Primera parte: Ejercicios de Integrales Múltiples Integración de Funciones de Varias Variables, grupo A, curso 15/16 Francisco José Freniche Ibáñez

Transcripción

1 Primera parte: Ejercicios de Integrales Múltiples Integración de Funciones de Varias Variables, grupo, curso 5/6 Francisco José Freniche Ibáñez. Demuestra que si I R es un intervalo y f : I R es una función continua, entonces su gráfica = {(, y) I R : y = f()} tiene área nula. Indicación: se puede suponer que I es compacto; aplica la continuidad uniforme para recubrir por rectángulos de área pequeña. 2. Demuestra que la medida de Lebesgue de un triángulo en R 2 coincide con su área elemental. Pruébalo primero para un triángulo rectángulo como mitad de un rectángulo. Deduce de aquí que vale en general. Pruébalo también girando el triángulo rectángulo y epresándolo como unión de rectángulos disjuntos. 3. (*) Considera el segmento de parábola S = {(, y) R 2 : y 2, y 2}. Obtén el triángulo cerrado T contenido en S con vértices en (, ), (2, 4) y el tercero en la parábola, que tenga mayor área. continuación, para los dos segmentos de parábola determinados por ese triángulo, halla los triángulos T 2, T 3 correspondientes. Y así sucesivamente. Demuestra que S es unión de los triángulos T k y un conjunto de medida nula. Usa este hecho para calcular el área de S. 4. Demuestra que los siguientes conjuntos son borelianos y que no son abiertos ni cerrados. Represéntalos gráficamente. = {(, y, z) R 3 : z <, 2 + y 2 + z 2 3} = {(, y, z) R 3 : z <, 2 + y 2 z} C = {(, y, z) R 3 : <, z 2 + y 2 2} D = {(, y, z) R 3 : y <, 2 + z 2 y 2 } E = {(, y, z) R 3 : z, log log y} 5. Contesta razonadamente a las siguientes preguntas: Es todo conjunto medible de R n unión de un boreliano y de un conjunto de medida nula? Es todo subconjunto medible de R n unión de un compacto y de un conjunto de medida nula? Y si es el conjunto es acotado? Si un subconjunto de R n corta a todos los intervalos abiertos, puede ser medible? puede tener medida? puede tener medida 7? Hay alguna relación de igualdad entre la medida de un conjunto, la de su interior y la de su cierre? Y si el conjunto es abierto?

2 Hay conjuntos no acotados en R n que tengan medida finita? Y si son coneos? Discute los casos n = y n = Invierte el orden de integración en las siguientes integrales, dibujando los recintos de integración: y 2 (a) d f(, y) dy (b) dy f(, y) d (c) (e) (g) (i) d 2/2 π/2 d arc sen arc cos y dy arc sen y 2 d 3 sen f(, y) dy f(, y) dy. sen f(, y) d. f(, y) dy. (d) (f) (h) (j) log 2 π d dy y e y e 2y f(, y) d d d 3 sen sen f(, y) dy. f(, y) dy. f(, y) dy. 7. Sea f(, y) = y ( + y) 3 y g(, y) = 2. Estudia la integrabilidad de estas funciones en y (, ) (, ). 8. Se considera la función f : R 2 R dada por f(, y) = si e < y <, >, y > ; f(, y) = si < y < + e, >, y > ; y f(, y) = en el resto. Prueba que f es integrable en R 2 y calcula su integral. Si P () es un polinomio y F (, y) = P ()f(, y), es F integrable? 9. Sea el subconjunto del plano determinado por las desigualdades y < e, >. Calcula su área. Para qué valores de a es integrable e a en?. En los apartados siguientes, justifica razonadamente si la función dada es integrable en el recinto indicado: f(, y) = ( 2 + y 2 ), = {(, y) R2 : < <, < y < }. f(, y) = y a ( 2 + y 2 + ) a, a R, = {(, y) R 2 : >, y > }.. Considera la función f(, y) = ( + y)( + 2 y) y calcula + log 2 d. 2. Calcula la masa de una esfera de centro (a, a, a) y radio a > de la que se sabe que tiene una densidad en cada punto proporcional a la suma de los cubos de las coordenadas del punto (la masa es la integral de la densidad). 3. Halla la altura del centro de gravedad de la región del primer octante limitada por las superficies: 2 + y 2 = z 2, 2 + y 2 = 4z 2, 2 + y 2 + z 2 = 9 (la altura del centro de gravedad es la integral de la z dividida por el volumen).

3 4. Epresa como integrales reiteradas el volumen común al paraboloide y 2 + z 2 = 2b y al cilindro 2 + y 2 = 2a, a >, b >. 5. Calcula el volumen del cuerpo limitado por el cilindro 2 + z 2 = a 2 y por los planos y =, z = e y =. 6. Sea S = {(, y, z) R 3 : 2 + y 2 < 8az}, (a > ) y sea P el plano de ecuación + y + 2z = 8a. Calcula el volumen del conjunto acotado por P en S. 7. Calcula las siguientes integrales en los recintos indicados: z ddydz, = {(, y, z) R 3 : 2 + y 2 + z 2 2az, 2 + y 2 + z 2 a 2 }, (a > ). C D z ddydz, = {(, y, z) R 3 : z, 2 + y 2 + z 2 4}. ze (2 +y 2) ddydz, C = {(, y, z) R 3 : 2( 2 + y 2 ) z y 2 +, z }. ( 2 + y 2 + z 2 ) ddydz, D = {(, y, z) R 3 : 2az 2 + y 2, 2 + y 2 + z 2 3a 2 }. 8. Con la función f(, y) = +, (, y) [, + ) [, π] calcula + (y) 2 9. Considera el subconjunto de R 3 definido por las desigualdades: Represéntalo gráficamente. 2 + y 2 + z 2 9, z y 2,, y, z arctan(π) arctan d. Calcula y dibuja su proyección sobre el plano =. Epresa su volumen como integrales reiteradas del tipo dz dy d y dy dz d Calcula y dibuja su proyección sobre el plano z =. Calcula cilíndricas. z ddydz usando coordenadas 2. Sea = {(, y, z) R 3 : z y 2 9z 2, 2 + y 2 + z 2 6}. Epresa el volumen del conjunto como una integral triple reiterada de dos maneras, usando coordenadas esféricas y usando coordenadas cilíndricas.

4 2. Calcula el volumen de los conjuntos siguientes: {(, y, z) R 3 : + y + z < 2, <, y < } {(, y, z) R 3 : + y + z < 2, z 2 < y} {(, y, z) R 3 : 2 + y 2 < z, z < + b }, (b > ) 22. Calcula el volumen de los conjuntos siguientes: Conjunto limitado por los cilindros 2 + y 2 = 4, 2 + y 2 =, el plano z = y el paraboloide z = 2 + y 2. óveda de Viviani: conjunto interceptado por un cilindro de radio R y una esfera de radio 2R cuyo centro está en la superficie del cilindro. Conjunto comprendido entre la esfera 2 + y 2 + z 2 = a 2 y el cono z 2 sen 2 b = ( 2 + y 2 ) cos 2 b, (a, b > ), usando coordenadas esféricas y cartesianas. Octante de elipsoide: { (, y, z) R 3 : >, y >, z >, 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 < }, (a, b, c > ). 23. Considera la función f(, y) = e ( y)2. Mediante el cambio de variables u = y, v = +y, + ( + y) 2 estudia su integrabilidad y el valor de su integral. 24. Calcula la integral triple siendo la esfera unidad 2 + y 2 + z 2. d dy dz 2 + y 2 + (z 3) Calcula las siguientes integrales: z ddydz, = {(, y, z) R 3 : 2 + y 2 z 2, 2 + y 2 + z 2, z } ddy 2 + y 2, = {(, y) R2 :, y } 26. Sabiendo que la aplicación = s 2 + t + u, y = s 2 t + u, z = tu es un cambio de variables entre los abiertos = {(s, t, u) R 3 : s, t, u >, tu < 2, < s 2 t + u, s 2 + t + u < } y = {(, y, z) R 3 : < y < <, < z, 2 y 2 > 4z} calcula la integral 8t 2 s dsdtdu.

5 27. Sea el subconjunto del plano determinado por las desigualdades 4 y 9, 2 y 4. Calcular y ddy de dos maneras: Mediante el cambio de variables y = u, y/ = v. Directamente por Fubini. 28. Sea f : R 2 R 2 definida por f(, y) = ( + y, y ). Caracteriza el dominio de f. Es inyectiva en ese dominio? Es diferenciable? Si = [, 3] [4, 6], quién es f()? Es medible? Cómo calcularías su medida? Eprésala como una integral unidimensional. 29. Sea = {(u, v, w) R 3 : < u + v < π, 4 < u v < 5, 2 < uvw < u v} y ϕ(u, v, w) = (u + v, u v, uvw). Calcula = ϕ() y demuestra que ϕ es un difeomorfismo de clase C entre y. Mediante el teorema del cambio de variables, calcula la integral sen(u + v)e u v u 2 v 2 w dudvdw 3. Sea el subconjunto de R 3 definido por las desigualdades: 2 + y 2 + z 2,, y, z, 3 3 y Calcula la proyección de sobre el plano z = y epresa el volumen de como integrales reiteradas del tipo d dy dz y dy d dz Epresa el volumen de en coordenadas cilíndricas. 3. Sea el subconjunto de R 2 definido por las desigualdades: 2 + y 2 2, y,. Epresa y calcula el área de como integral reiterada en coordenadas cartesianas y en coordenadas polares, cambiando el orden de integración en ambas. 32. Sea el subconjunto de R 3 definido por las desigualdades: z y 2 2 z 2. Epresa el volumen de como integral reiterada en coordenadas cilíndricas y en coordenadas esféricas.