Extremos Restringidos (Multiplicadores de Lagrange)
|
|
- María del Rosario Escobar Fernández
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Extremos Restringidos (Multiplicadores de Lagrange) Dada la curva en el plano (x h) a + (y k) b = 1. Esta es una elipse con centro en (h,k) y queremos encontrar qué punto de esta elipse se encuentra más cercano al origen y que punto se encuentra más alejado de el. Para un punto (x, y) en el plano, la distancia entre él y el origen es x + y. Si la expresión anterior la pensamos como una función f(x, y) = x + y. Esta es una función de las variables x,y, de la cual nos interesa obtener el máximo y el mínimo, cuando x,y se mueven sobre la elipse g(x, y) = 0 Diremos entonces que queremos encontrar el maximo y el mínimo de la función z = f(x, y) = x + y sujeta a la restricción g(x, y) = (x h) + (y k) 1 = 0. Estos valores extremos de la a b función z = F (x, y) se llaman en general, estremos condicionados Fijemos nuestra atención en las curvas de nivel de la función f; es decir, las curvas f(x, y) = C. Estas son círculos x + y = C, que tienen su centro en el origen y radio C. Sea x 0 el punto donde se alcanza el mínimo buscado y sea C = f(x 0 ). Observemos con cuidado que la curva de nivel f(x 0 ) = C. Esta curva debe ser tangente a la elipse en g(x, y) = 0 en el punto x 0. 1
2 Sabemos que el vector gradf(x, y) es un vector perpendicular a la curva de nivel que pasa por x 0. Entonces éste es un vector perpendicular a la curva de nivel f(x 0 ) = C en el punto x 0. por otra parte la elipse g(x, y) = 0 la podemos ver como una curva de nivel de la función z = g(x, y). Entonces el vector gradiente graf g(x, y) debe ser perpendicular a tal curva en x 0. En resumen: gradf(x, y) es perpendicular a f(x 0 ) = C en x 0 ; gradg(x, y) es perpendicular a g(x, y) = 0 en x 0 ; las curvas f(x 0 ) = C y g(x, y) = 0 son tangentes en x 0. Concluimos que gradf(x, y) y gradg(x, y) son vectores colineales. lo anterior nos permite afirmar que en el punto x 0, donde la función z = f(x, y) alcanza su máximo ó su mínimo condicionado, debe existir una constante λ tal que gradf(x, y) = λgradg(x, y) Dado nuestro ejemplo buscamos los puntos en los que ocurre una relación como la anterior. Se debe tener entonces que ( f x, f ) ( g = λ y x, g ) y o sea f x = λ g x, f y = λ g y que junto con la ecuación g(x, y) = 0 nos da un sistema de tres ecuaciones con tres incognitas x, y, λ. Resolviendo este sistema localizamos los puntos x, y de la elipse en la que se da la colinealidad de los vectores f(x, y) y g(x, y). estos son los extremos que se buscan. Supongase que se quieren hallar los valores extremos (máximo ó mínimo) de una función f(x, y) sujeta a la restircción x + y = 1; esto es, que (x, y) está en el circulo unitario. con mayor generalidad, podemos necesitar maximizar o minimizar f(x, y) sujeta a la condición adicional de que (x, y) también satisfaga una ecuación g(x, y) = c donde g es alguna función y c es una constante [En el ejemplo g(x, y) = x + y y c = 1]. El conjunto de dichas (x, y) es un conjunto de nivel de g.
3 En general, sean f : u R n R y g : u R n R funciones C 1 dadas, y sea S el conjunto de nivel de g con valor c. [Recordar que el conjunto de nivel son los puntos x R n con g(x) = c] Cuando f se restringe a S, de nuevo tenemos el concepto de máximos locales o mínimos locales de f (extremos locales), y un máximo (valor mayor) o un minimo absoluto (valor menor) debe ser un extremo local. Teorema.- Método de los multiplicadores de lagrange. Sean f : u R n R y g : u R n R funciones C 1 con valores reales dados. Sean x 0 u y g(x 0 ) = c, y sea S el conjunto de nivel de g con valor c. Suponer g(x 0 ) 0. Si f s (f restringida a s) tiene un máximo o un mínimo local en S, en x 0, entonces existe un número real λ tal que f(x 0 ) = λ g(x 0 ). Demostración: Para n = 3 el espacio tangente o plano tangente de S en x 0 es el espacio ortogonal a g(x 0 ) y para n arbitraria podemos dar la misma definición de espacio tangente de S en x 0. Esta definición se puede motivar al considerar tangentes a trayectorias c(t) que estan en s, como sigue: si c(t) es una trayectoria en S y c(0) = x 0, entonces c (0) es un vector tangente a S en x 0, pero dg(c(t)) dt = d dt (c) = 0 3
4 Por otro lado usando regla de la cadena d dt g(c(t)) = g(x 0 ) c (0) t=0 de manera que g(x 0 ) c (0) = 0, esto es, c (0) es ortogonal a g(x 0 ). Si f s tiene un máximo en x 0, entonces f(c(t)) tiene un máximo en t = 0. Por cálculo de una variable, df(c(t)) dt = 0. t=0 Entonces por regla de la cadena 0 = df(c(t)) dt = f(x 0 ) c (0). t=0 Asi, f(x 0 ) es perpendicular a la tangente de toda curva en S y entonces tambien es perpendicular al espacio tangente completo de S en x 0. Como el espacio perpendicular a este espacio tangente es una recta, f(x 0 ) y g(x 0 ) son paralelos. Como g(x 0 ) 0, se deduce que f(x 0 ) es multiplo de g(x 0 ). Corolario.- Si f al restringirse a una superficie S, tiene un máximo o un mínimo local en x 0, entonces f(x 0 ) es perpendicular a S en x 0. La geometria de los valores extremos restringidos. Ejemplo.- Sea S R la recta que pasa por ( 1, 0) inclinada a 45 o, y sea f : R R daa asi f(x, y) = x + y. Hallar los extremos de f s. 4
5 Solución.- Aqui S = {(x, y) y x 1 = 0} y por lo tanto hacemos g(x, y) = y x 1 y c = 0. Tenemos g(x, y) = i + j 0. Los extremos relativos de f s deben hallarse entre los puntos en que f es ortogonal a S, esto es, inclinada a 45 o. Pero f(x, y) = (x,y), que tiene la pendiente deseada sólo cuando x = y, o cuando (x, y) está sobre la recta L, que pasa por el origen inlinada a 45 o. Esto puede suceder en el conjunto S sólo para el unico punto en el que se intersecan L y S. Al referirnos a las curvas de nivel de f se indica que este punto ( 1, 1 ) es un mínimo 1 relativo de f s (Pero no de f). Ejemplo.- Sea f : R R dada asi f(x, y) = x y y sea S el circulo de radio 1 alrededor del origen. Halar los extremos de f s. Solución.- El conjunto S es la curva de nivel para g con valor t. Donde g : R R, (x, y) x + y. La condición de que f = λ g en x 0, es decir que f y g son pararlelos en x 0, es la misma que las curvas de nivel sean tangentes en x 0. Asi los puntos extremos de f s son (0, ±1) y (±1, 0). Evaluando f hallamos que (0, ±1) son mínimos y (±1, 0) son máximos. Usando Multiplicadores de lagrange 5
6 f(x, y) = (x, y) y g(x, y) = (x, y) (x, y) = λ(x, y) cuya solución es (0, ±1), (±1, 0). Ejemplo.- Maximizar la función f(x, y, z) = x + z sujeta a la restricción x + y + z = 1 Solución.- Buscamos λ y (x, y, z) tales que 1 = xλ, 0 = yλ y 1 = zλ x +y +z = 1 la solución es ( 1, 0, 1 ), ( 1, 0, 1 ) comprobando los valores de f en estos puntos podemos ver que el primer punto produce el máximo de f y el segundo el mínimo. Ejemplo.- Hallar los puntos extremos de f(x, y, z) = x + y + z sujeto a las dos condiciones x + y = y x + z = 1 Solución.- Aquí hay dos restricciones g 1 = (x, y, z) = x + y = 0 g (x, y, z) = x + z 1 = 0 asi, debemos encontrar x, y, z, λ 1 y λ tales que f(x, y, z) = λ 1 g(x, y, z) + λ g (x, y, z) g 1 (x, y, z) = 0 y g (x, y, z) = 0 6
7 Calculando gradientes e igualando componentes, obtenemos 1 = λ 1 x + λ 1 (1) 1 = λ 1 y + λ 0 () 1 = λ λ 1 (3) x + y = (4) x + z = 1 (5) De (3) λ = 1 y asi xλ 1 = 0, yλ 1 = 1. Como la segunda implica λ 1 0 x = 0. Asi y = ± y z = 1. Entonces los extremos deseados son (0, ±, 1). Por inspección (0,, 1) da un máximo relativo y (0,, 1) un mínimo relativo. La condición x+z = 1 implica que z tambien esta acotada. Se deduce que el conjunto de restricciones S es cerrada y acotada, Por lo tanto f tiene un máximo y un mínimo en S que se deben alcanzar en (0,, 1) y (0,, 1) respectivamente. 7
Clase 10: Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange
Clase 10: Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange C.J. Vanegas 7 de abril de 008 1. Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange Estamos interesados en maximizar o minimizar una función
Más detallesDerivadas Parciales (parte 2)
40 Derivadas Parciales (parte 2) Ejercicio: Si donde y. Determinar Solución: Consideraremos ahora la situación en la que, pero cada una de las variables e es función de dos variables y. En este caso tiene
Más detallesCálculo en varias variables
Cálculo en varias variables Dpto. Matemática Aplicada Universidad de Málaga Resumen Límites y continuidad Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables 1 Límites y continuidad
Más detallesDERIVADAS PARCIALES Y APLICACIONES
CAPITULO IV CALCULO II 4.1 DEFINICIÓN DERIVADAS PARCIALES Y APLICACIONES En cálculo una derivada parcial de una función de diversas variables es su derivada respecto a una de esas variables con las otras
Más detallesLaboratorio N 8, Extremos condicionados, Multiplicadores de Lagrange.
Universidad Diego Portales Facultad de Ingeniería. Instituto de Ciencias Básicas Asignatura: Cálculo III Laboratorio N 8, Extremos condicionados, Multiplicadores de Lagrange. Introducción. En este laboratorio
Más detallesUnidad V. 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.
Unidad V Aplicaciones de la derivada 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales. Una tangente a una curva es una recta que toca la curva en un solo punto y tiene la misma
Más detallesMáximos y mínimos. Mínimo global Máximo global máximo relativo mínimo relativo
Máximos y mínimos. Anteriormente estudiamos métodos para obtener los extremos de funciones de una variable. Extenderemos esas técnicas a funciones de dos variables. Sea una función de dos variables, definida
Más detallesMétodo de Multiplicadores de Lagrange: Una Versión Animada.
Método de Multiplicadores de Lagrange: Una Versión Animada. José D. Flores, PhD. Professor of Mathematics The University of South Dakota jflores@usd.edu Noviembre 2004 Abstract Resúmen: En este trabajo
Más detallesMay 4, 2012 CAPÍTULO 5: OPTIMIZACIÓN
May 4, 2012 1. Optimización Sin Restricciones En toda esta sección D denota un subconjunto abierto de R n. 1.1. Condiciones Necesarias de Primer Orden. Proposición 1.1. Sea f : D R diferenciable. Si p
Más detallesGEOMETRÍA. que pasa por el punto P y es paralelo a π. (0,9 puntos) b) Determinar la ecuación del plano π
GEOMETRÍA 1.- Se considera la recta r : ( x, y, z) = ( t + 1, t,3 t), el plano π: x y z = 0y el punto P (1,1,1). Se pide: a) Determinar la ecuación del plano π 1 que pasa por el punto P y es paralelo a
Más detallesMATEMÁTICAS 1º BACH. C. N. Y S. 25 de enero de 2010 Geometría y Logaritmos
MATEMÁTICAS 1º BACH. C. N. Y S. 5 de enero de 010 Geometría y Logaritmos x yz 1) Tomar logaritmos, y desarrollar, en la siguiente expresión: A 4 ab log x log b 4log a log y ) Quitar logaritmos: log A )
Más detallesCÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen Final. 26 de Junio de 2008 Primera parte. =1, a,b > 0.
ÁLULO Primer curso de ngeniero de Telecomunicación Examen Final. 6 de Junio de 8 Primera parte Ejercicio. onsideremos los rectángulos de lados paralelos a los ejes que pueden inscribirse en la elipse x
Más detallesUniversidad del Rosario Economía Matemática II Taller 8 - Kuhn Tucker
. En los siguientes problemas de optimización: Universidad del Rosario Economía Matemática - 202-II Taller 8 - Kuhn Tucker a. Dibuje el conjunto K de puntos factibles y las curvas de nivel de la función
Más detallesColegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas
Geometría. Problema 1: Calcula la distancia del punto P(1, 1, 1) a la recta Problema 2: Dadas las rectas, se pide: a) Analiza su posición relativa. b) Halla la ecuación general del plano π que contiene
Más detallesUNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
Opción A Ejercicio 1.- Sea f : R R definida por f(x) = x 3 +ax 2 +bx+c. a) [1 75 puntos] Halla a,b y c para que la gráfica de f tenga un punto de inflexión de abscisa x = 1 2 y que la recta tangente en
Más detallesÁreas entre curvas. Ejercicios resueltos
Áreas entre curvas Ejercicios resueltos Recordemos que el área encerrada por las gráficas de dos funciones f y g entre las rectas x = a y x = b es dada por Ejercicios resueltos b a f x g x dx Ejercicio
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 5 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Más detalleses el lugar geométrico de los puntos p tales que p 0 p n o p 0 p o. p x ; y ; z perteneciente a y un vector no
El Plano y la Recta en el Espacio Matemática 4º Año Cód. 145-15 P r o f. M a r í a d e l L u j á n M a r t í n e z P r o f. J u a n C a r l o s B u e P r o f. M i r t a R o s i t o P r o f. V e r ó n i
Más detalles1. DIFERENCIABILIDAD EN VARIAS VARIABLES
1 1. DIFERENCIABILIDAD EN VARIAS VARIABLES 1.1. DERIVADAS DIRECCIONALES Y PARCIALES Definición 1.1. Sea f : R n R, ā R n y v R n. Se define la derivada direccional de f en ā y en la dirección de v como:
Más detalles4.2. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
4.. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas En esta sección estudiaremos tres conceptos básicos sobre funciones. 4... Funciones inyectivas Definición 4.. Sea f una función de en. Diremos que f
Más detallesProblemas de Geometría Analítica del Espacio
1) Dados los vectores u(4, 4, 8), v( 2,, 5), w(3, 5, 8) y a(22,, 11). Hallar los valores de x, y, z que verifican la combinación lineal a = x u + y v + z w. 2) Dados los vectores a( 5, 19, n) y b( h, 3,
Más detalles2 t, y t = 2 sin 2t, z t = 3e 3t. ( 2 sin 2t) + z. t = 0. = f u (2, 3)u s (1, 0) + f v (2, 3)v s (1, 0) = ( 1)( 2) + (10)(5) = 52
TALLER : Regla de la cadena, derivadas direccionales y vector gradiente Cálculo en varias variables Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín Escuela de matemáticas 1. Use la regla de la cadena
Más detallesGEOMETRIA ANALITICA- GUIA DE EJERCICIOS DE LA RECTA Y CIRCUNFERENCIA PROF. ANNA LUQUE
Ejercicios resueltos de la Recta 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4. - 1) y tiene un ángulo de inclinación de 135º. SOLUCION: Graficamos La ecuación de la recta se busca por medio
Más detallesEjercicios Resueltos de Cálculo III.
Ejercicios Resueltos de Cálculo III. 1.- Considere y. a) Demuestre que las rectas dadas se cortan. Encuentre el punto de intersección. b) Encuentre una ecuación del plano que contiene a esas rectas. Como
Más detallesUniversidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Álgebra Lineal - Grupo 1 Resumen Unidad n 3
Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas 1000003-5 Álgebra Lineal - Grupo 1 Resumen Unidad n 3 Vectores en R n Definición. El conjunto de las n-tuplas ordenadas de números reales se
Más detallesm=0 La ecuación de una recta se puede obtener a partir de dos puntos por los que pase la recta: y y1 = m(x x1)
Recta Una propiedad importante de la recta es su pendiente. Para determinar este coeficiente m en una recta que no sea vertical, basta tener dos puntos (, y) & (, y) que estén sobre la recta, la pendiente
Más detalles5.- Problemas de programación no lineal.
Programación Matemática para Economistas 7 5.- Problemas de programación no lineal..- Resolver el problema Min ( ) + ( y ) s.a 9 5 y 5 Solución: En general en la resolución de un problema de programación
Más detallesRectas y Planos en el Espacio
Rectas y Planos en el Espacio Rectas y Planos en el Espacio Verónica Briceño V. septiembre 2012 Verónica Briceño V. () Rectas y Planos en el Espacio septiembre 2012 1 / 20 En esta Presentación... En esta
Más detallesAcademia de Matemáticas T.M Geometría Analítica Página 1
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CENTRO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS 10. CARLOS VALLEJO MÁRQUEZ PROBLEMARIO DE GEOMETRIA ANALITICA Distancia entre puntos 1.- Determina la distancia entre los puntos
Más detallesFunciones Inversas. Derivada de funciones inversas
Capítulo 15 Funciones Inversas En este capítulo estudiaremos condiciones para la derivación de la inversa de una función de varias variables y, en particular, extenderemos a estas funciones la fórmula
Más detallesGUÍA DE ESTUDIO PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL No. 268 GUÍA DE ESTUDIO PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Profra: Citlalli Artemisa García García 1) Qué es la pendiente? 2) Cómo es la pendiente de rectas
Más detallesProgramación NO Lineal (PNL) Optimización sin restricciones
Programación NO Lineal (PNL) Optimización sin restricciones Ejemplos de los problemas que se aplica la programación NO Lineal: Problema de transporte con descuentos por cantidad : El precio unitario de
Más detallesPráctica 6. Método de los multiplicadores de Lagrange. Extremos condicionados.
Práctica 6. Método de los multiplicadores de Lagrange. Extremos condicionados. Análisis Matemático II. Departamento de Matemáticas. Diplomatura en Estadística / Ingeniería Técnica de Informática de Gestión
Más detallesELEMENTOS DE GEOMETRÍA. Eduardo P. Serrano
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA Eduardo P. Serrano Este Apunte de Clase está dirigido a los alumnos de la materia Elementos de Cálculo Numérico para Biólogos. Tiene por objeto exponer algunos conceptos básicos
Más detallesTeoría Tema 9 Ecuaciones de la recta en el espacio tridimensional
página 1/11 Teoría Tema 9 Ecuaciones de la recta en el espacio tridimensional Índice de contenido Ecuación vectorial, paramétrica y continua de la recta...2 Ecuación general o implícita de la recta...5
Más detallesProyecto. Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas. Geometría Analítica. Isidro Huesca Zavaleta
Geometría Analítica Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas Isidro Huesca Zavaleta La Integración de dos Ciencias La Geometría Analítica nació de la integración de dos ciencias
Más detallesEXAMEN DE SEPTIEMBRE, MATEMÁTICAS I. 1. (2.5 ptos) Sean f y g funciones con derivadas primeras y segundas continuas de las que se sabe que
EXAMEN DE SEPTIEMBRE, MATEMÁTICAS I DEBE CONTESTAR ÚNICAMENTE A 4 DE LOS SIGUIENTES 5 EJERCICIOS 1. (.5 ptos) Sean f y g funciones con derivadas primeras y segundas continuas de las que se sabe que Sea
Más detallesVectores y rectas. 4º curso de E.S.O., opción B. Modelo de examen (ficticio)
demattematicaswordpresscom Vectores y rectas º curso de ESO, opción B Modelo de examen (ficticio) Sean los vectores u = (,5) y v = (, ) a) Analiza si tienen la misma dirección No tienen la misma dirección
Más detallesProblemas métricos. 1. Problemas afines y problemas métricos
. Problemas afines y problemas métricos Al trabajar en el espacio (o análogamente en el plano) se nos pueden presentar dos tipos de problemas con los elementos habituales (puntos, rectas y planos): Problemas
Más detallesLA CIRCUNFERENCIA. x y r. (x h) (y k) r. d(p; 0) x y r. d(p; C) (x h) (y k) r. Definición. Ecuación de la circunferencia. Geometría Analítica 3
Definición LA CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia a la sección cónica generada al cortar un cono recto con un plano perpendicular al eje del cono. La circunferencia es el lugar geométrico de todos los
Más detallesTema 11: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas
Tema 11: Integral definida. Aplicaciones al cálculo de áreas 1. Introducción Las integrales nos van a permitir calcular áreas de figuras no geométricas. En nuestro caso, nos limitaremos a calcular el área
Más detallesAplicaciones de la derivada Ecuación de la recta tangente
Aplicaciones de la derivada Ecuación de la recta tangente La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto. La recta tangente a una curva en un punto
Más detallesLímites y continuidad. Cálculo 1
Límites y continuidad Cálculo 1 Razones de cambio y límites La rapidez promedio de un móvil es la distancia recorrida durante un intervalo de tiempo dividida entre la longitud del intervalo. Ejemplo 1
Más detallesLa Distancia de un Punto a una Recta y de un Punto a un Plano, y un Teorema de Pitágoras en Tres Dimensiones
58 Sociedad de Matemática de Chile La Distancia de un Punto a una Recta y de un Punto a un Plano, y un Teorema de Pitágoras en Tres Dimensiones Miguel Bustamantes 1 - Alejandro Necochea 2 El propósito
Más detallesGráficas de funciones sobre variedades
Gráficas de funciones sobre variedades Oscar Perdomo Resumen Dadas una variedad riemanniana compacta n dimensional (M, g) y una función diferenciable F : M R k consideraremos la variedad M = {(x, F (x))
Más detallesCÁLCULO DIFERENCIAL Muestras de examen
CÁLCULO DIFERENCIAL Muestras de examen Febrero 2012 T1. [2] Demostrar que la imagen continua de un conjunto compacto es compacto. T2. [2.5] Definir la diferencial de una función en un punto y demostrar
Más detallesTema 7: Geometría Analítica. Rectas.
Tema 7: Geometría Analítica. Rectas. En este tema nos centraremos en estudiar la geometría en el plano, así como los elementos que en este aparecen como son los puntos, segmentos, vectores y rectas. Estudiaremos
Más detallesLA CIRCUNFERENCIA. La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje.
LA CIRCUNFERENCIA La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje. β = 90º La circunferencia es un caso particular de elipse. Se llama circunferencia al lugar geométrico de
Más detallesÁLGEBRA VECTORIAL Y MATRICES. Ciclo 02 de Circunferencia.
ÁLGEBRA VECTORIAL Y MATRICES. Ciclo 02 de 2012. Circunferencia. Elementos de la circunferencia. El segmento de recta es una cuerda. El segmento de recta es una cuerda que pasa por el centro, por lo tanto
Más detalles1. Derivadas parciales
Análisis Matemático II. Curso 2009/2010. Diplomatura en Estadística/Ing. Téc. en Inf. de Gestión. Universidad de Jaén TEMA 3. ABLES DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARI- 1. Derivadas parciales Para
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA
1) Sean las rectas EJERCICIOS DE GEOMETRÍA x 2y 6z 1 r : x y 0 x y 1 s: z 2 a a) Determinar la posición relativa de r y s según los valores de a. b) Calcular la distancia entre las rectas r y s cuando
Más detallesCálculo. Primer curso de Ingenieros de Telecomunicación. Curso Examen de Septiembre. 6 de Septiembre de 2002.
Cálculo. Primer curso de Ingenieros de Telecomunicación. Curso -. Examen de Septiembre. 6 de Septiembre de. Primera parte Ejercicio. Un canal abierto cuya sección es un trapecio isósceles de bases horizontales,
Más detallesEjemplos resueltos: CIRCUNFERENCIA Y ELIPSE
Ejeplo : Deterina la ecuación de la circunferencia con centro en (,) y que pasa por el punto (,5) Respuesta: ( x + ) + ( y ) 0 Ejeplo : Deterina centro, radio y grafica de x 6x + y + y (x- )² + (y + /)²
Más detallesRepaso de Geometría. Ahora formulamos el teorema:
Repaso de Geometría Preliminares: En esta sección trabajaremos con los siguientes temas: I. El Teorema de Pitágoras. II. Fórmulas básicas de geometría: perímetro, área y volumen. I. El Teorema de Pitágoras.
Más detallesSantiago, julio 6 del Tercera Solemne Cálculo Varias Variables. Nombre:
Nombre: Santiago, julio 6 del 26. Tercera Solemne Cálculo Varias Variables. 1. La temperatura en un punto (x, y) sobre una placa metalica es T (x, y) 4x 2 4xy + y 2. Una hormiga camina sobre la placa alrededor
Más detallesLección 2: Funciones vectoriales: límite y. continuidad. Diferenciabilidad de campos
Lección 2: Funciones vectoriales: límite y continuidad. Diferenciabilidad de campos vectoriales 1.1 Introducción En economía, frecuentemente, nos interesa explicar la variación de unas magnitudes respecto
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA. 1. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto ( 2, 2) tiene como vector director el vector
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto (, ) tiene como vector director el vector v i j A y x a + vt La ecuación paramétrica de una recta es
Más detallesEspacios vectoriales reales.
Tema 3 Espacios vectoriales reales. 3.1 Espacios vectoriales. Definición 3.1 Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre
Más detallesRESUMEN TEORIA MATEMATICAS 5
RESUMEN TEORIA MATEMATICAS 5 LIMITES Definición. Sea :, lim,,, Significa que cuando, esta cerca de, entonces, esta cerca de L. De otra forma se dice que, pertenece a una bola centrada en, por otro lado,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesECUACIÓN DE LA RECTA. 6. Hallar la ecuación de la recta que pase por el punto A ( 1, 2) y que determina en el eje X un segmento de longitud 6.
ECUACIÓN DE LA RECTA 1. El ángulo de inclinación de una recta mide 53º y pasa por los puntos ( 3, n) y ( 5, 4). Hallar el valor de n. A) 1 /5 B) 8 /5 C) 1 /5 D) 8 /5 E) 7 /3. Qué tipo de triángulo es el
Más detallesCálculo Diferencial en una variable
Tema 2 Cálculo Diferencial en una variable 2.1. Derivadas La derivada nos proporciona una manera de calcular la tasa de cambio de una función Calculamos la velocidad media como la razón entre la distancia
Más detallesVELOCIDAD Y ACELERACION. RECTA TANGENTE.
VELOCIDAD Y ACELERACION. RECTA TANGENTE. 3. Describir la trayectoria y determinar la velocidad y aceleración del movimiento descrito por las curvas siguientes: (a) r (t) = i 4t 2 j + 3t 2 k. (b) r (t)
Más detallesApéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales
Apéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales Juan-Miguel Gracia 10 de febrero de 2008 Índice 2 Determinante wronskiano. Wronskiano de f 1 (t), f 2 (t),..., f n (t). Derivada de un determinante de funciones.
Más detallesUAM CSIC Grupo 911 Febrero Ejercicios Resueltos del Tema Asignatura de Matemáticas Grado en Química
UAM I Grupo 911 Febrero 213 Ejercicios Resueltos del Tema 2.2.6 Asignatura de Matemáticas Grado en Química Lista de ejercicios en estas páginas: 1 7 y 9 12. Nota: Los ejercicios pueden contener errores,
Más detallesFundamentos matemáticos. Tema 5 Derivación de funciones de una y varias variables
Fundamentos matemáticos Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 5 Derivación de funciones de una y varias variables José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La
Más detalles2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones
Métodos Matemáticos (Curso 2013 2014) Grado en Óptica y Optometría 7 2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones Límite de una función en un punto Sea una función f(x) definida en el entorno de un punto
Más detalles3. 2. Pendiente de una recta. Definición 3. 3.
3.. Pendiente de una recta. Definición 3. 3. Se llama Angulo de Inclinación α de una recta L, al que se forma entre el eje en su dirección positiva y la recta L, cuando esta se considera dirigida hacia
Más detallesCapítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados
Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados Sección 3.1.4 1. Dom a = [ 1, 1]. Dom b = R. Dom c = (, 4). Dom d = ( 1, ). Dom e = R ( 1, 3] y Dom f = R {, }. 5x 4 x < 1, (x 1)(3x ) x < 1,. (f + g)(x)
Más detallesResumen de Análisis Matemático IV
Resumen de Análisis Matemático IV 1. Funciones inversas e implícitas y extremos condicionados 1.1. Teorema de la función inversa Teorema de la función inversa: Sea A abierto de R n, f : A R n tal que f
Más detalles1 Funciones de Varias Variables
EJECICIOS DE FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (DISEO) Funciones de Varias Variables. Dada f(x, y) ln ( x + ln(y) ). a) Calcular la derivada direccional en el punto (x, y) (, e 2 ) en la dirección del vector v (3,
Más detalles( ) m normal. UNIDAD III. DERIVACIÓN Y APLICACIONES FÍSICAS Y GEOMÉTRICAS 3.8. Aplicaciones geométricas de la derivada
UNIDAD III. DERIVACIÓN Y APLICACIONES FÍSICAS Y GEOMÉTRICAS 3.8. Aplicaciones geométricas de la derivada Dirección de una curva Dado que la derivada de f (x) se define como la pendiente de la recta tangente
Más detallesTEMA 8. GEOMETRÍA ANALÍTICA.
TEMA 8. GEOMETRÍA ANALÍTICA. 8..- El plano. Definimos el plano euclideo como el conjunto de puntos ( x, y) R. Así, cada punto del plano posee dos coordenadas. Para representar puntos del plano utilizaremos
Más detallesEjercicios: Rectas Paralelas
www.matebrunca.com Prof. Waldo Márquez González Función Lineal 1 Ejercicios: Rectas Paralelas 1. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1,2) y es paralela a la recta 10x + 2y 6 = 0.
Más detallesEsta expresión polinómica puede expresarse como una expresión matricial de la forma; a 11 a 12 a 1n x 1 x 2 q(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n )
Tema 3 Formas cuadráticas. 3.1. Definición y expresión matricial Definición 3.1.1. Una forma cuadrática sobre R es una aplicación q : R n R que a cada vector x = (x 1, x 2,, x n ) R n le hace corresponder
Más detallesDerivada de una función en un punto. Función derivada. Diferencial de una función en un punto. dy = f (x) dx. Derivada de la función inversa
Derivada de una función en un punto Las tres expresiones son equivalentes. En definitiva, la derivada de una función en un punto se obtiene como el límite del cociente incremental: el incremento del valor
Más detalles5. El teorema de los multiplicadores de Lagrange.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 011 1. 5. El teorema de los multiplicadores de Lagrange. gxy= es decir, { } Sea g una función de dos variables suficientemente regular y consideremos la curva C
Más detalles. Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Rosario. Álgebra y Geometría Analítica EL PLANO
. Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Rosario Álgebra y Geometría Analítica EL PLANO Autores: Lic. Martha Fascella Ing. Ricardo F. Sagristá 0 Contenido EL PLANO... 3.- Definición del plano
Más detallesUsamos que f( p) = q y que, por tanto, g( q) = g(f( p)) = h( p) para simplificar esta expresión:
Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Propiedades de las funciones diferenciables. 1. Regla de la cadena Después de la generalización que hemos
Más detallesLección 4. Ecuaciones diferenciales. 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden. Trayectorias ortogonales.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 0.. Ecuaciones diferenciales de primer orden. Traectorias ortogonales. Muchas aplicaciones problemas de la ciencia, la ingeniería la economía se formulan en términos
Más detallesGuía de Estudio Algebra y Trigonometría Para Ciencias Agropecuarias
Guía de Estudio Para Ciencias Agropecuarias Unidad: Geometría Analítica Los siguientes ejercicios están relacionados con los principales temas de Geometría Analítica e involucra todos los conocimientos
Más detallesx-z = 0 x+y+2 = [2012] [EXT-B] Halla el punto simétrico del P(2,1,-5) respecto de la recta r definida por
x = 1+t 1. [014] [EXT-A] Considera los puntos A(1,1,) y B(1,-1,-) y la recta dada por y = t. z = 1 a) Halla la ecuación general del plano que que contiene a r y es paralelo a la recta que pasa por A y
Más detallesEJERCICIO. Dadas las rectas y
EJERCICIO Dadas las rectas x4 y1 z y z 8 r : y s: x1 1 3 se pide: a) Comprueba que las rectas r y s se cruzan. b) Determina la ecuación de la perpendicular común. c) Calcula la distancia entre ambas. Perpendicular
Más detallesRECTAS EN EL ESPACIO. P y un vector v se llama recta al conjunto de. Q del espacio para los cuales se cumple que el vector PQ es paralelo
Dado un punto en el espacio ( x, y, z) puntos ( x, y, z) RECTAS EN E ESPACIO P y un vector v se llama recta al conjunto de Q del espacio para los cuales se cumple que el vector PQ es paralelo al vector
Más detallesLas Funciones Trigonométricas. Sección 5.3 Funciones Trigonométricas de números reales
5 Las Funciones Trigonométricas Sección 5.3 Funciones Trigonométricas de números reales Dominios Se presentan los dominios de las funciones trigonométricas : Campo de valores Para cada θ en el dominio
Más detallesMatemáticas. para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul
Matemáticas para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul Unidad I (Capítulo 16 del texto) Cálculo de Varias Variables 1.1 Funciones de varias variables. 1.2 Derivadas parciales.
Más detallesFunciones de Clase C 1
Capítulo 7 Funciones de Clase C 1 Vamos a considerar ahora la extensión a varias variables del concepto de función de clase C 1. Cada vez que establezcamos una propiedad de las funciones diferenciables,
Más detallesAplicaciones de la integral definida al cálculo de áreas
Aplicaciones de la integral definida al cálculo de áreas 1º) Interpreta geométricamente el área que define la integral y obtenla. Geométricamente, la integral representa el área de la región del plano
Más detallesTerminaremos el capítulo con una breve referencia a la teoría de cardinales.
TEMA 5. CARDINALES 241 Tema 5. Cardinales Terminaremos el capítulo con una breve referencia a la teoría de cardinales. Definición A.5.1. Diremos que el conjunto X tiene el mismo cardinal que el conjunto
Más detallesAplicaciones de la derivada 7
Aplicaciones de la derivada 7 ACTIVIDADES 1. Página 160 a) La pendiente de la recta tangente es 12. b) La pendiente de la recta tangente es 3. 2. Página 160 a) La pendiente de la recta tangente es. b)
Más detallesDiferenciabilidad, Regla de la Cadena y Aplicaciones
Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática Matemática III Guía Nº3 Primer Semestre 015 Diferenciabilidad, Regla de la Cadena y Aplicaciones Problemas Propuestos 1. Sea f : R R
Más detallesColegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas)
Análisis (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Problema 1: Sea la función Determina: a) El dominio de definición. b) Las asíntotas si existen. c) El o los intervalos de
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes del 2010 (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A
Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 6 del 010 [ 5 puntos] Dada la función f : R R definida como f(x)= a.sen(x)+ bx + cx + d, determina los valores de las constantes a, b, c y d sabiendo que la gráfica
Más detalles1 FUNCIONES DE R N EN R.
1 FUNCIONES DE R N EN R. 1. Idea de función. Si A R N, una función f : A R es una regla que asigna a cada punto x A un número f( x ) R. Ejemplos: Si x R 2 podemos considerar la función f( x )=(distancia
Más detalles1.1 El caso particular de las curvas planas.
Chapter 1 Complementos de teoría de curvas 1.1 El caso particular de las curvas planas. Una curva en el espacio cuya torsión se anula está contenida en algún plano. Supongamos que ese plano es el z = 0,
Más detallesApellidos: Nombre: para x 1, determina sus asíntotas. 4. Halla el valor de los parámetros m y n para que la función f sea continua en todo.
EXAMEN DE MATEMÁTICAS CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: C Día: 3- II- 6 CURSO 05-6. Halla el dominio de definición y recorrido de las funciones a) f(x)= 9 b) g(x)= 4. Calcula
Más detallesProblemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás
Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid Resueltos Isaac Musat Hervás 22 de mayo de 213 Capítulo 11 Año 21 11.1. Modelo 21 - Opción A Problema 11.1.1 3 puntos Dada la función: fx
Más detallesTema 9. Funciones de varias variables.
Tema 9. Funciones de varias variables. 9.1 Introducción 9.2 Límite continuidad. 9.3 Derivadas parciales. Derivadas de orden superior. Teorema Schwart. 9.4 Diferencial. 9.5 Regla de la cadena. Derivación
Más detalles5 Continuidad y derivabilidad de funciones reales de varias variables reales.
5 Continuidad y derivabilidad de funciones reales de varias variables reales. 5.1 Funciones reales de varias variables reales. Curvas de nivel. Continuidad. 5.1.1 Introducción al Análisis Matemático. El
Más detallesProblemas Tema 7 Enunciados de problemas ampliación Temas 5 y 6
página 1/13 Problemas Tema 7 Enunciados de problemas ampliación Temas 5 y 6 Hoja 1 1. Dado el segmento de extremos A( 7,3) y B(5,11), halla la ecuación de su mediatriz. 2. Halla la distancia del punto
Más detalles