MATE1207 Cálculo Vectorial Solución Examen Final (04/12/2007) 1. Prob Total Valor Puntos. Nombre: Código: Sección:

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1 Universidad de los Andes Departamento de Matemáticas MATE7 álculo Vectorial olución Eamen Final (//7) Prob. 3 Total Valor Puntos Nombre: ódigo: ección: NO PUEDE UAR ALULADORA. onsidere la función z = f(, ) = el punto P(, 9, 6). [6 puntos ] Encuentre la ecuación del plano tangente a f en P. [ puntos ] Halle una aproimación lineal del valor de Eplique. (a) ea g(,, z) = f(, ) z, por lo tanto la superficie asociada a f es la superficie de nivel para g. g(, 9, 6) = 9 î+ ĵ k. La ecuación del plano tangente a f en P es, z 6 = 9 ( ) + ( 9) = 9 + z = 9 + z = ea =. =.3 P = (, ) = (, 9). f(+, + ) = f(, )+f (P) +f (P) = = Dada la función f(, ) = + el disco unitario cerrado, D = {(, ) + } [8 puntos ] Halle los puntos de D donde f alcanza sus valores etremos, máimo mínimo. [ puntos ] Halle los valores máimo mínimo de f en D. El juramento del uniandino dice: Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis compañeros o de la misma Universidad

2 Nota: Haga su análisis separadamente, en el interior de D sobre su frontera. (a) Hallaremos los etremos globales. Primero halleremos los puntos críticos usaremos el test de la segunda derivada. f = = f = = = = D(, ) = (f f f ) (,) = 3 Por lo tanto (, ) es un punto crítico en él la función tiene el valor de cero f(, ) =. Ahora para hallar los etremos restringidos a la condición + =, usaremos el método de multiplicadores de Lagange. { f = λ g + = = λ = λ + = = ± = ± = P = = λ = ( ±, ± ) Los puntos donde f alcanza los etremos son: (, P = (, ), P = (, )P = ) Los valores etremos defen Dson que lo alcanza en (, ) 3 en P P 3. onsidere la curva en el espacio tridimensional (Hélice) parametrizada por r(t) = (cost, sin t, t), para t π, el campo vectorial F(,, z) = î + ĵ + k. alcule el valor de la integral de línea, F dr El campo dado es un campo vectorial conservativo con potencial escalar f(,, z) = +z+c, por lo tanto aplicando el Teorema Fundamental del álculo para Integrales de línea tenemos que la diferencia de potenciales es: F dr = f(,, π) f(,, ) = π π

3 . ea F(,, z) = z î ĵ + k un campo vectorial G(,, z) = rot F(,, z). alcule la integral de superficie G n d donde es la superficie de las tres caras, que no están en el plano, del tetraedro que tiene tres caras sobre los planos coordenados la otra cara sobre el plano z = 6 la normal n es la normal unitaria eterior. ea D la superficie sobre el plano limitada por el triángulo con vértices en (,, ), (,, ),, (, 6, ). ea Ŝ la superficie dada más la tapa D, es decir Ŝ = D. G n d = G nd G nd Ŝ Para la primera integral del lado derecho aplicamos el Teorema de Gauss la otra integral la resolveremos como una integral de superficie sobre D. Dado que para cualquier campo ( F se tiene que ) F = div(rot F) = div( G) =. G n d = D D G -k d Pero como F(,, z) = î ( )ĵ, entonces G -k =. Así la integral pedida es igual a cero. [ontinúa atrás de la hoja]. 3

4 .. a) [ puntos ] onsidere las siguientes funciones, gráficas curvas de nivel. (a) f(, ) = (I) 3 (A) 6 f(, ) = e (II) 6 (B) (c) f(, ) = + + (III).... ().. (d) f(, ) = + (IV) (D).. (e) f(, ) = sin(3) (V) (E).. on la anterior información llene la siguiente tabla de tal manera que por renglones corresponda la respuesta correcta. Función Gráfica urvas de nivel (a) V D III B (c) I E (d) II (e) IV A

5 (a).b) [ punto ] Llene la casilla con la letra correspondiente. i r (t) es paralelo a r (t), entonces (a) La traectoria de r(t) debe ser una línea recta. La traectoria de r(t) debe ser una circunferencia.. c) [ punto ] Llene la casilla con la letra correspondiente. El gradiente f(p) de una función f(, ), (a) Debe ser paralelo a la curva de nivel de f en el punto P. Debe ser perpendicular a la curva de nivel de f en el punto P..d) [ punto ] Llene la casilla con la letra correspondiente. i r (t) es perpendicular a r (t), en R entonces (a) La traectoria de r(t) debe ser una línea recta. La traectoria de r(t) debe ser una circunferencia. (a).e) [ punto ] Llene la casilla con la letra correspondiente. i dos vectores no cero v w satisfacen que v w =, entonces (a) v w deben ser paralelos. v w deben ser perpendiculares..f) [ punto ] Llene la casilla con la letra correspondiente. i dos vectores no cero v w satisfacen que v w =, entonces (a) v w deben ser paralelos. v w deben ser perpendiculares..g) [ punto ] Llene la casilla con la letra correspondiente. i F(,, z) = î ĵ, es la circunferencia + = 9, z =, orientada positivamente vista desde arriba, entonces F dr es igual a: (a) 8π. 8π. (c) Tiempo: minutos Buena uerte!