UNIVERSIDAD NACIONAL Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas. TALLER III Profesor: H. Fabian Ramirez Maximos- Mínimos y Integrales Multiples

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1 UNIVESIDAD NACIONAL Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas TALLE III Profesor: H. Fabian amirez Maximos- Mínimos y Integrales Multiples. Porque la función f(x,y) = x x y con dominio D = {(x,y) : x +y y,y > } no tiene máximo ni mínimo?,. Basandose en la gráfica de la función f(x,y) = x 4 y, indique en que punto(s) alcanza el valor máximo y mínimo.. La empresa Vectorial S.A. produce un solo producto en dos plantas ubicadas en Bogota y Medellin. Los costos mensuales totales de producción en cada planta son C B (x) = 5x + y C M (y) = 8y 4y + donde x e y son las cantidades producidas en cada planta. El precio del mercado para el producto es de pesos la unidad. Cuántas unidades debería producir mensualmente la empresa en cada planta para generar la mayor utilidad posible?. Ayuda: La función utilidad (a maximizar) viene dada por U(x,y) = I(x,y) C(x,y) 4. Un fabricante que posee derechos exclusivos sobre una nueva y completa maquinaria industrial planea vender una cantidad limitada de las máquinas tanto a empresas nacionales como extranjeras. El precio que el fabricante espera fijar a las máquinas dependerá del número de máquinas disponibles. (Por ejemplo, si sólo unas cuantas máquinas se ponen en el mercado, las ofertas de los compradores potenciales que compiten entre sí tenderán a subir el precio). Se calcula que si el fabricante suministra x máquinas al mercado nacional e y máquinas al mercado extranjero, éstas se venderán a 6 x y miles de dólares cada una en el mercado local y a 7 y 5 + x miles de dólares en el exterior. Si el fabricante puede producir las máquinas a un costo de US$ cada una, cuántas máquinas debería enviar a cada mercado para generar la mayor utilidad posible? Ayuda: U(x,y) = I(x,y) C(x,y) 5. Analice para qué valores de a la función f(x,y) = a(x )(y ) (x ) (y ) /. mínimo para a (,). Silla a (, ) (, ) 6. Sea f : una función de dos variables, tal que su matriz hessiana en el punto P (m,n) es m+ m Hess(f(m, n)) 5 Para que valores de m, f(p ) es un valor minimo relativo? / m = 7. Sea f : una función de dos variables, tal que su matriz hessiana en un punto genérico (x,y) es 4 x x Hess(f(x, y)). Si (a,a) es un punto crítico de f para qué valores de a el punto (a,a,f(a,a)) es un punto de silla? /. a >.

2 8. Sea f : una función con derivadas parciales de primer y segundo orden continuas en tal que A(, ) es un punto crítico de f. En cada caso, indique si el punto crítico corresponde a un extremo relativo o a un punto de silla. a) f xx (, ) =, f xy (, ) = f yy (, ) = 8 b) f xx (, ) = 5, f xy (, ) = f yy (, ) = 8 c) f xx (, ) = 4, f xy (, ) = 6 f yy (, ) = 9 9. En los siguientes ejercicios, halle los extremos absolutos de la función en la región D indicada a) f(x,y) = x +xy y 6x, D es la placa rectangular x 5, y b) f(x,y) = 4x x y + y, D es la región limitada por la parábola y = x y la recta y = 9. c) f(x,y) = 4x y x y x y D es la región triangular limitada por x =, y =, x+y 6 = d) * f(x,y) = (x +y )e (x +y ) Ayuda: llame r = x +y. * Consideremos la función z = f(x,y) dada implícitamente en la expresión F(x,y,z) = x +y +z x y +z +4 = halle los extremos locales. /: P (,),P (, ),P (,),P 4 (, ). Halle la mínima distancia del origen al cono z = (x ) +(y ). / =. Hallelosextremosdelafunciónf(x,y,z) = xyz.sujetaalascondicionesx+y z = y x y z 8 =. / Máximo P(/4, 5/, /4). El cono z = x +y es cortado por el plano z = +x+y en una curva C. Halle los puntos de C que están más próximos y más alejados del origen. /: P( + /, + /, + ) cerca y Q( /, /, ) lejos 4. Un disco circular tiene la forma de una región acotada por el círculo x +y =. Si T es la temperatura (en grados Celsius) en cualquier punto (x,y) del disco y T(x,y) = x +y y, encuentre los puntos más calientes y mas fríos del disco. /: P ( /, /) y P ( /, /) caliente y Q(,) frio. 5. *SeaP (x,y,z )(x >,y >,z > )unpuntosobrelasuperficie x 4 +y 8 +z 6 = a) Calcule el volumen del sólido limitado por los planos cartesianos y el plano tangente al elipsoide en el punto P. b) Halle P que está sobre el elipsoide de modo tal que el volumen del sólido sea mínimo. 6. Una organización internacional debe decidir cómo gastar los US 4 que se le han asignado para aliviar la extrema pobreza en el departamento de Cundinamarca. Esperan dividir el dinero entre comprar trigo a US5 el saco y arroz a US el saco. Para el número P de personas que se alimentarán se comprarán x sacos de trigo y y sacos de arroz. P está dado por P(x,y) = x+y + x y ( 8 ) Cuál es el numero máximo de personas que pueden alimentarse, y cómo la organización debe asignar su dinero? / 8 personas, 4 sacos de trigo y sacos de arroz

3 7. Un cilindro circular recto cerrado con un volumen de 8 pies cúbicos se construye con dos clases de material. La tapa y la base del cilindro se hacen de un metal que cuesta $6 el pie cuadrado. La cara lateral se cubre con un metal que cuesta $S el pie cuadrado. Calcule las dimensiones del cilindro para que el costo de construcción sea mínimo. / altura = 8 5π y radio = 5 5π Costo = 96 5π 8. Utilice multiplicadores de Lagrange para hallar los valores máximo y mínimo de la función, sujeto a la restricción dada. a) f(x,y,z) = xyz, restricción x + y + z =. /. (,,) es punto crítico. b) f(x,y) = 5 x y, restricción x +y 4y = /. Valor mínimo f(,4) = 9 Valor máximo f(,) = 5 9. Sea C la curva de intersección de las superficies S : x +z = y, S : x y+z+ =. Encuentre los puntos de la curva C que están más alejados y más cercanos al plano xz. /. P (,9,) es el punto más alejado y P (,, ) el más cercano.. La empresa amirez S.A vende dos productos: Vifer y Difer. Su utilidad en soles al vender x unidades de Vifer y y de Difer es U(x,y) = x+4y.(x +y ) Si la empresa puede vender un máximo de 4 unidades de los dos productos, qué combinación le producirá la máxima utilidad?. Vender 5 unidades de Vifer y 5 unidades de Difer.. Una sonda espacial de forma del elipsoide 4x +y +4z = 6 entra en la atmósfera de la tierra y su superficie comienza a calentarse. Pasada una hora, la temperatura en el punto (x,y,z) sobre la superficie de la sonda es T(x,y,z) = 8x +4yz 6z +6. Determíneseelpuntomáscalientedelasonda./ :P (4/, 4/, 4/)yP ( 4/, 4/, 4/). Si T(x,y,z) = x+y +z representa la temperatura en cada punto del cilindro x + y =, halle las temperaturas extremas en la curva formada por la intersección del plano y + z = y el cilindro. /: Temperatura mínima en A(,,) y máx. en B(,,). Una empresa planea gastar dólares en publicidad en radio y televisión. Se sabe que el minuto de publicidad en la televisión cuesta dólares, mientras que en la radio cuesta dólares. Si x es el número de minutos de publicidad que contrata en la televisión y y el número de minutos que contrata en la radio, su ingreso por ventas es G(x,y) = x y xy +4x+6y + Cuántos minutos debe contratar en radio y cuánto en televisión para maximizar su ingreso por ventas? /:. en TV y 4 en radio. 4. Sea g : una función diferenciable. Suponga que g tiene solamente una raíz en el punto x y que g (x ) >. Estudie la naturaleza de los puntos críticos de las siguientes funciones f : a) f(x,y) = b) f(x,y) = ˆ y x ˆ y x c) f(x,y) = d) f(x,y) = ˆ y x ˆ y x

4 5. Sea g : una función diferenciable. Suponga que la gráfica de g cruza al eje x solamente en el origen de coordenadas. Estudie la naturaleza de los puntos criticos de la función f : f(x,y) = ˆ x + ˆ y en cada uno de los siguientes casos: a). g () >, b). g () <. 6. Sea g : una función diferenciable. Suponga que esta función no tiene raíces. Determine la naturaleza de los puntos críticos de la función f : f(x,y) = ˆ (x ) + ˆ (y ) en cada uno de los siguientes casos: a). g() >, b). g() <. 7. Sea g : una función diferenciabe tal que g() = g(). Considere la función f : f(x,y) = ˆ x+y xy. Demuestre que f tiene un punto critico en (,). Estudie la naturaleza de este punto crítico en cada uno de los siguientes casos: a). g() =, g () =, g () = b). g() =, g () =, g () = 4 8. Sea g : una función diferenciable. Suponga que la gráfica de g pasa por el origen Demuestre que la función f : f(x,y,z) = z + ˆ y x tiene un punto crítico en (,,). Determine la naturaleza de este punto crítico suponiendo que g (). 9. Determinar los extremos absolutos de la función f(x,y) = x +y, en la región K = {(x,y) : x x+y }.. Determinar los extremos absolutos de la función f(x,y) = x y ( x y), en la región K = {(x,y) : x + y } INTEGALES DOBLES. Utilizar una integral doble para hallar el volumen del sólido indicado.. Establecer una integral doble para encontrar el Volumnen de una región solida limitada por las graficas de las ecuaciones. NO EVALUA. 4

5 a) b) c) z = x +y, z = 8 x y. d) z = sin x, z =, x π, y 5 y. Calcule da, donde D es la región limitada por las rectas x =, y = y D x+ x y = 4 /=6 4ln 4. Calcule ( x + y )da, donde = {(x,y) : x, x }. /=4 5. Calcule D sin ( πy πy ) da,enlaregiónlimitadaporlasgráficasdey =,y = +x y y = x. /= π xe y 6. Calcule D y da, en la región limitada por las gráficas de x = y, x = y y y = y =. /= (e e) 7. Calcule 8. Calcule 9. Calcule ˆ ˆ y ˆ ˆ x ˆ ˆ 4 x y tan(x )dxdy/= ln(sec()) e y dydx /= e e. Halle el valor de la integral ˆ /4 ˆ + x+ 4 x+ 4 dxdy. /= 7 ln e y dydx+ ˆ. Dada la suma de integrales dobles I = ˆ ˆ y cos((x+y) )dxdy+ ˆ + x+ 4 + x+ ˆ 4 ˆ y y e y dydx+ ˆ 8 ˆ cos((x+y) )dxdy+ + x+ ˆ 6 ˆ a) Cambie el orden de integración y exprese I en una sola integral b) Calcule el área de la región de integración D. /=. Trazar la región de integración y evaluar la integral 4 e y dydx, / = (e4 ) y cos((x+y) )dxdy a) ˆ ˆ x x +y dydx b) ˆ ˆ 4 xsinxdxdy y 4cos(4) /=sin(4) 5

6 . Evaluar la integral iterada impropia a) ˆ ˆ x +y dydx b) ˆ ˆ dxdy c) xy ˆ ˆ xye (x +y ) dxdy 4. LafiguraImuestralascurvasdeniveldeunafunciónf enunaregióncuadrada.aproximar la integral empleando los cuatro cuadrados y tomando un punto de cada cuadrado como (x i,y i ). ˆ ˆ dydx = 5. Utilizar una integral doble para calcular el área de la región sombreada Fig 6. Evalúe (x+y)da sobre la región que se muestra en la figura 4 7. Halle el volumen del sólido limitado por el plano xy, el plano x + y + z = y el cilindro parabólico y = x /= 8 8. Encuentre el volumen del sólido que se encuentra debajo del plano x + z =, por encima del plano z = e interior al cilindro x +y = 9 /=8 9. Halle el volumen del sólido comprendido entre los cilindros x + y = 6 y x + z = 6 /= 4. Halle el volumen del sólido limitado por las superficies y = x, y = x, x+z = 6, z =. /= 8 5. Determine el volumen dei sólido limitado por las superficies y =, y = 4, x =, x = y, z = y, z = y. /= 65 5 fig 4. * Calcule el área de la región limitada por las gráficas de y = x, y = 4 x 4, y = x, y = x y y. /= Halle ˆ ˆ 8 x x 5+x +y dydx 4. Encuentre el volumen del sólido que está bajo el hemisferio z = x y y sobre la región acotada por la gráfica de la circunferencia x +y y = 5. Calcule el volumen del cuerpo limitado por la superficie cilindrica z = e x y los planos y =, y = x, y x =. /= e e 6. Grafique el dominio de integración de la expresión y luego calcule su área /= 5 I = ˆ ˆ y + y f(x,y)dxdy + ˆ /4 ˆ x ˆ f(x,y)dydx+ /4 ˆ 4x x f(x,y)dydx 7. Calculeelvolumendelsólidolimitadosuperiormenteporlasuperficiez = 4 x y e inferiormente por la región limitada por la gráfica de la circunferencia r = cosθ. /= 8π 9 6

7 8. Calcule el volumen del sólido S que está limitado inferiormente por el plano xy, superiormente por la superficie x +y +4z = 6 y lateralmente por el cilindro x +y 4y =. /= 9 (π 4) 9. Sea ψ : 4 4 una transformación definida por ψ(y,y,y,y 4 ) = (x,x,x,x 4 ), donde x = y y x = y, x = y y 4, x 4 = y 4 Calcule el Jacobiano de ψ.. Calcule e y x y+x dxdy, donde es el triángulo limitado por la recta x+y = y los ejes coordenados. /=e e. Halle el área de la región limitada por las curvas xy =, xy =, x xy =, x xy =. /=6ln(6) 4ln x. * Calcule dxdy, donde es la región limitada por las hipérbolas xy =, xy = y y por las rectas y = x, y = 4x. /= 4. *Halle la integral de la función f(x,y) = x y sobre la región limitada por las hipérbolas equiláteras xy =, xy = y las rectas y = x, y = x (la región situada en el primer cuadrante). /= 7 6 ln6 4. * Halle la integral de la función f(x,y) = x sobre la región limitada por las parábolas y = x, y = x, y = x, y = x. /= ln ( 5. * Calcule 4 x y +x) da, donde la región = {(x,y) : x +y y}. /= 8 π 9 6. Calcule x a y b da donde = { (x,y) : x a + y b } /= abπ 7. * Halle el volumen del sólido S limitado por el cono z = x +y y el cilindro x +y y =. /= * Halle el volumen del sólido S que está limitado por el cilindro x + y = 4 y el hiperboloide x +y z = /=4 π 9. Halle el volumen del sólido limitado superiormente por la superficie esférica x +y + z = 4, inferiormente por el plano xy y lateralmente por el cilindro x + y = /= (8 )π 4. Encuentre el centro de masa de una lámina homogénea (de densidad constante) que tienelaformadelaregiónlimitadaporlaparábolay = x ylarectax+y =. /=( 4, 4 5 ) 4. En los siguientes ejercicios encuentre el centro de masa de una lámina que tiene la función de densidad ρ y la forma de la región limitada por las curvas dadas. a) x y =, x =, ρ(x,y) = x b) y = x, y = x, ρ = x c) y = x, x = y +, ρ = x y 7

8 4. Encuentre I x y I y para la lámina homogénea que tiene la forma de la región D acotada por la curva y = 4x y por las rectas y =, x = 4. /=I x = 64 5, I y = Halle el momento polar de inercia de la región F en el plano xy limitado por x y =, x y = 9, xy =, xy = 4, la densidad ρ =. Sugerencia: hacer u = x y, v = xy /=8 44. * Halle el área de la parte de la esfera x +y +z = 4 que se encuentra arriba del paraboloide x +y = z. /=4π 45. Determine el área de la parte de la esfera x +y +z = ay que es cortada por un manto del cono y = x +z Sugerencia: A(S) en xz /=πa. 46. Encuentre el área de la parte del paraboloide x +y = 8 z que está comprendida entre los conos x +y = 7z, x +y = z 4 y z >. Ver figura /=π 6 ( ) 47. * Halle el área de la parte del cono y + z = x que se encuentra arriba del plano yz e interior al cilindro y +z = 4y Ver figura /= 8π 48. * Calcule el área de la parte del cilindro x + y = 6 que se encuentra entre los planos z = x, z = x, en el primer octante. Sugerencia: A(S) en xz /= Encuentre el área de la superficie de las porciones del cono z = 4 (x +y ) que están dentro del cilindro (x ) +y =. Fig 5. ˆ e 5x e x 5. * Hallar dx /=ln() x ˆ ( ) 5. * Hallar tan (πx) tan (x) dx. 5. Que región en el plano xy maximiza el valor de (9 x y )da? 5. Que la región en el plano xy minimiza el valor de (+x +y 4)dA? 54. VEDADEO O FALSO. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que demuestre que es falsa Fig Fig Fig 5 a) El volumen de una esfera x +y +z = es V = 8 ˆ b ˆ d b) c) d) Si a c ˆ ˆ x f(x,y)dydx = f(x,y)dydx = ˆ ˆ ˆ d ˆ b c a ˆ ˆ y f(x,y)dxdy f(x,y)dxdy f(r,θ)da > entonces f(r,θ) > para todo (r,θ) en. x y dxdy e) Dada una partición interior de la región plana que consiste en rectángulos,,..., n que están dentro de, el valor de la integral doble f(x,y)da se aproxima con la suma de iemann que tiene un término f(x i,y i ) A i para cada rectángulo de la partición interior. k f) Si f es integrable, entonces la suma de iemann f(x i,yi) A i puede hacerse i= arbitrariamente cercana al valor de la integral doble f(x, y)da escogiendo una partición interna de con una norma suficientemente pequeña. 8

9 g) La descripcióna x b, g (x) y g (x) de la región lleva a evaluar la integral doble f(x, y)da integrando primero respecto de x y después respecto de y. h) La descripciónh (y) x h (y), c y d de la región lleva a evaluar la integral doble f(x, y)da integrando primero respecto de y y después respecto de x. i) Dada una región en el plano xy, el problema de calcular el área A de es equivalente al problema de calcular el volumen de cierto sólido que se encuentre arriba de. j) Si es laregión tal que satisfacen las desigualdades r (θ) r r (θ), α θ β. entonces f(x, y)da se transforma en otra iterada en coordenadas polares que se integra primero respecto de θ y después respecto de r. ˆ π 55. Demuestre que e x dx = Ayuda: Calcule V = lím V b pero usando dos formas diferentes para V b, primero b V b = e x y da, = {(x,y) : b x b, b y b} V b = e x y da, S = {(x,y) : x +y b} S 56. Elija y evalúe la integral correcta que represente al volumen V del sólido. a) 4 ˆ ˆ 4 x ˆ b) ˆ c) ˆ 4 x ˆ 4 x (4 y)dydx (4 y)dydx (4 y)dxdy ˆ r ˆ r x a) 4 r (r y ) / dydx r x b) 8 c) 8 ˆ r ˆ r y ˆ r ˆ r x (r y ) / dxdy (r x ) / dydx 57. Halle 58. Halle 59. Halle ˆ ˆ tan x ˆ ˆ e y x ˆ ˆ y 6. Evalúe y xdydx /= π 4 y dydx cos(x )dxdy sen(x+y)cos(x y)da sobre la región de la Figura. /: π cos( 6. Calcule (x y)) da donde es la región acotada por las gráficas de y = x, x+y y = x π, y = x+, y = x+6. 9

10 6. Calcule (x +y )sen(xy)dadondeeslaregiónacotadaporlasgráficasdex y =, x y = 9, xy =, xy =. 6. Calcular el área en la región del primer cuadrante acotada por las curvas xy =, xy = 4 y xy =, xy = Sealaregiónenelprimercuadranteacotadaporlascircunferenciasx +y = x,x + y = 6x, y las circunferencias x +y = y, x +y = 8y. Calcule (x +y ) dxdy 65. La región se encuentra en el semiplano superior del plano xy y está limitada por las parábolas y = 4( x), y = 4(+x) y el eje x. Calcule x +y da, al hacer el cambio de variable x = u v, y = uv 66. Conteste

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