Integración en una variable

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1 Análisis I Matemática I Análisis II (C) Análisis Matemático I (Q) er. Cuatrimestre - 7 Práctica 8: Integración Integración en una variable. Calcular: xsen x. sen x cos x. xe x. e x sen x. (f) 3x x + x. ln x.. Hallar el área encerrada por las curvas: y = x 3 e y = x. y = x 3 x y la recta tangente a esta curva en x =. y = x 3 9x + x + y la recta y = entre x = y x = 3. y = sen x, y =, x =, x = π. 3. Calcular e x. Hallar el área encerrada por las curvas: y =, y =, y = log x y x =. 4. Calcular: 3 3 x. x. 3 4 x +. x 3. Integrales impropias 5. Calcular, de ser posible (si no explicar por qué), las siguientes integrales p > : i. x p ii. x p iii. x p Sugerencia: Separar el estudio de las integrales en estos grupos < p <, p = y p >.

2 elacionar los resultados obtenidos con el hecho de que para x >, x p y x p son funciones inversas y, por lo tanto, el gráco de una es el de la otra reejado respecto de la recta y = x. ¾Para qué valores de p > la serie n= n p converge?. 6. Analizar la convergencia de las siguientes integrales impropias: x ln x.. x e kx. arctan x + x. + x. (f) (g) (h) (i) 3 x + 4x x 3. x + x 5. ( x) 3. (j) (k) (l) (m) 4 x x sen x + cos x. sen (x). x 4. e x x3 + 3x x. Calcular el valor principal en los ítems (i), (k) y (l). 7. Sea f : una función, ¾son verdaderas o falsas las siguientes armaciones? Si f > es continua con lim x + f(x) >, entonces Si f > es continua con lim f(x) >, entonces x Si f es continua y decreciente con Si f > es continua con 4 4 f(x) = 3, entonces el f(x) = 8, entonces el f(x) = +. f(x) = lim f(x) =. x + lim f(x) =. x + Si f > es continua con lim f(x) =, entonces f(x) < +. x + 8. Analizar la convergencia de x p ( + x ) ( p ). Integrales dobles 9. Sabiendo que := [, ] [, ] calcular las siguientes intergrales:

3 (x 3 + y ) dy ye xy dy (xy) cos x 3 dy ln[(x + )(y + )] dy (x m y n ) dy, (m, n > ) (f) (ax + by + c) dy (g) sen (x + y) dy (h) (x + xy + yx / ) dy. Calcular el volumen del sólido acotado por los planos xz, yz, xy, x = y y =, y la supercie z = x + y 4.. Sean f y g funciones continuas en [a, b] y [c, d], respectivamente. Sabiendo que es el rectángulo [a, b] [c, d], mostrar que ( b ) ( d ) f(x)g(y) dy = f(x) g(y) dy. a c. Calcular el volumen del sólido acotado por la supercie z = sen y, y los planos xy, x =, x =, y = e y = π/. 3. Sean F C y f(x, y) := F (x, y). Calcular x y F. b d a c f(x, y) dy en términos de 4. Gracar las regiones determinadas por los límites de integración de las siguientes integrales y calcularlas. (f) x 3x+ x e x x x 3 y 3 x x dy dy. (x + y) dy y dy (x + y) dy e x+y dy (g) (h) (i) (j) (k) (l) ( x ) / π/ cos x y ( x ) / dy ysen x dy y (x n + y m ) dy, (m, n > ) π sen y x+ x 3 y dy x dy (y + ) dy 5. Sea f : [, ] [, ] denida por: { si x Q f(x, y) = y si x / Q 3

4 Mostrar que la integral iterada ¾Existe la otra integral iterada? 6. Calcular el área de: [ ] f(x, y) dy existe pero f no es integrable. la región limitada por la recta y = x y por la curva y = x. la región formada por todos los puntos (x, y) tales que x + y a, a. 7. Calcular T [xsen x + ysen (x + y)] dy siendo T el triángulo de vértices (, ), (, ) y (3, 3). 8. Sea la región acotada por los semiejes positivos de x e y y la recta 3x + 4y =. Calcular (x + y ) dy. 9. Sea la región acotada por el eje y y la parábola x = 4y + 3. Calcular x 3 y dy.. Calcular el volumen de un cono con radio de base r y altura h.. Calcular el volumen de las siguientes regiones: : encerrada por la supercie z = x + y y el plano z =. : encerrada por el cono de altura 4 dado por z = x + y. : encerrada por las supercies x + y = z y x + y + z =. : determinada por x + y + z y z.. Cambiar el orden de integración, gracar las regiones correspondientes y calcular la integral de ambas maneras. x y 3x 3. Calcular x xy dy (x + y) dy x y dy y 3 (9 y ) / 3 (x + y) dy (9 y ) / x dy y x / dy, con = {(x, y) : x >, y > x, y < x }. 4

5 4. Sea la región limitada por las rectas y =, y = x, y = x e y =. Calcular la siguiente integral x y da. 5. Sea = {(x, y) : x ; x y }. Calcular la siguiente integral 6. Calcular T cos ( ) x y da. e x y dy donde T es el triángulo con vértices (, ), (, 3) y (, ). 7. Sea T la región limitada por las rectas y = x, y = y la curva y = x. Calcular e x y da. Integrales triples 8. Calcular: (xyz + x y z ) dv, donde C = [, ] [ 3, ] [, ]. C (x cos z + y cos x + z cos y) dv, donde C = [, π] [, π] [, π]. C 9. Calcular: x dv, donde es la región limitada por x =, y =, z = y z = x +y. x cos z dv, donde es la región limitada por z =, z = π, y =, x = y x + y =. dv, donde es la región limitada por z = x + 3y y z = 9 x. (x + y + z) dv, donde = {(x, y, z) 3 : (x, y, z) }. (x 3 + y + z) dv, donde = {(x, y, z) 3 : z [, ], x + y }. 3. Calcular x x +y x+y dzdy y gracar la región de integración. 5

6 3. Cambiar el orden de integración en x y f(x, y, z) dzdy para obtener las otras cinco formas de realizar la misma integración. región de integración. Gracar la 3. Sea B := {(x, y, z) 3 : (x, y, z) }. emostrar que si f es una función continua en B, impar respecto de z (es decir f(x, y, z) = f(x, y, z)), entonces f(x, y, z) dv =. ar otros ejemplos donde valga este resultado. B 33. Sea la región determinada por las condiciones x, y y z xy. Hallar el volumen de. Calcular z dydz. Calcular x dydz. Calcular xy dydz. Calcular y dydz. 6