ANÁLISIS MATEMÁTICO II - Grupo Ciencias 2017 Práctica 5 - Polinomio de Taylor. Extremos de funciones de varias variables

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1 ANÁLISIS MATEMÁTIO II - Grupo iencias 07 Práctica 5 - Polinomio de Taylor. Extremos de funciones de varias variables A. Polinomio de Taylor. Hallar el polinomio de Taylor de segundo orden para las siguientes funciones en los puntos indicados, (a) f (x; y) = sen (xy) en (0; 0) (b) g (x; y; z) = ze xy en (0; 0; ). Utilizar la fórmula de Taylor para desarrollar xy + x y en potencias de x e y. 3. Estimar el error cometido al reemplazar cos x cos y por x y para jxj ; jyj 6. B. Extremos locales. Hallar y clasi car los puntos críticos de las siguientes funciones en todo su dominio. (a) f (x; y) = y x x y + 3 (b) f (x; y) = 4e x sen (3y) (c) f (x; y) = x + 4y + xy (d) f (x; y) = ln y ln x y + x. Sea f 3 R, demostrar que si f xx + f yy = 0, 8 (x; y) R y (x 0 ; y 0 ) es tal que f xx (x 0 ; y 0 ) 6= 0 entonces (x 0 ; y 0 ) no es extremo local. 3. Dada f (x; y) = e y x + a (x y) + b (x ) (y ), determinar los valores reales que deben tomar a y b para que f alcance un mínimo relativo en el punto (; ). 4. onsiderar g (x; y) = x y. (a) Encontrar los puntos críticos de g (x; y). (b) Se puede usar el criterio de las derivadas segundas para clasi car los puntos críticos? (c) lasi car los puntos críticos encontrados.. Extremos absolutos. Encontrar los valores máximo y mínimo absolutos de f (x; y) = +xy x y en la región del plano acotada por la parábola y = x y la recta y = 4.. Para cada una de las siguientes funciones encontrar los puntos donde alcanza los valores extremos absolutos en el conjunto indicado y determinar esos valores. (a) f (x; y) = x + 3y + 4x 5 A = (x; y) R : x + y = 6 (b) h (x; y; z) = x y + z B = (x; y; z) R 3 : x + y + z (c) r (u; v; w) = u + v + 4w = (u; v; w) R 3 : u + v =, u v + w = 3. Encontrar el valor mínimo absoluto de f (x; y) = x + (y ) para los puntos (x; y) R tales que x + y (a) Probar que el mayor producto de tres números positivos cuya suma tiene un valor jo M se obtiene cuando los tres números son iguales. (b) Utilizar el resultado del inciso anterior para demostrar que la media geométrica de tres números positivos no es mayor que su media aritmética, es decir, 3p xyz x + y + z 3 para todo x 0; y 0; z Intentar encontrar los extremos absolutos de f (x; y; z) = xy + yz entre los puntos que satisfacen la ecuación xz =.

2 6. Encontrar las distancias máxima y mínima entre la esfera de ecuación (x 5) + y + z = 49 y el punto (; ; 6). 7. onsiderar la función del ejercicio B.4. (a) Tiene exremos absolutos esa función? (b) Encontrar los extremos absolutos de la función para los puntos (x; y) que se encuentran en la región determinada por 3x + 6y. 8. onsiderar la función f (x; y) = x + y y la circunferencia : x + y =. (a) Dibujar en el plano le circunferencia y las curvas de nivel =; ; 3=; de f (x; y).estimar a partir del dibujo los valores máximo y mínimo de f sobre. (b) Encontrar los valores extremos absolutos de f (x; y) sobre. D. Situaciones problemáticas. En la gura se presenta la grá ca de la curva y = (x ) 3. (a) onsiderar la función f (x; y) = x + y y trazar en el mismo grá co 8 curvas de nivel de la función comenzando por c 0 = 0 y con f = 0:5. (b) Según el inciso anterior, cuál es el menor valor que alcanza f (x; y) sobre la curva? en qué punto (x 0 ; y 0 ) se alcanza? (c) Si se considera g (x; y) = y (x ) 3 y (x 0 ; y 0 ) el punto del inciso anterior, entonces el sistema 8 f x (x 0 ; y 0 ) = g x (x 0 ; y 0 ) >< f y (x 0 ; y 0 ) = g y (x 0 ; y 0 ) >: g (x 0 ; y 0 ) = 0 se resuelve para = : : : : : : : : : : : :.. onsiderar f (x; y) = x + y y la curva : y = + x. (a) Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar los puntos candidatos a extremos de f (x; y) sobre. (b) En los puntos hallados f alcanza extremos absolutos? Por qué? (c) Gra car la curva junto con 4 curvas de nivel de f (x; y) comenzando por c 0 = y con f = 0:5. (d) Según el inciso anterior, existen valores extremos absolutos de f (x; y) sobre? (e) Intentar resolver el problema reduciendo la cantidad de variables. 3. uáles deben ser las dimensiones de una caja rectangular (sin tapa) de volumen igual a 56cm 3 si se quiere utilizar la menor cantidad de material posible para su confección?

3 ANÁLISIS MATEMÁTIO II - Grupo iencias 07 Práctica 7 - Integrales dobles y triples A. Integrales dobles. alcular las siguientes integrales, (a) (d). alcular Z Z x 0 0 x dydx ye xy da [ ;][0;] (b) (e) Z Z cos y 0 0 x sen y dxdy ln [(x + ) (y + )] da [0;][0;] 4x y da donde R es el cuadrilátero de vértices (; ) (; 6), (; ) y (; 7). R (c) Z Z jxj jxj y dydx 3. Para calcular las siguientes integrales es necesario cambiar el orden de integración. Hacer un grá co de la región de integración y luego cambiar la descripción de tipo I a tipo II o viceversa según corresponda, (a) Z Z 0 y e x dxdy (b) Z Z 0 p x sen y y dydx 4. alcular el volumen de los siguientes sólidos, (a) El sólido debajo de la grá ca de f (x; y) = x + y sobre el rectángulo [; ] [; 3]. (b) El sólido formado por los puntos del primer octante debajo del plano x + y + z = 3 y por encima del plano z =. (c) El sólido Q de la gura. Figura Figura 5. onsiderar D como la región encerrada por las curvas x = y y x = y. (a) alcular el área de D. (b) alcular el valor promedio de f (x; y) = xy sobre D. (c) Encontrar P D que veri que el Teorema del valor medio para integrales. 6. Sea D el disco unitario (centrado en el origen). Evaluar las siguientes integrales. (a) e x +y da (b) x + y n da, n N D D 7. alcular el área de una elipse con semiejes a; b > 0 utilizando coordenadas polares. 8. alcular f (x; y) da en los siguientes casos. B (a) f (x; y) = x y B la región interior a la circunferencia dada por (x ) + (y 3) =.

4 (b) f (x; y) = x + y y B la región del primer cuadrante limitada por los anillos centrados en el origen y de radio y p. (c) f (x; y) = 6x y B es la región sombreada en la gura. 9. alcular el volumen del sólido comprendido entre las super cies dadas por x + y = 4, z = 0 y x + y + z = Sea D = (x; y) R : jxj + jyj. Evaluar (x + y) 46 da mediante el cambio de variables x = u + v, y = u v. D. alcular y sen (xy) da donde R es la región comprendida entre las curvas dadas por xy =, xy = 4, y =, y = 4. R B. Integrales triples Z. Sea W la región limitada por y = x, x = 0, y + z = y z = 0. alcular W x dv según las proyecciones indicadas. Solido W (a) Usando dzdxdy (b) Usando dxdydz. Encontrar el volumen del sólido en cada caso, (a) El sólido que se encuentra en el primer octante encerrado por las super cies dadas por y = y z = 9 x. (b) El sólido comprendido entre los paraboloides determinados por z = x + y y z = 8 x y. (c) El sólido interior a la esfera x + y + z =, entre los conos dados por x + z = y y x + z = 3y. (d) El sólido interior al cilindro y a la esfera como se muestra en la gura alcular la tercera coordenada del centro de masa del sólido de la gura 4 (suponer que la densidad es constante). Z 4. alcular ( z) dv siendo T el sólido del ejercicio b. T Figura 3 Figura 4

5 ANÁLISIS MATEMÁTIO II - Grupo iencias 07 Práctica 8 - Integrales de trayectoria y de línea A. Integrales de trayectoria. Evaluar R f (x; y; z) ds en cada uno de los siguientes casos, (a) f (x; y; z) = x + y + z siendo :! r (t) = (sen t; cos t; t) con t [0; ] (b) f (x; y; z) = yz siendo : segmento recto desde (0; ; ) hasta (; 4; 0). Se quiere pintar ambos lados de la pared del cilindro cuya base es la circunferencia x + y = 4 y cuya altura en cada punto está dada por la función f (x; y) = y + 4, como se muestra en la gura. alcular el área a pintar. Figura 3. Mostrar que la integral de f (x; y) a lo largo de una curva dada en coordenadas polares por r = r () con [ ; ] es Z f (x; y) ds = Z f (r () cos ; r () sen ) q r () + (r 0 ()) d. 4. Dada una constante a > 0, calcular la masa de un alambre de forma x + y = a con densidad de masa = a + y. 5. alcular las integrales indicadas, (a) f (x; y) = x (b) Su longitud (c) f (x; y; z) = z sobre 3 vueltas 6. alcular el valor promedio de f (x; y; z) = yz a lo largo de la hélice! r (t) = cos t! i + sen t! j + t! k para 0 t 4.

6 B. Integrales de línea. aclular el trabajo realizado por el campo de fuerzas! F (x; y) = y! i + x! j al mover una partícula a lo largo de cada una de las siguientes curvas,. Evaluar cada una de las siguientes integrales, I (a) ydz donde T es el triángulo de vértices (; 0; 0), (0; ; 0) y (0; 0; ) (en ese orden). T I!!! (b) F Tds donde F (x; y) = y ; x y es la frontera de la región plana descripta por 0 x y 0 y x recorrida I en sentido antihorario.! (c) F d!! r donde F (x; y; z) = (x; x; z) y es la curva intersección entre el cilindro y + z = y el plano z = x recorrida en sentido horario visto desde el semieje x positivo. Z! (d) F d! r siendo 3 la curva del ejercicio B. y! F un campo vectorial que siempre es paralelo al eje y y cuya 3 longitud en cada punto es proporcional a la distancia al origen.. Ejercicios complementarios. alcular las siguientes integrales, Z (a) zdx + xdy + ydz sobre el arco de hélice x = cos t, y = sen t, z = t con 0 t. Z (b) e x yds siendo la semicircunferencia x + y = con y 0. Z! (c) F d!!! r siendo F (x; y; z) = x k sobre la intersección entre el plano y + x = y el cilindro z = 4 x desde el punto (; 0; 0) al punto (0; ; 4) según se muestra en la gura. Figura. alcular la longitud del tramo de la hélice parabólica! r (t) = t cos t! i + t sen t! j + p 3 t3! k para t. 3. alcular la masa de un alambre plano con forma! r (t) = (sen (t) t cos (t) ; cos (t) + t sen (t)) para 0 t cuya densidad de masa puntual es proporcional a la distancia al origen.

7 ANÁLISIS MATEMÁTIO II - Grupo iencias 07 - Segundo cuatrimestre Práctica 9 ampos conservativos - Teorema de Green A. ampos conservativos Recordemos algunas definiciones y propiedades. Teorema: Sea A un conjunto abierto en R n y F : A R n un campo vectorial de clase en A. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: Para todo camino cerrado en A se verifica que r = 0. La integral de línea de F es independiente del camino, es decir, cualesquiera sean las curvas y en A con los mismos puntos inicial y final se verifica que r = r. F es un campo gradiente, es decir, existe una función escalar f : A R con derivadas parciales continuas tal que F (x) = f(x) para todo x A. Si el campo F verifica alguna de estas afirmaciones, en cuyo caso las verifica todas, se dice que es un campo conservativo (en A). La función escalar f se llama función potencial. Observemos que la propiedad de ser conservativo está asociada siempre a una región. uando no se especifica la misma, se sobreentiende que el campo es conservativo en el dominio natural del mismo. Recordemos que, denotando al operador que calcula las derivadas parciales, es decir, := xĭ + y j + z k, podemos calcular (formalmente) el operador divergencia y el rotor (en R 3 ) de un campo como div F = F y rot F = F, respectivamente. on esa notación, podemos escribir la condición necesaria para ser un campo conservativo: Teorema: Sea A un conjunto abierto en R n y F : A R n un campo vectorial de clase en A. Si F es un campo conservativo en A, entonces verifica que o, lo que es lo mismo (en R 3 ), rot F = 0. F i x j (x) = F j x i (x), x A, i < j n, Los campos con rotor nulo (irrotacionales) en un abierto A suelen llamarse localmente conservativos. laramente, un campo que no tenga rotor nulo no puede ser conservativo. Sin embargo, existen campos localmente conservativos que no son conservativos en un abierto cualquiera (ver, por ejemplo, el ejercicio 6). La condición se convierte en suficiente en una clase especial de abiertos, llamados simplemente conexos. Un conjunto abierto y conexo se llama simplemente conexo cuando todo camino cerrado en el dominio puede deformarse de forma continua hasta convertirse en un punto del dominio sin salirse de él. Teorema: Sea A un conjunto abierto en R n y F : A R n un campo vectorial de clase localmente conservativo en A. Sea D A simplemente conexo. Entonces F es conservativo en D. Observaciones: Observen que pedir que el rotor sea nulo es lo mismo que comprobar que la matriz jacobiana del campo sea simétrica. onocer la función potencial permite calcular la integral de línea usando una forma asimilable a la fórmula de Barrow para el caso de una variable: si F = f, entonces si es una curva a trozos que comienza en el punto A y termina en el punto B, r = f(b) f(a). uando un campo es conservativo y no se conoce la función potencial, se puede reemplazar su integral sobre una curva dada por cualquier otra curva dentro del dominio que comience y termine en los mismos puntos, que puede ser más simple de integrar.

8 En R, con quitar un solo punto a un abierto ya deja de ser simplemente conexo. Por eso suele decirse que un simplemente conexo en el plano es un conjunto sin agujeros. Por ejemplo, R \ {(0, 0)} no es simplemente conexo. En cambio en R 3, quitar puntos no altera la condición de ser simplemente conexo; por ejemplo R 3 \ {(0, 0, 0)} es simplemente conexo. También podría quitarse una porción de curva, como el caso R 3 \ {(x,, ); x }; en cambio R 3 sin todo el eje z ya no es simplemente conexo pues, por ejemplo, la circunferencia x + y = ; z = 0 no puede deformarse en un punto sin pasar por algún punto de la forma (0, 0, z). Otro ejemplo: consideremos la esfera S dada por x + y + z < 4. El dominio S \ {(0, 0, 0)} es simplemente conexo; al igual que S \ {(0, 0, z); z }, mientras que S \ {(0, 0, z); < z < } no es simplemente conexo. En conclusión, cuando un campo es en un dominio A (no simplemente conexo) y tiene rotor nulo, será conservativo en cualquier simplemente conexo contenido en A. Puede haber casos en los que encontremos diferentes funciones potenciales (asociados a subdominios simplemente conexos contenidos en A), pero que el campo no resulte conservativo en todo A. omo ejemplo, vean el ejercicio 6. Sin embargo, ( un campo podría ser ) conservativo en un dominio que no sea simplemente conexo. Por ejemplo, el campo x F (x, y) = (x + y ), y (x + y ) es de clase en R \ {(0, 0)}, que no es simplemente conexo, y es conservativo en todo su dominio, ya que ( (x + y ) ) = F (x, y). Observación general para la ejercitación de esta práctica Los ejercicios marcados con * son leves modificaciones de los ejercicios de la práctica del primer cuatrimestre, o ejercicios nuevos. Los restantes son los mismos del cuatrimestre anterior. Ejercitación. Mostrar que F (x, y) = y cos (x) i + x sen (y) j no es un campo vectorial gradiente.. Encontrar, en el caso que sea posible, la familia de funciones potenciales. Si no, demostrar que no existe tal función. (a) F (x, y) = ( x + y ) i + xy j (b) G (x, y, z) = xy i + x j + xz k 3. * Dado el campo F (x, y, z) = ( xy, x + z, yz + z ), (a) demostrar que es conservativo y calcular la familia de funciones potenciales. (b) alcular B A F d r, donde A = (,, 3) y B = (, 8, 0). 4. alcular F d r en los siguientes casos, (a) ( ) F (x, y, z) = + x + y + 3z siendo el segmento de (,, ) a (,, 3). (b) F (x, y) = (e x sen (y), e x cos (y)) sobre el tramo de la parábola y = x con x [, ]. 5. Es la integral (y + x) dx + (x 3y) dy + (x 3y) dz independiente del camino? Por qué? 6. * Sean s (x, y) = y i + x j y G (x, y) = s / s. (a) uál es el dominio donde G es de clase? Es simplemente conexo? (b) Mostrar que el campo vectorial G no es conservativo en todo su dominio. Para ello, calcular la integral del campo sobre la circunferencia x + y =. ( y (c) Mostrar que f (x, y) = arctan es una función potencial de x) G en todo el plano salvo el eje y. Hay alguna contradicción con el inciso anterior? (d) Buscar ahora una función potencial que esté definida en todo el plano salvo el eje x. (e) Utilizando adecuadamente los incisos anteriores, calcular r en los siguientes casos:. es el tramo de parábola x = y con y.. es el tramo de parábola y = x + /4 con / x /.

9 7. * onsideremos los puntos del plano B = (, 0), A = (, ), O = (0, 0), D = (, ), E = (, 0) y F = (, ). Llamemos XY al segmento orientado que une el punto X con el punto Y. Si es un campo conservativo en el plano y sabemos que AOF F d r = 3, OF F d r = y AB F d r = 5, calcular el trabajo realizado por la fuerza a lo largo de los siguientes caminos: AODEF F EDO BOEF F AODEB F DOBAF B. Rotor y divergencia de campos vectoriales Sean F, G : R 3 R 3 y f, g : R 3 R funciones con derivadas parciales de segundo orden continuas. Probar las siguientes identidades (las dos primeras son básicas y las usarán a menudo). ( (a) rot ( f) = 0 (b) div ) F = 0. Teorema de Green ( (c) f ) F = f ( F + f ) F ( F ) ( (e) G = ) F G ( F ) G ( (d) f ) F = f F + f F (f) ( f g) = 0 El Teorema de Green relaciona la integral de línea a lo largo de una curva cerrada en el plano con una integral doble sobre la región encerrada por. Recordemos el resultado y hagamos algunas observaciones y generalizaciones. Teorema de Green: Sea D una región acotada del plano de tipo 3 y sea su frontera, orientada positivamente y a trozos. Sean P y Q dos funciones definidas sobre un abierto que contiene a D de clase. Entonces D ( Q x P y ) dx dy = P dx + Q dy Observaciones: El sentido positivo de recorrido de la curva cerrada es aquel que deja la región a la izquierda cuando se la recoore. Para una curva cerrada simple, el sentido positivo de recorrido se corresponde con el antihorario. Algunas veces se escribe + para indicar que la curva está recorrida en sentido antihorario (o positivo), y para indicar el sentido horario (o negativo). También pueden encontrar la versión vectorial del Teorema de Green: escribiendo F = P ĭ + Q j, ( ) F k dx dy = F d r. D El Teorema es válido en regiones del plano con agujeros, que no son de tipo 3. Para demostrarlo en este caso, se subdivide la región en dos (o más) regiones de tipo 3, introduciendo curvas auxiliares; se aplica el Teorema en cada una de ellas y luego se suman los resultados. Las integrales sobre los bordes auxiliares se cancelan entre sí porque aparecen recorridos en los dos sentidos. Finalmente, queda la curva exterior recorrida en sentido antihorario, y la (o las) curva(s) interior(es) recorridas en sentido horario. La razón de considerar dominios con agujeros es porque se supone que en esos agujeros el campo tiene algún tipo de singularidad. on frecuencia un agujero está producido por un punto en el que el campo se hace infinito. Por ejemplo el campo (, x)/(x + y ) tiene una singularidad en (0, 0), por lo que no puede utilizarse el teorema de Green en ninguna región que lo contenga. Pero sí puede aplicarse, por ejemplo, en la región < x + y < 4. El Teorema de Green puede utilizarse para calcular áreas de regiones planas mediante una integral de línea de su frontera, con cualquier campo que cumpla rot F =. Por ejemplo, si P = y y Q = 0, se tiene que Q x P y = y, por lo tanto área(d) = da = y dx. D D Desde ya puede utilizarse cualquier campo F con rotor igual a, gerenándose así diferentes fórmulas para calcular el área de figuras planas mediante integrales de línea. 3

10 Ejercitación Si un ejercicio pide comprobar el Teorema de Green, deberán comprobar las hipótesis y calcular las dos integrales. Si un ejercicio pide calcular una integral usando el Teorema de Green, se espera el cálculo de la otra integral involucrada en el Teorema. Si no se especifica la manera, depende del integrando y de la región cuál integral es la que conviene calcular.. * Sean P (u, v) = vu y Q (u, v) = uv. omprobar el Teorema de Green sobre el anillo R = { (u, v) R : u + v 4 } (es decir, comprobar las hipótesis y calcular las dos integrales).. alcular + P dx + Qdy en los siguientes casos, (a) P = x y, Q = xy, = R, con R = { (x, y) R : x <, y < }. (b) P = x, Q = x + y, = R, donde R es la región comprendida entre x = 3 y 3y = 4x. 3. alcular el área encerrada por cada una de las siguientes curvas utilizando integrales de línea. 4. Sea el borde de un rectángulo de altura h y base b. Mostrar que la integral la ubicación del rectángulo en el plano. ( x y + x ) dy + xy dx no depende de 5. * Sean y dos curvas cerradas simples que no se cortan entre sí, con en el interior de. Sea Ω la región encerrada por ellas. Sea D un abierto tal que Ω D, y consideremos un campo F = P ĭ + Q j de clase (D). Demostrar que el Teorema de Green es válido en Ω, es decir, (Q x P y ) dx dy = P dx + Q dy 6. * onsiderar el campo G (x, y) = Ω + P dx + Q dy. ( ) y x + y, x x + y del ejercicio 6 de la Parte A. (a) alcular Q x P y. (b) onsiderar el disco unitario D. Por qué no puede aplicarse el Teorema de Green en este caso? (c) En el Ejercicio 6 calcularon D G d r. onsideren ahora una curva simple cerrada contenida en D.. uánto vale G d r si no encierra al origen?. uánto vale G d r si encierra al origen? (Sugerencia: considerar la región que tiene como frontera a y a D y aplicar el Teorema de Green). 7. Encontrar todas las circunferencias para las cuales se satisface la siguiente igualdad + 5ydx + 7xdy = 4π. 8. onsiderar F (x, y) = (3y + e y cos (x)) i + (x + e y sen (x)) j. (a) alcular r siendo la frontera del semicírculo x + y π 4 (b) alcular r siendo la semicircunferencia x + y = π 4 con y 0 recorrida en sentido antihorario. en el semiplano superior. 4

11 Para entregar (martes 8) Elegir un ejercicio de función potencial (de la Parte A) y uno de aplicación de Teorema de Green (de la Parte B) En cada caso, indicar y (comprobar) las hipótesis que garantizan los resultados que utilicen. Además, los ejercicios 6 de las Partes A y B. 5

12 ANÁLISIS MATEMÁTIO II - Grupo iencias 07 - segundo cuatrimestre Práctica 0 - Integrales sobre superficies. Flujos A. Superficies en el espacio. Identificar las siguientes superficies y encontrar un vector unitario normal a la superficie en los puntos en que exista. (a) x = cos u, y = senu, z = v con 0 u π, 0 v (b) x = v cos u, y = vsenu, z = v con 0 u π, 0 v (c) x = v cos u, y = vsenu, z = v con 0 u π, 0 < v. La siguiente es una parametrización del hiperboloide de una hoja, x = a cos u cosh v π < u π y = bsenu cosh v v R z = csenhv a, b, c R son constantes (a) Encontrar una ecuación cartesiana que describa esta superficie. (b) Esbozar su gráfico. 3. Parametrizar las porciones de superficies indicadas. (a) La porción del primer octante de la esfera centrada en el origen de radio 3. (b) El triángulo de vértices (0, 0, 3/), (0, 3/, 0) y (, 0, 0). (c) La porción del plano 3x + y + z = 3 en el interior del cilindro x + y = 4. (d) La porción del paraboloide z = 4 x y interior al cilindro x + y = 4. (e) La porción del cilindro x + y = 5 comprendido entre los planos z = x y z = x Dada una esfera de radio con centro en el origen, hallar la ecuación para el plano tangente a la esfera en el punto (,, ) considerando la parametrización dada por Φ (θ, φ) = ( cos θsenφ, senθsenφ, cos φ), con θ [0, π] y φ [0, π]. B. Integrales de superficie de funciones escalares. alcular el área de la porción de superficie de la esfera unitaria contenida dentro de,. Evaluar en cada caso f (x, y, z) ds. S (a) El cono x + y = z para z 0 (b) El cilindro x + y = (a) f (x, y, z) = z y S es la semiesfera superior x + y + z = 9. (b) f (x, y, z) = + 4x + 4y y S es la porción del paraboloide z = 4 x y sobre el rectángulo [0, ] [, 3]. (c) f (x, y, z) = xyz y S está formada por las cuatro caras del tetraedro delimitado por z = 0, y = 0, x = 0 y x + y + z =. 3. Una superficie S tiene la forma de una porción de cilindro parabólico z = 4 x como se muestra en la figura. alcular su masa considerando que la densidad en cada punto está dada por ρ (x, y, z) = z + x 4x +.

13 . Integrales de superficie de campos vectoriales. Sea F (x, y, z) = x i + xy j + (z + ) k. alcular S S en cada caso. (a) S es la superficie del ejercicio A.3c orientada con el normal hacia abajo. (b) S es la superficie del ejercicio B.b orientada con el normal exterior. (c) S es la porción del plano x + y = en el interior del cilindro y + z = orientada con el normal apuntando hacia el origen.. Sea S la superficie determinada por la semiesfera x + y + z = con z 0 y su base x + y con z = 0. alcular el flujo saliente del campo E (x, y, z) = (x, y, ) a través de S. 3. Sea F (x, y, z) = y j (medido en metros por segundo) el campo de velocidades de un fluído. alcular cuántos metros cúbicos de fluído atraviesan por segundo la superficie x + z = y con 0 y, en la dirección en que y crece. 4. Sin hacer cuentas indicar en cada caso si el flujo S S es nulo o no. 5. hequear las respuestas anteriores haciendo las cuentas según el siguiente detalle, (a) F (x, y, z) = j + k a través de la esfera x + y + z =. (b) G (x, y, z) = y k a través del rectángulo z = 0, x, y. (c) H (x, y, z) = ( x, y, z) a través del cilindro y + z = con x. (d) L (x, y, z) = (y, x, 0) a través del cono x + y = z con z.