EJERCICIOS DE DERIVADAS PARCIALES. ), demostrar que y x = 0. es una solución de + = 0 x. z 7. Si z = f(f(x)+g(y)), demostrar que = 0

Transcripción

1 EJERCICIOS DE DERIVADAS PARCIALES. z. En cada ejercicio hallar ; de la primera forma comprobar usando la segunda forma: a) z = ln + = [ ln( + ln( + ] e + e e e + b) z = e + e = e ( ) + c) z = ln = [ ln [( ) + ] ln [( + ) + ] ( + ) +. Si z = ( + )sen( + ), demostrar que = 0 3. Demostrar que la función z = sen satisface la ecuación: + = z 4. Si z = e, entonces + = 0 5. Demostrar que U = tan - U U es una solución de + = Si z = f, demostrar que + = 0 dg( df( ) 7. Si z = f(f()+g(), demostrar que = 0 d d U U = entonces = c t 9. Demostrar que la ecuación diferencial del problema 8 se satisface por U = f ( ct) + g( + ct), donde f (u) g (v) son funciones cualesquiera. 0. En los siguientes problemas, hallar las segundas derivadas parciales f, f, f, f : 8. Si U sen( ct) + cos( + ct), f (, = f (, = 0.3. f (, = e

2 0.4. f (, = ln( + ) f + (, = f (, = e -- dz. En los siguientes problemas, utilizar la Regla de la Cadena para hallar. dt Comprobar la respuesta escribiendo z en forma eplìcita como una función de t Derivando directamente co respecto a t:. z = + ; = 3t; = t +.. z = 3 +; = t + ; = t.. z = ; = t ; = 3t.3. z = ; = t; = t z =, = t 3 + ; = t 3.5. z = ( + 3 ; = t ; = t.6. z = ( ) 3 ; = t; = 3t.7. z = ; = e t ; = e -t 3.8. z = ; = e t ; = e 3t. Si U = sen( ct) + cos( + ct), entonces: U U = c t (Téngase presente que: c IR, constante, además: (sen(v)) = cos(v) v ; (cos(v)) = -sen(v) v ) 3. Demostrar que U = tan - es una solución de la ecuación diferencial en derivadas parciales: U U + = 0 (Téngase presente que (tan - ( v )) = v' + v ) 4. Hállese la derivada de w respecto a u, sabiendo que: W = F(,,z); = f(u,v); = g(u,); z = h(u,v)

3 -3-5. En los siguientes ejercicios, derìvese implìcitamente para obtener las primeras derivadas parciales de z: z = z + z + = tan( + + tan( + z) = (Téngase presente: (tan(v)) = sec (v) v ) 5.4. z = e sen( + ) 6. Derìvese implícitamente para obtener las primeras derivadas parciales de w: 6.. z + zw zw + w = z + 6w 8w = 7. Funciones Implícitas Jacobianos: 7.. Si U = 3 ; 5 + = t; + 3 = t du ; hállese dt 7.. Si u v = 3 + ; u v = ; encontrar, por dos métodos. a) b) c) d) 7.3. Si = u v + w; = u v w ; z = u 3 + v, hállese el Jacobiano:,, z) u, v, w) F, G) 7.4. Evaluar si F(u,v) = 3u uv; G(u,v) = uv + v 3 u, v) 7.5. Si F = + 3 z 3 ; G = z; H = z F; G; H ) ; hállese en,, z) el punto A(,-,0) Si u = f(,, v = g(, son funciones diferenciables, demostrar que: + =

4 -4- APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES A PROBLEMAS RELACIONADOS CON LA ECONOMÍA Y ADMINISTRACIÓN:. Supóngase que la producción diaria Q de una fàbrica depende de la cantidad K del capital (medido en unidades de US$.000) invertido en la planta el equipo, tambièn del tamaño L de la fuerza laboral(medida en horas-trabajador). En economía las derivadas parciales se conocen como productos K marginales (o productividades marginales) del capital de la mano de obra, respectivamente. Del punto de vista de la economía, significan: El producto marginal de la mano obra es la razón a la que cambia la producción Q con respecto a la mano de obra L para un nivel fijo K de inversión de capital. Por tanto, es aproimadamente el cambio resultante en la producción si la inversión de capital se mantiene fija, la mano obra aumenta en una hora-trabajador. Del mismo modo, el producto marginal del capital es K aproimadamente el cambio resultante en la producción si el tamaño de la fuerza laboral se mantiene fijo la inversión de capital aumenta en US$ Se estima que la producción semanal en cierta planta està dada por la función: Q(, = donde es el nùmero de trabajadores calificados e el nùmero de trabajadores no calificados empleados en la planta. En la actualidad, la fuerza laboral està conformada por 30 trabajadores calificados 60 no calificados. Aplicar el análisis marginal para calcular el cambio resultante en la producción semanal al adicionar un trabajador calificado, si no cambia el nùmero de trabajadores no calificados. 3. En determinada fàbrica, la producción diaria es Q(K,L) = 60K / L /3 unidades, donde K representa la inversiòn de capital medida en unidades de US $000 L el tamaño de la fuerza laboral medida en horas-trabajador. Si la inversiòn actual de capital es US $900,000 se utilizan 000 horas-trabajador de mano de obra cada dìa, aplicar el análisis marginal para calcular el efecto provocado en la producción diaria por una inversión adicional de capital de US $,000, si el tamaño de la fuerza laboral no cambia.

5 -5- UNA APLICACIÓN DE LA DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS EN MICROECONOMÍA.. Definición. Curva de indiferencia en IR o Superficie de indiferencia en IR n muestra un conjunto ( ) ( ) o, respectivamente, de cestas de,,, 3,..., n consumo entre las que el individuo es indiferente por el hecho de que todas las cestas reportan el mismo nivel de utilidad.. Definición. Relación Marginal de Sustitución (RMS) es la pendiente negativa de una curva de indiferencia ; es decir: d RMS = C d donde la notación indica que la pendiente ha de calcularse a lo largo de la curva de indiferencia. Supongamos que la curva de indiferencia C está dado por f (, ) = 0 la cual es una función implícita que de acuerdo con la definición de la RMS, se debe determinar d d, por ello: d f (. = d f (, Por lo tanto: RMS = f f (, (, Trabajo de Investigación: Como una forma de lograr el dominio de la derivación parcial, el trabajo que Ud. debe realizar tiene que ver con el siguiente problema:: d ( RMS ) Problema. Cómo se obtiene con resultado epresado en la forma más simple? d Importante. Este trabajo será evaluado en la Primera Prueba Solemne del presente Curso.