UNIDAD III Límites. Límites infinitos. En el límite de una función, cuando x a y resulta que f x crece sin límite, entonces se tendrá: lim

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Álvaro Ángel Palma Cárdenas
hace 6 años
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1 UNIDAD III Límites Límites ininitos En el límite de una unción, cuando a resulta que crece sin límite, entonces se tendrá: lim a Mientras que cuando a resulta que decrece sin límite, entonces se tendrá: lim a Ejemplo: Calcular lim Como es de suponerse, la unción crece o decrece sin límite a medida que se va a aproimando a cero, tanto por la izquierda como por la derecha. Analicemos el comportamiento de la unción a través de los límites laterales. Si se aproima a cero por la izquierda: Ahora, analicemos el límite lateral por la derecha: () () Ahora podemos concluir que la unción decrece sin límite cuando tiende a cero por la izquierda que la unción crece sin límite cuando se aproima a cero por la derecha, su gráica sería:

2 De la igura anterior, qué podemos observar? En el valor donde causa que la unción crezca sin límite eiste una línea vertical llamada asíntota vertical. Asíntota vertical Si o cuando cpor la derecha o por la izquierda, se dice que la recta c es una asíntota vertical de la gráica de Cuando una unción tiene un comportamiento asintótico implica que la unción tiende a acercarse mucho a la asíntota vertical, pero nunca podrá tocar a esa recta. En el caso de las asíntotas verticales solo podemos tener los siguientes casos: que la asíntota esté en el eje o en el eje, además que la unción pueda estar a una potencia par. Veamos las gráicas de las siguientes unciones para entender los posibles comportamientos: Función : () ? Función : ()

3 4 4 Función 3: () Función 4:

4 Con estos ejercicios debería de quedar claro que cuando una unción tiende a ininito, por la izquierda por la derecha a medida que la variable independiente se acerca a un valor especíico, precisamente en ese valor habrá una línea vertical en donde la unción maniestará un comportamiento asintótico, está se estará acercando a la recta pero jamás podrá tocarla. Obtención de las asíntotas verticales de una unción para la cual lim a Ahora, el problema consiste en encontrar los valores de en donde se tiene una asíntota vertical. Gráicamente no representa ningún problema, tampoco para unciones cuo denominador es un binomio mu simple, pero el problema puede incrementarse cuando tenemos polinomios más complejos. El siguiente procedimiento es sólo una recomendación que podría audarle a simpliicar la obtención de los valores de de interés: Sea g una unción racional. Además eiste un intervalo a b h continuas. En ese mismo intervalo se deberá de tener un valor g donde c el cual cumpla lo siguiente: h son g c h c g() c k Con el objetivo de que se tenga, donde k es una constante resultado de la evaluación gc. () La 0 0 asíntota vertical estará ubicada en el valor c Por deducción, estamos buscando los valores de que hagan cero al denominador, pero que no hagan cero al numerador. En caso de que el mismo valor de que hace cero al denominador haga cero al numerador estaremos hablando de límites de la orma 0 0 los cuales a vimos cómo resolver. 0 0

5 Ejemplo: Obtener las asíntotas verticales de Paso. Determinamos el valor (o los valores) que anulen al denominador: 0 Paso. Determinar si los valores encontrados no anulan al numerador. Para esto evaluamos al numerador en, Como el numerador es dierente de cero, entonces, eectivamente eisten dos asíntotas en, Paso 3. Comprobación de las asíntotas. Para cada uno de los valores, determinamos el limite por la izquierda por la derecha veamos si tienden a ininito: Límite por la derecha Para () Para () Límite por la izquierda Para () Para () Con lo cual comprobamos que eectivamente, en en eiste una asíntota. La gráica de la unción es:

6 Ejercicio: Determinar todas las asíntotas verticales de la unción 8 4 Ejercicio: Determinar todas las asíntotas verticales de la unción 3

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