y esboza su gráfica, apoyándote en la gráfica de f ( x ) que aparece debajo. 3 log + 1

Transcripción

1 Funciones Límites y continuidad Curso 06/7 Ejercicio puntos 0 Dadas las unciones = e, g = y h ( ) log ( ) =, se pide: Encuentra el dominio de la unción ( g h) Encuentra la unción y esboza su gráica, apoyándote en la gráica de ( ) que aparece debajo La unción ( g h) = g ( h ) ( g h) = log ( ) ( ) R ( ) Dom g h estará ormado por los tales que g h es un número real Para que log sea un número real, > 0 > Para que sea un número real, además de >, se debe cumplir log ( ) 0 log ( ) log = 0 log = = = 7 Entonces ( ) = (, 7 ) ( 7, ) Dom g h = 0 e, como es una unción estrictamente creciente, tiene inversa Busquemos wwwjlmates [] Matemáticas aplicadas a las CCSS I

2 Funciones Límites y continuidad Curso 06/7 0 0 y = e ln y = ln e ln y = = 0 ln y = 0 ln y 0 0 Entonces, la unción inversa de y = e será y = 0 ln, es decir = 0 ln Esbocemos su gráica a partir de la de, deben ser simétricas con respecto de la recta y = Ejercicio puntos Dada la siguiente unción: si < con a si a = ( Z ) Estudia la continuidad de ( ) según los valores del parámetro a es una unción deinida por dos ramas, que son racciones algebraicas Las posibles discontinuidades estarán en los puntos donde se anulen los denominadores y en el punto de enlace de los dos trozos = La primera rama es y = que está deinida en el intervalo (, ) = 0 = Ninguno de esos puntos pertenecen al intervalo,, por tanto, esa rama no presenta discontinuidades wwwjlmates [] Matemáticas aplicadas a las CCSS I

3 Funciones Límites y continuidad Curso 06/7 La segunda rama es y = a que está deinida en el intervalo a = = a a a Como a Z (, ), por tanto, esa rama tampoco presenta discontinuidades a a ( Z) [, ) 0 ( 0) Tenemos que el problema queda reducido a estudiar la continuidad de en el punto = =, ( ) = lim Para que sea continua en se debe cumplir 0 lim = lim = lim lim lim = = = = 0 ( ) = ; lim = a lim = lim = a a lim eiste cuando lim = lim = a = En este caso ( ) = lim y es continua enr a Si a = ( ) R y lim = lim presenta una discontinuidad de tipo ininito en = Si a y a lim = lim = k R, k presenta una discontinuidad de tipo inito en = a Si a = Si a, a ; p ejemplo a = wwwjlmates [] Matemáticas aplicadas a las CCSS I

4 Funciones Límites y continuidad Curso 06/7 Si a = Ejercicio puntos Encuentra la epresión analítica de la unción cuya gráica es la siguiente: Es una unción que está deinida por cuatro ramas, dos parábolas y dos rectas Para encontrar las ecuaciones de las parábolas, necesitamos tres puntos por los que pasen Fijándonos en la gráica de la unción, podemos determinar varios de esos puntos Las ramas parabólicas tendrá una ecuación del tipo y = a b c ; para encontrar los valores de a, b y c necesitamos tres ecuaciones que saldrán de sustituir tres de los puntos, por los que pasa la unción, en la ecuación de la parábola [ ] La primera de las parábolas está deinida en el intervalo, 0 Tomamos los puntos A,0, B, y C 0,0 6a b c = 0 a b = 0 a = Tenemos el sistema a b c = La parábola es y = a b = c 0 = b = wwwjlmates [] Matemáticas aplicadas a las CCSS I

5 Funciones Límites y continuidad Curso 06/7 La segunda de las parábolas está deinida en el intervalo [ 0, ] Tomamos los puntos C ( 0,0 ), D(,) y E (,0) ( los etremos del intervalo pueden valer para cualquiera de las dos ramas) c = 0 a b = a = Tenemos el sistema a b c = La parábola es y = a b = 0 6a b c = 0 b = Para encontrar la ecuación de cada recta podemos proceder del mismo modo, sustituyendo dos puntos por los que pase en la ecuación y = m b y resolviendo el sistema resultante También podemos buscar la pendiente en la gráica y, con un punto, aplicar la órmula de la recta en punto pendiente y y = m 0 0 Como ambas rectas tienen la misma pendiente, será más rápido si usamos esta última órmula La pendiente m es la tangente del ángulo que orma la recta con la horizontal, m = tgα Como la recta es decreciente, esa pendiente será negativa, ( 5) m = y un punto por el que pasa la primera recta es 5, y = la ecuación es y = ( ) ( ) La segunda recta pasa por el punto 5,, con lo que su ecuación será y = 5 y = Entonces la unción será : si < si 0 < = si 0 si > Ejercicio puntos Sea la unción: = 8 si si < Encuentra las asíntotas de ( ) y estudia la posición de la gráica respecto de ellas Estudia la continuidad de la unción ( ) wwwjlmates [5] Matemáticas aplicadas a las CCSS I

6 Funciones Límites y continuidad Curso 06/7 Es una unción que está deinida por dos ramas, buscamos asíntotas en ambas Asíntotas horizontales : si lim = a R la recta y = a es una asíntota horizontal 0 lim lim lim lim = = = = = y = es asíntota horizontal para cuando lim lim lim lim = = = = cuando, no tiene asíntota horizontal 0 0, icua Se cumplirá que lim lim ( m b) Veamos si, cuando tiene asíntota obl m = lim = b = lim m ( ) lim lim lim lim m = = = = = = m = ( ) 8 0 b = lim = lim lim lim lim = = = = = b = 0 La recta y = es asíntota oblicua para cuando 0 Buscamos ahora las asíntotas verticales Si lim la recta = es una asíntota vertical para Como está deinida por racciones algebraicas, debemos buscar asíntotas verticales en los puntos donde se anulen los denominadores = 0 = que es un punto del intervalo,, en el que está deinida esa rama 7 lim = 7 0 lim ; analizamos los límites laterales : = es asíntota vertical para 0 7 lim = 0 = 0 = que son puntos del intervalo [ ) en el que está deinida esa rama = 0,, ( )( ) ( ) 8 8 lim = 0 ( ) ( ) lim ; analizamos los límites laterales : = 0 es asíntota vertical para = lim lim lim = lim 0 0 = en = no hay asíntota vertical para Basándonos en lo analizado anteriormente, podemos determinar que presenta dos discontinuidades de tipo ininito, una en = y otra en = 0 Como no eiste lim = y presenta una discontinuidad evitable en = wwwjlmates [6] Matemáticas aplicadas a las CCSS I

7 Funciones Límites y continuidad Curso 06/7 Nos alta estudiar la continuidad en el punto =, punto de enlace de las dos ramas ( ) ( ) ( ) 8 9 = = = 6 lim = lim = lim = lim no eiste y como los límites laterales no tienden a ininito 8 lim = lim = presenta una discontinuidad de tipo inito en = La gráica de la unción sería : wwwjlmates [7] Matemáticas aplicadas a las CCSS I