Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería División de Ciencias Básicas Coordinación de Matemáticas Cálculo Vectorial

Transcripción

1 Semestre: 16- Nombre: Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería División de Ciencias Básicas Coordinación de Matemáticas Cálculo Vectorial Primer Examen Final Colegiado Tipo A Duración máxima: horas No. de cuenta: 1. Mediante multiplicadores de Lagrange dimensionar una lata cilíndrica con tapa que debe contener 1 litro de agua, tal que la cantidad de lámina requerida para su elaboración sea mínima. PUNTOS. Sea la transformación u a x y T : v x y b w x c y a) Calcular los valores de a, b y c, tal que la transformación sea ortogonal. b) Empleando la transformación T, obtener el vector gradiente F función F ( u, v, w) u v w de la. Calcular el trabajo efectuado por el campo de fueras expresado por (,, ) ( F x y yi x e ) j (1 ye ) k sobre una partícula que se desplaa desde el punto A ( 1, 1, ) hasta el punto B( 1, 1, ) a lo largo del segmento de recta que los une. PUNTOS

2 1EFA16-4. La posición medida en metros de una partícula con respecto al tiempo está determinada por la función vectorial r ( t ) ( cos t, sent ), donde t está medido en segundos. La partícula comiena a moverse en t segundos. a) Calcular la distancia recorrida moverse. segundos después de que empeó a b) Obtener las coordenadas de la posición de la partícula después de que recorrió metros, medidos desde que comenó a moverse. c) Determinar la aceleración normal en t. 5. Calcular el área de la porción del plano que se muestra en la figura empleando una integral doble. 6. Calcular el flujo neto del campo vectorial F( x, y, ) ( y ) i ( x) j + ( ) k a través de la región D en el primer octante limitada por los planos coordenados y por las superficies x y y 4

3 Semestre: 16- Nombre: Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería División de Ciencias Básicas Coordinación de Matemáticas Cálculo Vectorial Primer Examen Final Colegiado Tipo B Duración máxima: horas No. de cuenta: 1. Mediante multiplicadores de Lagrange dimensionar una lata cilíndrica con tapa que debe contener litros de agua, tal que la cantidad de lámina requerida para su elaboración sea mínima. PUNTOS. Sea la transformación u x y a T : v x b y w c x y c) Calcular los valores de a, b y c, tal que la transformación sea ortogonal. d) Empleando la transformación T, obtener el vector gradiente F función F ( u, v, w) u v w de la. Calcular el trabajo efectuado por el campo de fueras expresado por (,, ) ( F x y yi x e ) j (1 ye ) k sobre una partícula que se desplaa desde el punto A ( 1, 1, ) hasta el punto B ( 1, 1, ) a lo largo del segmento de recta que los une. PUNTOS

4 1EFB16-4. La posición medida en metros de una partícula con respecto al tiempo está determinada por la función vectorial r ( t ) ( 4cos t, 4 sent ), donde t está medido en segundos. La partícula comiena a moverse en t segundos. d) Calcular la distancia recorrida moverse. segundos después de que empeó a e) Obtener las coordenadas de la posición de la partícula después de que recorrió metros, medidos desde que comenó a moverse. f) Determinar la aceleración normal en t. 5. Calcular el área de la porción del plano que se muestra en la figura empleando una integral doble. 6. Calcular el flujo neto del campo vectorial F( x, y, ) ( y ) i ( x) j + ( ) k a través de la región D en el primer octante limitada por los planos coordenados y por las superficies x y y 4

5 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería División de Ciencias Básicas Coordinación de Matemáticas Cálculo Vectorial Primer Examen Final Colegiado Tipo C Semestre: 16- Duración máxima: horas Nombre: No. de cuenta: 1. Determinar los valores extremos de la función x y 1. f ( x, y) x y sujetos a la restricción. Una partícula se mueve desde el punto A (1,-1,1) para t = s, con una velocidad dada por Determinar en t = 1 s : v( t) [( t) i ( t) j ( t) k] m / s a) Las coordenadas del punto P donde se encuentra la partícula. b) Los vectores aceleración tangencial y normal de la partícula. c) La curvatura de la trayectoria descrita por la partícula. PUNTOS. Determinar la divergencia y el rotacional del campo F( r,, ) ( r cos ) e ( r sen ) e ( ) e r expresado en coordenadas cilíndricas circulares 1EFCCV16-

6 4. Sean el campo R( x, y, ) ( x, y, ) Calcular c y la curva x y C : 1 R x dr desde A(1,, 1) hasta (, 1, 1) B. 1 C 5. Calcular la circulación del campo F( x, y, ) ( sen x y ) i ( x ) j ( sen x y) k a lo largo de una vuelta a la curva C x y : 9 PUNTOS 6. Calcular el flujo neto del campo vectorial F( x, y, ) ( y ) i ( x ) j ( ) k a través de la región D en el primer octante limitada por los planos coordenados y por las superficies x y y 9 4.

7 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería División de Ciencias Básicas Coordinación de Matemáticas Cálculo Vectorial Primer Examen Final Colegiado Tipo D Semestre: 16- Nombre: Duración máxima: horas No. de cuenta: 1. Determinar los valores extremos de la función restricción x y 1. f ( x, y) x y sujetos a la. Una partícula se mueve desde el punto A ( - 1, 1, 1) para t = s, con una velocidad dada por Determinar en t = 1 s : v( t) [( t) i ( t) j ( t) k] m / s d) Las coordenadas del punto P donde se encuentra la partícula. e) Los vectores aceleración tangencial y normal de la partícula. f) La curvatura de la trayectoria descrita por la partícula. PUNTOS. Determinar la divergencia y el rotacional del campo F( r,, ) ( r cos ) e ( r sen ) e ( ) e expresado en coordenadas cilíndricas circulares r 1EFDCV16-

8 4. Sean el campo R( x, y, ) ( x, y, ) Calcular c y la curva x y C : R x dr desde A(1,, 1) hasta (, 1, 1) B PUNTOS C 5. Calcular la circulación del campo F( x, y, ) ( sen x y ) i ( x ) j ( sen x y) k a lo largo de una vuelta a la curva C x y : 4 PUNTOS 6. Calcular el flujo neto del campo vectorial F( x, y, ) ( y ) i ( x ) j ( ) k a través de la región D en el primer octante limitada por los planos coordenados y por las superficies x y y 9 4.

9 Semestre: Sea la figura UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS CÁLCULO VECTORIAL SOLUCIÓN PRIMER EXAMEN FINAL TIPO A f ( r, h) r rh función objetivo g( r, h) r h 1 cm función restricción entonces l r h r rh r h (,, ) ( 1) r h l ( r, h, ) 4 r h hr r r h rh lh( r, h, ) r r ( r) r rh1 l ( r, h, ) r h r, h ( )( ) 1 de donde r y h. Sean a) u ( a,,) u v a b a 1 v (, 1, b) u w a c b w (, c, 1) v w 4 c b c b) u (1,,) v (, 1, ) h h h w (,, 1) u v w F F F c) F( u, v, w) eu ev ew 6u eu 6vev 6 w u v w 1 e w

10 . Si xf F es conservativo F y x e 1 ye x y ( x, y, ) xy c ( y, ) ( x, y, ) xy ye c ( x, ) ( x, y, ) y e 1 x ( x, y, ) y ye k w (1,1,) ( 1,1,) ( k) k w unidades de trabajo 4. a) Si u( t) ( sent,cos t) t s dt m b) dt t t s r( ) (,) c) a( t) ( cos t, sent) u( ) (,) a( ) (, 1) u a a a (, ) m / s t N 5. A( s) ds donde 4 x y s A da da (s) x y R R xy A( s) da, A( s) A( R ) A( s) 6u R xy xy xy

11 6. Sea la figura F 6 6r d dr d 1r dr d 4d 1 unidades de flujo y x

12 Semestre: Sea la figura UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS CÁLCULO VECTORIAL SOLUCIÓN PRIMER EXAMEN FINAL TIPO B f ( r, h) r rh función objetivo g( r, h) r h cm función restricción entonces l r h r rh r h (,, ) ( ) l ( r, h, ) 4 r h hr r r h rh lh( r, h, ) r r ( r) r rh l r h r h (,, ) ( )( ) de donde r y h. Sean a) u (1,, a) u v b a a v (, b,) u w c 4 a b 1 w (c,, 1) v w c b c b) u (1,,) v (, 1, ) h h h w (,, 1) u v w 1 F F F c) F( u, v, w) eu ev ew 6u eu 6vev 6 w u v w e w

13 . Si xf F es conservativo F y ( x, y, ) xy c1 ( y, ) x x e ( x, y, ) xy ye 1 ye ( x, y, ) y e ( x, y, ) xy ye k w (1,1,) ( 1,1,) ( k) ( k) w 4 unidades de trabajo 4. a) Si u( t) ( 4 sent,4cos t) t s 4dt m b) 4dt 4t t s r( ) (,4) c) a( t) ( 4cos t, 4 sent) u( ) ( 4,) a( ) (, 4) u a a a (, 4) m / s t N

14 5. A( s) ds donde 1 x y s A da da (s) x y s R A( s) da, A( s) A( Rxy) A( s) u R xy xy 6. Sea la figura F 4 4r d dr d 8r dr d 16d 8 unidades de flujo

15 Semestre: 16- Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería División de Ciencias Básicas Coordinación de Matemáticas Cálculo Vectorial Solución Primer Examen Final Tipo C 1. Sea g(x, y) x y 1 y f ( x, y) x y f ( x, y) ( x,4 y) y g( x, y) ( x, y) si f g ( x,4 y) ( x, y) de donde x x si 1 si x y 4y y y 1 x y 1 x 1 P (1,) P ( 1,) P (,1) P (, 1) los valores de f son : 1 4 f (1,) 1 f (,1) máximo valor de la función es f ( 1, ) 1 f (, 1) mínimo valor de la función es 1. 1 a) R(t) v( t) dt ( t c1 ) i ( t c) j ( t c) k En t R() (1, 1,1) c 1, c 1 c 1 por lo que 1 R(t) ( t 1) i ( t 1) j ( t 1) k Para t 1 R(1) i k P (,, ) 1 b) a( t) i j k En t 1 a T a v (,,1) (,,1) (,,1) (,,1) u a (,,1) y a (,,) T N c) k puesto que la trayectoria es una línea recta

16 . Sea la divergencia 1 ( ( cos ) ( ) ( ) F r r sen r r r 1 F ( r cos r cos r ) cos 1 r El rotacional e re e r 1 1 xf ( r sen r sen ) e r r r r cos r sen xf ( sen ) e 4. Sea x cos t dx sent dt c : y sent t, dy cost dt 1 d i j k Rx F cos t sent 1 dt ( cos t) i ( sent) j k dt sen x cost C c Rxd r i cos t dt j sent dt k dt Por lo que Rxdr i j k

17 5. Sea i j k xf ( x) i ( ) k x y sen x y x sen xy El vector normal al circulo S limitado por C es K : F dr ( xf) K ds ds 9 ds 9 A( S) 81 C S S S 6. Flujo neto de F Por el teorema de Divergencia: S F n ds F F n ds div F dv ; div F F 6Z En coordenadas cilídricas circulares: D ( r,, ) 4, r, ( / ) 6( ) S Flujo de F 4 r 4 rdr 4 4 r d dr D 1r 1 (9) dr r(16) dr 6 r ddrd 18 unidades de flujo

18 Semestre: 16- Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería División de Ciencias Básicas Coordinación de Matemáticas Cálculo Vectorial Solución Primer Examen Final Tipo D 1. Si f (x, y) (4 x, y) y g( x, y) ( x, y) Si f ( x, y) y g( x, y) (4 x, y) si f g ( x,4 y) ( x, y) de donde x 4x si 1 si x 1 y y y 1 y x y 1 x P (1,) P ( 1,) P (,1) P (, 1) los valores de f son : 1 4 f(1, ) f(,1) 1 máximo valor de la función es f ( 1, ) f (, 1) 1 mínimo valor de la función es 1. 1 a) R(t) v( t) dt ( t c1 ) i ( t c) j ( t c) k En t R() ( 1,1,1) c 1, c 1 c 1 por lo que 1 Para t 1 R(1) i k P (,, ) R(t) ( t 1) i ( t 1) j ( t 1) k 1 b) a( t) i j k En t 1 a T a v (,,1) (,,1) (,,1) (,,1) u a (,,1) y a (,,) T N c) k puesto que la trayectoria es una línea recta

19 . Sea la divergencia 1 ( ( cos ) ( ) ( ) F r r sen r r r 1 F ( r cos r cos r ) cos 1 r El rotacional e re e r 1 1 xf ( r sen r sen ) e r r r r cos r sen xf ( sen ) e 4. Sea x cos t dx sent dt c : y sent t, dy cost dt d i j k RxF cost sent dt ( cos t) i ( sent) j k dt sen x cost C c Rxd r i cos t dt j sent dt k dt Por lo que Rxdr i j k

20 5. Sea i j k xf ( x) i ( ) k x y sen x y x sen xy El vector normal al circulo S limitado por C es K : F dr ( xf) K ds ds 4 ds 4 A( S) 16 C S S S 6. Flujo neto de F Por el teorema de Divergencia: S F n ds F F n ds div F dv ; div F F 6Z En coordenadas cilídricas circulares: D ( r,, ) 4, r, ( / ) 6( ) S Flujo de F 4 r 4 rdr 4 4 r d dr D 1r 1 (9) dr r(16) dr 6 r ddrd 18 unidades de flujo