1. Funciones de más de una variable

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1 Universidad de Pamplona Facultad de iencias Básicas Departamento de matemáticas Ejercicios propuestos álculo Multivariable 1. Funciones de más de una variable 1. Encuentre el dominio de las siguientes funciones y dibújelos como una región en el plano: a) f(x, y) = x + y x y b) f(x, y) = xy x 2 y 2 c) f(x, y) = 4x 2 + 9y d) f(x, y) = x2 y 2 e) f(x, y) = ln(1 + xy) f ) f(x, y, z) = exyz xyz 2. Dibuje, en la misma gráca, cinco curvas de nivel de las siguientes funciones: a) f(x, y) = x y b) f(x, y) = x2 y y c) f(x, y) = x 2 + y 2 d) f(x, y) = xe y 1 e) f(x, y) = y x2 3. Las siguientes guras son dos conjuntos de curvas de nivel. Unas son curvas de nivel de un cono y las otras son curvas de nivel de un paraboloide. En ambas guras vienen representadas las curvas de nivel para los mismos valores constantes. ¾uál es cuál y por qué? 4. Describa las supercies de nivel de las siguientes funciones: a) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 b) f(x, y, z) = x + 2y + 3z c) f(x, y, z) = x 2 + y 2 d) f(x, y, z) = x2 + y 2 z 2 1

2 e) f(x, y, z) = x + y + z 5. e elabora una caja rectangular sin tapa con costo de material de $10. El material para el fondo cuesta $0,15 por pie cuadrado y el material para los lados cuesta $0,30 por pie cuadrado. a) Obtenga un modelo matemático que exprese el volumen de la caja como una función de las dimensiones del fondo. Determine el dominio de la función. b) ¾uál es el volumen de la caja si el fondo es un cuadrado cuyo lado mide 3 pies? 6. Un sólido rectangular del primer octante, con tres caras en los ejes coordenados, tiene un vértice en el origen y el vértice opuesto en el punto (x, y, z) en el plano x + 3y + 2z = 6. a) Obtenga un modelo matemático que exprese el volumen del sólido como una función de las dimensiones de la base. Determine el volumen de la función. b) ¾uál es el volumen si la base es un cuadrado de lado 1,25 unidades? 7. El potencial eléctrico en un punto (x, y) es V (x, y) volts y V (x, y) = 7. Dibuje las curvas equipo- 25 x2 y2 tenciales de V para 16, 12, 8 y uponga que f es la función de producción de cierto artículo, donde f(x, y) unidades se producen cuando se emplean x máquinas y y horas-persona están disponibles. i f(x, y) = 6xy, dibuje un mapa de contornos de f que muestre las curvas de producción constante para 30, 24, 18, 12 y El potencial eléctrico en un punto (x, y, z) del espacio tridimensional es V (x, y, z) volts, donde V (x, y, z) = 8 16x2 + 4y 2 + z 2. Las supercies de nivel de V se llaman supercies equipotenciales. Describa estas supercies para 4, 2, 1 y Límites y continuidad 1. Evalúe los siguientes límites o explique por qué no existen x 2 + y 2 a) lím (x,y) (0,0) y b) lím (x,y) (0,0) x x 2 + y 2 x 2 (y 1) 2 c) lím (x,y) (0,1) x 2 + (y 1) 2 x 2 + y 2 d) lím (x,y) (0,0) y sin(xy) e) lím (x,y) (0,0) x 2 + y 2 f ) x 2 y 2 lím (x,y) (3,3) x y 2. Determine el conjunto de puntos en los cuales la función es continua: a) f(x, y) = sin(xy) e x y 2 b) f(x, y) = arctan(x + y) c) f(x, y) = ln(x 2 + y 2 4) d) f(x, y) = x + y + z x 2 y 3 e) f(x, y) = 2x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0) 1 si (x, y) = (0, 0) 2

3 f ) f(x, y) = g) f(x, y) = { xy x 2 + xy + y 2 si (x, y) (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) x 3 + y 3 x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0) 1 si (x, y) = (0, 0) { xy si (x, y) (0, 0) h) f(x, y) = x + y 0 si (x, y) = (0, 0) sin(x + y) si x + y 0 i) f(x, y) = x + y 1 si x + y = 0 3. Derivadas parciales 1. Encuentre todas las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones en el punto dado: a) f(x, y, z) = x 3 y 4 z 5, (0, 1, 1) ( y ) b) f(x, y) = tan 1, ( 1, 1) x c) f(x, y) = sin(x ( π ) y), 3, 4 d) f(x, y) = 1, ( 3, 4) x2 + y2 e) f(x, y, z) = x y ln z, (e, 2, e) f ) f(x, y, z, w) = x y2, (3, 1, 1, 2) z + w2 2. alcule f x (0, 0) y f y (0, 0) (si existen) de las siguientes funciones: 2x 3 y 3 a) f(x, y) = x 2 + 3y 2 si (x, y) (0, 0) 0 x 2 2y 2 si x y b) f(x, y) = x y 0 si x = y x 2 xy si (x, y) (0, 0) c) f(x, y) = x + y 0 si (x, y) = (0, 0) 3. alcule f xy (0, 0) y f yx (0, 0) (si existe) de las siguientes funciones 2xy a) f(x, y) = x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0) b) f(x, y) = 4. ea f(x, y) = 0 si (x, y) = (0, 0) ( y ) ( ) x x 2 tan 1 y 2 tan 1 si xy 0 x y 0 si xy = 0 2xy(x 2 y 2 ) x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) alcule f x (x, y), f y (x, y), f xy (x, y) y f yx (x, y) para (x, y) (0, 0). Adicionalmente, calcule estas derivadas en (0, 0). Observe que f xy (0, 0) f yx (0, 0) y explique por qué este resultado no es contradictorio. 5. La temperatura en un punto (x, y) en una plancha de metal plana está denida por T (x, y) = 60/(1 + x 2 + y 2 ), donde T se mide en y x, y en metros. alcule la razón de cambio de la temperatura con respecto a la distancia en el punto (2, 1) en la dirección de x y luego en la dirección de y. 3

4 6. El factor de enfriamiento W es la temperatura que se percibe cuando la temperatura real es T y la velocidad del viento es v, de modo que W = f(t, v). uponga que el factor de enfriamiento se modela mediante la función W = 13,12 + 0,6215T 11,37v 0,16 + 0,3965T v 0,16 donde T es la temperatura (en ) y v es la velocidad del viento (en km/h). uando T = 15 y v = 30 km/h, ¾cuánto esperaría con certeza usted que cayera el factor W si la temperatura real disminuye 1? ¾Y si la velocidad del viento se incrementa 1 km/h? 7. i V dólares es el valor actual de una anualidad ordinaria de pagos iguales de $100 por año para t años a una tasa de interés de 100i porciento anual, entonces [ ] 1 (1 + i) t V = 100 i a) alcule la tasa de variación instantánea de V por unidad de variación de i si t permanece ja en 8. b) Utilice el resultado del inciso a) para calcular la variación aproximada del valor actual si la tasa de interés varía de 6 a 7 porciento y el tiempo permanece jo en 8 años. c) Determine la tasa de variación instantánea de V por unidad de variación de t si i permanece ja en 0,06. d) Utilice el resultado del inciso c) para calcular la variación aproximada del valor actual si el tiempo disminuye de 8 a 7 años y la tasa de interés permanece ja en 6 porciento. 4. Regla de la cadena 1. i z = f(x, y), donde x = 2s + 3t y y = 3s 2t, encuentre 2 z s 2, 2 z s t y 2 z t i x = t sin s y y = t cos s, encuentre 3. Encuentre 2 f(x, y). s t 3 f(2x + 3y, xy) en términos de las derivadas parciales de la función f. x y2 4. Mediante un diagrama de árbol, escriba la regla de la cadena para el caso dado. a) u = f(x, y), donde x = x(r, s, t), y = y(r, s, t). b) R = f(x, y, z, t), donde x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w), t = t(u, v, w). c) t = f(u, v, w), donde u = u(p, q, r, s), v = v(p, q, r, s), w = w(p, q, r, s). 5. alcule dy/dx mediante derivación implícita. a) xy = 1 + x 2 y b) y 5 + x 2 y 3 = 1 + ye x c) cos(x y) = xe y d) sin x + cos y = sin x cos y 6. alcule z/ x y z/ y mediante derivación implícita. a) xyz = cos(x + y + z) b) x z = tan 1 (yz) c) yz = ln(x + z) 7. La producción de trigo en un año dado, W, depende de la temperatura promedio T y de la precipitación pluvial anual R. Los cientícos estiman que la temperatura promedio se eleva a razón de 0,15 /año, y que la precipitación está disminuyendo a razón de 0,1 cm/ao. También estiman que, a niveles de producción anuales, W/ T = 2 y W/ R = 8. a) ¾uál es el signicado de los signos de estas derivadas parciales? b) Estime la razón de cambio actual de la producción de trigo, dw/dt. 4

5 8. e introduce agua en un tanque que tiene forma de cilindro circular recto a una tasa de 4 5 π m3 /min. El tanque se ensancha de modo que, aun cuando conserva su forma cilíndrica, su radio se incrementa a una tasa de 0,2 cm/min. ¾Qué tan rápido sube la supercie del agua cuando el radio es de 2m y el volumen del agua en el tanque es de 20πm 3? 9. Una pared de retención forma un ángulo de 2 3π rad con el suelo. Una escalera de 20 pies de longitud está recargada contra la pared a una tasa de 3 pies/s. ¾Qué tan rápido varía el parea del triángulo formado por la escalera, la pared y el piso cuand ola escalera forma un ángulo de 1 6π rad con el suelo? 5. Derivadas direccionales y gradientes 1. En los ejercicios siguientes, encuentre la tasa de cambio de la función dada en el punto dado y en la dirección especicada. a) f(x, y) = 3x 4y en (0, 2) en la dirección del vector 2i. b) f(x, y) = x 2 y en ( 1, 1) en la dirección del vector i + 2j. c) f(x, y) = x en (0, 0) en la dirección del vector i j. 1 + y d) f(x, y) = x 2 + y 2 en (1, 2) en la dirección que forma un ángulo positivo de 60 con el semieje positivo x. 2. ¾En qué direcciones en el punto (2, 0) la función f(x, y) tiene una tasa de cambo de 1? ¾Existen direcciones cuya tasa de cambio sea de 3? ¾Y de 2? 3. ¾En qué direcciones en el punto (a, b, c) la función f(x, y, z) = x 2 + y 2 z 2 incrementa a la mitad de su tasa máxima en dicho punto? 4. La temperatura de una placa en cada punto del plano xy está dada por T (x, y) = x 2 2y 2. a) ¾En qué dirección debe moverse una hormiga que se encuentra en la posición (2, 1) si desea bajar su temperatura lo más rápido posible? b) i la hormiga se mueve en dicha dirección a una velocidad k (unidades de distancia por unidad de tiempo), ¾a qué tasa la hormiga siente la bajada de temperatura? c) ¾A qué tasa siente la hormiga la bajada de temperatura si se mueve de (2, 1) a una velocidad k en la dirección del vector i 2j? 5. uponga que una cierta región del espacio el potencial eléctrico V está denido por V (x, y, z) = 5x 2 3xy + xyz. a) Determine la razón de cambio del potencial en P (3, 4, 5) en la dirección del vector v = i + j k. b) ¾En qué dirección cambia V con mayor rapidez en P? c) ¾uál es la razón máxima de cambio en P? 6. uponga que escala una montaña cuya forma la da la ecuación z = ,005x 2 0,01y 2, donde x, y, z se dan en metros, y usted está parado en un punto cuyas coordenadas son (60, 40, 966). El eje de las x positivas va hacia el este y el eje de las y positivas va hacia el norte. a) i camina directo hacia el sur, ¾empezará a ascender o descender? b) i camina hacia el noroeste, ¾empezará a ascender o descender? c) ¾En qué dirección es la máxima pendiente? ¾uál es la razón de cambio en esa dirección? ¾En qué ángulo por arriba de la horizontal la trayectoria inicia en esa dirección? sin(xy) si (x, y) (0, 0) 7. ea f(x, y) = x2 + y 2 0 si (x, y) = (0, 0) a) alcule f(0, 0). b) Use la denición de derivada direccional para calcular D u f(0, 0), donde u = 1 2 (i + j). 8. Determine la dirección a partir del punto (1, 3) para la cual el valor de f no cambia si f(x, y) = e 2y tan 1 y 3x. 5

6 6. Planos tangentes y rectas normales a supercies 1. Obtenga una ecuación de la recta normal y a la supercie en el punto indicado. a) z = 4x 2 y 2 + 2y, ( 1, 2, 4) b) z = 3(x 1) 2 + 2(y + 3) 2 + 7, (2, 2, 12) c) z = xy, (1, 1, 1) d) z = y ln x, (1, 4, 0) e) z = y cos(x y), (2, 2, 2) f ) z = e x2 y 2, (1, 1, 1) 2. i las dos supercies se intersectan en una curva, determine ecuaciones de la recta tangente a la curva de intersección en el punto indicado; si las dos supercies son tangentes en el punto dado, demuéstrelo. a) x 2 + y 2 z = 8, x y 2 + z 2 = 2; (2, 2, 0) b) y = x 2, y = 16 z 2 ; (4, 16, 0) c) y = e x sin(2πz) + 2, z = y 2 ln(x + 1) 3; (0, 2, 1) d) x 2 + z 2 + 4y = 0, x 2 + y 2 + z 2 6z + 7 = 0; (0, 1, 2) 3. Utilice el gradiente para obtener una ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto indicado. a) x 3 y 3 = 1; (1, 2) b) 16x 4 + y 4 = 32; 1, 2 c) 2x 3 + 2y 3 9xy = 0; (1, 2) d) x 4 + 2xy y 2 = 4; (2, 2) 7. Extremos de funciones de dos variables 1. Encuentre y clasique los puntos críticos de las siguientes funciones a) f(x, y) = x 2 + 2y 2 4x + 4y b) f(x, y) = x y + 8 x y c) f(x, y) = x 3 + y 3 3xy d) f(x, y) = x sin y e) f(x, y) = x 2 ye (x2 +y 2 ) xy f ) f(x, y) = 2 + x 4 + y 4 1 g) f(x, y) = 1 x + y + x 2 + y ( 2 h) f(x, y) = ) ( ) ( 1 x y x + 1 ) y 2. Las regulaciones postales requieren que la suma entre la altura y el perímetro de la base de un paquete no exceda L unidades. Encuentre el volumen más grande de una caja rectangular que pueda satisfacer este requisito. 3. El material utilizado para hacer la parte inferior de una caja rectangular es dos veces más caro por unidad de área que el material utilizado para hacer la parte superior de las paredes laterales. Encuentre las dimensiones de la caja de volumen V dada, cuyo costo de materiales es mínimo. 4. Encuentre el volumen de la caja rectangular más grande (con caras paralelas a los planos coordenados) que puede ser inscrita en la elipsoide x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 x 2 = 1, siendo a, b, c constantes. 5. Encuentre tres números positivos a, b y c cuya suma sea 30 y la expresión ab 2 c 3 sea máximo. 6. Encuentre los puntos críticos de la función z = g(x, y) que satisface la ecuación e 2zx x2 3e 2zy+y2 = 2. ¾Es posible clasicarlos? 6

7 8. Multiplicadores de Lagrange 1. Encuentre, usando el método de multiplicadores de Lagrange, el volumen de la caja rectangular más grande (con caras paralelas a los planos coordenados) que puede ser inscrita en la elipsoide siendo a, b, c constantes. x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 x 2 = 1, 2. Use el método de multiplicadores de Lagrange para maximizar x 3 y 5 sujeto a la restricción x + y = Encuentre la distancia más corta del punto (3, 0) a la parábola y = x 2 por multiplicadores de Lagrange. 4. Encuentre la distancia más corta del origen al plano x + 2y + 2z = Encuentre los valores máximo y mínimo de la función f(x, y, z) = x + y + z sobre la esfera x 2 + y 2 + z 2 = Use multiplicadores de Lagrange para encontrar la distancia más grande y la más pequeña del punto (2, 1, 2) a la esfera x 2 + y 2 + z 2 = Encuentre la distancia más corta del origen a la supercie xyz 2 = Encuentre a, b y c de modo que el volumen V = 4πabc/3 de una elipsoide x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 punto (1, 2, 1) sea lo más pequeño posible. = 1 que pasa por el 9. Encuentre los valores máximos y mínimos de la función de n variables x 1 + x x n sujeta a la restricción x x x 2 n = Encuentre el volumen máximo de una caja rectangular cuyas caras son paralelas a los planos coordenados si una de las esquinas está en el origen y la esquina diagonalmente opuesta está en el plano 4x + 2y + z = Integrales dobles 1. Obtener el volumen del sólido indicado. a) Abajo de z = 1 x 2 y encima de la región 0 x 1, 0 y x. b) Abajo de z = 1 x 2 y 2 y arriba de la región del primer cuadrante limitada por los ejes coordenados y la recta x + y = 1. c) Abajo de z = 1 y 2 y arriba de z = x 2. d) Abajo de la supercie z = 1 y arriba de la región en el plano xy acotada por x = 1, x = 2, y = 0 y x + y y = x. e) Abajo de la supercie x 2 sin(y 4 ) y arriba del triángulo en el plano xy con vértices (0, 0), (0, π 1/4 ) y (π 1/4, π 1/4 ). f ) Arriba del plano xy y abajo de z = 1 x 2 2y 2. g) Arriba del triángulo con vértices (0, 0), (a, 0) y (0, b) y abajo del plano z = 2 x a y b. h) Entre los dos cilindros x 2 + y 2 = a 2 y y 2 + z 2 = a 2. i) Dentro del cilindro x 2 + 2y 2 = 8, arriba del plano z = y 4 y abajo del plano z = 8 x. 2. ambie el orden de integración de las siguientes integrales dobles. ugerencia: apóyese en la gráca de la región. a) b) c) 1 e y x 5π/2 1 π/2 sin x f(x, y)dxdy. f(x, y)dydx. f(x, y)dydx. 7

8 d) x f(x, y)dydx. 3. Utilice integrales dobles para calcular el área de la región limitada por las curvas del plano xy. Dibuje la región. a) y = x 3 y y = x 2 b) y 2 = 4x y x 2 = 4y c) y = x 2 9 y y = 9 x 2 d) x 2 + y 2 = 16 y y 2 = 6x 10. Aplicaciones de las integrales dobles 1. Encuentre la masa y el centro de masa de la lámina que ocupa la región D y tiene la función de densidad ρ dada. a) D es la región triangular con vértices (0, 0), (2, 1) y (0, 3); ρ(x, y) = x + y. b) D está acotada por las parábolas y = x 2 y x = y Una lámina ocupa la parte del disco x 2 +y 2 1 en el primer cuadrante. Encuentre su centro de masa si la densidad en cualquier punto es proporcional a su distancia desde el eje x. Adicionalmente, encuentre los momentos de inercia I x, I y con respecto a los ejes x y y respectivamente. 3. La frontera de una lámina está formada por los semicírculos y = 1 x 2 y y = 4 x 2 junto con las porciones del eje x que las une. Encuentre el centro de masa de la lámina si la densidad en cualquier punto es proporcional a su distancia desde el origen. 4. Halle el centro de masa de una lámina en la forma de un triángulo isósceles recto con lados iguales de longitud a si la densidad en cualquier punto es proporcional al cuadrado de la distancia desde el vértice opuesto a la hipotenusa. Adicionalmente, encuentre los momentos de inercia I x, I y con respecto a los ejes x y y respectivamente. 5. Determine el área de la supercie cortada en el plano 2x + y + z = 4 por los planos x = 0, x = 1, y = 0 y y = alcule el área de la supercie cortada en el plano z 2x y = 5 por los planos x = 0, x = 2, y = 0 y y = Obtenga el área de la porción de supercie del plano 36x + 16y + 9z = 144 cortada por los planos coordenados. 8. Determine el área de la supercie cortada en el plano z = ax + by por los planos x = 0, x = a, y = 0 y y = b, donde a > 0 y b > alcule el área de la supercie del primer octante cortada en el cilindro x 2 + y 2 = 0 por el plano x = z. 10. Obtenga el área de la porción del plano x = z que está entre los planos y = 0 y y = 6 y dentro del hiperboloide 9x 2 4y z 2 = Integrales dobles en coordenadas polares 8 1. Evalúe la integral doble cambiando a coordenadas polares. a) xy da, donde R es el disco con centro en el origen y radio 3. R b) (x + y) da, donde R es la región que yace a la izquierda del eje y y entre los círculos x 2 + y 2 = 1 y R x 2 + y 2 = 4 c) ln(x 2 + y 2 ) da, donde R es el disco x 2 + y 2 1. R d) e x2 y 2 da, donde R es la región acotada por el semicírculo x = 4 y 2 y el eje y. R e) arctan(y/x) da, donde R = {1 x 2 + y 2 4, 0 y x}. R f ) x da, donde R es la región del primer cuadrante localizada entre los círculos x 2 +y 2 = 4 y x 2 +y 2 = 2x. R

9 2. Use coordenadas polares para hallar el volumen del sólido. a) Debajo del cono z = x 2 + y 2 y arriba del disco x 2 + y 2 4. b) En el primer octante y debajo del paraboloide z = 1 x 2 y 2. c) Una esfera de radio a. d) Arriba del cono z = x 2 + y 2 y debajo de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1. e) Entre los paraboloides z = x 2 + y 2 y 3z = 4 x 2 y 2. f ) Entre la esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 y el cilindro x 2 + y 2 = ax g) Entre los tres cilindros circulares x 2 + y 2 = a 2, z 2 + z 2 = a 2 y y 2 + z 2 = a 2. Ayuda: Haga un buen bosquejo de la parte de la región del primer octante y use simetría siempre que sea posible. 3. alcule el área de la porción de la supercie de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4x cortada por un manto del cono y 2 + z 2 = x Determine el área de la porción de la supercie xy = az del primer octante que se encuentra dentro del cilindro x 2 + y 2 = a alcule el área de la supercie cortada en el paraboloide hiperbólico y 2 x 2 = 6z por el cilindro x 2 + y 2 = Integrales triples 1. Evalúe la integral triple. a) 6xy dv, donde yace bajo el plano z = 1 + x + y y arriba de la región en el plano xy acotada por las curvas y = x, y = 0 y x = 1. b) y dv, donde está acotada por los planos x = 0, y = 0, z = 0 y 2x + 2y + z = 4. c) xy dv, donde es el tetraedro sólido con vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 2, 0) y (0, 0, 3). d) x dv, donde está acotada por el paraboloide x = 4y 2 + 4z 2 y el plano x = 4. e) z dv, donde está acotada por el cilindro y 2 + z 2 = 9 y los planos x = 0, y = 3x y z = 0 en el primer octante. 2. Use una integral triple para hallar el volumen del sólido dado. a) El tetraedro encerrado por los planos coordenados y el plano 2x + y + z = 4. b) El sólido acotado por el cilindro y = x 2 y los planos z = 0, z = 4 y y = 9. c) El sólido encerrado por el paraboloide x = y 2 + z 2 y el plano x = 16. d) El sólido del primer octante limitado inferiormente por el plano xy, superiormente por el plano z = y, y lateralmente por el cilindro y 2 = x y el plano x = 1. e) El sólido del primer octante acotado por el cilindro x 2 + z 2 = 16, el plano x + y = 2 y los tres planos coordenados. 3. Encuentre la masa y el centro de masa del sólido con la función de densidad dada ρ. a) está acotada por el cilindro parabólico z = 1 y 2 y los planos x + z = 1, x = 0 y z = 0; ρ(x, y, z) = 4. b) es el cubo de arista a; ρ(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2. c) es el tetraedro acotado por los planos x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1; ρ(x, y, z) = y. 4. Determine la masa del sólido homogéneo (es decir, de densidad constante) acotado por el cilindro z = 4 x 2, el plano y = 5 y los planos coordenados. 5. alcule la masa del sólido limitado por el tetraedro formado por los planos 100x + 25y + 16z = 400 y los planos coordenados si la densidad varía como la distancia medida desde el plano yz. 9

10 6. Obtenga la masa del sólido acotado por los cilindros x = z 2 y y = x 2, y los planos x = 1, y = 0 y z = 0. La densidad varía conforme el producto de las distancias medidas desde los tres planos coordenados. 7. Determine la masa del sólido limitado por la supercie z = 4 4x 2 y 2 y el plano xy. La densidad en cualquier punto del sólido es 3z x. 8. Un sólido tiene la forma de un cilindro circular recto cuyo radio de la base mide r metros y cuya altura mide h metros. alcule la masa del sólido si la densidad varía como la distancia a una de las bases. 9. Halle el área de la supercie dada por la parte del plano z02x + 2y dentro del cilindro x 2 + y 2 = Halle el área de la supercie dada por el cono 3z 2 = x 2 + y Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas 1. Evalúe (x 2 + y 2 ) dv, donde es el sólido del primer octante acotado por los cilindros x 2 + y 2 = 1 y x 2 + y 2 = 4 y los planos z = 0, z = 1, x = 0 y x = y. 2. Evalúe x2 + y 2 dv, donde es la región que yace dentro del cilindro x 2 + y 2 = 16 y entre los planos z = 5 y z = Evalúe x 2 dv, donde es el sólido que yace dentro del cilindro x 2 + y 2 = 1, arriba del plano z = 0 y debajo del cono z 2 = 4x 2 + 4y Encuentre el volumen del sólido dentro de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 6 y encima del paraboloide z = x 2 + y Encuentre el volumen del sólido que está dentro del cilindro x 2 + y 2 = 1 y la esfera x 2 + y 2 + z 2 = Encuentre la masa y el centro de masa del sólido acotado por el paraboloide z = 4x 2 + 4y 2 y el plano z = a (a > 0) si tiene densidad constante k. 7. Encuentre el volumen del sólido que está dentro de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4, arriba del plano xy y debajo del cono z = x 2 + y ea H una semiesfera sólida de radio a cuya densidad en cualquier punto es proporcional a su distancia desde el centro de la base. Encuentre la masa de H, su centro de masa y el momento de inercia respecto a su eje. 9. Encuentre el centroide de una semiesfera homogénea sólida de radio a. Adicionalmente, encuentre el momento de inercia de esta semiesfera respecto a un diámetro de su base. 10. alcule el momento de inercia con respecto a un diámetro del sólido ubicado entre dos esferas de radio a pies y 2a pies. La densidad volumínica varía inversamente al cuadrado de la distancia desde el centro. 11. Deremine el centro de masa del sólido ubicado dentro del paraboloide x 2 + y 2 = z y fuera del cono x 2 + y 2 = z 2. La densidad volumínica es constante. 14. Ecuaciones paramétricas y longitud de arco de curvas planas 1. Bosqueje la gráca de la curva por medio de las ecuaciones parámetricas para trazar puntos. Indique con una echa la dirección en la que se traza la curva cuando crece t. a) x = 1 + t, y = t 2 4t, 0 t 5. b) x = 5 sin t, y = t 2, 0 t 2π. c) x = e t + t, y = e t t, 2 t 2. d) x = 4 sec t, y = sin t, 1 2 π t 1 2 π. e) x = 3 2t, y = 4 + t, t R. 2. Determine dy/dx y d 2 y/dx 2. 10

11 a) x = 4 + t 2, y = t 2 + t 3. b) x = t e t, y = t + e t. c) x = t 3 12t, y = t 2 1. d) x = t + ln t, y = t ln t. 3. En los siguientes ejercicios, obtenga las rectas tangentes horizontales, verticales y determine la concavidad. Haga un bosquejo de la gráca sin usar gracadora. a) x = 4t 2 4t, y = 1 4t 2. b) x = t 2 + t, y = t 2 t. c) x = 2t 3, y = 4t 2. d) x = 2t 2, y = 3t 3. e) x = 3t 1 + t 2, y = 3t2 1 + t 3, t 1 4. Determine la longitud de la curva dada. a) x = 1 + 3t 2, y = 4 + 2t 3, 0 t 1. b) x = e t + e t, y = 5 2t, 0 t 3. c) x = t, y = ln(1 + t), 0 t t d) x = 3 cos t cos(3t), y = 3 sin t sin(3t), 0 t π. 15. Funciones vectoriales y curvas en el espacio 1. Determine el dominio de la función vectorial. a) R(t) = 4 te 2t i + ln(t + 1)j. b) R(t) = t 2 t + 3 i + sin tj + ln(9 t2 )k. c) R(t) = cos 1 ti + sec 1 tj. d) tan ti + 4 t 2 j t k. 2. Determine el límite indicado, si existe, de las siguientes funciones vectoriales a) lím t 1 R(t) si R(t) = (t 1)i + t2 1 t 1 j + t3 k. b) lím R(t) si R(t) = sin ti + cos tj + sin t k. t 0 t t 3 sin πt tan πt c) lím R(t) si R(t) = i + t 2 t 3 t 2 j + 4 t 2 k. d) lím R(t) si R(t) = 1 + cos t t 0 1 sin t i + 1 cos2 t 1 cos t j + t2 sin t k. e) lím t 0 R(t) si R(t) = e t+1 i + e 1 t j + (1 + t) 1/t k. 3. Determine los puntos en los que la función es continua. { e 1/t 2 i + t a) R(t) = 2 j + k si t 0 0 si t = 0 sin t b) R(t) = i + 1 cos t j + 1 et k si t 0 t t t 0 si t = 0 4. Graque la curva con la ecuación vectorial dada. Indique con una echa la dirección en la cual t se incrementa. a) R(t) = sin ti + tj. 11

12 b) R(t) = t 3 i + t 2 j. c) R(t) = ti + cos 2tj + sin 2tk. d) R(t) = t 2 i + tj + 2k. e) R(t) = t 2 i + t 4 j + t 6 k. f ) R(t) = cos ti cos tj + sin tk. 5. Demuestre que si la función vectorial V es continua en un número a, entonces V(t) es continua en a. 16. álculo de funciones vectoriales 1. Dibuje la curva plana con ecuación vectorial dada, encuentre R (t) y dibuje los vectores posición R(t) y tangente R (t) para el valor dado de t. a) R(t) = (t 2)i + (t 2 + 1)j; t = 1. b) R(t) = (1 + t)i + tj; t = 1. c) R(t) = sin ti + 2 cos tj; t = π/4. d) R(t) = e t i + e 3t j; t = 0. e) R(t) = (1 + cos t)i + 2 cos tj; t = π/6. 2. alcule la derivada de la función vectorial dada. a) R(t) = t sin ti + t 2 j + cos 2tk. b) R(t) = tan ti + sec tj + 1 t 2 k. c) R(t) = sin 1 ti + 1 t 2 j + k. d) R(t) = at cos 3ti + b sin 3 tj + c cos 3 tk. e) R(t) = ta (b + tc), siendo a, b y c vectores de R alcule la longitud de arco desde t 1 hasta t 2 de la curva que tiene la ecuación vectorial dada. a) R(t) = (t + 1)i t 2 j + (1 2t)k; t 1 = 1, t 2 = 2. b) R(t) = sin 2ti + cos 2tj + 2t 3/2 k; t 1 = 0, t 2 = 1. c) R(t) = 4t 3/2 i 3 sin tj + 3 cos tk; t 1 = 0, t 2 = 2. d) R(t) = t 2 i + (t + 13 ) t3 j + (t 13 ) t3 k; t 1 = 0, t 2 = i R (t) = t 2 i + 1 j y R(3) = 2i 5j, calcule R(t). t 2 5. i R (t) = sin 2 ti + 2 cos 2 tj y R(π) = 0, calcule R(t). 6. i R (t) = e t sin ti + cos tj e t k y R(0) = i j + k, calcule R(t). 7. i R (t) = 1 i tan tj + t t + 1 t 2 k y R(0) = 4i 3j + 5k, calcule R(t) ampos vectoriales 1. Determine si cada uno de los siguientes campos vectoriales es conservativo y de serlo, encuentre su respectiva función potencial. a) F(x, y) = xi 2yj + 3zk. b) F(x, y) = yi + zj + z 2 k. c) F(x, y) = xi yj x 2 +y 2. d) F(x, y, z) = 2xi z + 2yj z + (x2 +y 2 )k z 2 e) F(x, y, z) = e x2 +y 2 +z 2 (xzi + yzj + xyk). f ) F(x, y, z) = 2xi z + 2yj z + (1 x2 +y 2 z 2 )k 2. Halle el valor del parámetro a para que el campo vectorial F(x, y, z) = zi+(az 2 +1)j+(10zy+x)k sea conservativo. Para dicho valor de a encuentre una función potencial de F. 12

13 18. Integrales de línea 1. alcule cada una de las integrales de linea a lo largo del camino indicado a) y 3 ds siendo : x = t 3, y = t, 0 t 2. b) xyds, con : x = t 2, y = 2t, 0 t 1. c) xy 4 ds, cuando es la mitad derecha de la circunferencia x 2 + y 2 = 16. d) xyz 2 ds, siendo el segmento de recta que une los puntos ( 1, 5, 0) y (1, 6, 4). e) x 2 y 3 x ds, donde es el arco de curva y = x desde (1, 1) hasta (4, 2) 1 + 4x2 z 2 ds, siendo la recta formada por la intersección entre las supercies x 2 + y 2 = 1 y y = x 2 f ) g) x ds, donde representa la curva de intersección entre el cilindro x 2 + y 2 = a 2 y el plano z = x, en el primer octante. 2. En los siguientes ejercicios calcule el trabajo total realizado al mover una partícula a lo largo del arco si el movimiento lo ocasiona el campo de fuerza F. uponga que el arco se mide en meros y la fuerza en newtons. a) x + yz dx + 2x dy + xyz dz, en este caso consta de los segmentos de recta (1, 0, 1) a (2, 3, 1) y de (2, 3, 1) a (2, 5, 2). b) z dx + x dy + y dz con x = t 2, y = t 3, 0 t 1 c) x 2 ds cuando es la recta formada por la intersección entre x y + z = 0 y x + y + 2z = 0, desde el origen hasta el punto (3, 1, 2) d) F(x, y) = (y 3 + 1)i + (3xy 2 + 1)j; : es la porción de la circunferencia (x 1) 2 + y 2 = 1 que une (0, 0) y (2, 0). e) F(x, y) = x 2 yi + 2yj; : el segmento de recta de (a, 0) a (0, a). f ) F(x, y, z) = xyi + 2j + 4zk; : es la hélice circular r(t) = cos ti + sen tj + tk, para 0 t 2π. 3. Demuestre que la integral de linea es independiente de la trayectoria y evalúe la integral a) tan(y) dx + x sec 2 (y) dy donde es cualquier trayectoria desde (1, 0) hasta (2, π 4 ). b) (1 y)e x dx + e x dy siendo cualquier trayectoria desde (0, 1) hasta (1, 2). c 19. Teorema de Green 1. Utilice el teorema de Green en el plano para evaluar las siguientes integrales a) (x 2 xy) dx + (xy y 2 ) dy, con la curva formada por los bordes del triángulo de vértices (0, 0), (1, 1) y (2, 0) en el sentido contrario de las agujas del reloj. b) (x sen(y 2 ) y 2 )) dx + (x 2 y cos(y 2 ) + 3x) dy, cuando es la curva formada por los bordes del trapecio de vértices (0, 2), (1, 1), (1, 1) y (0, 2) en el sentido contrario de las agujas del reloj. c) (sen(x) + 3y 2 )) dx + (2x e y2 ) dy para la curva formada por el contorno de medio circulo x 2 +y 2 a 2, y 0. 13

14 2. alcule donde I = [ (2y + ] 1 + x 5 )dx + (5x e y2 )dy, : x 2 + y 2 = alcule el área de la región encerrada por la curva usando integrales de linea. a) : a cos 3 (t)i + b sen 3 (t)j, t [0, 2π] b) : x y2 4 = 1 c) : x 2 + y 2 = Muestre que el área de la elipse es πab. x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, 5. onsidere la integral Evalúe esta integral cuando a) es el círculo x 2 + y 2 = 1. b) es la elipse x 2 + y2 4 = Integrales de supercie 1. Evalúe la integral de supercie a) G(x, y, z) = y; : z = y 2, 0 x 2, 0 y 1. y x 2 + y 2 dx + x x 2 + y 2 dy. G(x, y, z)dσ para G y como en cada caso. b) G(x, y, z) = y;; donde es la frontera del tetraedro acotado por los planos coordenados y el plano x+y+z = 1. c) G(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ); donde es la parte del plano y x = 3 que está dentro del cilindro y 2 + z 2 = 9. d) G(x, y, z) = xy z ; : z = x2 + y 2, 4 x 2 + y e) G(x, y, z) = x; es la porción del cilindro z = x 2 del primer octante limitada por los planos coordenados y los planos x = 1 y y = 2. f ) G(x, y, z) = xyz; es la porción del cono x 2 + y 2 = z 2 que se encuentra entre los planos z = 1 y z = alcule el ujo a través de la supercie donde F(x, y, z) proporciona el campo de velocidad de un uido. a) F(x, y, z) = 3zi 4j + yk; : z = 1 x y en el primer octante. b) F(x, y, z) = xi + yj 2zk; : z = a 2 x 2 y 2. c) F(x, y, z) = axi + byj + czk; es la esfera unitaria. d) F(x, y, z) = xzi + xyj + xyzk; es el cubo unitario en el primer octante. 3. Encuentre la masa de una hoja metálica triangular con vértices es (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) sabiendo que su densidad es proporcional a y Encuentre la masa de una hoja metálica en la forma de la semiesfera x 2 + y 2 + z 2 = 1, y 0, x 2 + z 2 1 y su densidad es proporcional a la distancia al eje y. 14

15 21. Teorema de la divergencia de Gauss y Teorema de tokes 1. Determine la intensidad de ujo del uido que sale de la región R limitada por la curva si F es el campo de velocidad del uido. a) F(x, y) = (y 2 + 6x)i + (2y x 2 )j; es la elipse x 2 + 4y 2 = 4. b) F(x, y) = (5x y 2 )i + (3x 2y)j; es el triángulo rectángulo cuyos vértices son (1, 2), (4, 2) y (4, 6). c) F(x, y) = x 3 i + y 3 j; es la curva determinada por la circunferencia x 2 + y 2 = 1. d) F(x, y) = xy 2 i + yx 2 j; es la curva determinada por la circunferencia x 2 + y 2 = i F es el campo de velocidad de un uido alrededor de una curva cerrada, donde se efectúa en el sentido antihorario, emplee el teorema de tokes en el plano para determinar el sentido de la circulación del uido. ¾ F es irrotacional? a) F(x, y) = 4yi + 6xj; es el triángulo cuyos vértices son (0, 0), (3, 0) y (3, 5). b) F(x, y) = 8yi + 3xj; es la elipse 4x 2 + 9y 2 = 1. c) F(x, y) = sin 2 xi + cos 2 yj; es la curva determinada por la elipse 9x 2 + y 2 = 9. d) F(x, y) = y 3 i + x 3 j; es la curva determinada por la circunferencia x 2 + y 2 = Utilice el teorema de la divergencia de Gauss para calcular el ujo de el campo vectorial dado fuera de la esfera con ecuación x 2 + y 2 + z 2 = a 2, donde a > 0. a) F(x, y, z) = xi 2yj + 4zk. b) F(x, y, z) = ye z i + x 2 e z j + xyk. c) F(x, y, z) = x 3 i + 3yz 2 j + (3y 2 z + x 2 )k. 4. ea A el área de una región D que forma parte de la supercie de una esfera de radio r centrada en el origen, y sea V el volumen del cono sólido que consiste en todos los segmentos que unen el centro de la esfera con puntos en D. Muestre que V = ra aplicando el Teorema de divergencia a F = xi + yj + zk. 5. Evalúe xydx + yzdy + zxdz alrededor del triángulo con vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1), orientado contrario a las manecillas del reloj como se ve desde el punto (1, 1, 1). 6. Aplique el teorema de tokes para evaluar rotf ds. a) F(x, y, z) = 2y cos zi + e x sin zj + xe y k, siendo la semiesfera x 2 + y 2 + z 2 = 9, z 0. b) F(x, y, z) = xyzi + xyj + x 2 yzk, donde consiste en la parte superior o tapa y los cuatro lados (pero no el fondo) del cubo con vértices (±1, ±1, ±1). 7. Mediante el teorema de tokes evalúe F dr. a) F(x, y, z) = (x + y 2 )i + (y + z 2 )j + (z + x 2 )k; es el triángulo con vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) b) F(x, y, z) = e x i + e y j + e z k; es la frontera de la parte del plano 2x + y + 2z = 2 en el primer octante. c) F(x, y, z) = yzi + 2xzj + e xy k; es el círculo x 2 + y 2 = 16, z = 5. d) F(x, y, z) = xyi + 2zj + 3yk; es la curva de intersección del plano x + z = 5 y el cilindro x 2 + y 2 = Una partícula se mueva a lo largo de segmentos de recta desde el origen hasta los puntos (1, 0, 0), (1, 2, 1), (0, 2, 1) y regresa al origen bajo la inuencia del campo de fuerza F(x, y, z) = z 2 i + 2xyj + 4y 2 k. Encuentre el trabajo realizado. 9. Mediante el teorema de la divergencia, calcule la integral de supercie través de. F ds, es decir, calcule el ujo de F a 15

16 a) F(x, y, z) = e x sin yi + e x cos yj + yz 2 ; es la supercie de la caja delimitada por los planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 y z = 2. b) F(x, y, z) = x 2 z 3 i + 2xyz 3 j + xz 4 k. es la supercie de la caja con vértices (±1, ±2, ±3). c) F(x, y, z) = 3xy 2 i + xe z + z 3 k. es la supercie del sólido acotado por el cilindro y 2 + z 2 = 1 y los planos x = 1 y x = 2. d) F(x, y, z) = xy sin zi + cos(xz)j + y cos zk. es el elipsoide x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = ea F(x, y, z) = z tan 1 (y 2 )i + z 3 ln(x 2 + 1)j + zk. Determine el ujo de F que pasa a través del paraboloide x 2 + y 2 + z = 2 que se sitúa encima del plano z = 1. 16