INFLUENCIA DE LA VISCOSIDAD VARIABLE EN EL PROCESO DE CONDENSACIÓN DE PELÍCULA LAMINAR (PROBLEMA CONJUGADO)

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1 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA. SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN INFLUENCIA DE LA VISCOSIDAD VARIABLE EN EL PROCESO DE CONDENSACIÓN DE PELÍCULA LAMINAR (PROBLEMA CONJUGADO) T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA MECÁNICA P R E S E N T A: ING. JOSÉ CARLOS ARCOS HERNÁNDEZ. DIRECTORES DE TESIS: DR. OSCAR ELADIO BAUTISTA GODÍNEZ. DR. FLORENCIO SÁNCHEZ SILVA. Méxio D.F. Marzo, 7

2 A mis padres, Elodia Ma. del Carmen y Félix Manuel; y hermanos, Verónia, Angélia y Emmanuel. A mi esposa, Gaby. Para ti, Jan Carlo.

3 AGRADECIMIENTOS: Al Dr. Osar Eladio Bautista Godínez, por sus enseñanzas, disposiión y gran apoyo para llevar a abo la realizaión del presente trabajo. Al Dr. Federio Méndez Lavielle, por sus importantes omentarios y apoyo en esta propuesta de estudio. Al Dr. Florenio Sánhez Silva, por sus valiosos omentarios y sugerenias para el desarrollo de este trabajo. Al Instituto Politénio Naional, por la bea SUPERA que se me otorgo durante mis estudios. Al LABINTHAP, por las failidades y el apoyo que me brindaron durante mi estania de estudios.

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6 CONTENIDO RESUMEN ABSTRACT INDICE DE FIGURAS NOMENCLATURA INTRODUCCIÓN i ii iii vi viii CAPÍTULO I.- ANTECEDENTES DE LA CONDENSACIÓN. Estado del arte. Tipos de ondensaión.. Condensaión por pelíula laminar.. Condensaión por goteo 9 CAPITULO II.- MODELO MATEMÁTICO. Formulaión del problema. Determinaión de los órdenes de magnitud 5. Órdenes de magnitud en la pelíula de ondensado 5. Planteamiento matemátio 8.. Adimensionalizaión de las euaiones que desriben el proeso de ondensaión.. Euaión en el sólido Condiiones de frontera en el sólido.. Euaión en la pelíula de fluido ondensado..5 Condiiones de frontera asoiadas on la pelíula de ondensado 5

7 CAPITULO III.- ALGORITMO DE SOLUCIÓN 8. Soluión asintótia 9.. Generalidades de las ténias de perturbaión regular 9.. Soluión asintótia para Ja y Pr. Análisis del esquema numério era de los valores rítios 9 CAPITULO IV.- ANÁLISIS DE RESULTADOS 5. Análisis paramétrio de los resultados numérios y analítios 5. Comparaión on los resultados de otros autores 67. Limitaiones del modelo propuesto 7 CONCLUSIONES 76 RECOMENDACIONES 77 REFERENCIAS 78 Apéndie Desarrollo del método de perturbaión 8

8 RESUMEN En esta tesis se presenta el estudio teório de la influenia de la visosidad variable en la ondensaión de pelíula laminar sobre una aleta retangular que se enuentra inmersa en un vapor saturado. Las euaiones de antidad de movimiento y de la energía en la pelíula de ondensado así omo la euaión de la energía en la aleta, se redujeron a un sistema no lineal de dos euaiones difereniales ordinarias en funión de la temperatura adimensional en la aleta χ, además de ino θ( χ ) y del espesor adimensional de la pelíula de ondensado ( ) parámetros adimensionales omo son, el número de Prandtl en el ondensado, Pr, el número de Jaob, Ja, un parámetro adimensional de onduión de alor en la aleta, α, que representa la ompetenia entre el flujo de alor onduido a través de la aleta y el flujo de alor transferido haia la plaa desde la fase ondensada, la razón de esbeltez de la aleta ε y de un parámetro adimensional, β, en el que se involuran efetos de la visosidad variable on la temperatura del fluido ondensado. Para obtener el espesor adimensional de la pelíula de ondensado a lo largo de la aleta y de igual forma la temperatura adimensional en la misma, las euaiones de balane aopladas se integran en el límite asintótio, es deir, uando Ja. Por otro lado para valores finitos de los parámetros β y α, se muestra que el efeto de la visosidad variable del fluido ondensado on la temperatura onsiderando que la pared de la aleta es noisotérmia, modifian sustanialmente la soluión lásia de Nusselt (96), donde α y β =. El problema se resuelve para el aso de pared térmiamente delgada donde α/ ε y β tiene valores finitos, empleando ténias de perturbaión regular y para la soluión numéria se utilizo el método de Runge-Kutta de uarto orden. Por último se obtuvo el número de Nusselt promedio en funión de los parámetros α y β y el espesor araterístio adimensional de la pelíula de ondensado en la base de la aleta f. Con el propósito de presentar resultados realistas de los prinipales parámetros adimensionales se utilizaron dos fluidos agua y etilen-gliol, para determinar la efiienia de la aleta para el aso de visosidad onstante y visosidad variable. i

9 ABSTRACT The theoretial study of variable visosity effets on a laminar film-ondensation taking plae along a vertial fin immersed in a saturated vapor is treated in this ork. The momentum and energy balane equations for the ondensate film and the energy equation for the vertial fin are redued to a non-linear system of to ordinary differential equations. The θ χ and non-dimensional resultant equations are funtion of non-dimensional fin temperature ( ) ondensate thikness ( χ ). There ere obtained, five non-dimensional parameters like, the Prandtl number at the ondensate, Pr, the Jakob number Ja, a onjugate heat transfer parameter α, that represents the relationship beteen the heat onduted by the fin in the longitudinal diretion to the heat onduted through the ondensate film, the aspet ratio of the fin ε, and finally a non-dimensional parameter β, that takes into aount the effet of the variable visosity ith the ondensate temperature. In order to predit the non-dimensional thikness of the ondensate layer ( χ ), and the nondimensional temperature θ( χ ) along the fin, the oupled balane equations ere integrated under the asymptoti limit of Ja. On the other hand, for finite values of the parameters β and α, it is shon that the effet of the variable visosity on the fluid ondensate temperature, onsidering non-isothermal onditions on the all of the fin, modifies substantially the lassial solution of Nusselt (96), for the ase here α and β =. The set of equations as solved for the thermally thin all regime, here α/ ε and β has finite values, applying regular perturbation tehniques and for the numerial solution e used the Runge-Kutta method of fourth order. Finally e obtained the average Nusselt number as a funtion of the parameters α and β and the normalized thikness of the ondensate layer at the base fin, f. In order to get realisti values of the main non-dimensional parameters, to fluids like ater and ethylene-glyol ere onsidered to obtain the fin effiieny for to different ases for onstant visosity and variable visosity. ii

10 INDICE DE FIGURAS Pagina - Modos de ondensaión. - Esquema de la ondensaión por pelíula sobre una plaa vertial. 5 - Condensaión por goteo - Esquema del modelo físio en estudio. - Representaión esquemátia de la ondensaión de pelíula laminar, para el análisis del flujo másio de ondensado por unidad de profundidad de la aleta. - Volumen de ontrol diferenial dentro de la pelíula de ondensado. - Representaión esquemátia de la ondiión de frontera en la direión transversal de la aleta. - Soluión numéria del perfil de temperatura, θ ( ) χ omo una funión de la oordenada longitudinal χ, on un β =, para distintos valores de α y para el valor rítio de * α. - Soluión numéria del perfil de temperatura, θ ( ) χ omo una funión de la oordenada longitudinal χ, on un β =.5, para distintos valores de α y * para el valor rítio de α. - Soluión numéria del perfil de temperatura, θ ( ) χ omo una funión de la oordenada longitudinal χ, on un β =.5, para distintos valores de α y * para el valor rítio de α. - Soluión numéria del espesor adimensional de la apa de ondensado, omo una funión de la oordenada χ, para diferentes valores del parámetro * α y β =. on un valor rítio de α. -5 Soluión numéria del espesor adimensional de la apa de ondensado, omo una funión de la oordenada χ, para diferentes valores del parámetro * α y del valor rítio α on un β = Soluión numéria del espesor adimensional de la apa de ondensado, omo una funión de la oordenada χ, para diferentes valores del parámetro * α y del valor rítio α on un β = Número de Nusselt loal modifiado para distintos valores de α y un β =, * on un valor rítio de α Número de Nusselt loal modifiado para distintos valores de α y un 57 iii

11 * β =.5, on un valor rítio de α. -9 Número de Nusselt loal modifiado para distintos valores de α y un * β =.5, on un valor rítio de α. - Número de Nusselt promedio modifiado omo funión del parámetro β para * distintos valores de α y para un valor rítio de α = α. - Soluión numéria del espesor adimensional en la base de la aleta omo funión del parámetro β para distintos valores de α y para un valor rítio * de α = α. - Relaión del flujo másio de ondensado y del parámetro Π, en funión de * β para distintos valores de α y para el valor rítio α. - Soluión asintótia del espesor adimensional de la apa de ondensado, omo una funión de la oordenada χ, para diferentes valores del parámetro β on un α = Soluión asintótia del espesor adimensional de la apa de ondensado, omo una funión de la oordenada χ, para diferentes valores del parámetro β on un α =. -5 Soluión asintótia del espesor adimensional de la apa de ondensado, omo una funión de la oordenada χ, para diferentes valores del parámetro β on un α = Soluión asintótia del perfil de temperatura, θ ( ) χ omo una funión de la oordenada longitudinal χ, para distintos valores del parámetro β on un α =. -7 Soluión asintótia del perfil de temperatura, θ ( ) χ omo una funión de la oordenada longitudinal χ, para distintos valores del parámetro β on un α =. -8 Soluión asintótia del perfil de temperatura, θ ( ) χ omo una funión de la oordenada longitudinal χ, para distintos valores del parámetro β on un α = Comparaión de los resultados analítios y numérios del espesor adimensional en funión de la oordenada longitudinal χ, para un β = y un α = iv

12 - Comparaión de los resultados analítios y numérios del espesor adimensional en funión de la oordenada longitudinal χ, para un β = y un α = 5. - Comparaión de los resultados numérios y analítios de la temperatura θ χ, omo una funión de la oordenada longitudinal χ, adimensional ( ) on un β = y un α =. - Comparaión de los resultados numérios y analítios de la temperatura θ χ, omo una funión de la oordenada longitudinal χ, adimensional ( ) on un β = y un α = 5. - Comparaión de los resultados analítios y numérios del espesor adimensional en funión de la oordenada longitudinal χ, para un β =.5 y un α =. - Comparaión de los resultados analítios y numérios del espesor adimensional en funión de la oordenada longitudinal χ, para un β =.5 y un α = Comparaión de los resultados numérios y analítios de la temperatura θ χ, omo una funión de la oordenada longitudinal χ, adimensional ( ) on un β =.5 y un α =. 7-6 Comparaión de los resultados numérios y analítios de la temperatura θ χ, omo una funión de la oordenada longitudinal χ, adimensional ( ) on un β =.5 y un α = Comparaión de los resultados analítios y numérios del espesor adimensional en funión de la oordenada longitudinal χ, para un β =.5 y un α =. -8 Comparaión de los números de Nusselt modifiado y el obtenido de la soluión lásia de Nusselt. -9 Comparaión de las efiienias de la aleta durante el proeso de ondensaión, para el agua, on un T = K. (es..6 y.7) INDICE DE TABLAS - Valores numérios de los parámetros araterístios adimensionales de la ondensaión del vapor de agua y del etilen-gliol a una presión absoluta de p = atm v

13 NOMENCLATURA Símbolo Desripión Unidades A Constante de la e. (.7). B Constante de la e. (.7). b Profundidad de la aleta. m C Constante de la e. (.7). Calor espeífio del ondensado. J kg K D Constante de integraión de la e. (.). f Funión de orriente adimensional. g Aeleraión de la gravedad. ms h f Entalpía del ondensado. Jkg h g Entalpía del vapor saturado. Jkg h fg Calor latente de ondensaión. Jkg h Calor latente de ondensaión definido en la e. (.7). fg h Espesor de la aleta. m Ja Número de Jaob definido en la e. (.5a). L Longitud de la aleta. m m Tasa de flujo másio de ondensado para β kg s ( m ) Tasa de flujo másio de ondensado para α kg s Nu Número de Nusselt del ondensado. Número de Nusselt modifiado. Nu Nu Número de Nusselt promedio Nu χ Numero de Nusselt loal p Presión. N m Pr Número de Prandtl del ondensado. q Flujo de alor a través de la pelíula de ondensado. W q Flujo de alor transferido haia la aleta W p Re Número de Reynolds del ondensado. T Temperatura. K T Temperatura en la base de la aleta. K T Temperatura del vapor saturado. K s T Temperatura de la aleta. K T Temperatura promedio en la pelíula de ondensado. K f u, v Veloidades longitudinal y transversal del fluido ondensado. ms uv, Veloidades longitudinal y transversal adimensionales. x, y Coordenadas artesianas. Z Coordenada transversal adimensional de la aleta definida en la e. (.5). vi

14 Letras griegas α Parámetro adimensional de onduión de alor definido en la e. (.6). α Parámetro adimensional rítio de onduión de alor. α Parámetro adimensional definido en e. (.76). α Parámetro adimensional definido en e. (.77). β Parámetro adimensional definido en e. (.78). β Parámetro adimensional definido en e. (.8). φ Variable adimensional definida en la e. (.7) χ Coordenada longitudinal adimensional. Espesor normalizado de la pelíula de ondensado. δ Espesor de la apa de ondensado. m δ L Espesor normalizado de la pelíula de ondensado en la base de la aleta. m ε Relaión de esbeltez de la aleta. ζ Variable adimensional definida en la e. (.7) Γ Flujo másio de ondensado por unidad de profundidad de la aleta. kg s m γ Parámetro adimensional definido en la e. (.5b). η Efiienia de la aleta Coordenada transversal adimensional para la pelíula de ondensado. η λ Condutividad térmia de la pelíula de ondensado. W m K λ Condutividad térmia de la aleta. W m K µ Visosidad dinámia del ondensado. kg s m µ Visosidad dinámia definida en la e. (.75). µ Visosidad dinámia de referenia para β = µ Visosidad dinámia definida en la e. (.8). µ Visosidad adimensional definida en la e. (.8). ν Coefiiente de visosidad inemátia del ondensado. m s Π Parámetro definido en e. (.). θ Temperatura adimensional de la pelíula definido en e. (.6). θ Temperatura adimensional de la aleta definido en e. (.55). θ Temperatura adimensional en el borde prinipal de la aleta, e. (.5) l ρ Densidad del ondensado. kg m ρ Densidad del vapor saturado. v kg m σ Parámetro de perturbaión, /α Subíndies Referente al ondensado. L Referente a ondiiones en la base de la aleta. Referente a ondiiones en la aleta. vii

15 INTRODUCCIÓN Los ondensadores de vapor onstituyen relevantes sistemas para la ingeniería térmia en los uales se llevan aabo de forma general, una gran diversidad de proesos ombinados de interambio térmio, a saber: onduión, onveión y radiaión. El análisis de la transferenia de alor en una pelíula de fluido ondensado representa una importante área para el diseño de sistemas de interambiadores de alor, dentro de los uales existe un tipo en espeífio que es el de aletas. El fenómeno de ondensaión ourre uando un vapor entra en ontato on una superfiie uya temperatura se enuentra por debajo de la temperatura de saturaión de diho vapor, iniiándose el ambio de fase. Si la ondensaión toma lugar ontinuamente sobre la superfiie y el líquido ondensado se remueve de la superfiie por el movimiento que resulta de las fuerzas de gravedad, entones la superfiie ondensante se ubrirá on una pelíula nueva, a este meanismo se le onoe omo ondensaión peliular. Por otro lado, bajo iertas ondiiones, omo por ejemplo si existen manhas de grasa durante la ondensaión del vapor, la pelíula de ondensado se divide en pequeñas gotas, a esta situaión se le denomina ondensaión por gotas. Sin onsiderar ual es la forma del proeso de ondensaión, la presenia del fluido ondensado atúa omo una resistenia térmia a la transferenia de alor desde el vapor haia la superfiie metália. El proeso de ondensaión de pelíula es el que ofree mayor resistenia térmia al ompararlo on la ondensaión por gotas; por otro lado, si el vapor es una mezla que ontienen algunos gases no ondensables, éstos atúan omo una resistenia térmia adiional al flujo de alor en el lado ondensante debido a que el vapor debe difundirse a través de los gases no ondensables antes de que entre en ontato on la superfiie fría. Por lo tanto, un laro entendimiento del meanismo de transferenia de alor y una prediión preisa del oefiiente de transferenia de alor para vapores ondensables on y sin presenia de gases no ondensables son de suma importania en el diseño de los ondensadores. La literatura espeializada relaionada on el diseño de interambiadores de alor [], de manera simplifiada, supone ondiiones isotérmias en los proesos en los que se lleva aabo el proeso de interambio térmio además de onsiderar la visosidad onstante de la pelíula de ondensado on la temperatura, evidentemente esta situaión es hipotétia, ya que realmente las ondiiones de operaión de dihos dispositivos varían en el espaio y tiempo, de tal manera que al onsiderar ondiiones isotérmias en el diseño de estos se están sobreestimando los oefiientes onvetivos de alor. Lo anterior trae omo onseuenia diseños de interambiadores de alor inefiientes, lo que normalmente se tradue en ostos elevados. Debido a lo anterior, en el presente trabajo surge la inquietud de llevar a abo un análisis teório del aoplamiento que existe entre los diferentes proesos de transferenia de alor que onforman el fenómeno en estudio: ondensaión de pelíula laminar sobre la superfiie de una aleta retangular uya viii

16 temperatura varía en direión longitudinal (ondiión no isotérmia). A este tipo de problemas se le ha denominado problemas de transferenia de alor onjugados []. La importania en el presente estudio es onsiderar la visosidad del fluido ondensado variable on la temperatura para estudiar su influenia sobre el proeso onjugado de transferenia de alor en el fenómeno de ondensaión de pelíula laminar, on el propósito de obtener soluiones más realistas a trabajos previos que se han desarrollado en esta área. Para lograr el objetivo anterior, esta tesis se enuentra integrada en uatro apítulos: En el apitulo uno, se desriben los anteedentes de la ondensaión, a partir del primer trabajo heho por Nusselt [], indiando las prinipales onsideraiones que se han heho a los diferentes estudios en uestión. Además se muestran las diferentes maneras en las que se presenta la ondensaión, haiendo énfasis en los meanismos de ondensaión por pelíula y en gotas. Habiendo revisado las suposiiones hehas en trabajos previos de la ondensaión, en el apitulo dos, se presenta la propuesta de estudio. Partiendo del modelo físio (aleta pelíula de ondensado) se determinan los órdenes de magnitud de las prinipales variables en uestión, para posteriormente llevar a abo la adimensionalizaión de las euaiones de antidad de movimiento onsiderando la visosidad variable para la pelíula de ondensado, la euaión de la energía en la pelíula y la euaión de Laplae para la aleta de ondensado así mismo se determinan las ondiiones de frontera tanto para el sólido omo para el fluido y finalmente se esriben las euaiones difereniales aoplando la aleta on el fluido ondensado (problema onjugados de transferenia de alor). Posteriormente en el apitulo tres, se desarrolla la metodología de soluión de las euaiones de antidad de movimiento y de la energía para el fluido ondensado onsiderando Ja y Pr, además se muestran las metodologías de las soluiones analítia y numéria de las euaiones aopladas en la aleta y el fluido para determinar la temperatura adimensional en direión longitudinal y el espesor adimensional de la pelíula, empleando ténias de perturbaión para el método analítio y Runge-Kutta de uarto orden para la soluión numéria. Finalmente en el apitulo uatro, se analizan los resultados numérios y analítios de la temperatura y del espesor adimensionales en funión de los parámetros β y α. Por otro lado para la soluión numéria se muestran los números de Nusselt loal y promedio para diferentes valores de los parámetros involurados. Para determinar el flujo másio de ondensado se presentan los resultados numérios del espesor araterístio adimensional en la base de la aleta. También se presenta la efiienia de la aleta. Por último, se realiza la omparaión de la soluión asintótia on la numéria y on las soluiones obtenidas por Nusselt y F. Méndez. ix

17 CAPITULO I ANTECEDENTES SOBRE LA CONDENSACIÓN En este apitulo se presentan los anteedentes sobre los estudios de la ondensaión, a partir del primer trabajo heho por Nusselt, indiando las prinipales onsideraiones que se han heho a los diferentes estudios en uestión.

18 CAPÍTULO I ANTECEDENTES DE LA CONDESACIÓN. ESTADO DEL ARTE. Desde el análisis lásio de Nusselt [] en la ondensaión de pelíula sobre una plaa vertial plana, los estudios teórios de ondensaión de pelíula laminar han reibido onsiderable atenión en la literatura. Al igualar las fuerzas de gravedad y visosas, Nusselt obtuvo el espesor de la apa de ondensado de un vapor puro saturado en ontato on una plaa vertial de temperatura uniforme, demostrando buena preisión on respeto a observaiones experimentales. Bromley [], mostró que es posible onsiderar la apaidad térmia del ondensado omo una orreión de primer orden para reproduir un número de Nusselt modifiado. Por otro lado, Rohseno [], modifio el análisis de Nusselt al inluir los efetos onvetivos en la euaión de balane de energía del ondensado, sin embargo su análisis no inluyó las fuerzas ineriales. Sparro y Gregg [], introduiendo un tratamiento de apa límite y transformaiones de semejanza de las euaiones que desriben el fenómeno físio, demostraron que los efetos ineriales en la transferenia de alor no son importantes si el número de Prandtl es mayor a y son muy pequeños aun para números de Prandtl de orden unidad. La importania de tales resultados ha sido bien reonoida y doumentada por Merte [9]. A su vez, Chen [5] resolvió las euaiones integrales de la apa límite por métodos de perturbaión, inluyendo el efeto retardante del esfuerzo ortante del vapor sobre la pelíula de ondensado. Una omparaión de los resultados obtenidos por Sparro y Gregg [] on las obtenidas por Chen demuestran que la influenia del esfuerzo ortante en la interfase líquidovapor es despreiable para altos números de Prandtl. Para tener una estimaión más preisa, Koh et al. [6], inluyendo el esfuerzo ortante interfaial por el uso de euaiones simultaneas de las euaiones de apa límite en el vapor y ondensado y onluyeron que el efeto del esfuerzo ortante es úniamente signifiante uando la razón de ondensaión es sufiientemente alta. Resultados semejantes fueron obtenidos por Rose [], usando una aproximaión de semejanza, onfirmando las ideas de Chen y obteniendo expresiones más preisas para el número de Nusselt. Reientemente Churhill [7] desarrollo una soluión aproximada para el método de Koh et. al., inluyendo, en forma general, el efeto de urvatura en la ondensaión. El estado del arte en el análisis de ondensaión de pelíula laminar en plaas vertiales y otros proesos de ondensaión se enuentran en Rose [] y más reientemente en Tanasaa []. Los estudios anteriores se apliaron a plaas vertiales isotérmias, on temperatura onoida. Sin embargo, estudios teórios de proesos de ondensaión de pelíula on ondiiones no isotérmias han reibido poa atenión en la literatura. En partiular, Patankar y Sparro [] resolvieron el problema de ondensaión en una superfiie extendida onsiderando la onduión de alor en una aleta aoplada on el proeso de ondensaión. Su soluión numéria de las

19 CAPÍTULO I ANTECEDENTES DE LA CONDESACIÓN euaiones gobernantes onfirma la influenia térmia de la superfiie extendida no isotérmia en el proeso de ondensaión. Posteriormente, Wilkins [] demostró que es imposible obtener una soluión analítia explíita para la formulaión de Pantankar y Sparro. Para extender esos asos partiulares on ondiiones no isotérmias, Sarma et al. [5], estudiaron el proeso de ondensaión en una aleta plana vertial de espesor variable, aoplando las euaiones que desriben el fenómeno físio, demostrando que la interaión entre la aleta y el líquido ondensado, debido a la transferenia de alor, es muy importante. Chen et. al [] resolvieron la interaión aoplada en la presenia del esfuerzo ortante en la interfase líquido-vapor, indiando la influenia de los números adimensionales de Prandtl, Pr, número de Jaob, Ja, sobre el número de Nusselt, Nu. Resultados experimentales han sido orrelaionados por Chen et. al. [6]. Méndez y Treviño [7], al analizar el proeso de ondensaión de pelíula laminar ausada por un flujo de enfriamiento, impuesto sobre una plaa plana vertial, en la ual la temperatura varia a lo largo de ésta, obteniendo la soluión lásia de Nusselt, omo un aso partiular del problema onjugado de transferenia de alor. En onseuenia Méndez y Treviño [8], estudiaron el proeso onjugado de la transferenia de alor en la ondensaión de un vapor puro sobre una aleta retangular, en su trabajo inluyeron los efetos de la onduión de alor en la direión longitudinal y transversal; empleando ténias de perturbaión resolvieron las euaiones aopladas de antidad de movimiento y energía omparando los resultados on soluiones numérias. Los modelos obtenidos fueron apliados a los fluidos R, HO y NH. Finalmente en la mayoría de las investigaiones realizadas sobre transferenia de alor en la ondensaión que se itaron anteriormente, onsideran que la visosidad de la pelíula de ondensado es onstante. Esta simplifiaión en muhos asos prátios no es válida (diseño de ondensadores de vapor). El presente trabajo tiene el propósito de estudiar la transferenia de alor en una aleta retangular, donde la visosidad varía omo una funión de la temperatura del ondensado [9]. Después de haber desrito el panorama reiente de la ondensaión, en el siguiente tema se desriben los modos en que se lleva aabo el fenómeno de la ondensaión.. TIPOS DE CONDENSACIÓN. La ondensaión de un vapor puro ourre uando su temperatura se redue por debajo de la temperatura de saturaión. En equipos industriales el proeso de ondensaión resulta prinipalmente del ontato entre el vapor y una superfiie fría; a estos meanismos se les onoe omo ondensaión por pelíula y ondensaión por goteo (Figura. a, b). Cuando la ondensaión tiene lugar la energía latente del vapor se libera y se transfiere haia la superfiie formándose una pelíula delgada de líquido ondensado. Otras formas omunes en que se

20 CAPÍTULO I ANTECEDENTES DE LA CONDESACIÓN presenta el fenómeno de ondensaión son la homogénea (Figura. ) donde el vapor se ondensa en forma de gotas diminutas suspendidas en un medio gaseoso para formar lo que se onoe omo neblina, y la ondensaión por ontato direto (Figura. d) que ourre uando el vapor se suministra de forma direta sobre un líquido para llevar a abo el ambio de fase. pelíula gotas vapor vapor (a) líquido (b) vapor vapor neblina espray líquido gota () (d) Figura.. Modos de ondensaión: (a) ondensaión peliular, (b) ondensaión por goteo, () ondensaión homogénea, (d) ondensaión por ontato direto. La ondensaión por pelíula, figura.(a), ourre uando el líquido ondensado moja la pared de la plaa, entones las gotas se unen formando una pelíula que se desliza por efeto de la gravedad en régimen laminar, on un espesor que aumenta onforme fluye el ondensado... CONDENSACIÓN POR PELÍCULA LAMINAR. En 96, Nusselt obtuvo por primera vez un modelo matemátio teório, para determinar el oefiiente promedio de transferenia de alor en la ondensaión de un vapor puro sobre una plaa vertial. A ontinuaión se presenta su análisis, ya que los modelos que fueron obtenidos mediante este análisis serán la base del presente trabajo. Las onsideraiones que Nusselt hizo en su análisis son las siguientes.. La temperatura de la plaa de ondensaión, T, se mantiene onstante, además T < T s, donde T s es la temperatura de saturaión del vapor.. El vapor se onsidera estaionario (es deir, las propiedades del vapor en ualquier punto del ampo de flujo se mantienen onstantes on respeto al tiempo).

21 CAPÍTULO I ANTECEDENTES DE LA CONDESACIÓN. Se onsidera que el flujo de ondensado es laminar. u. La aeleraión del flujo de ondensado es despreiable, es deir = y, por tanto el vapor no genera esfuerzos de orte en la interfase líquido vapor. 5. Las propiedades del fluido permaneen onstantes. 6. La transferenia de alor a través de la apa de ondensado se lleva a abo por onduión pura, y se onsidera una distribuión lineal de la temperatura a través de la apa de ondensado. Las fuerzas que atúan sobre la pelíula de ondensado de la Figura., por unidad de volumen, bajo las onsideraiones anteriores, son: u Fuerza de orte visosa, τ = µ y Fuerza gravitaional, ( ρ ρ ) ( δ ) v y gdx Apliando las fuerzas anteriores en un balane de fuerzas al volumen diferenial de la pelíula (Figura.), y despreiando los efetos de ineria en esta, se tiene: y= δ y x T x Pelíula τ = µ du dy Vapor saturado T s dx y δ dδ Plaa ( ρ ρ ) ( δ ) v y gdx Figura.. Esquema de la ondensaión por pelíula sobre una plaa vertial isotérmia. 5

22 CAPÍTULO I ANTECEDENTES DE LA CONDESACIÓN du µ dx = ( ρ ρv ) ( δ y ) gdx dy La euaión anterior se puede esribir de la siguiente manera du dy ( ρ ρ ) g ( δ y ) v =, (.) µ la ondiión de frontera para la e. (.) debido a la ondiión de no deslizamiento en la superfiie de la plaa en y = es, ( ) u y= =, (.) integrando la e. (.) y sustituyendo la ondiión de frontera e. (.) se obtiene el perfil de veloidades del tipo parabólio a través de la pelíula de ondensado, ( ρ ρ ) g y v u ( y) = δy µ. (.) Una vez determinado el perfil de veloidades se puede uantifiar el flujo másio de ondensado m, por unidad de profundidad de la plaa, de la siguiente forma δ m = ρ udy, (.) sustituyendo el valor de u ( ) y en la e. (.), e integrando se obtiene ( ) g ρ ρ ρv m = δ, (.5) µ omo el ondensado fluye de la posiión x a x + dx, el espesor de la pelíula ree de δ a δ + d δ, entones el ondensado agregado en ada dx desde la posiión x por unidad de anho de la plaa, se enuentra representado por dṁ, y se determina al difereniar la e. (.5) de la siguiente manera 6

23 CAPÍTULO I ANTECEDENTES DE LA CONDESACIÓN ( ) g ρ ρ ρ dm = δ dδ. (.6) v µ Luego, la antidad de alor liberado euaión q, durante la ondensaión, esta dado por la siguiente ( ) g ρ ρ ρ q = h dm = h δ dδ, (.7) v fg fg µ así mismo q, se transfiere por onduión pura a través de la pelíula de ondensado hasta la plaa en un área de.dx on un gradiente de temperatura ( T T ) transferenia de alor por onduión, se puede esribir omo ( ) s δ s, y por la ley de Fourier de la λ q = T T dx. (.8) De las es. (.7) y (.8) se determina la variaión del espesor de la pelíula dδ dx ( T T s ) ( ) gh λµ = ρ ρ ρ δ v fg (.9) y la ondiión iniial para la e. (.9), es ( x ) δ = =. (.) Integrando la e. (.9) se obtiene el espesor de la pelíula de ondensado en funión de la variable longitudinal x, donde las propiedades termodinámias del fluido y del vapor se onsideran onstantes δ ( x ) ( ) ( ) gh λµ T s T x =. (.) ρ ρ ρv fg 7

24 CAPÍTULO I ANTECEDENTES DE LA CONDESACIÓN Por otro lado, el oefiiente de transferenia de alor loal h( x ) se esribe omo ( ) h x y al sustituir la e. (.) en la e. (.) se llega a λ =, (.) δ debido a que ρv v gh fg λρ ( ρ ρ ) h( x) µ ( s ) << ρ, el término ρ ( ρ ρ ) ρ =, (.) T T x y la e. (.) se transforma en v ( ) h x gh fg λρ = µ ( Ts T) x. (.) De la misma forma, a partir de la definiión del número de Nusselt loal, siguiente expresión Nu x, se llega a la Nu x ghfgx ρ = µ ( Ts T) λ. (.5) Las euaiones (.) y (.5) definen los valores loales del oefiiente de transferenia de alor y del número de Nusselt, por lo que los valores promedios de estos sobre toda la superfiie de la plaa desde x L se definen omo h = L λ h( x) dx L = L µ ( T T ) s x L ρ gh fg dx y al integrar la euaión anterior se obtiene h gh fg λρ =.9. (.6) µ ( Ts T) L 8

25 CAPÍTULO I ANTECEDENTES DE LA CONDESACIÓN Rohseno [], onsideró la existenia del perfil de temperatura no lineal en la pelíula de ondensado haiendo modifiaiones en el balane de energía para inluir la energía adiional neesaria para enfriar la pelíula a una temperatura por debajo de la temperatura de saturaión. Debido a estos dos efetos Rohseno reomendó reemplazar h fg por h fg definida omo: fg fg (.68 ) h = h + Ja, (.7) Ja ( T T ) s =, (.8) h fg donde el número de Jaob, Ja, representa la relaión del alor sensible y el alor latente absorbido por la pelíula de ondensado durante el proeso de ondensaión. Sustituyendo las es. (.7) y (.8) en la e. (.6), esta se transforma en, h gh fg λρ =.9 µ ( Ts T) L, (.9) de la misma forma, el número de Nusselt promedio se puede esribir omo gh fgl hl ρ Nu = =.9 λ µ ( Ts T) λ (.) Las propiedades termodinámias del fluido en las es. (.9) y (.), deben ser evaluadas a la temperatura de la pelíula, además h deberá ser valuada a la temperatura de saturaión del vapor T s. La temperatura de la pelíula se define omo, fg T f Ts + T =. (.) La e. (.9) se aplia a plaas y ilindros vertiales, para fluidos donde, > y ( T T s ) Pr.5 h fg.. (.) 9

26 CAPÍTULO I ANTECEDENTES DE LA CONDESACIÓN.. CONDENSACIÓN POR GOTEO. La ondensaión por pelíula es araterístia de superfiies limpias no ontaminadas. Por el ontrario, si la superfiie esta ubierta de una sustania que impide que se moje, es posible mantener ondensaión por goteo. Las gotas se forman en grietas, hoyos y avidades sobre la superfiie y pueden reer y unirse mediante la ondensaión. Normalmente, más del 9% de la superfiie se ubre de gotas, que van de unos poos mirómetros de diámetro hasta aglomeraiones visibles (Figura.). En la ondensaión por goteo la mayor parte de la transferenia de alor es a través de gotas de menos de µm de diámetro, y se pueden alanzar transferenias de alor que son de un orden de magnitud mayores que las asoiadas on la ondensaión por pelíula. Se utilizan reubrimientos superfiiales omo siliones, teflón y una variedad de eras y áidos grasos que inhiben el humedeimiento de la plaa, y estimulan la ondensaión por goteo. Sin embargo, tales reubrimientos pierden de forma gradual su efetividad debido a la oxidaión, a tal grado de ser eliminados por ompleto y finalmente ourre la ondensaión por pelíula. Figura. Condensaión por goteo del vapor.

27 CAPÍTULO I ANTECEDENTES DE LA CONDESACIÓN El fenómeno de oalesenia es despreiable en las gotas más pequeñas, por el ontrario es favorable en el reimiento de las gotas de mayor diámetro, es por eso que las gotas pequeñas reen prinipalmente debido a que ofreen menor resistenia a la transferenia de alor en la ondensaión por ontato direto por lo que son las prinipales responsables de transferir el alor. Durante la ondensaión del vapor por goteo a la presión de bar aproximadamente 6% de la superfiie es ubierta por gotas de mas de 5µm, % de la superfiie esta desubierta y el % del resto de la superfiie está oupada por gotas on un radio menor que 5µm y son las que transfieren el 9% del alor. Cuando una gota ree lo sufiiente esta es removida de la superfiie por la aión de la gravedad o debido a las fuerzas de orte originadas por el movimiento del vapor en la periferia de la gota. En el instante en que una gota iniia su desplazamiento sobre la superfiie, ésta hae un barrido a través de la trayetoria que sigue, uniéndose on otras gotas que enuentra en su amino, formándose nuevos agrupamientos de gotas en la superfiie libre. Los proesos de barrido de la superfiie omo resultado del desprendimiento de las gotas sobre la superfiie, y de la formaión de nuevos embriones de gotas sobre la superfiie barrida son los prinipales fatores de que la ondensaión por goteo alane oefiientes de transferenia de alor de hasta diez vees más grandes que los obtenidos en la ondensaión por pelíula. Existe otra hipótesis sobre la ondensaión por goteo, aparentemente fue propuesto por Jaob en 96, partiendo de la suposiión de que iniialmente la ondensaión se lleva a abo en forma de pelíula, ubriendo la superfiie de ondensado por una pelíula muy delgada de líquido. Debido a que este proeso es ontinuo, el espesor de la apa de ondensado omienza a reer hasta un valor ritio de aproximadamente m µ, y es uando la pelíula se rompe originando las gotas de ondensado. El reimiento de las gotas de ondensado después de la ruptura de la pelíula depende prinipalmente de dos fatores, el primero es debido al ondensado formado en los espaios entre las gotas, el ual es atraído por gotas adyaentes debido a la tensión superfiial, y el segundo fator de reimiento es debido a la ondensaión por ontato direto sobre las superfiies de las gotas.

28 CAPITULO II MODELO MATEMÁTICO En este apitulo se determinan los órdenes de magnitud de las prinipales variables en uestión. Se lleva a abo la adimensionalizaión de las euaiones de antidad de movimiento onsiderando la visosidad variable para la pelíula de ondensado, la euaión de la energía en la pelíula y la euaión de Laplae para la aleta de ondensado así mismo se determinan las ondiiones de frontera tanto para el sólido omo para el fluido y finalmente se esriben las euaiones difereniales aoplando la aleta on el fluido ondensado (problema onjugado de transferenia de alor).

29 CAPÍTULO II MODELO MATEMÁTICO. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA El proeso de ondensaión de un fluido sobre una superfiie extendida, se produe uando el vapor que se enuentra a temperatura de saturaión entra en ontato on una superfiie a menor temperatura, lo que generará un ambio de fase de vapor a líquido. El alor absorbido por este proeso provoará un ambio en la temperatura de la superfiie donde se realiza la ondensaión, oasionando que la relaión entre la temperatura de la superfiie, en este aso la aleta, y el vapor se vea alterada, este ambio estará determinado por el número de Jaob [8]. Dependiendo de las ondiiones físias del sistema omo la presión, la rugosidad de la superfiie y la veloidad del gas, entre otras, pueden generarse dos proesos distintos: ondensaión de pelíula y en gotas, omo lo desriben Rose [] y Tanasaa[], en sus ompendios sobre ondensaión, suponiendo que la presión en la interfase vapor-líquido es la hidrostátia y que la veloidad del fluido ondensado, en la zona de ontato on la plaa es despreiable (ondiión de no deslizamiento). El modelo físio en estudio se muestra en la figura -, y onsiste de una aleta vertial delgada, on longitud L y espesor h donde h<< L, se enuentra inmersa en un ambiente de vapor saturado on una temperatura T s. A su vez, la base de la aleta tiene una temperatura T < T s, oasionando un flujo de alor desde la zona de vapor saturado haia la plaa, y se rea una apa delgada de ondensado sobre ambos lados de la aleta; que ae sobre la superfiie de la aleta debido a la aión de la gravedad. Las apas de ondensado se desarrollan inrementando su espesor orriente abajo. La densidad del fluido ondensado, ρ, se supone onstante y muho mayor que la densidad del vapor, ρ v, mientras que la visosidad absoluta µ, ambia on la temperatura T, [9]. La existenia de la ondutividad térmia finita de la aleta permite que exista onduión de alor en la direión longitudinal y transversal de la aleta. Por la simetría del problema se entrará la atenión en la superfiie dereha de la aleta a partir del entro de esta. La apa de fluido ondensado que se forma en el borde superior de la aleta es muy pequeña para aletas delgadas y su ontribuión al flujo másio de ondensado se onsidera despreiable [], por lo tanto se onsidera esta ara de la aleta omo adiabátia. La esquina superior dereha de la aleta se toma omo el origen de las oordenadas artesianas, donde el eje y orre en direión perpendiular a la superfiie de la aleta y el eje x en direión del vetor gravedad.

30 CAPÍTULO II MODELO MATEMÁTICO h y x Pelíula de ondensado L Vapor saturado L g T s T Figura -. Esquema de la ondensaión del vapor sobre una aleta retangular.

31 CAPÍTULO II MODELO MATEMÁTICO. DETERMINACION DE LOS ÓRDENES DE MAGNITUD El análisis de esala, freuentemente se onfunde on el análisis dimensional o on la adimensionalizaión de las euaiones gobernantes para llevar a abo un análisis de perturbaión o una simulaión numéria. El objetivo del análisis de esala es estimar los órdenes de magnitud aproximados de las variables de interés que se enuentran en las euaiones generales de la meánia de fluidos y de la transferenia de alor. Esto signifia, por ejemplo, que si una de las inógnitas de interés es el espesor de la apa límite en onveión forzada, el objeto del análisis de esala es determinar ualitativamente la dependenia paramétria del espesor, sobre las variables físias involuradas. Si el análisis de esala se lleva a abo apropiadamente, este antiipa dentro de un fator de orden unidad los resultados produidos por análisis exatos, por lo tanto el valor del análisis de esala es muy signifiativo. Por tal motivo se reurre al análisis de esala para determinar el orden de magnitud de las variables de interés en la zona de ondensado, tales omo la veloidad de desenso de la pelíula de ondensado u, su espesor δ y la razón de flujo másio de ondensado por unidad de profundidad Γ ( x) de la aleta. Además permitirá estableer la adimensionalizaión de las variables adeuadas.. ÓRDENES DE MAGNITUD EN LA PELÍCULA DE CONDENSADO Durante el proeso de ondensaión, se forma una pelíula de ondensado en el borde de la aleta y fluye haia abajo debida a la influenia de la gravedad. El espesor de la apa de ondensado δ y la razón de flujo másio de ondensado Γ ( x) aumentan al inrementarse x debido a la ontinua ondensaión en la interfase líquido-vapor, la ual se enuentra en equilibrio termodinámio on el vapor. En la mayoría de los asos, el vapor se puede enontrar sobrealentado y puede ser parte de una mezla que ontenga uno o más gases no ondensables. Además existe un esfuerzo ortante en la interfase líquido-vapor, ontribuyendo a que exista un gradiente de veloidad en el vapor; así mismo la apa de ondensado puede estar en régimen turbulento. Sin embargo, a pesar de las omplejidades asoiadas on la ondensaión de pelíula, para el presente análisis se pueden obtener resultados útiles haiendo las siguientes suposiiones: i. Se onsidera que el flujo de ondensado es laminar. 5

32 CAPÍTULO II MODELO MATEMÁTICO ii. iii. Las propiedades de la pelíula de ondensado se onsideran onstantes exepto la visosidad ya que esta tiene una fuerte dependenia on la temperatura del ondensado que on la densidad y la ondutividad térmia del ondensado []. El vapor está libre de gases no ondensables, y se enuentra en estado estaionario, por lo que la transferenia de alor en la interfase líquido-vapor se debe úniamente al ambio de fase. T x, es funión solo de la oordenada iv. La temperatura en la superfiie de la aleta ( ) longitudinal x, y está a una temperatura por debajo de la temperatura de saturaión del vapor. v. El vapor se enuentra en reposo, de forma que no ejere fuerza de arrastre sobre la pelíula de ondensado, esto finalmente se tradue en que el esfuerzo ortante en la superfiie del líquido ondensado es despreiable. Con esta suposiión y las anteriores no hay neesidad de onsiderar la veloidad del vapor o apas límites térmias en éste. vi. Debido a que las veloidades asoiadas on la pelíula de ondensado son bajas, la transferenia de momentum y energía por onveión en la pelíula de ondensado son insignifiantes. vii. La distribuión de temperatura en la pelíula de ondensado es lineal debido a que la transferenia de alor en ésta es por onduión pura, además se onsidera que la ondutividad térmia de la pelíula se mantiene onstante. viii. Finalmente, Nusselt en su estudio onsideró la visosidad del ondensado onstante durante el proeso de ondensaión, en este trabajo se analiza la visosidad variable del ondensado omo funión de la temperatura del ondensado. La ondensaión de pelíula es un fenómeno de apa límite en sus aspetos eseniales, de auerdo a esto y on las suposiiones anteriores, la representaión teória del fenómeno de ondensaión, figura -, se representa por un sistema de euaiones difereniales en derivadas pariales que permiten reproduir la naturaleza de la transferenia de alor entre la aleta y la pelíula de ondensado. Por un lado el fenómeno en el vapor ondensado esta desrito por las euaiones de ontinuidad, obtenida de la euaión de la onservaión de la masa, la euaión de antidad de movimiento en direiones longitudinal ó transversal on el término de visosidad del ondensado variable, que tiene su origen en la segunda ley de Neton y por último la euaión de la onservaión de la energía proveniente de la primera ley de la termodinámia. Por otro lado se tiene que el alor que fluye a través de la aleta es desrito por la ley de Fourier. Para el aso de pelíula delgada las euaiones anteriores se pueden representar de la siguiente forma: u x v + =, (.) y 6

33 CAPÍTULO II MODELO MATEMÁTICO u u p u u ρ u + v = + µ + µ + ρg, (.) x y x y y x x v v p v v ρ u v µ + = + + µ, (.) x y y y y x x T T T T ρ p u + v λ x y = + y x. (.) En el aso de la aleta, la euaión que desribe la distribuión de temperaturas bidimensional en ondiiones de estado permanente sin generaión interna de alor es la euaión de Laplae en dos dimensiones, y se expresa omo: T x T y + =. (.5) La euaión anterior es del tipo elíptio por lo que se deben estableer las ondiiones de frontera sobre el entorno de la aleta (problema de valor en la frontera), para su soluión. En las euaiones (.)-(.), ρ representa la densidad del ondensado, g la aeleraión de la gravedad, u y v son las veloidades longitudinal (direión x ) y transversal (direión y ) en unidades físias del flujo de ondensado, p representa la presión dentro de la pelíula de ondensado, µ es la visosidad dinámia del ondensado y T es la temperatura del fluido ondensado. El termino ρ g en la euaión (.) representa la fuerza de uerpo o gravitaional. Considerando la aproximaión de la apa límite [], ( y δ, δ << L, x L, << x y ), mediante un análisis de órdenes de magnitud, la euaión de antidad de movimiento en la direión longitudinal, e. (.) establee que los órdenes de magnitud de ada término son u u p u u u + v + ν + ν + ρ g. (.6) L δ ρl L δ Analizando la euaión de ontinuidad, e. (.), se umple la siguiente relaión, u L v δ. (.7) 7

34 CAPÍTULO II MODELO MATEMÁTICO Sustituyendo la e. (.7) en la e. (.6) se determina que los términos ineriales, son del orden u, por lo tanto, estos términos no pueden ser despreiados on respeto a los otros. Sin L u embargo, si la región de apa límite es muy delgada, tal que δ << L, entones el termino ν L u de la e. (.6), es el menos representativo. Así, despreiando el término on respeto al x u término, la euaión de antidad de movimiento, e. (.), se puede esribir omo, y u u p u ρ u + v = + µ + ρg x y x y y (.8) De igual forma al apliar las aproximaiones de la apa límite a la euaión de antidad de movimiento en la direión transversal e. (.), esta se redue a p y, (.9) es deir, la presión es una funión úniamente de la posiión longitudinal x, lo que signifia que se puede esribir, p dp =. (.) x dx Lo anterior sugiere que en la apa de ondensado, la presión varia en la direión vertial y por onsiguiente la presión dentro de la apa de ondensado es la misma que inmediatamente fuera de ella. Tomando en uenta los órdenes de magnitud estableidos, se onluye que las euaiones de antidad de movimiento se reduen a u u dp u ρ u + v = + µ + ρg. (.) x y dx y y Además, el gradiente de presión vertial en el líquido es el mismo que el gradiente de presión dp hidrostátio en el vapor, es deir, = ρvg, de aquí que la e. (.) se puede reesribir de la dx forma u u u ( ) y y x y µ + ρ ρv g = ρ u + v, (.) 8

35 CAPÍTULO II MODELO MATEMÁTICO omo ρ >> ρ, la euaión (.) se redue a la siguiente expresión v u u u y y x y µ + ρg = ρ u + v, (.) y de manera equivalente, la euaión de la energía, e. (.), se representa omo ρ T T T x y y p u + v = λ. (.) Debido a que las veloidades asoiadas on la pelíula de ondensado son bajas, la transferenia de alor a través de la pelíula se puede onsiderar que ourre úniamente por onduión, en tal aso la distribuión de temperatura en la pelíula es lineal, entones los efetos de ineria (términos onvetivos) omparados on los de friión son insignifiantes, por lo que al onsiderar estos en la e. (.), se puede esribir en términos de ordenes de magnitud el lado izquierdo de la euaión anterior, omo u µ ρ g δ, (.5) de esta euaión se despeja la veloidad de la pelíula de ondensado en direión longitudinal, quedando omo u g δ ( x), (.6) ν donde ( x) δ es el espesor de la apa de ondensado, g la aeleraión de la gravedad y oefiiente de la visosidad inemátia de la pelíula de ondensado. ν el Tomando en uenta la e. (.6), la produión de flujo másio de ondensado por unidad de profundidad b en la direión perpendiular al plano xy (Fig. -), se puede esribir omo, ( x) m Γ ( x) =, (.6A) b 9

36 CAPÍTULO II MODELO MATEMÁTICO Pelíula de ondensado aleta y x Figura -. Representaión esquemátia de la ondensaión de pelíula laminar, para el análisis del flujo másio de ondensaión por unidad de profundidad de la aleta m x = ρ uda y da= bdy, siendo que la e. (.6A) queda de la siguiente forma donde ( ) ( ) δ Γ x = ρ udy ρ u δ. (.7) y= En orden de magnitud, la euaión anterior se esribe omo, ( x) ρuδ Γ. (.8) Al sustituir la e. (.6) en e. (.8) se obtiene el orden de magnitud del flujo másio de ondensado en funión del espesor de la pelíula La variaión espeífia on x de ρg Γ ( χ) δ ( x ). (.9) ν δ, y por lo tanto de Γ ( x) onservaión de masa y energía al elemento diferenial mostrado en la Fig. -., puede ser obtenida al apliar la

37 ṁ x Ḣ x dṁ dq p dm h = dq g m x + dx (a) Balane de masa H x + dx (b) Balane de energía Fig. -. Volumen de ontrol diferenial dentro de la pelíula de ondensado.

38 CAPÍTULO II MODELO MATEMÁTICO El balane de masa en el elemento diferenial mostrado en la Figura -(a), india que dm m m, (.) x+ dx x Al haer una expansión en series de Taylor del término m x + dx, se tiene dm = + dx x m m dx x+ dx x, (.) y sustituyendo la e. (.) en la e. (.) se tiene que dm dm dx x dx, finalmente la relaión anterior se expresa omo dm dm. (.) x Considerando que el fenómeno es permanente se puede haer el siguiente balane de energía, al elemento diferenial mostrado en la Fig. -(b) ( bdx) dq = p ( bdx) hdm g x ( H H x+ dx x) (.) donde H x mh es el flujo de entalpía del ondensado, y x f dm h = dm h = dq es el alor x g g transferido desde el vapor a la pelíula de ondensado y además dq p es el alor transferido haia la aleta. Entones la e. (.) se puede reesribir omo dh x dm x dq = dq = dq h b dx b dx p f que al ombinar on la e. (.7) se llega a ( ) δ x p f f y=, (.) dq dq ρ h udy = dq h ρ u δ x (.5) x de esta euaión se puede estimar que el alor transmitido a lo largo de la longitud de la aleta L, desde el vapor al ondensado, esta dado por