π/4 ( sen θ 1)dθ = ( ) sen θ sen θdr dθ = 1/ sen θ 3π/4 π/4 cos(θ)dθ = plicaciones geométricas y físicas Son muchas las aplicaciones de la integral doble de entre ellas destacamos las siguientes: álculo de áreas ado un recinto acotado del plano, decimos que es medible si existe y es nita la integral doble sobre de la función unidad, en cuyo caso dicho valor representa el área de : Área() = dxdy. Ejemplo alculemos el área de un círculo de radio a >. Lo haremos de dos formas: oordenadas cartesianas. La ecuación de la circunferencia es x + y = a. = {(x, y) : a x a, a x y a x }. a a x a a x a Área() = a dxdy = 4 dxdy = 4 a x dxdy = πa. a x oordenadas polares. En coordenadas polares la ecuación de la circunferencia es ρ = r, con θ [, π). Entonces el recinto en coordenadas polares es: = {(r, θ) : r a, θ π}. π a Área() = rdrdθ = rdrdθ = ) r=a (π r = πa. r= epartamento de nálisis Matemático 1 nálisis Matemático (Grado en Física)

11 Tema 1. plicaciones del cálculo diferencial. urso 17/ álculo de volúmenes El volumen del sólido S acotado inferiormente por el recinto plano y superiormente por la gráca de la supercie f : (función no negativa en ), viene dado por: V olumen(s) = f(x, y) dxdy. Si el sólido S está comprendido entre las grácas de dos supercies f, g : siendo f g en entonces S = {(x, y, z) : (x, y), f(x, y) z g(x, y) y su volumen será la integral: Volumen(S) = (g(x, y) f(x, y) dxdy. Los sólidos que vienen dados de esta última forma se dice que son xy-proyectables. e manera análoga se denen los volúmenes de sólidos xz-proyectables e yz-proyectables. Ejemplo Hallar el volumen del sólido limitado por z = 4 x y y el plano z =. En este caso, el volumen es V = (4 x y )dxdy, donde es el recinto interior a la intersección de la supercie y el plano z =, es decir, = {(x, y) : x + y 4}. Pasamos la integral a coordenadas polares: V = π r(4 r )dxdy = 8π entro de masa. Momentos de inercia Si tenemos una lámina de densidad variable, siendo la función densidad ρ : donde es la región plana que ocupa la lámina, entonces su masa viene dada por M = ρ(x, y)dxdy. Los momentos estáticos respecto a los ejes X e Y (respectivamente) de la lámina vienen dados por M x = yρ(x, y)dxdy, y M y = xρ(x, y)dxdy. epartamento de nálisis Matemático 11 nálisis Matemático (Grado en Física)

12 Tema 1. plicaciones del cálculo diferencial. urso 17/18 Y las coordenadas del centro de masa son: x = M y M, e ȳ = M x M. sí como la masa mide la resistencia de la materia a cambios en su movimiento rectilíneo, el momento de inercia mide la resistencia de la materia a cambios en su movimiento de rotación. Si denotamos por I x e I y los momentos de inercia de la lámina respecto de los ejes X e Y respectivamente, tenemos: I x = y ρ(x, y)dxdy, e I y = x ρ(x, y)dxdy. Ejemplo alcular la masa y el centro de masa de la lámina triangular de vértices (, ), (, 3) y (, 3), si su densidad en cada punto viene dada por ρ(x, y) = x + y. Haciendo un sencillo gráco se comprueba que la lámina está limitada por las rectas de ecuaciones x =, y = 3 y x = y 3. on esto, la masa de la lámina es: 3 y 3 M = (x + y)dxdy = dy (x + y)dx = 1 9 Por otro lado: M x = M y = y(x + y)dxdy = y(x + y)dxdy = 3 3 Luego las coordenadas del centro de masa son: y 3 dy y(x + y)dx = 1 9 dy ( x, ȳ) = y 3 3 x(x + y)dx = ( 17, 45 ). 3 y dy = 1. 3 y 3 dy = 45. y 3 dy = Integrales triples. nálogamente al caso n =, dada una función f : 3 acotada en un paralelepípedo = [a, b] [c, d] [p, q], se puede denir f(x, y, z)dxdydz, que representará un volumen en un espacio de cuatro dimensiones, es decir, el volumen de un sólido de cuatro dimensiones con base y altura en cada punto la que le asigna f(x, y, z). Esta integral se podrá de nuevo calcular mediante integrales iteradas: f(x, y, z)dxdydz = b a ( d ( q c p ) ) f(x, y, z)dz dy dx o cualquiera de las otras 5 formas resultantes de intercambiar los papeles de x, y y z. epartamento de nálisis Matemático 1 nálisis Matemático (Grado en Física)

13 Tema 1. plicaciones del cálculo diferencial. urso 17/18 También podemos integrar sobre recintos más generales: recintos proyectables. sí si tenemos V = {(x, y, z) 3 : a x b, c(x) y d(x), p(x, y) z q(x, y)}, donde c, d : [a, b] son funciones continuas con c(x) d(x) y p, q : son continuas en = {(x, y) : a x b, c(x) y d(x)} con p(x, y) q(x, y) y f : V 3 es una función acotada, podemos denir ( b ( d(x) ) ) q(x,y) f(x, y, z)dxdydz = f(x, y, z)dz dy dx. a c(x) p(x,y) Por supuesto, existen fórmulas análogas haciendo intercambiar los papeles de las 3 variables. Haciendo f 1, se tiene que Vol(V ) = dxdydz. V ambio de variables: cilíndricas y esféricas. on hipótesis análogas al caso de variables, se pude demostrar una fórmula para eel cambio de variables. Teorema Sea h : (u, v, w) 3 (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) 3 una función inyectiva en V 3 con h(v ) = V. Sea f : V 3 una función integrable en V. Entonces f(x, y, z)dxdydz = f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) det(j h(u, v, w)) dudvdw V V donde J h(u, v, w) denota la matriz jacobiana del cambio de variables. oordenadas cilíndricas. Ya vimos en el Tema 9 el cambio a coordenadas cilíndricas x = r cos θ y = r sen θ z = z cos θ r sen θ cuyo Jacobiano es det(j c (r, θ, z)) = sen θ r cos θ = r. 1 epartamento de nálisis Matemático 13 nálisis Matemático (Grado en Física)

14 Tema 1. plicaciones del cálculo diferencial. urso 17/18 Por tanto, si una región V 3 se transforma en V 3 mediante el cambio de variables a coordenadas cilíndricas, tendremos que f(x, y, z)dxdydz = f(r cos θ, r sen θ, z) r drdθdz. V V Las coordenadas cilíndricas son especialmente útiles para la representación de supercies cilíndricas y supercies de revolución que tengan el eje OZ como eje de simetría: ilindro: x + y = a r = a. ono: x + y = z r = z. Paraboloide: Hiperboloide: x + y = z r = z. x + y z = a r = a + z. Ejemplo 11.. Hallar la integral (x + y )dxdydz siendo la supercie limitada por el paraboloide z = x + y y el plano z = 4. Vamos a describir en coordenadas cilíndricas. La proyección de sobre el plano XY es el círculo x + y 4, luego en cilíndricas será r y θ [, π]. La coordenada z varía desde el paraboloide, que tiene por ecuación en cilíndricas z = r, al plano cuya ecuación en cilíndricas es z = 4. Por último, la función integrando en cilíndricas es x + y r, y recordando que el jacobiano epartamento de nálisis Matemático 14 nálisis Matemático (Grado en Física)

15 Tema 1. plicaciones del cálculo diferencial. urso 17/18 de la transformación es r, la integral queda: π ( ( 4 ) ) ( ) (x + y )dxdydz = r 3 dz dr dθ = π r 3 (4 r )dr r = π(r 4 r6 6 ) r= = 3π r= 3. oordenadas esféricas. La función vectorial que dene las coordenadas esféricas en el espacio tiene por componentes: x(r, θ, ϕ) = r sen ϕ cos θ y(r, θ, ϕ) = r sen ϕ sen θ z(r, θ, ϕ) = r cos ϕ con r, θ [, π], ϕ [, π]. Por tanto su Jacobiano será sen ϕ cos θ r sen ϕ sen θ r cos ϕ sen θ det(j s (r, θ, ϕ)) = sen ϕ sen θ r sen ϕ cos θ r cos ϕ sen θ = r sen ϕ cos ϕ r sen ϕ Por tanto, si una región V 3 se transforma en V 3 mediante el cambio de variables a coordenadas esféricas, tendremos que f(x, y, z)dxdydz = f(r sen ϕ cos θ, r sen ϕ sen θ, r cos ϕ) r sen ϕ drdθdϕ. V V Las coordenadas esféricas son útiles para supercies como la esfera o el cono. Esfera: Semi ono (parte superior): x + y + z = a r = a. x + y = a z, z > ϕ = arctan(a). Ejemplo alcular la integral triple dxdydz siendo la supercie: = {(x, y, z) 3 : x + y z, x + y + z 9, z }. La supercie está limitada inferiormente por la hoja superior del cono z = x +y y superiormente por la esfera de ecuación x + y + z = 9. Vamos a describir en coordenadas esféricas. En coordenadas esféricas la ecuación de la esfera es r = x + y + z = 9, es decir r = 3; mientras que la del cono es r sen ϕ r cos ϕ, es decir, sen ϕ cos ϕ. Por otro lado, como z, debe ser epartamento de nálisis Matemático 15 nálisis Matemático (Grado en Física)

16 Tema 1. urso 17/18 plicaciones del cálculo diferencial. r cos ϕ, lo que equivale a que cos ϕ. omo de θ no obtenemos restricciones, debe ser θ [, π] (de hecho, la simetría del cono y la esfera así nos lo dice también). e aquí, la integral queda: ZZZ Z π Z (x + y )dxdydz = π 4 Z = π π 4 3 Z! Z r sen ϕdr dϕ dθ = π ϕ= π4 = 9π( 9 sen ϕdϕ = 18π cos ϕ π 4 r3 sen ϕ 3 r=3! dϕ r= ). ϕ= plicaciones geométricas y físicas álculo de volúmenes ado un sólido acotado del espacio triple sobre 3, decimos que es medible si existe y es nita la integral de la función unidad, en cuyo caso dicho valor representa el volumen de : ZZZ Vol() = dxdydz. Ejemplo 11.. alcular el volumen de la esfera de centro (,, ) y radio a. Para ello describiremos la esfera en coordenadas cilíndricas. La ecuación de la super cie esférica en coordenadas rectangulares es: con r a y θ π. x + y + z = a, Por tanto la esfera luego en coordenadas cilíndricas será r + z = a S = {(x, y, z) 3 : x + y + z a } expresada en coordenadas cilíndricas es: p p S = {(r, θ, z) : r a, θ π, a r z a r }. y su volumen viene dado por: epartamento de nálisis Matemático 16 nálisis Matemático (Grado en Física)

17 Tema 1. plicaciones del cálculo diferencial. urso 17/18 π a a r V(S) = rdrdθdz = S rdzdrdθ = a r a = π r (a a r dr = π r ) 3 3 π r=a r= ( a = 4π 3 a3. r ) a r dr dθ entro de masa. Momentos de inercia. Si tenemos un sólido tridimensional de densidad variable, siendo la función densidad ρ :, entonces su masa viene dada por M = ρ(x, y, z)dxdydz. Los momentos estáticos alrededor de los planos XY, Y Z y XZ, denotados M xy, M yz y M xz, respectivamente, se obtienen a partir de las siguientes expresiones: M xy = zρ(x, y, z)dxdydz, M yz = Las coordenadas del centro de masa o de gravedad son: xρ(x, y, z)dxdydz, y M xz = yρ(x, y, z)dxdydz. x = M yz M, ȳ = M xz M, y z = M xy M. Finalmente, el momento de inercia I xy respecto del plano XY se dene como I xy = z ρ(x, y, z) dxdydz, con fórmulas parecidas para los momentos I xz e I yz, respecto de los planos XZ e Y Z, respectivamente. El momento de inercia I L respecto de una recta L, se dene como I L = δ(x, y, z) ρ(x, y, z) dxdydz, siendo δ(x, y, z) la distancia de un punto genérico de a la recta L. En concreto, los momentos de inercia respecto de los ejes coordenados son I x = I xy + I xz, I y = I xy + I yz, I z = I xz + I yz. epartamento de nálisis Matemático 17 nálisis Matemático (Grado en Física)

18 Tema 1. plicaciones del cálculo diferencial. urso 17/18 Ejemplo alcular la masa del sólido comprendido entre los planos z = y z = 1 y y dentro del cilindro de ecuación x + 4y = 4, cuya densidad viene dada por ρ(x, y, z) = z. La masa del sólido viene dada por: 1 y M = zdxdydz. donde es la proyección del sólido sobre el plano XY : { 4 x = (x, y) : x, y } 4 x. Luego M = 1 y zdxdydz = El cálculo de los momentos estáticos dan: M xy = z dxdydz = 7π 3, M yz = xzdxdydz =, M xz = yzdxdydz = π. Por tanto el centro de masa tiene por coordenadas: 4 x 1 y zdzdydx = = 5π 4 x. y x = M yz M = 5π =, ȳ = M xz M = π 5π = 5, z = M xy M 7π = 3 5π = epartamento de nálisis Matemático 18 nálisis Matemático (Grado en Física)