CÁLCULO VECTORIAL SEGUNDO EXAMEN LISTA 1

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1 CÁLCULO VECTORIAL SEGUNDO EXAMEN LISTA 1 III. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Sección I. En los ejercicios siguientes, hallar el límite (si existe). Si el límite no existe, explicar por qué. ( ) 4. ( ) 5. ( ) ( ) ( ) Prof. J. Efraín Morales G. Página 1

2 Sección II. Demostrar por definición que los límites siguientes son correctos. 4. Sección III. En los ejercicios siguientes utilizar coordenadas polares para hallar el límite. 4. ( ) ( ) Sección IV. En los ejercicios siguientes, usar coordenadas polares y la regla de L Hôpital para encontrar el límite. ( ) ( ) ( ) 4. ( ) Prof. J. Efraín Morales G. Página 2

3 Sección V. En los ejercicios siguientes, hallar las derivadas parciales de primer y segundo orden Sección VI. En los ejercicios siguientes hallar la pendiente de la curva en el punto dado. Superficie Plano Punto 4. Sección VII. En los ejercicios siguientes demostrar que y existen pero que no es diferenciable en. { { Prof. J. Efraín Morales G. Página 3

4 Sección VIII. En los ejercicios siguientes hallar y utilizando la regla de la cadena y evaluar cada derivada parcial en los valores se Función y dados. Punto 4. Sección IX. En los ejercicios siguientes, hallar las primeras derivadas parciales de derivación implícita. por Prof. J. Efraín Morales G. Página 4

5 Sección X. En los ejercicios siguientes hallar la derivada direccional de la función en el punto en la dirección de. y Función Punto Dirección ( ) Sección XI. Hallar el gradiente de la función y el valor máximo de la derivada direccional en el punto dado. Función Punto Prof. J. Efraín Morales G. Página 5

6 Sección XII. En los ejercicios siguientes, hallar una ecuación del plano tangente y hallar ecuaciones paramétricas para la recta normal a la superficie en el punto dado Sección XIII. En los ejercicios siguientes, examinar la función para localizar los extremos relativos y los puntos silla Prof. J. Efraín Morales G. Página 6

7 Sección XIV. En los ejercicios siguientes utilizar los multiplicadores de Lagrange para hallar los extremos indicados, suponiendo que, y son positivos. Minimizar Maximizar Minimizar 4. Minimizar Restricción o ligadura Sección XV. En los ejercicios siguientes utilizar los multiplicadores de Lagrange para hallar los extremos indicados sujetos a dos restricciones, suponiendo que, y son no negativos. Maximizar Restricciones o ligaduras Minimizar Sección XVI. Problemas de aplicación Una empresa fabrica dos tipos de estufas de combustión de madera: el modelo autoestable y el modelo para inserción en una chimenea. La función de costo para producir estufas autoestables y de inserción en una chimenea es a) Calcular los costos marginales cuando y. b) Cuando se requiera producción adicional, qué modelo de estufa hará incrementar el costo con una tasa más alta? Cómo puede determinarse esto a partir del modelo de costo? La ley de los gases ideales establece que, donde es la presión, es el volumen, es el nuumero de moles de gas, es una constante (la constante de los gases) y es temperatura absoluta. Mostrar que Prof. J. Efraín Morales G. Página 7

8 El radio y la altura de un cilindro circular recto se miden con posibles errores de 4 y 2%, respectivamente. Aproximar el máximo error porcentual posible al medir el volumen. 4. En un triángulo, dos lados adyacentes miden 3 y 4 pulgadas de longitud, y entre ellos forman un ángulo de. Los posibles errores de medición son pulgadas en los lados y 0.02 radianes en el ángulo. Aproximar el máximo error posible al calcular el área. 5. La resistencia total de dos resistencias conectadas en paralelo es Aproximar el cambio cuando incrementa de 10 a 10.5 ohms y decrece de 15 ohms a 13 ohms. 6. La inductancia (en microhenrys) de un hilo recto no magnético en el vacío es Donde es la longitud del hilo en milímetros y r es el radio de una sección transversal circular. Aproximar cuando milímetros y milímetros. 7. Sea el ángulo entre los lados iguales de un triángulo isósceles y sea la longitud de estos lados. Si se incrementa a razón de metro por hora y se incrementa a razón de radianes por hora, hallar la tasa de incremento del área cuando y. 8. Considerar la función, en la que y. Demostrar Y que Verificar los resultados anteriores con. 9. Dadas las funciones y, verificar que las ecuaciones diferenciales de Cauchy Riemann y Pueden escribirse en coordenadas polares como y Prof. J. Efraín Morales G. Página 8

9 Verificar el resultado anterior con las funciones y. 10. Un contratista de mejorías caseras está pintando las paredes y el techo de una habitación rectangular. El volumen de la habitación es de pies cúbicos. El costo de pintura para las paredes es de $0.060 por pie cuadrado y el costo de pintura para el techo es de $0.11 por pie cuadrado. Encontrar las dimensiones de la habitación que den por resultado un mínimo costo para la pintura. Cuál es el mínimo costo por la pintura? 1 El material para construir la base de una caja abierta cuesta 5 veces más por unidad de área que el material para construir los lados. Dada una cantidad fija de dinero C, hallar las dimensiones de la caja de mayor volumen que puede ser fabricada. 1 El volumen de un elipsoide Es. Dada una suma fija, mostrar que el elipsoide de volumen máximo es una esfera. 1 Mostrar que la caja rectangular (con tapa) de volumen máximo inscrita en una esfera de radio es un cubo. 14. Mostrar que la caja rectangular (con tapa) de volumen dado y área exterior mínima es un cubo. 15. Una empresa fabrica dos tipos de tenis, tenis para correr y tenis para baloncesto. El ingreso total de unidades de tenis para correr y unidades de tenis de baloncesto es donde y están dados en miles de unidades. Hallar las cantidades de y de que maximizan el ingreso. 16. Una empresa fabrica velas en dos lugares. El costo de producción de unidades en el lugar 1 es y el costo de producción de unidades en el lugar 2 es. Las velas se venden a $15 pesos por unidad. Hallar la cantidad que debe producirse en cada lugar para aumentar al máximo beneficio. 17. Los tipos sanguíneos son genéticamente determinados por tres alelos A, B y O (alelo es cualquiera de las posibles formas de mutación de un gen). Una persona cuyo tipo sanguíneo es AA, BB u OO es homocigótica. Una persona cuyo tipo sanguíneo es AB, AO o BO es heterocigótica. La ley de Hardy Weinberg establece que la proporción de individuos heterocigótica en cualquier población dada es Prof. J. Efraín Morales G. Página 9

10 donde representa el porcentaje de alelos A en la población, representa el porcentaje de alelos B en la población y representa el porcentaje de alelos O en la población. Utilizar el hecho de que para mostrar que la proporción máxima de individuos heterocigóticos en cualquier población es. 18. Una forma de medir diversidad de especies es usar el índice de diversidad de Shannon H. Si un hábitat consiste de tres especies, A, B y C, su índice de diversidad de Shannon es donde es el porcentaje de especies A en el hábitat, es el porcentaje de especies B en el hábitat y es el porcentaje de especies C en el hábitat. a) Usar el factor de para demostrar que el valor máximo de ocurre cuando. b) Usar el resultado del inciso a) para demostrar que el valor máximo de en este hábitat es de. Prof. J. Efraín Morales G. Página 10