UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER GUÍA DE ESTUDIO No. 4

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1 UNIDAD ACADÉMICA UNIDAD TEMÁTICA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS ASIGNATURA: CALCULO DIFERENCIAL DERIVADAS Y APLICACIONES COMPETENCIA Interpretar la noción de derivada como razón de cambio y desarrollar métodos para hallarla en las relaciones y funciones, así como también, resolver situaciones problémicas en diferentes áreas del conocimiento usando el concepto de derivación RESULTADOS DE APRENDIZAJE Deduce la ecuación de la recta tangente según la información presentada. Calcula la derivada de una función real derivable mediante las reglas de derivación. Calcula derivadas de orden superior aplicándolas a diferentes disciplinas ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Realizar las actividades que a continuación se enuncian teniendo en cuenta la carpeta guía de Apuntes del Profesor ACTIVIDAD No 1 Resuelva los siguientes ejercicios de incrementos 1. Determina para los intervalos dados: a) Los incrementos de las funciones. b) La razón de cambio promedio. 1. y 5 1 ; 4, y 5 ;, ; 4, 0.5 y 1 y ; 6, La función de ingreso para el producto de un fabricante es I( ) = , , siendo el número de unidades vendidas e I el ingreso en miles de pesos. El fabricante actualmente vende 0 unidades por semana, pero está considerando incrementar las ventas a 4 unidades. Calcula el incremento en el ingreso. Determina la tasa de cambio promedio del ingreso por las unidades etra vendidas.. Para el producto de un monopolista la función de costo total, está dada por C( ) = ,00, calcula el incremento en los costos si la producción cambia de 5 a 7 unidades diarias. Determina la tasa de cambio promedio del costo por las unidades etra producidas. 4. La función de costo de cierto artículo es C( ) ,000, calcula el incremento en los costos si la producción cambia de 100 a 105 unidades. Determina la tasa de cambio promedio del costo por las unidades etra producidas. 5. La función de utilidad de una compañía está dada por U( ) = , para El fabricante actualmente produce y vende 50 unidades diariamente, pero está considerando incrementar las ventas a 5 unidades. Calcula el incremento en la utilidad. Determina la tasa de cambio promedio de la utilidad por las unidades etra vendidas. Versión: Fecha 011

2 6. Las ecuaciones de ingreso y de costo para el producto de un fabricante son respectivamente: I( ) 0 0. y C( ) , donde es el número de unidades. Calcula los incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad si cambia de 40 a 4 unidades. Determina la tasa de cambio promedio de la utilidad por unidad etra producida. 7. Usa la gráfica de la función f() para encontrar cada uno de los siguiente valores. a) f(l) b) f() c) f(5) - f(1) d) La razón de cambio promedio de f() cuando cambia de 1 a 5. e) La razón de cambio promedio de f() cuando cambia de a 5 8. La gráfica muestra las ventas totales en miles de dólares por la distribución de miles de catálogos. Encuentra e interpreta la razón de cambio promedio de ventas con respecto al número de catálogos distribuidos para los siguientes cambios en. a) l0 a 0 b) 0 a 0 c) 0 a 40 d) Qué le está pasando a la razón de cambio promedio de ventas cuando el número de catálogos distribuidos crece? 9. La gráfica muestra las ventas anuales (en unidades apropiadas) de un juego de computadora. Encuentra la razón de cambio anual promedio en ventas para los siguientes cambios en años. a) 1 a 4 b) 4 a 7 c) 7 a 9 Versión: Fecha 011

3 ACTIVIDAD No Resuelve los siguientes ejercicios utilizando las reglas de derivación: 1. Obtenga la primera derivada de las siguientes funciones. a) y b) y (Hacerlas por incrementos) c) y (5 )( ) d) y ( 1) e) f) y 1 g) 6 y h) y y i) y ( )( 1) j) y Lne k) y e Ln. Dada y f ( ), calcule la segunda derivada 1 a. y Ln y c. y arctan 1 b.. Calcule las siguientes derivadas implícitamente: a. b. y k, k cte c. y y 5 y e. Ln 5 f. y 4e y y y y d. y y Ln 4. Calcule f g'( ) en el valor indicado de f( ), g( ) 10 1, en Supongamos que las funciones f y g y sus derivadas tienen los siguientes valores en = y = f() g() f () g () 8 1/ Calcular las derivadas de las siguientes funciones en los valores dados de Versión: Fecha 011

4 a. f ( ) g( ), en b. f( ), en g ( ) c. f g( ), en d. f ( ) g( ), en 6. Si f ( ) 1 calcule 7. Hallar por incrementos la derivada de f ( ) a. 8. Utilizando las fórmulas de derivación, hallar la derivada de cada función: 1 y a) f ( y), b) y ( 6) 1 5, y c) y, d) y Hallar el valor de la derivada para el valor dado de. 5 a) y 5, =4 1 b) y, =. ACTIVIDAD No Utilice la regla de L Hôpital para calcular los siguientes ites 1. Calcular: 1 cos a. 0 b. 0 e 1 c. e e 0 ln(1 ) d. 0 1 cos. Encuentre: a. ln b. e c. ln( ) ln( e e ) d. 4 sen 1. Calcular: a sen b. e 4. Hallar: a b. 0 cos sen c. 1 1 sen 1 ACTIVIDAD No 4 Versión: Fecha 011

5 5. Analizar si se cumple el teorema del valor medio para la función f ( b) f ( a) encuentre los puntos ( 1,1) tales que f '( ). b a f ( ) 1 en [-1; 1] y 6. Trazar la gráfica de las siguientes funciones: 1 a. f( ) b. f( ) 1 ( 1) c. f( ) 1 7. Aproimarse al gráfico de las siguientes funciones: a. f ( ) 1 0 b. f ( ) 7 8. Esbozar gráficamente: e a. f( ) b. f( ) e c. f ( ) Ln d. 4 si 1 1 f ( ) si 1 7 si 9. Dadas las funciones a) y 1 b) y Grafíquelas obteniendo: Puntos máimos, puntos mínimos, puntos de infleión, intervalos de crecimiento y decrecimiento, intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo, etc. ACTIVIDAD No 5 Mediante el análisis marginal resuelva los siguientes problemas 1. La productividad física de cierta empresa esta dada por p ( ) , donde es el numero de maquinas en funcionamiento. Determine la productividad física marginal cuando 5 maquinas están en funcionamiento.. La cantidad de relojes de pulso demandada por mes de cierta empresa se relaciona con el precio unitario mediante la relación: 50 P, 0 0, donde p se mide en dólares y en miles de unidades a. Halle la función de ingreso marginal. b. Calcule I '(6) e interprete el resultado. El costo total diario de producción de televisores Sony de 0 pulgadas esta dado por: C( ) en dólares, donde representa el número de televisores producidos. a. Hallar la función de costo promedio marginal b. Calcular el costo promedio marginal para = 500 e interprete el resultado 4. Un fabricante encuentra que en la producción diaria de unidades se involucran tres tipos de costos: Versión: Fecha 011

6 1. Un costo fijo de 100 dólares en salarios. Un costo de producción de 1. dólares por cada unidad fabricada 100. un costo de solicitud de dólares. a. Determine el costo total marginal. b. calcule el costo marginal para un nivel de producción de 10 unidades 5. Determine el ingreso marginal cuando =00 unidades, si la ecuación de demanda es p 6. La función de demanda de cierto artículo es p y la función de costo es c( ) Calcule la utilidad marginal cuando se producen y venden 150 unidades y 400 unidades. Interprete los resultados. 7. Si la ecuación de demanda de cierto artículo es 10 p a. Calcule el ingreso marginal cuando el precio es de 10 dólares b. Si la función de costo es C( ) , evalúe la función de utilidad marginal si: =100 unidades p=10 dólares ACTIVIDAD No 6 En los siguientes problemas C() es el costo total de producción de unidades de cierto bien y p() es el precio al cual se venderán todas las unidades. Suponga que p() y C() están en dólares. a. Determine el costo marginal y el ingreso marginal b. Utilice el costo marginal para calcular el costo de producir la cuarta unidad c. Encuentre el costo real de producir la cuarta unidad d. Utilice el ingreso marginal para calcular el ingreso obtenido por la venta de la cuarta unidad e. determine el ingreso real obtenido de la venta de la cuarta unidad C( ) 5 7; p( ) 9 1 C( ) 4; p( ) C( ) 65; p( ) 7 1. C( ) 4 57; p( ) ACTIVIDAD No 7 Resuelve los siguientes ejercicios de razones relacionadas 1. Una empresa determina que en la producción de artículos la ecuación de la oferta esta dada por p 10p Con que rapidez esta cambiando el precio si las unidades están aumentando a razón de unid/día y el precio actual es de 10 dólares para un nivel de producción de 10 unidades?. La función de costo de un fabricante es C( ) y la función de ingreso esta dada por R( ) Si el nivel de producción actual es = 100 y esta creciendo a una tasa de al mes, calcule la tasa en que la utilidad esta creciendo. Versión: Fecha 011

7 . Cuando el precio de cierto artículo es p pesos por unidad, el fabricante ofrece cientos de unidades, donde p 1 Con qué rapidez cambia la oferta cuando el precio es de 4 pesos por unidad y se incrementa a la tasa de 87 centavos por mes? 4. Cuando el precio de cierto artículo es p pesos por unidad, los consumidores compran cientos de unidades, donde p p 79 Con qué rapidez cambia la demanda, con respecto al tiempo, cuando el precio es de 5 pesos por unidad y la tasa es de 0 centavos por mes? 5. Cuando el precio de cierto artículo es p pesos por unidad, los consumidores compran cientos de unidades, donde 40 p p 1 Con qué rapidez cambia la demanda, con respecto al tiempo, cuando el precio es de 5 dólares por unidad y el precio esta aumentando a razón de 0.0 dólares por mes? 6. En cierto mercado, p dólares es el precio de una caja de naranjas, es el número de miles de cajas de naranjas que se surten a la semana, y la ecuación de la oferta es 4p p 1. Con que rapidez cambia la oferta cuando el precio es de dólares y la tasa esta aumentando a razón de 0.5 dólares por semana? 7. La ecuación de oferta de cierta mercancía es p 0 p 6, donde cada mes se surten unidades cuando el precio por unidad es p dólares. Calcule la rapidez de cambio de la oferta si el precio actual es de 0 dólares y el precio está aumentando a razón de 0.80 dólares por mes. ACTIVIDAD No 8 Resuelve los siguientes ejercicios de elasticidad Prueba que la elasticidad puntual de la demanda, para los valores indicados de p o, es la que se epresa a la derecha de cada una de las siguientes ecuaciones: 1. p1 0.0, para = 00 unidades Rta: p, para = 156 unidades Rta: p, para p = $50/unidad Rta: p, para p = $90,000/unidad y p = $1600/unidad Rta: 1.5, Cada ecuación representa una función de demanda para cierto producto donde p denota precio por unidad para unidades. Encuentra la función de elasticidad de la demanda p = Rta: ( 50)( 750) p = Rta: p 15e Rta: p p Rta: p( 0 p) 50 0 p p Versión: Fecha 011

8 Si la función de demanda de un producto se epresa como p , donde , evalúa para 1,050 unidades: a) La elasticidad puntual de la demanda y el tipo de demanda. Rta: 1.16, demanda elástica. b) El cambio aproimado en el precio, si la demanda aumenta 1%.Rta: El precio disminuye 9.1%. c) Con el cambio del inciso anterior, el ingreso total crece, decrece o permanece constante? Rta: El ingreso crece 1.8% 10. Si la función de demanda de un producto se epresa como p40 1, donde , evalúa para = 600 a) La elasticidad puntual de la demanda y el tipo de demanda. Rta: 0.667, demanda inelástica. b) El cambio aproimado en el precio, si la demanda aumenta 10%. Rta: El precio disminuye 15%. c) Con el cambio del inciso anterior, el ingreso total crece, decrece o permanece constante? Rta: El ingreso decrece 6.5% Si la función de demanda de un producto se epresa como =, evalúa para p = 16: 5 p+ 0 a) La elasticidad puntual de la demanda y el tipo de demanda. Rta: 0.8, demanda inelástica. b) El cambio aproimado en el precio, si la demanda disminuye 10%. Rta: El precio aumenta 1.5%. c) Con el cambio del inciso anterior, el ingreso total crece ó permanece constante? Rta: El ingreso crece 1.5%. 1. La demanda de bebidas destiladas está dada por p 7.87, donde p es el precio en dólares de una caja de licor y es el número promedio de cajas compradas en un año por un consumidor. a) Calcula e interpreta la elasticidad cuando p 1 = $118/caja y cuando p = $100/caja. Rta: Demanda inelástica y 1.5 demanda elástica. 1 b) Determina el precio por caja para el que la demanda tendrá elasticidad unitaria. Rta: $1,0490./unidad. A este precio el fabricante percibe el mayor ingreso posible. 1. Hace algunos años, las investigaciones indicaban que la demanda de heroína estaba dada por p. a) Calcula la elasticidad de la demanda. Rta: 0.17 b) Es la demanda de heroína elástica o inelástica? Rta: Inelástica. BIBLIOGRAFÍA APUNTES DEL DOCENTE STEWART James, CALCULO CONCEPTOS Y APLICACIONES, EDITORIAL Thomson PURCELL Edwin J, CALCULO CON GEOMETRIA ANALITICA, EDITORIAL Pearson- Prentice Hall LARSON Ron, CALCULO, EDITORIAL MC Graw Hill Versión: Fecha 011