Valores máximos y mínimos para funciones de dos o más variables.

Transcripción

1 Pro. Enrique Mateus Nieves Valores máimos mínimos para unciones de dos o más variables. Una unción de dos variables tiene en a,b : Si, a,b cuando, está cerca de a,b. (esto quiere decir que, a,b pata todos los puntos, en algún disco con centro a,b )El número a,b máimo relativo., a,b a,b Si cuando, está cerca de a,b entonces a,b Si tiene un máimo o un mínimo relativo en a,b eisten en ese punto, entonces a,b 0 a,b 0 se llama Valor es un mínimo relativo en las derivadas parciales de primer orden Prueba de la segunda derivada Suponga que las segundas derivadas parciales de son continuas en un disco de centro a,b suponga que a,b 0 a,b 0 a,b es un punto crítico de, entonces:, es decir, Sea D D a,b a,b a,b a,b consideramos: i. Si D,, a,b 0 a,b ii. Si D,, a,b 0 a,b iii. Si D 0, a,b 0 es un mínimo relativo de 0 es un máimo relativo de no es ni máimo ni mínimo relativo de, esto se llama punto de silla o de ensilladura. iv. Si D 0, el criterio no decide puede tener un máimo o un mínimo relativo o un punto de ensilladura D Taller ejercicios. Determinar si la unción dada tiene o no puntos críticos.., 4., , , , e 6., 7., 5 8., e cos 9., 0., cos

2 Pro. Enrique Mateus Nieves, 4, 9 4 4, , 4, e,, 5, e cos,, cos

3 Pro. Enrique Mateus Nieves Teorema del valor etremo para unciones de dos variables. Si es continua en un conjunto D cerrado acotado en IR entonces alcanza un valor máimo,,,, absoluto en un valor minino absoluto en en algunos puntos en D. Nota: Para calcular los valores ab solutos máimos mínimos de una unción continua en un conjunto cerrado acotado D se debe tener en cuanta: i. Se calculan los valores de en los puntos críticos de en D. ii. Se determinan los valores etremos de en la rontera de D. iii. El más grande de los valores de los pasos i ii es el valor máimo absoluto el más pequeño es el valor mínimo absoluto. Ejercicios. Determine los valores máimos mínimos absolutos de en el conjunto D., 4 5, D es la región triangular cerrada con vértices 0,0,,0, 0,3., 3 D es la región triangular cerrada con vértices,0, 5,0,,4 3., 4 D es la región D,:, , 4 D es la región D,: 0 4, , 3,3,,3,,, -,- D es la región comprendida por el cuadrilátero cuos vértices son Máimos mínimos de unciones con n variables k restricciones k<n Maimizara una unción, sujeta a una restricción, k grande de c tal que la curva de nivel, c corte a, k g es encontrar el valor más g (esto sucede cuando las curvas se tocan, es decir cuando apenas tienen una recta tangente común. Esto quiere decir que las rectas normales en el punto, donde se presentan son idénticas. De modo que 0 0 los vectores gradiente son paralelos; es decir,, g, escalar para algún

4 Pro. Enrique Mateus Nieves Método de los multiplicadores de LaGrange. Para determinar los valores máimos mínimos de, sujeta a la restricción g, k (suponiendo que estos valores eisten que g 0, k g ). Seguimos el siguiente proceso: i. Determinar todos los valores de,, z tales que:,,z g,,z g, k ii. Evalúe en todos los puntos, valor máimo de ; el más pequeño será el valor minino de. se encuentre en la supericie de que resulten del paso i. el más grande será el Ejercicios. Una caja rectangular sin tapa se hace con m de cartón. Calcule el volumen máimo de esta caja.. Determine los valores etremos de la unción, en el circulo Para los siguientes ejercicios encuentre los valores máimo mínimo de la unción sujeta a la(s) restricción (es) dada(s): 3., ; 4., 4 ; 3 5., ; , e ; , 0z; z 35 8., z; 3z 6 9.,, z ; z , z ; z ; -5 Con LaGrange: En color azul la unción,, en rojo la restricción g, en negro la restricción h,, ;, 4 ; 3

5 Pro. Enrique Mateus Nieves, ; 6 (Tres vistas de la igura. ) 3, e ; 3 6 Con dos restricciones: En color azul la unción,, en rojo la restricción g, en negro la restricción h, 3 3 3, z ; z ; -5