Proceso selectivo profesores secundaria Madrid 2012, Física y Química 2 de julio de 2012 Revisado 21 junio 2018

Transcripción

1 Proeso seletivo profesores seundaria Madrid 212, Físia y Químia 2 de julio de Consideremos el esquema representado en la figura. En él una fuente láser F emite un haz (que supondremos, por senillez, plano) de freuenia angular ω, el ual se refleja en el espejo plano M y es reogido finalmente por un espetrosopio E. Hallar la freuenia ω medida por E en los tres asos siguientes: a) El espejo M se aleja on veloidad v de la fuente en la direión de propagaión del haz (E y F se mantienen fijos) b) La fuente láser se aleja on veloidad v de M en la direión de propagaión del haz (E y M se mantienen fijos). ) El espetrosopio E se aleja on veloidad v de la lámina semirrefletante L en la direión de propagaión del haz (F y M se mantienen fijos) Considerar las dos soluiones: v<< y v relativista. Asumimos que el medio es el vaío, que no se india explíitamente (salvo al menionar sin más) Teoría / disgresiones varias / alaraiones (esto no es neesario en examen, no es la soluión) Parte de estas disgresiones están inluídas en los apuntes de teoría de físia de 2º de Bahillerato de Lo primero a tener en uenta es que se trata de la luz, que tiene una veloidad de propagaión onstante en el vaío, independientemente del sistema de referenia desde el que se mida, de auerdo la Teoría de la Relatividad; da igual que se mueva foo, espejo o reeptor. Como se india que ontemplemos dos soluiones, debemos ontemplar dos asos que son distintos, en ada uno de ellos hay expresiones diferentes para efeto Doppler: 1. No relativista (v<<). Doppler lásio en variante asoiado a Luz on v <<, siendo v la veloidad relativa entre foo y observador. Caso movimiento objetos lásio/no relativista : f ' = v±v o f v onda, v o =v observador, v f =v foo, f' es la peribida por observador, f emitida. v±v f Aeramiento: f' (signo + en numerador si se aera observador y - en denominador si es el foo) Alejamiento: f' (signo - en numerador si se aleja observador y + en denominador si es el foo) Caso luz lásio/no relativista : Son expresiones resultado de aproximaión γ=1. Hay dos expresiones distintas! -Referenia en foo, observador móvil (enlaza on expresión lásia): f ' = ±v f General, v=v o -v f, veloidad relativa, + es aeramiento. Alejamiento relativo: f' (desplazamiento haia el rojo) (signo -) Aeramiento relativo: f' (signo +) -Referenia en observador, foo móvil (enlaza on expresión lásia) f ' = v f General, v=v f-v o, veloidad relativa, + es alejamiento. Alejamiento relativo: f' (desplazamiento haia el rojo) (signo + en expresión)

2 Proeso seletivo profesores seundaria Madrid 212, Físia y Químia 2 de julio de 212 Aeramiento relativo: f' (signo en expresión) Dos expresiones por ser aproximaión: a v<< ambas expresiones oiniden aunque no lo pareza! Se puede ver gráfia y ómo para veloidades no relativistas v<< on valores inferiores al 14%, la las distintas expresiones son asi equivalentes. Ángel Torregrosa 2. Relativista (v omparable a, se suelen onsiderar veloidades superiores a un 14% de que haen que el fator de Lorentz γ difiera un 1% de la unidad). Doppler relativista, v vuelve a ser veloidad relativa entre foo y reeptor; el término observador en relatividad se reserva para sistema de referenia. - Si asumimos sistema de referenia en foo, foo en reposo, v es veloidad del reeptor luz ( observador en fórmula Doppler lásia, que está en numerador de expresión lásia, y la veloidad del foo que va en denominador es ), y además habrá dilataión temporal Δt'(en movimiento, reeptor onda) = γδt (en reposo, foo), para el reeptor de la onda el ti de reloj dura más, por lo que reibe mayor antidad de osilaiones de la onda/fotones por segundo propio del reeptor y la freuenia reibida aumenta f'=γf. En este aso existen varias expresiones equivalentes para el término que relaiona f' y f: Alejamiento relativo: f' ( en numerador) f ' =γ ±v f =γ(1±β) f = (1±β) Aeramiento relativo: f' (+ en numerador) 1 β f = 1±β 2 1 β f - Si asumimos sistema de referenia en reeptor, reeptor en reposo, v es veloidad del foo de luz ( foo en fórmula Doppler lásia, que está en denominador de expresión lásia, y la veloidad del observador que va en numerador es ), y además habrá dilataión temporal Δt'(en movimiento, foo) = γδt(en reposo, reeptor onda), para el reeptor el ti de reloj dura menos, por lo que reibe menor antidad de ±v f = 1 γ 1 (1±β) f = 1 β2 1±β f = 1±β f ' = γ 1 1 β f osilaiones de la onda /fotones por segundo propio del reeptor y la freuenia reibida disminuye f'=f/γ

3 Proeso seletivo profesores seundaria Madrid 212, Físia y Químia 2 de julio de 212 f ' = 1±β 1 β f La expresión final es únia: ambas son y deben ser equivalentes por el prinipio de relatividad : desde todos los sistemas de referenia ineriales el resultado es el mismo, la eleión de sistema de referenia inerial no afeta al resultado. Es importante tener presente que aunque el Doppler en general es obliuo, solamente ontemplamos Doppler longitudinal (en la direión de propagaión) que es el de las expresiones mostradas. Existe Doppler relativista transverso relaionado on ángulos de 9º, pero no aplia a este aso ya que se habla siempre de direión de propagaión del haz Cómo aproximar? Se puede pensar en ver la situaión no relativista (v<<) omo una aproximaión de la relativista para veloidades no relativistas, y puede surgir la duda de que en general, v << implia β y γ 1 on lo que tendríamos que γ(1-β) 1 y tendríamos que no hay variaión de freuenia. Aunque pueda intentar asoiarse a la experienia esa no variaión ( hay variaión en el olor de la luz reibida desde un ohe en movimiento omo ourre on la freuenia del sonido reibido?), es erróneo, ya que sí sabemos que hay Doppler por ejemplo en un radar de mediión de veloidad donde hay variaión de freuenia aunque v <<. Aunque se esriba la expresión esrita omo f ' =γ(1±β) f hay que pensar en β no omo un parámetro relativista sino omo v/ donde es un aso onreto de veloidad de una onda onreta, mientras que γ sí viene de la dilataión de tiempo relativista. Si se aproxima γ 1 (sin dilataión temporal) pero manteniendo sin aproximar β omo v/ en esa expresión, se llegaría a la expresión no relativista. El heho de que γ inluya dentro β=v/ es lo que permite obtener expresiones simplifiadas para el aso de Doppler relativista longitudinal. Es habitual realizar una aproximaión por Taylor tomando unos poos términos (se puden los primeros términos de series de Taylor onretas usando por ejemplo %5E2), que por ierto me omentan en 218 que en algunos libros indian el terer término de ese desarrollo on un valor inorreto) Utilizamos f(x) para indiar funión genéria que no hay que onfundir on f de freuenia. f (x)= n= f (n ) (a) (x a) n n! Que se suele realizar para a=. f (x)= 1+ x 1 x f (x)=1+x+ 1 2 x x f (x)= 1 x 1+ x f ' =γ v 1 v f = 1+ v = f (1 v v v ) Enuniado india freuenia angular ω =2πf, por lo que omo se pide expresión ω podemos usar las expresiones anteriores, ambiando f' por ω y f por ω Resoluión a) Se aleja espejo M. Existe Doppler en reepión por espejo M, que al estar alejándose reibe freuenia menor, y existe Doppler en emisión por espejo M, que vuelve a ser un foo que se aleja. El efeto global es es omo si la veloidad de alejamiento del foo fuera el doble, lo que se puede razonar (obviando el papel de L que está en reposo respeto a foo F y reeptor E y que no interviene, y obviando dilataión temporal) pensando que reeptor en E ve la luz proedente de la imagen de F en M que es F', y que F' se aleja a veloidad aparente 2v, ya que por ada distania d que se aleja M, F' se aleja 2d. Consideramos fuente móvil, observador fijo:

4 Proeso seletivo profesores seundaria Madrid 212, Físia y Químia 2 de julio de 212 -No relativista: ω= +2v ω El desarrollo asoiado de serie de Taylor... ω=ω (1 2 v -Relativista: ω= 1 γ 1 2 v +2 v ω = ω 1+2 v v2 v ) 3 El desarrollo asoiado de serie de Taylor ω=ω (1 2 v v2 v ) 3 Se puede omprobar aproximando por Taylor los dos primeros términos de la aproximaión llevan a Se puede ver omo se podría plantear omo movimiento relativo, on foo fijo y veloidad observador v, y oinidiría on los dos primeros términos de las expresiones anteriores ω= 2v ω =(1 2 v )ω b) Se aleja foo F. Si F se aleja solamente existe efeto Doppler en reepión por alejamiento a veloidad v; espejo no influye porque F y F' se alejan a la misma veloidad. -No relativista: ω= +v ω El desarrollo asoiado de serie de Taylor... ω=ω (1 v + v2 v ) 3 -Relativista: ω= 1 γ 1 v +v ω = ω 1+ v El desarrollo asoiado de serie de Taylor ω=ω (1 v + 1 v v ) 3 Se puede omprobar aproximando por Taylor los dos primeros términos de la aproximaión llevan a Inluso se puede ver omo se podría plantear omo movimiento relativo, on foo fijo y veloidad observador v, y oinidiría on los dos primeros términos de las expresiones anteriores ω= v ω =(1 v )ω ) Se aleja espetrosopio E. El observador se aleja, hay alejamiento relativo y la freuenia disminuirá. -No relativista: ω= v ω =(1 v )ω No es neesario desarrollo en serie de Taylor. En situaión no relativista no es igual a situaión b) -Relativista: ω=γ v ω=ω (1 v v ω = 1+ v v v ) 3 ω

5 Proeso seletivo profesores seundaria Madrid 212, Físia y Químia 2 de julio de 212 Idéntio aso b relativista. Se puede omprobar aproximando por Taylor los dos primeros términos de la aproximaión llevan a