Asíntotas en una función

Transcripción

1 Asíntotas en una unción Etimológicamente la palabra asíntota, antiguamente llamada asimptota, proviene del griego asumptotos, compuesto de a sun pipto : a= sin ; sun = Juntamente con y pipto: tocar lo que signiica que sumpipto equivale a encontrarse, reunirse y por tanto, el termino viene a signiicar sin encontrarse, sin reunirse sin tocarse. De esta manera en el estudio de las unciones se llama asíntota a una línea recta hacia la que se aproima ininitamente la gráica de la unción, tanto como queramos sin llegar a tocarla. Deinición del concepto de asíntota: Dada una unción y cuya gráica es la curva se dice que la recta b es una asíntota de si la curva se acerca a b indeinidamente sin llegar a coincidir con la propia b. Teniendo en cuenta que una asíntota es, en particular, una recta, vamos a distinguir tres tipos de asíntotas: Asíntotas horizontales Asíntotas verticales Asíntotas oblicuas Asíntotas horizontales Las asíntotas horizontales de una unción son rectas horizontales de la orma y a. Una unción puede tener a lo sumo dos asíntotas horizontales: una por la izquierda (cuando ) y otra por la derecha (cuando ). Se calculan de la siguiente orma: Si a, entonces y a es una asíntota horizontal para (por la izquierda). - Si b, entonces y b es una asíntota horizontal para (por la derecha).

2 Por tanto podemos encontrarnos los siguientes casos: i. Funciones que no tienen asíntotas horizontales Por ejemplo, cumple que los dos límites epuestos anteriormente dan como resultado - y respectivamente. Vemos su gráica: ii. Funciones que tienen una asíntota horizontal que lo es sólo por un lado Como ejemplo tenemos la unción e. En este caso el 0, por lo que y 0 es una asíntota horizontal de - por la izquierda, y, por lo que por la derecha no tenemos asíntota horizontal. Vemos su gráica junto a su asíntota (en azul):

3 iii. Funciones que tienen una asíntota horizontal que lo es por los dos lados Por ejemplo,. En este caso,, por lo que la recta y es asíntota horizontal de tanto por la izquierda como por la derecha. Vemos su gráica junto a su asíntota (en negro): - iv. Funciones que tienen dos asíntotas horizontales distintas Por ejemplo arctan cumple que, por lo que y es asíntota horizontal de por la izquierda y, por lo que y es asíntota horizontal de por la derecha. Veamos su gráica junto a sus dos asíntotas (en negro) en la siguiente imagen: -

4 Son rectas verticales de la orma Asíntotas verticales de una unción k. Son rectas paralelas al eje Y del plano cartesiano. No hay restricciones en cuanto al número de asíntotas verticales que puede tener una unción: hay unciones que no tienen asíntotas verticales, unciones que tienen sólo una, unciones que tienen dos y hasta unciones que tienen ininitas. Se calculan de la siguiente orma: Si, entonces k misma si el límite ha dado Si, entonces k k es asíntota vertical para (por la izquierda de la y por la derecha si el límite ha dado ). k es asíntota vertical para (por la izquierda de la misma si el límite ha dado y por la derecha si el límite ha dado ). Una de las conclusiones que se pueden sacar a partir de estas deducciones es la siguiente: en las asíntotas horizontales planteamos siempre los mismos límites y el resultado es el que nos dice sin eisten o no; sin embargo en las verticales nosotros tenemos que aportar los valores de k para los cuales calcular los límites. Evidentemente debemos aportar puntos para los cuales sea actible la eistencia de asíntota vertical (no es demasiado aconsejable probar con valores al azar). Los valores candidatos a eistencia de asíntota vertical:. Valores que anulan algún denominador de la unción. Por ejemplo, para que analizamos anteriormente tenemos un candidato a asíntota vertical en el punto.. Etremos de intervalos del dominio que no pertenezcan al propio dominio. Por ejemplo, el dominio de ln es el intervalo 0,. Por tanto, 0 es un candidato a asíntota vertical para esta unción. Nota. En términos generales, lo primero que debemos hacer cuando tengamos que calcular las asíntotas de una unción es calcular su dominio (undamental para cualquier cálculo relacionado con la gráica de una unción) e igualar a cero todos los denominadores que aparezcan en la misma para recopilar todos los candidatos.

5 Veamos algunos casos que pueden darse:. Funciones que no tienen asíntotas verticales Por ejemplo sen no tiene asíntotas verticales (su dominio es y no hay denominadores):. Funciones que tienen una asíntota vertical por los dos lados Para este caso tenemos el ejemplo: tiene un candidato a asíntota vertical en (anula el denominador). Si calculamos los límites laterales obtenemos los siguientes resultados:, - - Por lo tanto la recta es una asíntota vertical para por los dos lados. Lo vemos en su gráica (la asíntota es la recta de color negro):

6 . Funciones que tienen una asíntota vertical sólo por un lado e Por ejemplo tiene un candidato a asíntota vertical en 0 (anula los dos denominadores que tiene la unción). Calculamos los límites: 0, 0 0 Por tanto la recta 0 es una asíntota vertical para sólo por el lado derecho de la recta (por el lado por el que el límite correspondiente da ). Vemos la gráica de la unción a la izquierda y a la derecha de 0 Por la izquierda por la derecha La graica general

7 4. Funciones que tienen ininitas asíntotas verticales Hemos comentado antes que una unción puede tener cualquier número de asíntotas verticales. El caso posiblemente más curioso es el de una unción que tenga ininitas asíntotas de este tipo. El ejemplo más conocido es el de la unción trigonométrica tan. La razón es la siguiente: Como tan tenemos que los candidatos a asíntota vertical de esta unción son los valores que anulen el denominador. Por otra parte, la ecuación cos 0 tiene ininitas soluciones, en concreto todos los números de la orma n con. Se puede comprobar de orma sencilla (con los límites anteriores) que tiene una asíntota vertical en cada uno de esos puntos, por lo que tiene ininitas asíntotas verticales. Lo vemos en su gráica (las asíntotas en líneas punteadas en cada número entero): sen cos Asíntotas oblicuas de una unción Son rectas oblicuas, es decir, rectas de la orma y m n. Una unción puede tener, como máimo, dos asíntotas oblicuas distintas (una por la izquierda de su gráica y otra por la derecha de la misma). El cálculo de las mismas se realiza así:

8 Asíntota oblicua por la izquierda m Si m da un resultado distinto de y procedemos con el cálculo - de n de esta orma: n - m Si n da como resultado un número real (es decir, ese límite no vale ni ni ), entonces la recta y m n es una asíntota oblicua para por la izquierda. Asíntota oblicua por la derecha m Si m da un resultado distinto de 0 y prodecemos con el cálculo de n de esta orma: n m - Si n da como resultado un número real (es decir, ese límite no vale ni ni ), entonces la recta y m n es una asíntota oblicua para por la derecha. De ahí que podemos encontrarnos entonces los siguientes casos:. Funciones que no tienen asíntotas oblicuas Por ejemplo, la unción no tiene asíntotas oblicuas ya que al calcular m tanto por la izquierda como por la derecha obtenemos m encontrar con recuencia:. Su gráica es la parábola que solemos

9 . Funciones que tienen una asíntota oblicua por los dos lados Por ejemplo, la unción tiene una única asíntota oblicua, que además lo es por los dos lados. Veamos cuál es eactamente dicha asíntota: m - n - Por tanto la asíntota oblicua por la izquierda es y. Si realizamos los cálculos cuando el resultado es el mismo. Por tanto la recta y es asíntota oblicua de la unción por los dos lados. Lo vemos en la siguiente gráica. Funciones que tienen dos asíntotas oblicuas distintas No es ácil de encontrar una unción de este tipo. Un ejemplo particular es la unción. Esta unción tiene dos asíntotas oblicuas, a saber, la recta y y la

10 recta y - es la propia unción: Pro. Enrique Mateus Nieves. Las vemos en la siguiente gráica en color rojo junto a la gráica de la hipérbola que Veamos ejemplos. Estudie las asíntotas de la unción Asíntotas horizontales: y es una asíntota horizontal (por ambos lados) de Posición de la curva respecto de la asíntota: le damos un valor lo suicientemente elevado 00 y tenemos: 00,05 por lo tanto, por la derecha 00 97, lo que muestra que la curva está por encima de la asíntota. Ahora le damos un valor suicientemente pequeño : ,95 por lo tanto, por la izquierda, la 00 0 curva está por debajo de la asíntota. 99

11 Asíntotas verticales Las unciones racionales pueden tener asíntotas verticales en los valores que anulen a su denominador. Para nuestro caso tenemos 0. Esto nos conduce as que estudiamos los límites laterales en es una asíntota vertical (por ambos lados) de Posición de la curva respecto de la asíntota: queda determinada por los límites laterales

12 Asíntotas oblicuas No tiene por tener asíntotas horizontales por ambos lados, en (en verde) y en y (en ucsia) Ejercicios taller Estudie las asíntotas de las siguientes unciones y y y e

13 Ayuda: algunas gráicas de las unciones propuestas como ejercicios Respuestas:. y Es una asíntota horizontal; tiene dos asíntotas horizontales en (por ambos lados); Asíntotas oblicuas No tiene por tener asíntotas horizontales por ambos lados.. No tiene asíntotas horizontales; es una asíntota vertical de ; y es una asíntota oblicua de por ambos lados 5 4. y ; ; 5. y ; ; 6. y 0 ; 0 ; 7. y 0; ; 8. y,, - ; 9. y ; 5, 0. y 5 ; ;. y ;, 0. y ; - ;. y ; - ; 4. y 4 Bibliograía 4 Haeussler, E. (008). Matemáticas para Administración y Economía. Perason, Decimosegunda edición en español. Meico. ISBN 0: Casteleiro, J. (006). Introducción al análisis matemático I. ESIC. Penadés, M., et al (005). Matemáticas básicas. Univ. Politéc. Valencia. Prado, C. (006). Precálculo. Pearson Educación. Pérez, P. (989). Cálculo ininitesimal. Universidad Politécnica de Valencia. Müller, E., Hecklein, V. (000). Funciones. Universidad Nacional del Litoral. Kuptsov, L. (00), «Asymptote», en Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia o Mathematics (en inglés), Springer, ISBN Frost, P. (98). An elementary treatise on curve tracing (en inglés). 4