Ondas acústicas en un fluido viscoso y rotatorio; difracción en una ranura

Transcripción

1 Rev. Cub. Físia vol.6 No. A (009) p.1-17 ISSN: Original paper Revista Cubana de Físia Calle I No. 0 e/ 15 y 17 Vedado, La Habana. CP Seión Físia Teória Ondas aústias en un fluido visoso y rotatorio; difraión en una ranura José Marín Antuña a, Javier Pardo Vega b a) Faultad de Físia, Universidad de La Habana. marin@fisia.uh.u b) Faultad de Físia, Universidad de La Habana autor para la orrespondenia Reibido el 1/0/009. Aprobado en versión final el 0/07/009 Sumario. Se desribe la obtenión de una euaión no lásia en derivadas pariales de séptimo orden para desribir las osilaiones pequeñas en un fluido visoso, rotatorio y ompresible. A partir de las relaiones de dispersión de las ondas planas en tal fluido se saan onlusiones sobre las araterístias físias de la propagaión de las ondas en ese medio. Para un aso partiular de fluidos ideales rotatorios, se estudia la difraión de una onda estabilizada en una ranura sumergida en el fluido. Abstrat. We desribe the dedution of a non-lassial seventh order partial differential equation to desribe small osillations in a visous rotating ompressible fluid. Starting from the dispersion relations of plane waves in suh a fluid we onlude the physial harateristis of the wave propagation in that fluid. For a partiular ase of ideal rotating fluids we study the diffration of a steady-state wave in a slot in the fluid. Palabras lave. Hydrodynamis, applied fluid mehanis, Dh, Partial differential equations, 0.0.Jr, Diffration aoustial, *4.0.Fn. 1 Introduión En la Hidrodinámia ha apareido en los últimos tiempos un reiente interés por el estudio de los fluidos rotatorios 1, asoiados a los modelos de estrellas y otros uerpos elestes, así omo también a modelos del propio universo. En el artíulo que aquí presentamos se hae un estudio físio matemátio de euaiones no lásias para la desripión de ondas de pequeña amplitud en fluidos rotatorios visosos e ideales. La omplejidad de las euaiones, que resultan ser euaiones en derivadas pariales de séptimo orden para los fluidos visosos rotatorios ompresibles y de uarto orden para los ideales rotatorios ompresibles, respetivamente, hae pensar iniialmente en difiultades insalvables para su soluión analítia, o siquiera para el estudio de las propiedades eseniales de las ondas en tales medios, que pueden abordarse a partir del estudio de las relaiones de dispersión. Sin embargo, on la ayuda de operaiones matemátias onvenientemente apliadas se logra estudiar los proesos de propagaión de ondas en tales medios y desribir adeuadamente inluso los proesos de difraión ante determinadas barreras. En el artíulo presentamos un análisis de las relaiones de dispersión en fluidos visosos rotatorios ompresibles y un ejemplo de la difraión de Franhoufer de una onda plana en una ranura sumergida en un fluido ideal rotatorio ompresible. El tema tratado en este artíulo tiene importania en la atualidad, debido a la posibilidad de modelaión de problemas relaionados on la físia de las estrellas y del RCF vol. 6, No. A, 009. p. 1

2 osmos. Algunas ideas para un desarrollo ulterior de esta línea se esbozan al final del trabajo. Euaión de las ondas aústias Consideremos un fluido visoso y ompresible rotando omo un todo on veloidad angular onstante α/ alrededor de un eje dado. El movimiento del fluido está referido a un sistema artesiano de oordenadas (x 1,x,x ) que rota junto on el fluido. El eje Ox está dirigido a largo del eje de rotaión, y se onsideran pequeñas osilaiones de la presión y la densidad alrededor de su valor de equilibrio uando el fluido está en reposo, que representan las ondas aústias. Las euaiones que gobiernan los movimientos en tal fluido son: La euaión de Navier Stokes: v 1 1 ( v ) v p v ξ + = ( v ) + f (1) ρ ρ ρ La euaión de ontinuidad: ρ + ( ρv ) = 0 () La euaión de estado: p = p ρ, s () ( ) Considerando proesos isentrópios, se puede obtener para la euaión de ontinuidad la expresión 1 dp + ρ v = 0 (4) dt donde p = (5) ρ s y tiene el sentido físio de la veloidad del sonido en el fluido. Expresamos la presión y la densidad omo la suma de su valor en ausenia de la onda sonora y p ' y ρ ' ( p ρ ), más las pequeñas perturbaiones ( ) 0 0 debido a esta p = p + p ', ρ = ρ + ρ ' 0 0 on p ' p0 y ρ ' ρ0. Se tomarán omo antidades de primer orden de pequeñez a p ', ρ ' y v, y se despreiarán los términos de orden superior. Además, para poder despreiar el término no lineal en la euaiones de Navier-Stokes, se exige que la veloidad de las partíulas del fluido en la onda sea muho menor que la veloidad de fase de la onda. Se obtiene el sistema de euaiones linealizadas que desriben las osilaiones pequeñas en el fluido visoso rotatorio ompresible: v 1 1 α v p ' v ξ ( v ) = 0 (6) ρ ρ ρ p ' + ρ 0 v = 0 En lo adelante se denotará a para simplifiar la notaión. (7) p ' y ρ 0 omo p y ρ Operando on estas euaiones se llega a la expresión 1 ˆ p ˆ ˆ α ˆ p ˆ p O O N p + O α N = 0 (8) x donde los operadores que aquí apareen son: Ô = ρ y ˆ 1 N = 1 + ξ + (9) La euaión (8) también la satisfae las pequeñas variaiones de la densidad. Casos partiulares Como asos partiulares de la euaión (8) tenemos que, si onsideramos un fluido ideal rotatorio, es deir, si despreiamos los oefiientes de visosidad (ξ=0, = 0), (8) se redue a 1 p α p p p 0 + α = (10) x La ual oinide on la euaión uya deduión fue publiada en la referenia [1]. Como se apreia, es una euaión no lásia de uarto orden en derivadas pariales que satisfaen tanto la presión dinámia del fluido, omo las omponentes de la veloidad de las partíulas del fluido. Para fluidos visosos no rotatorios (α = 0) la euaión (8) se transforma en la euaión 1 p M p p = 0 (11) donde M es el parámetro fundamental de visosidad y lo definimos omo 1 4 M = ξ + (1) ρ La euaión (11) fue publiada por J. Marín y O. Sotolongo. En el aso de un fluido ideal en ausenia de rotaión (α = 0, ξ=0, = 0), (8) se transforma en la onoida euaión de las ondas en un medio: 1 p p = 0 (1) omo era de esperar. 4 Relaiones de dispersión A fin de estudiar las araterístias de la propagaión de las ondas aústias en un fluido visoso rotatorio uyos movimientos se desriben mediante la euaión (10), propongamos una soluión en forma de una onda monoromátia plana p p exp i ( = k r ) t (14) donde k es el vetor de onda, es la freuenia y p es la amplitud. La relaión de dispersión que se obtiene es RCF vol. 6, No. A, 009. p. 14

3 α O + ik O N + O + iα Nk os 0 (15) donde O y N se expresan por i O = k i ρ y N = 1 ξ + Hemos llamado θ al ángulo que forma el vetor de onda on el eje de rotaión del fluido. La euaión (15) es una euaión algebraia de terer grado en k por lo que tiene 6 raíes, tres de las uales dan resultados sin sentido físio, pues en un medio visoso la amplitud de la onda que se propaga no puede ser reiente, por lo que las desehamos. De esta manera tenemos tres modos posibles k = k( ) de propagaión de las ondas en el fluido visoso rotatorio ompresible. La euaión (15) debe tratarse numériamente porque su soluión analítia es de difíil interpretaión. La relaión de dispersión (15) ontiene omo asos partiulares la relaión de dispersión de fluido ideal rotatorio [1] y de un fluido visoso sin rotaión []. La rotaión del fluido ejere su mayor influenia en la propagaión de la onda sonora para freuenias del orden de veloidad angular de rotaión y menores, y es despreiable uando α. Mientras que la visosidad es despre- iable para freuenias tales que y, ξ y su influenia es notable para freuenias que umplan ξ + o, y mayores. La razón entre los parámetros del fluido, determinará su omportamiento ualitativo en la propagaión de las ondas aústias. El segundo oefiiente de visosidad ξ es usualmente del mismo orden de magnitud que el oefiiente de visosidad, lo ual se tendrá en uenta para el análisis de la relaión de dispersión. Entones, puede sueder que 1, 1 o 1. Seaτ el α α α tiempo araterístio de propagaión de la onda sonora y se define las magnitudes adimensionales κ = kτ y γ = τ. α Para 1 (Figuras 1 y ) tenemos que para on- das on freuenias tales que 1 o mayores, la rotaión deja de ser importante, y predomina una de las re- laiones k = k( ) que tiene un omportamiento similar al de un fluido visoso no rotatorio. En aso de freuenias que umplan / α 1 y 1 tanto la rota- ión omo la visosidad son poo relevantes y prevalee una relaión del tipo k = /. Si / α > osθ y / α no es muho mayor que 1, impera una de las funiones k = k( ) on las araterístias de un fluido ideal rotatorio (las otras dos se amortiguan rápidamente). Figura 1. Parte real de los modos k = k( ) para 1 ξ =, 10 τ =, 1 ατ = y π Figura Parte imaginaria de los modos k = k( ) para 1 ξ =, 10 τ =, 1 ατ = y Figura Relaión de dispersión (parte real) para 1 ξ 4 / + =, 1 τ =, ατ = 1 y π 6 π Para / α osθ, prinipalmente on / α < osθ la propagaión de las ondas aústias es distintiva de un fluido visoso y rotatorio. En los fluidos ideales rotatorios se observa que para estas freuenias la urva k = k( ) presentaba una divergenia [1]. Pero esto no RCF vol. 6, No. A, 009. p. 15

4 ourre aquí, porque inluso para visosidad muy pequeña, esta ejere una influenia notable en esta región de freuenias. No puede existir esta divergenia porque ello impliaría gradientes demasiado pronuniados, lo ual es ontrarrestado por la visosidad. Por último, si / α osθ prepondera una de las funiones k = k( ) on las araterístias de un fluido ideal rotatorio. α α Cuando 1 (Figuras y 4) o 1, resulta que para freuenias que satisfaen la ondiión / α 1, el medio se omporta omo un fluido visoso no rotatorio, aunque estas ondas se amortiguan rápidamente. Para freuenias que umplan 1 y / α osθ la visosidad no ejere muha influenia. Las ondas on las freuenias restantes presentan el omportamiento propio de un fluido visoso y rotatorio. En general la onda sonora será una superposiión de las tres relaiones k = k( ). ' u + u = 0 (18) Figura 4 Relaión de dispersión (parte imaginaria) on parámetros ξ 4 / 1 + =, 1 τ =, ατ = 1 y π 6 5 Difraión de una onda plana en una ranura en un fluido ideal rotatorio Como una apliaión senilla de las euaiones estudiadas, proponemos el estudio de la difraión de una onda del tipo ( 1 ) u( x, t) ( t x1 ) e i kx = θ t en donde θ(t) es la funión de Heaviside de paso unitario que define un frente de onda que viaja de izquierda a dereha en el fluido rotatorio uyos movimientos se desriben por la euaión (10). Aquí u(x,t) tiene el sentido físio de la omponente del vetor de veloidad de las partíulas del fluido en la direión del eje Ox 1, además se supone que > α. Coloquemos en el fluido una barrera Γ 1 Γ que definen una ranura en ella de anho l, omo se muestra en la figura 4. A fin de simplifiar los álulos onsideraremos el estado estaionario de la onda, uando t. Es posible ver que en el régimen estabilizado que se obtiene la onda adopta la expresión estabilizada u( x, t) = u( x) e it (16) y la euaión (10) se onvierte para este régimen estabilizado en α u α u + u = 0 (17) x donde u es aquí la amplitud de las ondas estabilizadas. La euaión (17) permite un tratamiento senillo mediante el ambio de variables siguiente: α α x ' 1 = 1 x 1, x ' = 1 x, x ' = x Entones la euaión en las variables primadas adopta la forma de la siguiente euaión de Helmholtz: Figura 4. Ranura de anho l en la pared Γ 1 Γ sumergida en el fluido ideal rotatorio ompresible. Figura 5 Cuadro de difraión en la ranura de anho l. Nótese el patrón en forma de elipse En la euaión (18) el laplaiano primado signifia que las derivadas son aluladas on respeto a las variables x i on i=1,,. Un patrón típio de difraión dado por la soluión del problema de difraión en la ranura puede verse en la figura 5. Donde se apreia que, a diferenia del uadro de difraión en una ranura en un fluido no rotatorio, en el que se obtendría un uadro de difraión esfério, aquí se obtiene un uadro de difraión sobre una elipse detrás de la ranura, lo que se explia fáilmente por el ambio de variables realizado. RCF vol. 6, No. A, 009. p. 16

5 6 Conlusiones En el tratamiento de los problemas de propagaión de ondas en fluidos rotatorios nos enfrentamos a euaiones difereniales en derivadas pariales no lásias de uarto y séptimo orden. Para determinadas geometrías y ondiiones de régimen de ondas estabilizadas obtuvimos on failidad el uadro de difraión de tales ondas. En barreras de menor omplejidad, tales omo paredes simples sumergidas en el fluido hemos podido obtener los uadros de difraión para etapas tempranas de la exitaión de las ondas, bien lejos del estado estabilizado, lo que ha sido publiado en varios artíulos anteriores 6 y otros. En trabajos futuros inluiremos ampos magnétios en los proesos desritos por estas euaiones a fin de lograr un aeramiento mayor al tema de la modelaión de estrellas. Agradeimientos Queremos agradeer a la Soiedad Cubana de Físia y su revista la posibilidad de exponer estos resultados. Igualmente queremos agradeer a los olegas del Departamento de Físia Teória de la Faultad de Físia de la Universidad de La Habana las interesantes disusiones sobre el tema durante las presentaiones del segundo autor de este trabajo en sus defensas de trabajo de urso y en la Jornada Científia Estudiantil de la arrera de Físia. Referenias 1. J. Marín-Antuña, R. L. Hall, N. Saad, Physis Letters A 6 (007) 57.. Y. D. Chashehkin, International Conferene on Boundary and Interior Layers BAIL 004, Tolouse, Frane, July J. Marín, O. Sotolongo, RCF 11, 1 (1991) L. D. Landau, E. M. Lifshitz, Fluid Mehanis, seond ed., Butterworth-Heineman, L. M. Brekhovskikh, V. Gonharov, Mehanis of Continua and Wave Dynamis, seond ed., Springer Series on Wave Phenomena, Vol. 1, Springer-Verlag, New York, S. A. Gabov, J. Marín-Antuña. Mosow Univ. News,, 6 (1985). RCF vol. 6, No. A, 009. p. 17