CUESTIONES RESUELTAS 3. INTEGRACIÓN FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS. 1º GRADO GESTIÓN AERONAÚTICA

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1 CUESTIONES RESUELTAS INTEGRACIÓN FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS º GRADO GESTIÓN AERONAÚTICA INTEGRAL DEFINIDA REGLA DE BARROW Sea f() una función discontinua en = y continua en el resto de puntos del intervalo [-,] Entonces f() es integrable en [-,] y tiene primitiva en dicho intervalo a Falso, la función f ( ) = verifica las condiciones del enunciado, no es integrable en [-,] y no tiene primitivas en este intervalo b Es cierto que la función es integrable en [-,] ya que cumple la condición suficiente de integrabilidad en el intervalo, n embargo no tiene primitiva en [-,] ya que no es continua en = c Verdadero, f() es integrable en [-,] ya que cumple la condición suficiente de integrabilidad, y una de sus primitivas es su función integral en dicho intervalo Sea f( ) una función continua en el intervalo [-,] tal que f ( ) d = Entonces, se verifica que la función g()= f() es integrable en [-,] y además g( ) d = a Verdadero, ya que g() es continua (y, por tanto, integrable) en [-,], al ser compoción de funciones continuas pues g()=h(f()) donde h()= Además, aplicando las propiedades de las funciones integrables, resulta que g( ) d = f ( ) d = f ( ) d = b Es falso, ya que aunque g() es integrable en [-,], no es cierto que g( ) d = como lo demuestra la función f()= para la cual d = y, n embargo d = ( ) d d + = + = c Falso, pues bajo las hipótes del enunciado no podemos garantizar la integrabilidad de la función g() en el intervalo [-,] Sean las funciones f() y F() definidas por + < f ( ) = ; F( ) = 6 6 Entonces, F() es una primitiva de f() en [,] < a Falso, pues F() no es la función integral de f() en el intervalo [,] ya que F()= b Verdadero, pues f es continua, F() es su función integral en [,] y por tanto por el Teorema Fundamental del Cálculo F() es una de sus primitivas en [,] c Verdadero, pues F() es continua y derivable en [,] y F ()=f() en dicho intervalo d Falso, pues F() no es continua en [,] ( + ) La función F ( ) = Ln + Ln es una función primitiva de [,] 6 f ( ) = en el intervalo

2 a Falso, F no puede ser la primitiva de f en [,] porque F no es continua b Verdadero, pues F() es derivable en el intervalo [,] y además se verifica que F '( ) = f ( ) en el intervalo [,] c Falso, pues f() no está acotada en = y en consecuencia no puede ser integrable en el intervalo [,] ni tener una primitiva en dicho intervalo e Sea f( ) = entonces ( ) ln( ) < e f d = (a) Falso, dado que la integral representa el área de una región del plano y no puede ser negativa (b) Verdadero, f es continua en el intervalo [,e], F( ) = es una función ( ln( )) < e primitiva de f en [,e] y aplicando la regla de Barrow, se tiene que e f ( ) d = F ( e ) F () = e e (c) Verdadero, pues ( ) d = y ( ln( )) d = [ ln + ] = = = (d) Falso, la función f no es integrable por no ser continua 6 La función f ( ) = < es integrable en el intervalo [-,] + a Verdadero, pues como f ( ) para todo [,] entonces f es acotada en [-,] y toda función acotada es integrable b Falso, ya que f no es continua en el intervalo [-,] c Verdadero, dado que f es una función acotada y discontinua en =- y =, por tanto en un número finito de puntos de [-,], luego es integrable 7 Sean las funciones f() y F() definidas por < < f ( ) = ; F( ) = + Entonces, F() es la función integral de f() en el intervalo [-,] y F() es una primitiva de f() en dicho intervalo a Falso, pues f() no es continua y, por tanto, no es integrable en [-,] por lo que no eiste su función integral También es falso que F() sea primitiva de f() en [-,] ya que F ( ) b Verdadero, pues f es continua, F() es su función integral en [-,] y por tanto por el Teorema Fundamental del Cálculo F() es una de sus primitivas en [-,] c Falso F() no es la función integral de f() pues F(-)=-/ Tampoco es una primitiva de f() en [-,], ya que F() no es derivable en = e + 8 Sea f ( ) = se verifica que: + < a f () es integrable en el intervalo [, ] ya que es continua en dicho intervalo e + + b F( ) = es la función integral de f () en el intervalo [, ] + + < c La función (), ya que no es continua en = f no tiene primitiva en [ ]

3 9 Sean las funciones f() y F () definidas por: f ( ) = + < Entonces se verifica: F ( ) = + < a no tiene primitiva en el intervalo [,] b F () es una primitiva de f () puesto que f () es integrable en [,] F '( ) = f ( ) para todo [,] c f () es integrable en el intervalo [,] que es la función CÁLCULO DE PRIMITIVAS Sea la función 6 G ( ) = + 6 < f ( ) = e se verifica que: = C f ( ) d = e C a F ( ) = e + 7 es una primitiva de f () ya que F '( ) = f ( ) b f ( ) d e + c + y se verifica que por lo que eiste función integral en dicho intervalo La función F ( ) = ln es una función primitiva de f ( ) = en el intervalo [,] + (a) Falso, pues como F()=ln(-)-ln(+) entonces F () f() (b) Falso, F no puede ser la primitiva de f en [,] porque F no es derivable en [,] pues no es continua en dicho intervalo (c) Verdadero, pues la integral indefinida de f es Dada la integral f ( ) d = d = d = + = ln( ) ln( + ) + C = ln + C + sen cos d se verifica que sen sen sen cos d = + C (a) Verdadero, pues efectuando el cambio de variable t = sen( ) se verifica que dt = cos( ) d y por dt tanto despejando d se tiene que d = por lo que cos( ) t t sen sen sen cos d = t ( t ) dt = ( t t ) dt = + C = + C (b) Falso, pues la función f ( ) = sen cos no tiene primitivas ya que se trata de una función no integrable (c) Falso, pues aplicando el método de descompoción por partes, tomamos por cos u = sen cos y por dv = cos d se obtiene que du = d y v=sen() por tanto sen cos sen cos d = ( sen cos )( sen) sen d = sen = ( sen cos ) cos d = ( sen cos ) sen + C sen sen + C

4 sen ( ) Se verifica que cos d = sen( ) + C, sen ( ) sen (a) Falso, ya que sen( ) + = + cos( ) = sen + cos cos (b) Falso, pues cos ( ) no tiene primitivas (c) Verdadero, pues efectuando el cambio de variable t = sen( ), dt = cos( ) d y teniendo en cuenta que sen + cos = entonces t sen ( ) cos d = ( t )( dt) = t + C = sen( ) + C INTEGRALES IMPROPIAS Dada la función f( ) =, entonces se verifica que f ( ) d es convergente (a) Verdadero, puesto que d = β (, ), y por tanto es convergente (b) Falso, ya que = y como ( )d es convergente y d es divergente, entonces resulta que la integral de la suma es divergente (c) Falso, la función F( ) = ln( ) es una primitiva de f en (,], y como entonces la integral dada es divergente (d) Verdadero, pues para todo (,] se verifica que, y como la integral ( ) d es convergente, por el criterio de comparación se tiene que d es convergente Sea f() una función continua en [, ) tal que para todo se cumple: < f( ) Entonces podemos asegurar que la integral e I = d es divergente f( ) e e (a) Verdadero, pues como entonces, eiste, lim y por tanto distinto de cero; f( ) f( ) por ello la integral es divergente e (b) Falso, pues f( ) = entonces d = e d =Γ () = f( ) (c) Verdadero, pues f( ) = e entonces e d = d f( ) y esta integral es divergente 6 Sea f() una función acotada e integrable en [,b] para todo b tal que lim f ( ) = Entonces f ( ) d es convergente (a) Verdadero, pues se cumple la condición necesaria de convergencia (b) Falso, pues f ( ) = verifica las hipótes del enunciado y n embargo no es convergente (c) Falso, pues f ( ) = verifica las hipótes del enunciado y n embargo no es convergente (d) Falso, aunque sería cierto lim F( b) < endo F() una primitiva de f() en [,b] para todo b b e

5 7 La integral = I = d a Verdadero, pues como lim =, entonces I es convergente b Verdadero, pues I = d = = = + = c Falso, f ( ) = no es una función acotada en [-,], al no estar definida en = (= es una asíntota vertical de f()) Así, I es una integral impropia que puede escribirse como = I d + d y como estas dos integrales son divergentes, I también es divergente 8 La integral I = e d es convergente a Verdadero, pues F ( + ) lim F ( ) = lim = lim = e e b Verdadero, pues I = Γ( ) =! = ( ) = ( + ) e es una primitiva de f ( ) = e en, ) ( y c Falso, ya que lim e = y, por tanto, no cumple la condición necesaria de convergencia APLICACIONES CÁLCULO DE AREAS 9 Determinar qué integral o integrales definidas habría que calcular para obtener el área limitada por las curvas y=, = e y=/ tal y como se muestra en la guiente figura: (a) d + d

6 (b) + (c) y ( ) dy ( y) dy y y ( ) dy + d Determinar qué integral o integrales definidas habría que calcular para obtener el área limitada por las curvas y =, y = +, = - y = / tal y como se muestra en la guiente figura: / (a) ( + ) d (b) ( y y) dy / ( ( y) dy (c) + ) d + ( y ( )) dy + / Sea el área limitada por las curvas y = 9, y = 6, =, y = continuación: tal y como se muestra a

7 Determina qué integrales definidas habría que calcular para obtener el área sombreada y delimitada por estas curvas: ( 9 (6 )) + (9 a d d 9 b 9 ( 9 ) d (6 ) d c ( 9 ) d (6 ) d 9 )