CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen Final. 3 de Julio de 2001 Primera parte

Transcripción

1 ÁLULO Primer curso de ngeniero de Telecomunicación Examen Final. de Julio de Primera parte Ejercicio. Se considera la función definida por la determinación principal del arco tangente, es decir f (x) = arctan (x), tal que π/ < f (x) <π/.. Obtener el polinomio de Taylor de grado de f en x =,P (x), y el correspondiente resto R (x).. Aproximar el valor de arctan (.) mediante P (.), obteniendo una cota del error cometido.. Obtener la serie de MacLaurin (serie de Taylor en x =)def y encontrar su radio de convergencia. Explicar si puede utilizarse dicha serie para calcular un valor aproximado de arctan (.). 4. Obtener una aproximación de arctan (.) resolviendo la ecuación tan (t) =. por el método de Newton, realizando las iteraciones necesarias para que se repitan las tres primeras cifras decimales. Solución.. El teorema de Taylor asegura que si f es diferenciable con continuidad n veces en [a, b] yexistef (n+) en (a, b), dadosx, x (a, b), existe c entre x y x tal que: nx f(x) = k! f (k) (x )(x x ) k + (n +)! f (n+) (c)(x x ) n+. k= Las derivadas sucesivas de f(x) = arctan (x) son f (x) = +x, f (x) = x ( + x ), f (x) = (+x ) +x ( + x )4x ( + x ) 4 = (+x )+8x ( + x ) = 6x ( + x ). Los valores de las derivadas sucesivas de f en x =son f () = π/4, f () = /, f () = /. Aplicando el teorema de Taylor para n =, x =, tenemos que P (x) = π 4 + (x ) 4 (x ), R (x) = (6c ) 6 ( + c ) (x ),

2 donde c está entre y x.. El valor aproximado de arctan (.) es P (.).89. El error que se comete al aproximar con P (.) es el valor absoluto del resto R (.). Sabemos que c., luego acotamos dicho error mediante Ã! R (.) 6(.) (.) = < 4.. La serie de MacLaurin de f (x) es +x = x + x 4 +( ) k x k +, donde x <. ntegrando término a término, obtenemos arctan (x) =x x + x +( )k x k+ k El radio de convergencia es R =ylaserie está definida en [, ] porque en los puntos terminales del intervalo obtenemos series alternadas convergentes. 4. Aplicamos el método de Newton alaecuacióntan (t) =., equivalente a g(t) =,parag(t) =tan(t).. A partir del punto t = π/4, la iteración t n+ := t n g (t n) g (t n ) = t n tan (t n)., sec (t n ) donde n, nos proporciona las siguientes soluciones aproximadas: t =.8986, t =.89877, t = , t 4 = Entonces, la aproximación de arctan (.), obtenida con el método de Newton, es

3 Ejercicio. Un sólido se genera haciendo girar la región acotada por y =e y = 9 x alrededor del eje y. Seperforaunorificio cilíndrico circular de radio r, centrado en el eje de revolución.. Obtener el volumen del sólido resultante.. Obtener el área lateral total A de dicho sólido (se consideran las superficies laterales interior y exterior, pero no la base). Determinar los valores de r en los que A alcanza sus valores extremos. Solución.. Usando el método de las capas, el volumen pedido es vol = π x 9 x dx =π 9 x / = π /. r r p Usando el método de los discos para las funciones g (y) =r y g (y) = 9 y, y teniendo en cuenta que la altura del orificio de radio r es, el volumen pedido es 9 r vol = π = π 9 y r 9 dy = π r y y / = π /. 9 r / 9 r. El área lateral interior A de la superficie generada por g (y) =r es A =π 9 r rdy=πr. p El área lateral exterior A de la superficie generada por g (y) = 9 y es 9 r A =π g q+(g ) dy. alculamos à +(g) =+ y p 9 y! =+ y 9 y = 9 9 y, por lo que g q+ g =, y el área lateral exterior es 9 r A =π dy =6π.

4 Entonces, el área lateral total es A (r) =A + A =π (r +), r. La condición necesaria para los extremos locales es µ r A (r) =π (r +)+ µ r (r +)+9 r =π µ r r +9 =π =. Resolvemos la ecuación r +r 9=, obteniendo r = ± = ± 9 4 = ½ /,. Por tanto, el único extremo local en el interior del intervalo [, ] es r =/ y el valor del área lateral total en dicho extremo es µ r A =π 9 9 µ r µ =π = 7 π. 4 En los puntos terminales del intervalo, el área lateral total es A () = 8π y A () =. Dado que 8π < 7 π 4 < 6 < 7, concluimos que en r =el área lateral total tiene un mínimo absoluto yenr =/ tiene un máximo absoluto. 4

5 ÁLULO Primer curso de ngeniero de Telecomunicación Examen Final. de Julio de Segunda parte Ejercicio. alcular el flujo de salida del campo vectorial F (x, y, z) = (x ), (y +), (z ), atravésdelasuperficie cerrada S = (x, y, z) R : x x + y +y + z z = ª. Solución. ompletando cuadrados en la ecuación de S, obtenemos: =x x+y +y +z z =(x ) +(y +) +(z ). Por tanto, la ecuación de la superficie es (x ) +(y +) +(z ) =. El teorema de la divergencia de Gauss afirma que el flujo de salida de F a través de S coincide con la integral triple de la divergencia de F, es decir F nds = div (F ) dx dy dz, S V donde V es la esfera con centro en el punto (,, ) yradio. Para calcular la integral triple, usaremos coordenadas esféricas (r, θ, Φ) con centro en (,, ). Las ecuaciones del cambio de coordenadas son x =+rsen θ cos Φ, y = +rsen θ sen Φ, z =+rcos θ, donde r, θ π, Φ π, y el determinante jacobiano es (x, y, z) (r, θ, Φ) = r sen θ. Dado que div (F )=(x ) +(y +) +(z ) =r, el flujo de salida de F atravésdes es π π div (F ) dx dy dz = r r sen θdrdθdφ V µ π Ã =(π) sen θdθ r =6π [ cos θ] π =π = 8 π.! r 4 dr

6 Ejercicio 4. alcular directamente y usando el teorema de Green la integral de línea x + y dx +(x + y) dy, donde es el contorno del triángulo con vértices en los puntos (, ), (, ) y (, ) recorrido en sentido positivo. Solución. En primer lugar, calculamos directamente la integral de línea Pdx+ Qdy = Pdx+ Qdy+ Pdx+ Qdy+ Pdx+ Qdy, donde es el segmento que une los puntos (, ) y (, ), es el segmento que une los puntos (, ) y (, ), y es el segmento que une los puntos (, ) y (, ). La recta que contiene a es y = x, la que contiene a es y = (x ), es decir y =4 x, siendo x = la recta que contiene a. Parametrizamos con (x, y) =(t, t), t, el segmento con (x, y) =(4 t, t), t, y con (x, y) =(, t), t. A continuación, calculamos las tres integrales de línea Pdx+ Qdy = t + t +(t) t dt = 8t dt =8 = 6. Pdx+ Qdy = (4 t) + t ( ) + 4 dt = ( ) 6 8t +t +6 dt = 4t +6t 6 dt =( 4) t 4t +4 dt " # =( 4) (t ) (t ) dt =( 4) = 4. " # Pdx+ Qdy = (4 t) (4 t) ( ) dt = = 8 64 = 6. Por tanto, tenemos que Pdx+ Qdy = 4. 6

7 El teorema de Green asegura que Pdx+ Qdy = D (Q x P y ) dx dy. Dado que Q x P y =(x + y) 4y =x y, tenemos que calcular = (x y) dx dy, D donde D = {(x, y) R : x, x y 4 x}. Entonces, = = 4 x x (x y) dy dx = xy y 4 x dx x (4 x) (4 x) x + x dx = 4x +6x 6 dx =( 4) x 4x +4 dx " # =( 4) (x ) (x ) dx =( 4) " # =( 4) ( ) = 4. x 7