CÁLCULO VECTORIAL SEMESTRE

Transcripción

1 SERIE # CÁLCULO VECTORIAL SEMESTRE 009-

2 SEMESTRE: 009- Página ) Sea la superficie de ecuación z = f x, y y su naturaleza. función ( ) z = x y x y, obtener los puntos críticos de la P ( 0,0 ) máximo relativo, P (, ) punto silla, P (, ) punto silla, 4 (, ) silla, P5 (, ) punto silla. P punto ) Sea z = x x y + y + x y +, obtener los puntos críticos de la función z = f x, y y la naturaleza de los mismos. ( ) P 0, mínimo relativo, P, punto silla, P (, ) punto silla. ) Determinar los puntos máximos y mínimos relativos, así como los puntos silla de la función f ( x, y )= x + y + x y 8. P ( ) punto silla, P ( ) mínimo relativo, P ( ) máximo relativo, P ( ) 0,0 punto silla. 0,, 0 4, 4) Determinar los valores extremos de la función z = x + y - x + y. Un mínimo relativo igual a cero en ( ) 0,0 valor 8 z =. 7 P y un máximo relativo en P 4, de 5) Determinar los puntos donde la función f ( x, y ) = cos hx + sen hy tiene valores máximos, mínimos o puntos silla. La función no tiene puntos críticos.

3 SEMESTRE: 009- Página 6) Obtener los puntos críticos de la función z = y + x y x y + 6 y determinar la naturaleza de cada uno de los puntos obtenidos. P ( ) máximo relativo, P ( ) mínimo relativo, P ( ) punto silla, P ( ) 0,0 punto silla. 0, 4, 4, 7) Calcular los valores extremos de la función (, ) x + y 4. f x y x + y +x - y - = en la región Los valores extremos son: f ( -,) = mínimo y f (,- ) = 8.65 máximo. 8) La ecuación cartesiana de la superficie S es x + y + z + = 0. Determinar el punto de S más próximo al origen. Hacer uso del método de la segunda derivada para el análisis de valores extremos. El punto ( 0,0, ) es el mas cercano (distancia mínima) al origen. 9) Dada la función z = x + xy + 5x + y, determinar sus puntos críticos y la naturaleza de cada uno de ellos. P ( 0,0 ) mínimo relativo, P P4 (, ) punto silla. 5, 0 máximo relativo, P (, ) punto silla, 0) Determinar, si existen valores extremos para la función La función no tiene valores extremos. z = (x -) - y.

4 SEMESTRE: 009- Página 4 ) Se desea construir una ventana de área máxima como la mostrada en la figura. Utilizar el método de la segunda derivada para calcular las dimensiones de dicha ventana si su perímetro debe medir 0 m x =, y = 4 + π 4 + π ) Determinar los valores extremos de la función f(x, y)= x + y + 5 en la región cerrada R del plano XY limitada por las gráficas de y = f presenta 4 máximos absolutos, en: f(-, 5) = 9 f(, 5) = 9 f(-,- 5) = 9 f(,- 5) = 9 y un mínimo, relativo y absoluto en PC ( 0, 0 ) = 5 5, y = - 5 y x - y = 4. ) Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para determinar las coordenadas de los vértices de la hipérbola representada por la ecuación xy = 4. Nota: La hipérbola tiene su centro en el origen. V (,) y V (, ).

5 SEMESTRE: 009- Página 5 4) Aplicar el análisis de la variación de una función para establecer las ecuaciones de las rectas sobre las cuales se localizan los ejes de la elipse de ecuación 5x +8xy+5y = 9. Sugerencia : Tomar en cuenta que la elipse tiene su centro en el origen. y = x, y = x. 5) Calcular la distancia mínima entre el punto A (,-, ) y la superficie de ecuación z = x + y. Distancia mínima de unidades. 6) Sea la función f ( x, y ) = x + xy + 4y con la restricción ( ) obtener los máximos y mínimos. g x, y = x y = 5 y = 5 5 7) Determinar las coordenadas del punto de la superficie z = xy+ que esta mas cerca del origen. P ( 0, 0, ) 8) Determinar los máximos y mínimos, tanto absolutos como relativos, de la función f ( x, y ) = 4 x y en la región ( ) {, 5 } R = x y x + y. f presenta mínimos absolutos sobre todos los puntos de la frontera.

6 SEMESTRE: 009- Página 6 m abs = f (0,0) = máximos realativo y absoluto. 9) Una partícula se mueve en el espacio a lo largo de la curva: Determinar las cotas máxima y mínima que alcanzara dicha partícula. x + y = 8 C : x + y + z = 0 Cota máxima en (,, 7 ), cota mínima en (,, ). 0) El paraboloide z = x + y es cortado por el plano z = 4 + x + y. Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para calcular el punto de la curva de intersección entre el paraboloide y el plano que esté mas alejado del origen. P (,, 8 ) ) Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para obtener los valores extremos de la función z = x + y, sujeta a la restricción cos x - y - 5 = 0. f ( 0, 4) = 6 ) Se desea construir un envase de lámina en forma de cilindro recto con tapa, que tenga un volumen de litros. Si el m de lámina cuesta $ Cuáles deben ser las dimensiones del envase para que su costo sea mínimo?. r =, h = π π ) Determinar las dimensiones del radio r y de la altura h del cilindro que puede ser inscrito en una esfera de radio R, de tal modo que su superficie total sea máxima.

7 SEMESTRE: 009- Página 7 R r =, h = R 4) Calcular el área de la región del plano XY limitada por la elipse de ecuación 5 x 4 x y + 5 y 88 = 0. (Sugerencia: el área de una elipse con semiejes, a y b es igual a π ab ; determinar el valor de las constantes a y b con el método de los multiplicadores de Lagrange). A = π u 5) Se tiene que diseñar un campo deportivo que esté formado por un rectángulo con dos semicírculos en sus extremos. La parte rectangular debe tener un área de 5000 m, y el campo debe estar rodeado por una barda. Cuáles deberán ser las dimensiones del patio de modo que la longitud de la barda que se necesita sea mínima?. x = 50 π, y = 00 π 6) Si la suma de tres números positivos a, b, c es S, cuáles son sus valores si la raíz cúbica de su producto debe ser máxima? a = S, b = S, c = S.

8 SEMESTRE: 009- Página 8 7) En un aeropuerto se desea tender un cable eléctrico desde un contacto en el piso, localizado en el punto A (,,0 ), hasta un anuncio luminoso montado sobre una superficie plana inclinada de ecuación x = y - z +. Calcular: a) La longitud mínima de cable que se puede unir al plano con el contacto. b) Las coordenadas del punto sobre el plano mas cercano al contacto. a).06 unidades de longitud 5 4 b) P,, 8) Un arco metálico cuya configuración geométrica esta representada por las ecuaciones y - x = 0 x + y + 4z 7 = 0 T x, y, z = x y z + 0. Determinar los puntos donde el esta en un medio con temperatura ( ) arco tiene mayor temperatura. Puntos mas calientes Puntos mas fríos,,,, y y,,.,,. 9) Calcular el valor de los extremos absolutos de la función ( ) definida sobre la región R = ( x, y ) x + y 4; y 0.. { } Mínimo absoluto igual a 4 en (,0 ) y en ( ) Máximo absoluto igual a en ( 0, )., 0. f x, y = y + y x

9 SEMESTRE: 009- Página 9 0) Determinar los valores máximos y mínimos de la función f x, y = y + x 4x y + 4 en una región del dominio de f limitado por las líneas ( ) x = 4, y =, x y =. Mínimo absoluto igual a en (,0 ). Máximo absoluto igual a 7 en ( 4, ). ) Determinar los valores extremos de la función (, ) definida por R = ( x, y ) x + 4y 4. { } El valor extremo de la función (, ) f x y y x f x y y x = sobre la región R = es 6 y se obtiene en cuatro puntos diferentes los cuales se concluye son máximos absolutos. Mínimos absolutos sobre los ejes coordenados: m=0 ) Calcular el valor máximo de la función z = xy en el círculo x + y. La función z tiene un valor máximo absoluto igual, en los puntos, y ) Una placa semicircular esta definida por la región R = x, y x + y ; y 0; x, y { ( ) } La temperatura T, en grados centígrados, en cualquier punto P ( x, y ) de la placa, está dada por T ( x, y ) = x + y y. Calcular las coordenadas de los puntos mas fríos y mas calientes de dicha placa. El punto mas frío es 0, más calientes con C. con 0.5 C y los puntos (,0) y (,0) son los

10 SEMESTRE: 009- Página 0 4) Determinar el máximo absoluto y el mínimo absoluto de la función f ( x, y ) = x x + y cuyo dominio se restringe a Df = { ( x, y ) x + y ; x, y }. El máximo absoluto es 9 4 y se presenta en los puntos, mínimo absoluto es y se presenta en el punto, 0 4. y, y el 5) Para la función ( ) naturaleza de cada uno de ellos. f x, y = x ang tan( y), obtener sus puntos críticos y determinar la A 0, 0 f presenta un punto silla. En ( ) 6) Determinar los valores extremos de la función f ( x, y ) = xy en la región R = ( x, y ) x + y a, para f ( x, y ) > 0. { } a a Máximos absolutos en A, a a y B, y su valor es a. 7) Se desea construir un ducto desde el punto P, hasta el punto S, los costos por cada Km de ducto son: de k en el tramo PQ, k en el tramo QR, y de k en el tramo RS. Determinar las dimensiones de X y Y para que el costo del ducto sea mínimo.

11 SEMESTRE: 009- Página X = y Y = 8) Calcular los valores extremos de la función por ( ) {, 0 } D = x y x + y + y. z = x + y + cuyo dominio esta dado f ( o, o) = : mínimo relativo y abs. f (0, ) = 5 : máximo absoluto.