Elementos de Estadística Primer Examen Parcial (25%)

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1 UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA Cilo Básio Departamento de Matemátia Apliada Elementos de Estadístia (0260) Martes 10 de Mayo de 2011 Profesor: José Luis Quintero FACULTAD DE INGENIERÍA Elementos de Estadístia Primer Examen Parial (25%) PRIMERA PARTE: RESPUESTA OBJETIVA. (6 puntos) Instruiones. Coloque al lado de ada proposiión la letra V o F según sea verdadera o falsa respetivamente. (0.5 puntos /u = 3 puntos) 1. Cuando una muestra ontiene las araterístias importantes de ierta poblaión en las mismas proporiones omo se enuentran en ésta, se die que se trata de una muestra representativa. 2. Un histograma es una serie de retángulos, ada uno proporional en anho al número de elementos que aen dentro de una lase espeífia de datos. 3. El valor de ada observaión del onjunto de datos se toma en uenta uando se alula su mediana. 4. La desviaión estándar se mide en las mismas unidades que las observaiones del onjunto de datos. 5. Un evento o sueso es un subonjunto del espaio muestral que ontiene sólo un resultado del experimento aleatorio. 6. Si dos eventos son mutuamente exluyentes, se tiene que la probabilidad de la unión de ellos es la suma de sus probabilidades. Instruiones. Seleione la respuesta que onsidere orreta. (0.5 puntos /u = 3 puntos) 1. Conforme aumenta el número de observaiones y lases, la forma de un polígono de freuenias a. Tiende a haerse ada vez más lisa b. Tiende a haerse en forma de sierra. Permanee igual d. Varía solo si los datos son más onfiables 2. Cuál es la prinipal suposiión que se hae uando se alula la media de datos agrupados? a. Todos los valores son disretos b. Cada valor de una lase es igual a su punto medio. Ningún valor se presenta más de una vez d. Cada lase ontiene exatamente el mismo número de valores 3. Por qué es neesario elevar al uadrado las diferenias on respeto a la media uando se alula la varianza de la poblaión? a. Para que los valores extremos no afeten el álulo b. Porque es posible que el tamaño de la poblaión sea pequeño. Algunas de las diferenias serán positivas y otras negativas 4. Un sistema ontiene tres omponentes A, B y C. Estos omponentes pueden onetarse en ada una de las uatro onfiguraiones mostradas (F1, F2, F3, F4). Los tres omponentes operan en forma independiente y la probabilidad de que uno, ualquiera de ellos, esté funionando es ½. La onfiguraión que proporiona la máxima probabilidad de que el sistema funione es a. F1 b. F2. F3 d. F4 5. Sea E el onjunto on todos los posibles resultados del experimento elegir una persona al azar. Sean los suesos: M: la persona es mujer, R: la persona es rubia C: la persona tiene ojos laros. A ontinuaión se muestran 4 diagramas de Venn (D1, D2, D3, D4) donde la zona sombreada representa un sueso. El sueso hombres de ojos osuros se enuentra representado en el diagrama D1 D2 D3 D4 a. D1 b. D2. D3 d. D4 6. Sean A 1, A 2 y A 3 eventos de un espaio muestral. El evento no ourre ninguno se expresa omo: A A A a b. A1 A2 A A A A

2 SEGUNDA PARTE: DESARROLLO. (14 puntos) Instruiones. Conteste, justifiando ada uno de sus proedimientos, a los siguientes planteamientos: 1. Se toma una muestra de 60 obreros de una fábria y se quiere haer un estudio del salario semanal (en miles de bolívares). Se obtuvo la siguiente informaión presentada en el uadro. Salario (Bs/sem) Punto Medio aumulada aumulada [20,24] /60 8/60 [25,29] /60 19/60 [30,34] /60 23/60 [35,39] /60 30/60 [40,44] /60 42/60 [45,49] /60 51/60 [50,54] /60 60/60 a. Determine el porentaje de obreros que tienen salarios mayores o iguales a Bs pero igual o menor a Bs. (1 punto) b. Calule la moda. (1 punto) 4. Sean A, B y C tres eventos independientes entre sí tales que 4P(A) = 2P(B) = P(C) > 0 y P(A B C) = 4P(A). Obtenga P(A), P(B) y P(C). (3 puntos) 5. Suponga que la probabilidad de estar expuesto a un virus que produe una enfermedad es 0.6. Se sabe que ierta vauna impide, en un 80% de los asos, que una persona vaunada y expuesta al virus ontraiga la enfermedad produida por el virus. Una persona no vaunada tiene probabilidad 0.9 de sufrir la enfermedad si entra en ontato on el virus. Dos personas, una vaunada y otra no, son apaes de realizar ierta tarea muy espeializada en una ompañía. Suponga que estas personas no están en la misma loalidad, no están en ontato on las mismas personas ni pueden ontagiarse entre sí. Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos sufra la enfermedad? (5 puntos) 2. Demuestre que si A y B son eventos independientes, también lo son A y B. (2 puntos) 3. Tres suursales de una tienda tienen 8, 12 y 14 empleados de los uales 4, 7 y 10 son mujeres, respetivamente. Se esoge una suursal al azar y de ella se esoge a un empleado. Si este empleado es una mujer, uál es la probabilidad de que ella trabaje en la suursal on 12 empleados? (2 puntos)

3 PRIMERA PARTE: RESPUESTA OBJETIVA. (6 puntos) Instruiones. Coloque al lado de ada proposiión la letra V o F según sea verdadera o falsa respetivamente. (0.5 puntos /u = 3 puntos) 1. Cuando una muestra ontiene las araterístias importantes de ierta poblaión en las mismas proporiones omo se enuentran en ésta, se die que se trata de una muestra representativa. Ff V 2. Un histograma es una serie de retángulos, ada uno proporional en anho al número de elementos que aen dentro de una lase espeífia de datos. F 3. El valor de ada observaión del onjunto de datos se toma en uenta uando se alula su mediana. F 4. La desviaión estándar se mide en las mismas unidades que las observaiones del onjunto de datos. V 5. Un evento o sueso es un subonjunto del espaio muestral que ontiene sólo un resultado del experimento aleatorio. F 6. Si dos eventos son mutuamente exluyentes, se tiene que la probabilidad de la unión de ellos es la suma de sus probabilidades. V Instruiones. Seleione la respuesta que onsidere orreta. (0.5 puntos /u = 3 puntos) 1. Conforme aumenta el número de observaiones y lases, la forma de un polígono de freuenias a. Tiende a haerse ada vez más lisa b. Tiende a haerse en forma de sierra. Permanee igual d. Varía solo si los datos son más onfiables 2. Cuál es la prinipal suposiión que se hae uando se alula la media de datos agrupados? a. Todos los valores son disretos b. Cada valor de una lase es igual a su punto medio. Ningún valor se presenta más de una vez d. Cada lase ontiene exatamente el mismo número de valores 3. Por qué es neesario elevar al uadrado las diferenias on respeto a la media uando se alula la varianza de la poblaión? a. Para que los valores extremos no afeten el álulo b. Porque es posible que el tamaño de la poblaión sea pequeño. Algunas de las diferenias serán positivas y otras negativas 4. Un sistema ontiene tres omponentes A, B y C. Estos omponentes pueden onetarse en ada una de las uatro onfiguraiones mostradas (F1, F2, F3, F4). Los tres omponentes operan en forma independiente y la probabilidad de que uno, ualquiera de ellos, esté funionando es ½. La onfiguraión que proporiona la máxima probabilidad de que el sistema funione es a. F1 b. F2. F3 d. F4

4 5. Sea E el onjunto on todos los posibles resultados del experimento elegir una persona al azar. Sean los suesos: M: la persona es mujer, R: la persona es rubia C: la persona tiene ojos laros. A ontinuaión se muestran 4 diagramas de Venn (D1, D2, D3, D4) donde la zona sombreada representa un sueso. El sueso hombres de ojos osuros se enuentra representado en el diagrama D1 D2 D3 D4 a. D1 b. D2. D3 d. D4 6. Sean A 1, A 2 y A 3 eventos de un espaio muestral. El evento no ourre ninguno se expresa omo: A A A a b. A1 A2 A3. A1 A2 A3 CORRECTO SEGUNDA PARTE: DESARROLLO. (14 puntos) Instruiones. Conteste, justifiando ada uno de sus proedimientos, a los siguientes planteamientos: 1. Se toma una muestra de 60 obreros de una fábria y se quiere haer un estudio del salario semanal (en miles de bolívares). Se obtuvo la siguiente informaión presentada en el uadro. Salario (Bs/sem) Punto Medio aumulada aumulada [20,24] /60 8/60 [25,29] /60 19/60 [30,34] /60 23/60 [35,39] /60 30/60 [40,44] /60 42/60 [45,49] /60 51/60 [50,54] /60 60/60 a. Determine el porentaje de obreros que tienen salarios mayores o iguales a Bs pero igual o menor a Bs. Soluión. (1 punto) f2 + f3 + f4 + f Porentaje = 100 = 100 = %

5 b. Calule la moda. Soluión. Clase modal: Salario (Bs/sem) Punto medio aumulada aumulada [40,44] /60 42/ Moda = = = 40 + = = (1 punto) 2. Demuestre que si A y B son eventos independientes, también lo son Soluión. A y B. (2 puntos) P(A B ) = 1 P(A B) = 1 P(A) P(B) + P(A).P(B) = 1 P(A) P(B)(1 P(A)) = (1 P(A)).(1 P(B)) 3. Tres suursales de una tienda tienen 8, 12 y 14 empleados de los uales 4, 7 y 10 son mujeres, respetivamente. Se esoge una suursal al azar y de ella se esoge a un empleado. Si este empleado es una mujer, uál es la probabilidad de que ella trabaje en la suursal on 12 empleados? Soluión. (2 puntos) Definiión de eventos: M: El empleado es una mujer S1: La suursal esogida es la 1 S2: La suursal esogida es la 2 S3: La suursal esogida es la 3 Se sabe que 1 P(S1) = P(S2) = P(S3) =, P(M / S1) = 4, P(M / S2) = 7 10, P(M / S3) = De modo que P(M) = P(M S1) + P(M S2) + P(M S3) = P(S1).P(M / S1) + P(S2).P(M / S2) + P(S3).P(M / S3) ( ) = + + = + + = = P(M S2) P(S2).P(M / S2). P(S2 / M) = = = = = P(M) P(M) Sean A, B y C tres eventos independientes entre sí tales que 4P(A) = 2P(B) = P(C) > 0 y P(A B C) = 4P(A). Obtenga P(A), P(B) y P(C). Soluión. (3 puntos) P(A B C) = 4P(A) = P(A) + P(B) + P(C) P(A).P(B) P(A).P(C) P(B).P(C) + P(A).P(B).P(C) P(A) = P(A) + 2P(A) + 4P(A) 2 P(A) 4 P(A) 8 P(A) + 8 P(A) P(A) 14 P(A) + 8 P(A) = 0 P(A) 8 P(A) 14.P(A) + 3 = = = 4 8 P(A) 14.P(A) 3 0 P(A) 1 1 Usando las relaiones dadas se tiene que P(A) =, P(B) =, P(C) =

6 5. Suponga que la probabilidad de estar expuesto a un virus que produe una enfermedad es 0.6. Se sabe que ierta vauna impide, en un 80% de los asos, que una persona vaunada y expuesta al virus ontraiga la enfermedad produida por el virus. Una persona no vaunada tiene probabilidad 0.9 de sufrir la enfermedad si entra en ontato on el virus. Dos personas, una vaunada y otra no, son apaes de realizar ierta tarea muy espeializada en una ompañía. Suponga que estas personas no están en la misma loalidad, no están en ontato on las mismas personas ni pueden ontagiarse entre sí. Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos sufra la enfermedad? Soluión. Eventos: E: Exposiión al virus que produe una enfermedad A: El empleado vaunado ontrae la enfermedad B: El empleado no vaunado ontrae la enfermedad Informaión suministrada: Se pide: P(E) = 0.6, P(A / E) = 0.2, P(B / E) = 0.9 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = 1 P(A B ) = 1 P(A ).P(B ) P(A ) = P(A E ) + P(A E) = P(E ).P(A / E ) + P(E).P(A / E) = = 0.88 P(A ) = P(B E ) + P(B E) = P(E ).P(B / E ) + P(E).P(B / E) = = 0.46 De modo que P(A B) = 1 P(A ).P(B ) = = = (5 puntos)