Apéndice 10: Integral de Riemann

Transcripción

1 Apéndice : Integral de Riemann. Otras aplicaciones geométricas.. Volúmenes mediante secciones planas transversales Supongamos que tenemos un sólido del que se conoce (), el área de la sección plana obtenida al intersectar el cuerpo con el plano = (donde es una constante). Entonces, (si es continua) podemos calcular el volumen del sólido mediante la integral Z () donde y son los valores mínimo y máximo, respectivamente, que tiene la coordenada de alguno de los puntos del sólido. El mismo argumento es válido si conocemos el área de la sección plana obtenida al intersectar con planos de la forma = o =. Ejemplo: Hallemos el volumen del paraboloide + cuando [ ]. Alintersectarla superficie = +, que delimita el borde del paraboliode, con una sección plana de la forma = obtenemos un círculo de la forma + = alaaltura =. El radio de este círculo es con lo que el área del círculo es. Deestemodoelvolumenquenospidenes Z =[ ] =.. Volúmenes de sólidos de revolución El volumen del sólido obtenido al revolucionar (o girar) una curva continua = () alrededor del eje a lo largo del intervalo [ ] se calcula mediante la integral Z () Se denomina sólido de revolución. Si el giro se hace alrededor de un eje de ecuación = la fórmula es Z [() ] (Notemos que el giro a lo largo del eje es un caso particular de lo anterior pues este eje tiene por ecuación =.) Observación: Cualquiera de estas fórmulas se puede obtener a partir del apartado anterior, calculando el sólido a partir de sus secciones planas transversales. Por ejemplo, para la primera,

2 basta darse cuenta de que la sección transversal plana del sólido girado correspondiente a la abcisa es un círculo de radio (). También es posible girar la curva alrededor del eje.suponiendoqueenelintervalolacurva es siempre creciente o siempre decreciente, la integral que nos da ese volumen es Z () Si el giro se realiza alrededor de un eje de la forma = el volumen del sólido de revolución obtenido es Z ( + ) Ejemplo: Hallemos el volumen de un cono de radio ydealtura. Podemos obtenerlo como revolución alrededor del eje de la recta que pasa por los puntos ( ) y ( ), es decir de la curva de ecuación = en el intervalo []. De este modo el área sería Z = [3 3 ] = 3 3 = 3 Ejemplo: Hallemos el volumen de un cilindro de radio ydealtura. Podemos obtenerlo como revolución alrededor del eje de la recta que pasa por los puntos () y ( ), es decir de la curva de ecuación = en el intervalo []. De este modo el área sería Z Z = = [] = [ ] = Ejemplo: Hallar el volumen del sólido de revolución engendrado al girar la curva = + intervalo [ 3] alrededor de la recta =. Según la fórmula el volumen valdría ( + ) = 44 [ ( +) ] = [44( +) 48( +) +4] = ( +) = [44 48 log + +4] 3 = [ log + +4]3 = = [(6 48 log 4 + ) ( log 3 + 8)] = [6 + 48(log 4 log 3)] = ( log 4 3 ) Ejemplo: Hallar el volumen del sólido de revolución engendrado al girar la curva = en el intervalo [ ] alrededor del eje y también alrededor de la recta =. en el

3 Según la fórmula el primer volumen valdría y el segundo () = ( +) = = ( +) = 3 =[ 4 4 ] =[ 4 ]= 4 = ( + +) = ( ) = =[ ] =[ ] = = Áreas de superficies de revolución Dada una curva derivable = (), eláreadelasuperficie de revolución obtenida al girar la curva alrededor del eje entre los puntos de abcisa y es Z () p +[ ()] Ejemplo: Hallemos el área lateral de un cilindro de radio ydealtura. Podemos obtenerlo como revolución alrededor del eje de la curva constante de ecuación = en el intervalo []. Deestemodoeláreasería Z + = Z = Ejemplo: Hallemos el área de una esfera de radio. Podemos obtenerlo como revolución alrededor del eje de la curva = en el intervalo [ ]. Deestemodoeláreasería Z Z s+( = r Z ) + = r = = Z Z = =[].4. Longitud de un arco de curva =[ ( )] = [] =4 Dada una curva derivable = (), la longitud del arco de curva comprendido entre los puntos de abcisa y es Z p +[ ()] 3

4 Ejemplo:Hallemos la longitud de una circunferencia de radio 3 Podemos tomar, por ejemplo, la circunferencia de ecuación + =9. Basta hallar la longitud de la semicircunferencia superior =+ 9 y multiplicar por. Entonces la longitud es = s s +[ 9 ] = ( 3 ) =6. Monotoníadelaintegral r q ( 3 ) =6[arcsin 3 ] Si y son funciones integrables en [ ] tales que = 3 r 9 9 = =6[ ( )] = 6 () () [ ] entonces R R Como caso particular para =se obtiene que si es una función integrable en [ ] tal que () [ ] 3. Acotación de una integral entonces R Si es una función integrable en [ ] entonces la función es integrable en [ ] ysetieneque Z Z 4. Otras integrales impropias Además de las integrales impropias vistas en el tema (llamadas integrales impropias de primera especie), que se caracterizan por aparecer el símbolo en alguno de los (o en los dos) extremos de integración, hay otro tipo, las de segunda especia. Son de la forma Z siendo el intervalo de definición [ [ 4

5 en cuyo caso la función no está definida, en principio, en. Entonces el cálculo de la integral se realiza mediante el límite Z Z =lím o más brevemente, como hemos indicado en la primera integral impropia, poniendo Z =[()] = lím () () R Diremos que la integral es convergente si el límite anterior existe y es finito. Encaso de ser infinito tal límite diremos que la integral es divergente. Finalmente si dicho límite no existe diremos que la integral no existe. De modo similar ocurre para integrales impropias de la forma Z en caso de que el intervalo de definición sea ] ] en cuyo caso su cálculo se realiza mediante el límite Z Z = lím + o más brevemente, como hemos indicado en la primera integral impropia, poniendo Ejemplos: Z =[()] = () lím () +.. Z = [log ] La integral es divergente y su valor es. Z = = lím log log = log = = =[ ] =[ ] = (lím )= ( ) = + =+ + La integral es divergente y su valor es +. 5

6 3. log =[(log )] =log lím +(log ) = = lím + log lím + = = La integral es convergente y su valor es. Nota: El cálculo de la integral indefinida R log lo hemos hecho mediante el método de integración por partes tomando =log = con lo que = = por tanto Z Z log = log = log = (log ) Y el límite lím + log que en principio sale indeterminado del tipo ( ), paracalcularlolohemospuestoenla forma log lím + (que es del tipo ) y aplicando l Hôpital resulta que log lím + log = lím + + = lím = lím + = Ejemplo: Estudiar el área limitada por la curva = yeleje en el intervalo ] ]. El área se calcularía mediante la integral impropia De este modo el área es = =[ ] = = 6

7 Nota: La gráfica de la curva = es Ejemplo: Aquí tenemos un caso de integral impropia en los extremos (en cada uno de los extremos es impropia por un motivo distinto) + Z =[ ] + =[ lím + lím ]=[+ ] = + La integral es divergente con valor +. 7