2.0 Contenidos, objetivos y palabras claves.

Transcripción

1 8 Unidad 3: Teoría elemental de probabilidades 0 Contenidos, objetivos y palabras laves Contenidos: 30 Contenidos, objetivos y palabras laves 8 3 Experimento determinístio y aleatorio Espaio muestral ontable infinito Suesos y álgebra de suesos 8 3 Ejeriios resueltos, paso a paso (primera parte) 83 3 Ejeriios propuestos (primera parte) 9 33 Ejeriios resueltos, paso a paso (segunda parte) 9 34 Ejeriios propuestos (segunda parte) 03 3 Probabilidad: definiión y propiedades 05 3 Ejeriios resueltos, paso a paso 07 3 Ejeriios propuestos 0 33 Probabilidad ondiional e independenia de suesos 33 Ejeriios resueltos, paso a paso 4 33 Ejeriios propuestos Objetivos: Conoer, araterizar y aprender de modelos que nos permitan estudiar variables observables y no estén sujeto a las ontingenias de observaión Las observaiones experimentales se onvertirán en posibles realizaiones del modelo Reonoer y definir adeuadamente espaios de muestra y suesos en situaiones problemátias Utilizar efiazmente la notaión que permitirá apliar las propiedades de probabilidad benefiiando la soluión ajustada a los requerimientos exigidos por una situaión problemátia Interpretar orretamente los resultados obtenidos en las soluiones planteadas Interpretar orretamente las soluiones a situaiones de ondiionalidad e independenia Difereniar laramente la mutua exlusión y la independenia de suesos Palabras Clave: Espaio de muestra Suesos Suesos mutuamente exluyentes Suesos independientes Unión e interseión de suesos Probabilidad ondiional

2 8 3 Experimento determinístio y aleatorio Espaio muestral ontable e infinito Suesos y álgebra de suesos Palabras Clave: Experimento, Espaio de muestra, suesos, suesos mutuamente exluyentes, unión e interseión de suesos Resumen de oneptos y propiedades Un experimento es un proedimiento que onsiste en un diseño de ejeuión, una variable (o variables) en estudio y un objetivo de experimentaión, on la intenión de obtener un resultado observable entre todos los posibles El onjunto de resultados posibles de un experimento es llamado espaio muestral o espaio de muestras (denotado por el símbolo Ω ) Si el onjunto de resultados posibles onsta de un únio resultado el experimento es denominado determinístio Si tiene más de un resultado posible es llamado no determinístio o aleatorio Son de interés en esta seión los experimentos aleatorios Se llama sueso a ualquier subonjunto del espaio de muestras Ω al ual se le pueda asoiar una medida de ourrenia Se die que un sueso ourre si y sólo si se verifia en la experienia uno de los resultados que ontiene Se llama sueso elemental a un sueso que tiene un únio resultado posible Es deir, si Ω = { r, r, r3,, r N } es un espaio de muestras on N resultados posibles, entones { r i } on i =,,3, N, son suesos elementales La unión de suesos elementales forma el espaio de muestras, esto es, si Ω = { r r r r } entones { r } { r } { r } { r} N N i= i,,,, N 3 Ω = = o bien si el espaio de muestras es Ω = { r, r, r,} entones Ω = { } { } = { } 3 r r ri i=

3 83 Un espaio de muestras es llamado espaio finito si es de la forma { r, r, r3,, r N } número natural N Es llamado espaio infinito numerable si es de la forma { r, r, r,} un espaio infinito si verifia Ω R Ω = para algún Ω = y es 3 Si A y B son suesos en Ω entones A B es también sueso y ourre si y sólo si ourre A, ourre B u ourren A y B simultáneamente Si A, A,, A n son suesos en Ω entones A A An A ourre si y sólo si ourre al menos algún A i n = es también sueso y Si A, A, son suesos en Ω entones A A = An es sueso y ourre si y sólo si ourre al menos algún A i Si A y B son suesos en Ω entones A B es sueso y ourre si y sólo si ourren A y B simultáneamente i= i= n Si A, A,, A n son suesos en Ω entones A A An = A sólo si ourren todos los A i n i= n es sueso y ourre si y Si A, A, son suesos en Ω entones A A = An ourren todos los A i i= es sueso y ourre si y sólo si C A es sueso y ourre si y sólo si no ourre A 3 Ejeriios resueltos, paso a paso: Ejemplo (Apliaión en ienias de la Salud) En un estableimiento de atenión primaria de salud se mide el peso de un paiente reién ingresado Determine la variable en estudio y el espaio de muestras asoiado

4 84 Esquema de soluión Paso Leer detenidamente el problema hasta identifiar la informaión que da y lo que está pidiendo que se responda: El experimento onsiste en medir el peso de un paiente ingresado a un estableimiento de atenión primaria Se pide identifiar la variable que se estudia y su espaio de muestras asoiado A la variable y, por tanto, al experimento Paso Desarrollar fundamentadamente una soluión al problema planteado: Es laro que en esta experienia la variable que se está midiendo es X : peso de un paiente ingresado al entro de atenión primaria Cuando se mide el peso de un paiente se están tomando muestras de valores espeífios logrados en la situaión experimental de mediión de la variable peso Es laro que, a priori, no se pueden medir todos los pesos que puedan pesar las personas que posiblemente sean atendidas por este estableimiento de salud Eso sería imposible Pero se puede razonar de la siguiente manera: En verdad, los pesos posibles de una persona ualquiera, son valores en un intervalo de la forma [ 0, M ] donde M es el peso máximo observable en un individuo Si logramos analizar los pesos en este intervalo y araterizarlos grupalmente podremos reién deir algo de la variable peso Pero, omo se sabe, estos máximos de peso nuna se pueden determinar on erteza porque uando se fija un valor, nos llevamos la sorpresa de que en el tiempo los hehos ambian y ese valor es superado, muhas vees, on el asombro de quienes viven la époa Esto hae que los modelos de análisis de la variable peso no queden dependiendo de estas partiularidades Un intervalo muho más trasendente es de la forma [ ] 0, + que deja abierta la posibilidad de asumir ualquier máximo posible (al menos teóriamente) Desearíamos que, para interpretar este intervalo en una situaión real, la posibilidad de observar un valor muy grande de peso sea poo probable Las observaiones experimentales se onvertirán en posibles realizaiones de este modelo

5 85 Paso 3 Estableer una respuesta al problema: Resp: El espaio de muestras del peso de los paientes que asisten al estableimiento de + Ω = 0, =R (espaio muestral infinito) atenión primaria de salud es ( ) Nota: El objetivo último del estudio de los modelos de tipo aleatorio radia en la neesidad de antiiparse a hehos que, desde el punto de vista que nos interesa, pueden ser importantes de prever Por ejemplo, uando se produe un brote de viruela, es importante prever la propagaión del ontagio En este aso, nos preguntamos aera de uál es la posibilidad, por ejemplo, de que el ontagio se ontinúe propagando en la medida en que pasan los días, o bien que se pueda estabilizar y omenzar a disminuir hasta desapareer Esto se hae observando primero si hay aumento del número de asos, en la medida en que transurre el tiempo o bien si hay una disminuión (que es lo deseable) Ejemplo (Apliaión en ienias de la Salud) En las ampañas de vaunaión antigripal masiva, que se realiza a personas de la terera edad en ierto período del año, lo deseable es antiipar un onoimiento sobre el omportamiento de los tamaños de los grupos etarios a los que se favoreerá on vaunaión gratuita, on la intenión de determinar el número de dosis que se deberá tener disponibles por parte del Ministerio de Salud para el éxito de esta ampaña de salud públia Determinar el espaio de muestras asoiado a la experienia de estudio de la antidad de personas que neesitan la vauna antigripal Esquema de soluión Paso Leer detenidamente el problema hasta identifiar la informaión que da y lo que está pidiendo que se responda: Se desea determinar el número de dosis que el Ministerio de Salud deberá tener disponibles para la ampaña de vaunaión antigripal masiva Se pide identifiar el espaio de muestras asoiado al estudio de la antidad de personas que neesitan la vauna antigripal Paso Desarrollar fundamentadamente una soluión al problema planteado: Si razonamos en forma semejante al ejemplo anterior, observamos que la antidad de personas de la terera edad que puedan ser vaunadas puede ser o o 3 o o ierta antidad máxima que puede depender del tamaño de la poblaión a la ual se dará el benefiio Pero, un modelo general no debe atender a ontingenias partiulares sino a ualquier eventualidad Por lo tanto Ω =,,3, =N (espaio un modelo de espaio de muestra adeuado es de la forma { }

6 86 infinito numerable) Valores muy altos pasan a ser poo probables y para ada poblaión demográfia se debe estudiar la espeifiaión de un máximo para tomar una determinaión más erana a la antidad de vaunas que se debe disponer Paso 3 Estableer una respuesta al problema planteado: Resp: Ω = {,,3,, M}, donde este valor máximo M se debe determinar O bien, Ω = {,,3, } =N que sería el espaio de muestras modelo Nota: Se hae importante introduir un onepto que se utiliza muho pero que pasa desaperibido en muhas situaiones informativas: la probabilidad de que se deba tener, por ejemplo, M dosis disponibles Ejemplo 3 (Apliaión en ienias de la Salud) En un hospital se desea estudiar la proporión de niños infetados de ásaris Determine: a el espaio muestral asoiado al experimento que verifiará si un niño elegido al azar tiene ásaris b el espaio muestral asoiado al experimento que verifiará si 0 niños elegidos al azar tienen ásaris Esquema de soluión Paso Leer detenidamente el problema hasta identifiar la informaión que da y lo que está pidiendo que se responda: a Experimento aleatorio base: ξ : Examinar un niño ingresado al hospital para determinar si está infetado de ásaris o no Espaio muestral asoiado: { a a } Ω =, ' donde a denota a un niño infetado de ásaris y a ' denota a un niño sin ásaris Resp: El espaio muestral asoiado al experimento ξ que verifiará si un niño elegido al azar tiene ásaris es Ω = { a, a' }, donde a denota a un niño infetado de ásaris y a ' a un niño sin ásaris b Para determinar el espaio muestral asoiado al experimento que verifiará si 0 niños elegidos al azar tienen ásaris razonamos de la siguiente manera:

7 87 Si se eligieran niños: Experimento aleatorio ξ : Examinar dos niños ingresados al hospital y determinar si están infetados de ásaris o no Ω = (, ),(, '),( ', ),( ', ') Si se eligieran 3 niños: Espaio Muestral { a a a a a a a a } Experimento aleatorio ξ 3 : Examinar tres niños ingresados al hospital y determinar si están infetados de ásaris o no Espaio Muestral Ω 3: { a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a } Ω 3 = (,, ),(,, '),(, ', ),( ',, ),(, ', '),( ',, '),( ', ', ),( ', ', ') Evidentemente, de este razonamiento podemos deduir que Ω = Ω Ω Ω = Ω Ω Ω 3 3 y que, en general, Ω n = Ω Ω Ω n Es deir, un espaio muestral Ω n está asoiado a muestras de n elementos y se expresa mediante un produto ruz de un espaio muestral base Ω En resumen, entones, Experimento aleatorio ξ n : Examinar n niños del hospital y determinar si están infetados de ásaris o no Espaio Muestral asoiado a Ω n = ( x, x,, xn ) / xi =, i =,,, n a ' Es deir, el espaio de muestras, en este aso, está formado por onjuntos ordenados de n niños (representados por x, x,, x n ), en que ada uno de ellos, a su vez, es representado por un registro que india que el niño tiene ásaris ( a ) o que el niño no tiene ásaris ( a ')

8 88 Teóriamente, si se han seleionado muestras de n = niños, un elemento de Ω n es de la forma, por ejemplo, ( a, a', a ', a, a, a, a ', a ', a, a ', a, a ') Gráfiamente, a a a a a a a a a a a a donde : el niño tiene ásaris ( a ') y : el niño no tiene ásaris ( a ) Resp: El espaio muestral asoiado al experimento que verifiará si 0 niños elegidos al azar tienen ásaris es de la forma: a Ω 0 = ( x, x,, x0 ) / xi =, para i =,,, 0 a ' Es deir, es un onjunto de 0-uplas ordenadas en las que ada entrada es del tipo a (si el niño elegido tiene ásaris) o bien a ' (si el niño elegido no tiene ásaris) Por análisis ombinatorio se puede probar que el espaio de muestras Ω 0 tiene 0 = 04 0-uplas Es por esto que no es produtivo detallar ada resultado posible de este espaio sino sólo onebir la antidad y la ualidad de sus elementos Ejemplo 4 (Apliaión en Cienias de la Ingeniería) Una fábria produe tornillos que son guardados en ajas de 6 unidades para su venta Para garantizar que las unidades de la aja están en perfetas ondiiones, el fabriante va lasifiando ada tornillo omo C defetuoso ( D ) o no defetuoso ( D ) Determine: a el espaio muestral asoiado al experimento que verifiará si un tornillo elegido al azar de entre los produidos en un turno de trabajo, resulta defetuoso o no defetuoso b el espaio muestral asoiado al experimento que verifiará si ada tornillo del total de 6 de la aja resulta defetuoso o no defetuoso el espaio muestral asoiado al experimento que verifiará uántos tornillos resultan defetuosos en la aja

9 89 Esquema de soluión a Paso Leer uidadosamente el enuniado del problema Una fábria produe tornillos que son guardados en ajas de 6 unidades para su venta C Cada tornillo es lasifiado omo defetuoso ( d ) o no defetuoso ( d ) Paso Identifiar el experimento y el espaio muestral asoiado Aquí el experimento verifiará si ada tornillo del total de 6 de la aja resulta defetuoso o no defetuoso ξ : Examinar un tornillo produido en el turno para determinar si es defetuoso o no El espaio muestral asoiado al experimento que verifiará si un tornillo resulta defetuoso o no, es de la forma Ω = d d { }, donde d india que el artíulo es defetuoso y Paso 3 Redatar una respuesta a la pregunta: Por lo tanto, d india que no lo es Resp: El espaio muestral para el experimento que verifiará si un tornillo elegido al azar Ω = d d de entre los produidos, resulta defetuoso o no es {, } b Paso Leer uidadosamente el enuniado del problema Una fábria produe tornillos que son guardados en ajas de 6 unidades para su venta Cada tornillo es lasifiado omo defetuoso ( d ) o no defertuoso ( d ) El experimento terminará uando se hayan elegido n = 6 tornillos de una aja Se dedue que se repetirá seis vees el experimento base de elegir un tornillo al azar Por lo tanto, si el experimento termina al abo de 6 eleiones, será se la forma Ω = Ω Ω Ω Ω Ω Ω donde { d, d } Ω = 6 Paso Identifiar el experimento y el espaio muestral asoiado De la letura del problema se dedue que el experimento que verifiará si ada tornillo del total de 6 de la aja resulta defetuoso o no defetuoso tiene asoiado un espaio de muestras Ω 6 = Ω Ω Ω Ω Ω Ω Seis vees

10 90 Aquí { d, d } Ω = omo en la parte a) Con un razonamiento iterativo, semejante al del ejeriio anterior, podemos deduir qué tipo de elementos tiene Ω 6 Si se eligieran tornillos: Espaio Muestral {( d, d),( d, d ),( d, d),( d, d )} Si se eligieran 3 tornillos (esto exede los límites): Ω = { d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d } Ω 3 = (,, ),(,, '),(,, ),(,, ),(,, ),(,, ),(,, ),(,, ) Con un razonamiento similar pero no detallando los resultados porque podemos reurrir al razonamiento y la notaión, se obtiene {( x, x,, x ) / xi { d, d }, i,,,6} Ω = = 6 6 Es deir, el espaio de muestras, en este aso, está formado por onjuntos ordenados de 6 tornillos (representados por x, x,, x n ), en que ada uno de ellos, a su vez, es representado por un registro que india que el tornillo es defetuoso ( d ) o que no es defetuoso ( d ) Teóriamente, un elemento de Ω 6 es de la forma, por ejemplo, ( d, d, d, d, d, d ) en ajas de 6 tornillos Gráfiamente, d d d d d donde : el tornillo es no defetuoso ( d ) y : el tornillo es defetuoso( d ) Paso 3 Redatar la respuesta a la pregunta: Finalmente, Resp: El espaio muestral asoiado al experimento que verifiará si un tornillo de la aja ha resultado defetuoso o no defetuoso es d {( x, x,, x ) / x {, i d d }, i,,,6} Ω = = 6 6

11 9 Paso Leer uidadosamente el enuniado del problema El experimento no pide ahora detallar seuenias d (defetuosos) o d (no defetuosos) sino CONTAR uántos tornillos resultan DEFECTUOSOS en la aja Se debe pensar en el número de defetuosos que podría haber en una aja Paso Identifiar el experimento y el espaio muestral asoiado Si el experimento onsiste en verifiar uántos tornillos resultan defetuosos en la aja, es laro que se trata de un ontaje del número de tornillos defetuosos en la aja Es deir, en la aja puede haber o o 3 o o 6 tornillos defetuosos Por lo tanto, el espaio de muestras asoiado es Paso 3 Redatar la respuesta a la pregunta: Ω = {,,,6} Resp: El espaio muestral asoiado al experimento que verifiará uántos tornillos resultan Ω =,,,6 defetuosos en la aja es { } 3 Ejeriios Propuestos (Primera parte) Suponga que se realiza el experimento de lanzar un dado Determine el espaio de muestras para los siguientes objetivos de experimentaión: a Observar el número apareido en la ara superior Resp: Ω = {,,3, 4,5,6} b Observar si el número apareido es par o impar Resp: Ω = { par, impar} Observar si el número apareido es mayor que 4 o no Ω = número mayor que 4, número no mayor que 4 Resp: { } d Observar la suma de puntos apareidos en las aras superior e inferior Ω = 7 (es un experimento determinístio) Resp: { } Suponga que se realiza el experimento de lanzar dos dadosdetemine el espaio de muestras para los siguientes objetivos de experimentaión: a Observar la suma de puntos apareidos en las aras superiores Ω =,3, 4,5,6,7,8,9,0,, Resp: { } b Observar el produto de los puntos apareidos en las aras superiores Ω =,,3, 4,5,6,8,9,0,,5,6,8, 0, 4, 5,30,36 Resp: { }

12 9 Observar el valor absoluto de la diferenia de puntos apareidos en las aras superiores Resp: Ω = 0,,,3, 4,5 { } 3 La última novela de un autor ha tenido un gran éxito En un grupo de 4 amigos afiionados a la letura determine: a El espaio de muestras asoiado a la experienia de estableer las seuenias que indian si ada uno de ellos ha leído (o no) la novela {( x, x, x, x ) / x l, l, i,, 3, 4} Ω = =, donde l india que el individuo Resp: { i } leyó la novela y l india que no fue así b El espaio de muestras asoiado a la variable que uenta el número de amigos que han leído la Ω = 0,,,3,4 novela, entre los uatro Resp: { } 4 El número de llamadas telefónias que llegan a una entral telefónia es a lo más de 0 llamadas en una hora Como no se asegura que en la hora siguiente haya exatamente 0 llamadas el operario deide investigar en forma teória el número de llamadas que se harán en la hora siguiente Determine el espaio de muestras para esta experienia Resp: Ω = { 0,,,,0 } 5 Cierta área geográfia del planeta es golpeada por huraanes en un año determinado Enontrar un espaio de muestras para estudiar el número de huraanes que suederán el año siguiente Resp: Ω = { 0,,,, N}, donde N es el máximo de huraanes que pueden ourrir en un año 6 Un estudio de inventario en un almaén determina que, en promedio, la demanda de un artíulo partiular se hae 5 vees al día Se estima que a lo más este artíulo es pedido 8 vees por día El enargado de inventario desea haer un estudio de esta situaión Determine el espaio de muestras asoiado al número de vees que este artíulo es soliitado por día Resp: Ω = { 0,,,,8} 7 Un meánio estudia el tiempo de duraión de un rodamiento Quiere determinar elmomento en que debe ambiarlo, antes de que al estropearse puedea ser auda de un aidente Cuál es el espaio de muestras del tiempo de duraión ativa del rodamiento? Resp: Ω = ( 0, TMáx ], donde T máx es el tiempo máximo de duraión del rodamiento 33 Ejeriios resueltos, paso a paso (Segunda parte): Ejemplo 5 (Apliaión en Cienias de la Salud) En el ejemplo anterior onsidérese el espaio muestral { aa a a aa a a } Ω =, ', ', ' '

13 93 Determine los siguientes suesos: a Al menos un niño tiene ásaris b Ningún niño tiene ásaris Más de un niño tiene ásaris d Al menos un niño no tiene ásaris Esquema de soluión a Paso Leer uidadosamente el enuniado del problema Se han elegido dos niños para verifiar si tienen ásaris Se debe averiguar el sentido que tienen las expresiones a lo más, a lo menos, más de, ningún Paso Identifiar el experimento, el espaio muestral asoiado y los suesos en estudio: Experimento: Observar dos niños para determinar si tienen ásaris o no El espaio muestral asoiado es, por tanto, Ω = { aa, a' a, aa ', a' a' } Gráfiamente, Ω = {,,, } Sueso en estudio: El sueso A: Al menos un niño tiene ásaris, de donde se anota a si el niño tiene ásaris y a ' si no tiene Ω está definido por { a' a, aa', a' a' } A =, La expresión al menos un signifia que uando menos uno de los sujetos tiene ásaris: el primero, el segundo o ambos en una eleión de dos Gráfiamente, A = {,, } Paso 3 Redatar la respuesta a la pregunta: Resp: El sueso A: Al menos un niño tiene ásaris, en la seleión de dos niños, está dado por A = aa ', a' a, a' a' donde a representa a un niño que tiene ásaris y a ' representa al { } niño que no tiene esta enfermedad b Paso Leer uidadosamente el enuniado del problema Se han elegido dos niños para verifiar si tienen ásaris Se pide determinar el sueso ningún niño tiene ásaris Paso Identifiar el experimento, el espaio muestral asoiado y los suesos en estudio:

14 94 Experimento: Observar dos niños para determinar si tienen ásaris o no El espaio muestral asoiado es, por tanto, Ω = { aa, a' a, aa ', a' a' } Sueso en estudio: El sueso B: Ningún niño tiene ásaris, entre los dos elegidos, es un sueso elemental en B = a ' a' Gráfiamente, Ω y está definido por { } Paso 3 Redatar la respuesta a la pregunta: B = { } Resp: El sueso B: Ningún niño tiene ásaris, en la seleión de dos niños, está dado B = a ' a' donde a ' representa a un niño que no tiene ásaris por { } Paso Leer uidadosamente el enuniado del problema Se han elegido dos niños para verifiar si tienen ásaris Se pide determinar el sueso Más de un niño tiene ásaris Más de uno on ásaris, signifia, en este aso de dos elegidos, que sólo nos queda la opión dos on ásaris Paso Identifiar el experimento, el espaio muestral asoiado y los suesos en estudio: Experimento: Observar dos niños para determinar si tienen ásaris o no El espaio muestral asoiado es, por tanto, Ω = { aa, a' a, aa ', a' a' } Sueso en estudio: El sueso C: Más de un niño tiene ásaris, ourrirá toda vez que al examinar dos niños del hospital se verifique el resultado aa Esto es, C ourre si y sólo si al examinar los dos niños, más de uno presenta ásaris (dos en este aso, son más de uno), Gráfiamente, C = { } Paso 3 Redatar la respuesta a la pregunta: d Resp: El sueso C: Más de un niño tiene ásaris, en la seleión de dos niños, está dado B = aa donde a representa a un niño que tiene ásaris por { } Paso Leer uidadosamente el enuniado del problema Se han elegido dos niños para verifiar si tienen ásaris Se pide determinar el sueso Al menos un niño no tiene ásaris Al menos un niño no tiene ásaris, signifia, en el aso de dos elegidos, que uno o más no tienen ásaris Paso Identifiar el experimento, el espaio muestral asoiado y los suesos en estudio: Experimento: Observar dos niños para determinar si tienen ásaris o no El espaio muestral asoiado es, por tanto, Ω = { aa, a' a, aa ', a' a' }

15 95 Sueso en estudio: El sueso D: Al menos un niño no tiene ásaris, ourrirá toda vez que al examinar dos niños del hospital se verifique el resultado a ' a, aa ', a ' a ', que son los asos en que uno no tiene ásaris (el primero o el segundo examinados) o dos no D = a' a, aa ', a' a' tienen ásaris (ambos no tienen) Es deir, el sueso busado es { } Gráfiamente, D = {,, } Puede observarse que C no ourre si ourre el sueso ontrario de C, es deir, ourre { aa, a' a, aa' } que es el sueso D Paso 3 Redatar la respuesta a la pregunta: Resp: El sueso D: Al menos un niño no tiene ásaris, en la seleión de dos niños, está dado D = a' a, aa ', a' a' donde a representa a un niño que tiene ásaris y a ' por { } representa al niño que no tiene esta enfermedad Nota Se debe observar que bajo este sentido onjuntista que se da a los suesos, se dedue que Ω es un sueso (sueso seguro, siempre ourre) y φ es un sueso (sueso imposible, nuna ourre) Para haer las apliaiones prátias de suesos se debe onoer algunas operaiones que se pueden realizar on suesos (la unión y la interseión onoidas ya desde la terminología de onjuntos) Las operaiones que se pueden realizar on suesos son semejantes a las que se realizan on onjuntos y que se onoen desde la Enseñanza Media Existe una orrespondenia entre suesos y onjuntos: En términos de suesos en Ω En términos de onjuntos en U Espaio muestral o sueso seguro: Ω Conjunto universal: U Sueso: A Ω Subonjunto del onjunto universal: A U Subonjunto del onjunto Sueso elemental: E universal, que tiene un únio resultado: { r } Sueso imposible : φ Conjunto vaío: φ Sueso ontrario : A Conjunto omplementario: A ' Suesos inompatibles o mutuamente exluyentes: A Ω, B Ω, tal que A B = ϕ Conjuntos disjuntos: A U, B U, tal que: A B = ϕ Unión de suesos: A B Unión de onjuntos: A B Interseión de suesos: A B Interseión de onjuntos: A B

16 96 Ejemplo 6 (Apliaión en Cienias de la Salud, ontinuaión) En el ámbito del ejemplo anterior, onsidérese el espaio muestral Gráfiamente, { aaa, a' aa, aa' a, aaa', a' a' a, a' aa', aa' a', a' a' a' '} Ω 3 = a Ω 3 = {,,,,,,, } Determine los siguientes suesos de Ω 3 : a Ningún niño tiene ásaris b Algún niño tiene ásaris Todos los niños tienen ásaris d Dos niños tienen ásaris e Al menos dos niños tienen ásaris f A lo más dos niños tienen ásaris Esquema de soluión Paso Leer uidadosamente el enuniado del problema Se han elegido TRES niños para verifiar si tienen ásaris Se debe reforzar el sentido que tienen las expresiones a lo más, a lo menos, más de, ningún, todos Paso Identifiar el experimento, el espaio muestral asoiado y los suesos en estudio y responder: Experimento: Observar tres niños para determinar si tienen ásaris o no a Sueso en estudio: Ningún niño tiene ásaris Este sueso está definido por: Gráfiamentes, A = { } Resp: A = { a a a } ' ' ' b Sueso en estudio: Algún niño tiene ásaris Este sueso está definido por: Gráfiamente:

17 97 A = {,,,,,, } Resp: A { aa a a aa a a a a aa aa a aaa aaa } = ' ', ' ', ' ', ', ', ' ) Sueso en estudio: Todos los niños tienen ásaris Gráfiamente, A 3 = { } Resp: A { aaa} 3 = d Sueso en estudio: Dos niños tienen ásaris Gráfiamente, A 4 = {,, } Resp: A { a aa aa a aaa } 4 = ', ', ' e Sueso en estudio: Al menos dos niños tienen ásaris Gráfiamente, A 5 = {,,, } Resp: A { a aa aa a aaa aaa} 5 = ', ', ', f Sueso en estudio: A lo más dos niños tienen ásaris Gráfiamente, A 6 = {,,,,,, } Resp: A = { a a a aa a a aa a a a a aa aa a aaa } 6 ' ' ', ' ', ' ', ' ', ', ', ' Nota: A A3 = {, } ourre si se observan tres niños on ásaris (todos los niños observados tienen ásaris) o bien tres niños sin ásaris (ningún niño tiene ásaris) A A 3 = {,,,,,, } = A 3 Nótese que si ourre A 3, entones ourre A, pues A3 A Es deir, si en la muestra todos los niños tienen ásaris (y por lo tanto ourre A 3 ), entones algún niño tiene ásaris

18 98 (ourre A ) Diho de otra manera, puesto que A3 A, toda vez que ourre A 3 ourre A Nótese también que 6 A = Ω Es deir, i= i 6 A siempre ourre En ada aso se sugiere que el estudiante esriba estos suesos en términos de las seuenias de a o a que orrespondan Por ejemplo, 3 i= i A A = {, } = { aaa, a' a' a' } A y A son suesos mutuamente exluyentes pues A A = φ (es deir la ourrenia de dos suesos mutuamente exluyentes simultáneamente es un sueso imposible) En partiular, A = { } y A = {,,,,,, } son mutuamente exluyentes, pues A A = {} = φ Si A B entones: si A ourre, entones también ourre B Es importante que se tome onienia de asoiaiones que se realizan uando se hae referenia a suesos Las asoiaiones a que haremos referenia dien relaión on un buen dominio idiomátio tanto de su sintaxis y omo de su semántia Por ejemplo, no es lo mismo deir un niño tiene ásaris (en el sentido de algún niño tiene ásaris) que un niño tiene ásaris (en el sentido de sólo un niño tiene ásaris) Sintátiamente ambas expresiones son iguales: un niño tiene ásaris, pero semántiamente ambas expresiones tienen signifiados muy diferentes Debe uidarse expresar on suma laridad a los suesos que se quiere definir y usar para resolver una situaión problemátia: En el sentido de algún niño tiene ásaris: Un niño tiene ásaris = {,,,,,, } En el sentido de sólo un niño tiene ásaris: Un niño tiene ásaris = niño tiene ásaris= {,,, } También es importante que se onoza muy bien las reglas sintátias de la lógia y de las operaiones onjuntistas afines on las operaiones de suesos Los onetivos y las formas de expresión idiomátias bien usadas ontribuyen a una lara expresión de los suesos uya

19 99 ourrenia se quiere medir (uando se use más adelante ñla probabilidad) Por ejemplo, si A y B son suesos y queremos medir la ourrenia simultánea de A y B entones debemos identifiar al sueso A B (véase álgebra de suesos) Si queremos medir la ourrenia de A o B debemos identifiar el sueso A B (véase álgebra de suesos) Debe notarse que aquí hay una asoiaión entre el onetivo idiomátio y y la interseión de suesos De la misma manera, debe notarse una asoiaión entre el onetivo idiomátio o y la unión de suesos A esto se referirá el siguiente ejemplo Ejemplo 7 (Apliaión en Cienias de la Salud, ontinuaión) En el ámbito de los ejemplos anteriores onsidérese el espaio muestral { aaa, a' aa, aa' a, aaa', a' a' a, a' aa', aa' a', a' a' a' '} Ω 3 = a De otro modo, a a a Ω 3 = Ω Ω Ω = ( x, y, z) / x =, y = ; z = a ' a ' a ' Gráfiamente, Ω 3 = {,,,,,,, } Ω 3 = Ω Ω Ω = Ω 3 = {, } {, } {, } Esribir en términos de suesos los siguientes enuniados: a Uno y sólo un niño de los tres examinados tiene ásaris b Sólo el terer niño examinado tiene ásaris Dos o más niños examinados tienen ásaris d Ningún niño examinado tiene ásaris e Al menos un niño examinado tiene ásaris f No más de dos niños examinados tiene ásaris Esquema de soluión Paso Leer uidadosamente el enuniado del problema Se han elegido TRES niños para verifiar si tienen ásaris Ya se ha visto antes este espaio y sus suesos

20 00 Paso Identifiar el experimento, el espaio muestral asoiado y los suesos en estudio y responder: Experimento: Observar tres niños para determinar si tienen ásaris o no Sueso en estudio: Para responder las preguntas y resumir en otra notaión más onveniente a ada sueso, usando uniones o interseiones, es muy onveniente definir a los siguientes: A : El primer niño observado tiene ásaris A : El primer niño observado no tiene ásaris A : El segundo niño observado tiene ásaris A : El segundo niño observado no tiene ásaris A 3 : El terer niño observado tiene ásaris A 3 : El terer niño observado no tiene ásaris Así, podemos ahora razonar omo sigue: a Se pide: Esribir el sueso Uno y sólo un niño de los tres examinados tiene ásaris Este sueso debe tener los resultados (tiene ásaris el primero) o bien (tiene éasaris el segundo) o bien (tiene ásaris el terero) En ada aso se ha utilizado una forma gráfia para simplifiar la imagen mental de estos resultados En ada uno hay uno y sólko un niño on ásaris En terminología de suesos se puede esribir ( A A A ) en lugar de 3 El primero tiene ásaris, y el segundo no y el terero no ( A A A ) en lugar de a 3 3 El primero no tiene ásaris y el segundo sí y el terero no ( A A A ) en lugar de 3 El primero no tiene ásaris y el segundo no y el terero sí Las observaiones suesivas generan una esritura on interseiones pero las disyuntivas (on el onetor o ) se expresan on uniones, de la siguiente manera: ( A A A ) ( A A A ) ( A A A ) 3 a 3 3 Lo que euivale a {,, } Por lo tanto,

21 0 Resp: Usando el álgebra de suesos, el sueso Uno y sólo un niño de los tres examinados tiene ásaris, se esribe omo ( A A A ) ( A A A ) ( A A A ) 3 a 3 3 b Se pide: Esribir el sueso Sólo el terer niño examinado tiene ásaris Este sueso debe tener los resutlados hay más resultados posibles (tiene ásaris sólo el terero) y no En terminología de suesos se puede esribir ( A A A ) en lugar de 3 El primero no tiene ásaris y el segundo no y el terero sí Las observaiones suesivas generan una esritura on interseiones: ( A A A ) 3 Lo que euivale a { } Por lo tanto, Resp: Usando el álgebra de suesos, el sueso Sólo el terer niño examinado tiene ásaris, se esribe omo ( A A A3 ) Siguiendo la misma forma de razonamiento, se dedue que el sueso Dos o más niños examinados tienen ásaris, se refiere a o bien o bien o bien En terminología de onjuntos se esribirá, entonesr ( A A A ) ( A A A ) ( A A A ) Es deir, {,,, }, o bien { a, a' a', a' aa ', a' a' a } Resp: Usando terminología de suesos, el sueso Dos o más niños examinados tienen ásaris, se esribe omo ( A A A ) ( A A A ) ( A A A ) d Se deja a investigaión probar que Ningún niño examinado tiene ásaris, en terminología de suesos se puede esribir omo ( A A A3 ) = { aaa} Es deir, { } Resp: Usando terminología de suesos, el sueso Ningún niño examinado tiene ásaris, se esribe omo

22 0 ( A A A ) 3 e Análogamente, Al menos un niño examinado tiene ásaris, en terminología de suesos puede ser esrito omo Es deir, ( A A A ) 3 {,,,,,, } Resp: Usando terminología de suesos, el sueso Al menos un niño examinado tiene ásaris, se esribe omo ( A A A3 ) f No más de dos niños examinados tienen ásaris, tiene omo resultados o bien o bien o bien o bien o bien o bien Una última reflexión En terminología de suesos: ( A A A ) ( A A A ) ( A A A )( A A A ) ( A A A ) ( A A A ) ( A A A ) a Resp: Usando terminología de suesos, el sueso No más de dos niños examinados tienen ásaris, se esribe omo ( A A A ) ( A A A ) ( A A A )( A A A ) ( A A A ) ( A A A ) ( A A A ) a Si se estudia la permanenia de una enfermedad omo el resfrío omún en el mundo podemos pensar en analizar de un modo general su existenia sin ura, pues es posible que perdure más allá de nuestras posibilidades mismas de vida Tal aso el espaio de muestras se onibe omo un onjunto infinito y en él pueden definirse infinitos suesos que pueden unirse o intersetarse Pero no debe pensarse que las uniones infinitas de suesos sólo pueden generarse en a partir de espaios infinitos Por ejemplo, el simple lanzamiento de una moneda para observar si se produe omo resultado ara o sello (un espaio finito on sólo dos resultados), puede generar infinitos suesos produiendo una variante simple En efeto, si se lanza la moneda hasta que resulte una ara, se puede definir A i : resulta ara en el lanzamiento i En tal aso, si no resulta ara en los lanzamientos que infinitamente se hagan, entones podemos deir que ourre el sueso Ai = A A A3 Lo deseable será que i= en algún momento se pueda obtener una ara para poder terminar el experimento Así, se estará deseando que ourra A = A A A3 Interprétese estas notaiones i= i

23 03 34 Ejeriios Propuestos (Segunda parte) En los espaios de muestra siguientes, esriba, en terminología de suesos, los suesos que se india: a Ω = Ω 0 Ω 0 = { 00,0,0, }, 0 { 0,} Ω = Se Ω se define A : en primer lugar, A : en segundo lugar Determine los siguientes suesos indiando los resultados que ontiene: i) en primer lugar Resp: ii) en segundo lugar Resp: A A = { 0,} A, { } A = 0, iii) en el primer lugar y en el segundo lugar Resp: A A b Ω = { 000,00,00,00,0,0,0, } Se define, A A { } A : en primer lugar, A : en segundo lugar, A 3 : en terer lugar = Determine los siguientes suesos indiando los resultados que ontiene: i) en primer lugar Resp: A = { 00,0,0, } ii) en primer lugar y en terer lugar Resp: A A { } 3 = 0, iii) en el primer lugar o en el segundo lugar Resp: A A = { 0,0,00,,00,0,00 } Sean A, B, C tres suesos en un espaio de muestras Ω Esriba los siguientes suesos: a Ourren A o B, pero no C Resp: ( A B) C b No ourren A y no ourre B Resp: A B De entre A y B, ourre al menos A Resp: ( A B) ( A B ) o, simplemente, A ( por qué?) d De los tres suesos dados sólo ourre B Resp: ( A B C ), si no importa el orden en que ourran estos suesos Si el orden importa, el sueso pedido será ( B A C ) ( B C A ) ( A B C ) ( C B A ) ( A C B) ( C A B) e No ourre: A o C Resp: ( A C) f Al menos ourre uno de los suesos A, B, C Resp: A B C

24 04 3 (Apliaión en Cienias de la Ingeniería) Tornillos de preisión son guardados en ajas de uatro tornillos para la venta Si T j : el tornillo j es defetuoso, para j =,, 3, 4, determinar en terminología de suesos los siguientes: a Más de dos tornillos son defetuosos Resp: ( T T T T ) ( T T T T ) ( T T T T ) ( T T T3 T4 ) ( T T T3 T4 ) b Ningún tornillo es defetuoso Resp: ( T T T 3 T 4 ) = ( T T T3 T4 ) A lo más uno es defetuoso ( T T T T ) ( T T T T ) ( T T T T ) Resp: ( T T T T ) Se ontrata una firma de ingenieros agriultores para que realien un estudio de tres ríos de ierta zona, on la intenión de estableer una rianza de truhas a Determine el espaio muestral Ω, on las determinaiones a i : El río i es apto para la rianza de truhas, i =,,3 ; a i : El río i no es apto para la rianza de truhas, i =,,3 Resp: Ω = { a aa3, a aa3, a aa3, a aa3, a aa3, a aa3, a aa3, a aa3 } b Determine el sueso E : Al menos dos ríos son aptos para la rianza de truhas E = a a a, a a a, a a a, a a a Si A i : El río i es apto para la rianza de Resp: { } truhas, i =,, 3, entones E = ( A A A ) ( A A A ) A A A ) A A A ) Para dos puestos de trabajo se presentan dos mujeres y dos hombres Uno de los puestos es de Jefe de Operaiones y el otro de Operario Para elpuesto de Jefe de Operaiones se elige por una seleión estrita sólo un postulante De los tres restantes se elige al azar uno para el puesto de Operario Usando la notaión M F, por ejemplo, para denotar el sueso elemental el primer puesto se ubre on el segundo aspirante hombre y el segundo puesto se ubre on la primera aspirante mujer: a Liste los elementos del espaio muestral Ω b Determine los elementos del sueso A : El puesto de Operario se ubre on un aspirante hombre Determine los alementos del sueso B : Exatamente uno de los dos puestos se ubre on un aspirante mujer d Determine los alementos del sueso C : Ningún puesto se ubre on un aspiranrte hombre e Determine los elementos del sueso A B ómo lo nombraría? f Determinelos elementos del sueso A B ómo lo nombraría?

25 05 6 Considere el espaio muestral Ω = { obre, sodio, nitógeno, potasio, uranio, oxígeno, in} Sean los suesos: A = { obre, sodio, in}, B = { sodio, nitrógeno, potasio}, C { oxígeno} Liste los elementos de los suesos siguientes: a A b A C A B C ( ) d B C e A B C f ( A B ) ( A C) = 7 En un período de 4 horas, en un momento X, un interruptor se pone en la posiión "enendido" Posteriormente en un momento Y (aún en el período de 4 horas) el interruptor se pone en la posiión apagado Suponga que X e Y se miden en horas en el eje de tiempo on el omienzo del período omo origen El experimento onsta del par de números (X,Y) a Enuentre un espaio muestral asoiado a este experimento b Desriba los siguientes suesos: i El iruito funiona durante una hora o menos ii El iruito funiona durante un tiempo Z iii El iruito omienza a funionar antes de t y deja de funionar después de t 3 Probabilidad: definiión y propiedades Palabras Clave: Probabilidad, axiomas de probabilidad, equiprobabilidad, distribuión de probabilidad Resumen de oneptos y propiedades: Al repetir un número determinado de vees un experimento aleatorio, se puede alular la freuenia relativa de ourrenia de suesos Por lo tanto se obtiene una distribuión empíria de freuenias relativas Si el experimento se repite nuevamente el mismo número de vees es de esperar que se mantengan los valores de las freuenias relativas de ourrenia de los suesos de interés y,

26 06 en onseuenia, su distribuión empíria Si se repitiera la experienia indefinidamente es deseable que si hay una onvergenia haia valores determinados de ourrenia de los suesos de interés, éstos puedan identifiarse perfetamente Para evitar tantas dudas se opta por oneptualizar un modelo matemátio estruturado a partir de axiomas (basados en las observaiones experimentales on ierta variabilidad), desde los uales se pueden deduir teoremas, que aunque siendo verdaderos nada demuestran aera del problema real, pueden, eso sí, permitir una mejor omprensión e interpretaión de la ley que rige la ourrenia de suesos en el problema real Las medidas de ourrenia de suesos, llamadas medidas de probabilidad, estarán definidas por funiones real valoradas que, verifiando iertas ondiiones, permitirán disriminar entre las posibilidades de ourrenia de éstos Para onstruir una medida de probabilidad se usará el onjunto potenia del espaio muestral Ω, que denotaremos por Potenia( Ω ), denotado por A y definido, en en forma intuitiva, omo el onjunto de todos los subonjuntos del espaio muestral, en el ual se enuentran los suesos, uya ourrenia se mide on una medida de probabilidad El número real P(A) se le denomina probabilidad del sueso A y la terna (Ω, A, P) se denomina Espaio de Probabilidad La medida de probabilidad sobre Ω es una funión de la forma P : A R, que verifia tres ondiiones: Axioma P( A) 0, para todo A A (la probabilidad de un sueso NUNCA es negativa) Axioma Si A, A,, A n es una oleión de suesos mutuamente exluyentes de A, entones, n ( ) n P i= Ai = P( A ) i= i para Ai Aj = φ uando i j Este axioma die que si se alula probabilidad a una unión de suesos que no tienen resultados en omún, se obtiene el mismo valor que si se sumara las probabilidades de ada sueso Axioma 3 P( Ω ) = (la probabilidad del espaio de muestras, sueso seguro, vale ) Si A, B y C son suesos en A, entones son propiedades de la medida de probabilidad P : P( φ ) = 0 P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) 3 P( A B C) = P( A) + P( B) + P( C) P( A B) P( A C) P( B C) + + P( A B C) 4 Si A B, entones:

27 07 5 P( A B) = P( A) P( A B) a) P( A) P( B) 6 0 P( A), para todo sueso A C 7 P( A ) = P( A) C b) P( B A) = P( B A ) = P( B) P( A) Un espaio de muestras finito o infinito numerable es un onjunto ontable Sus elementos pueden ser puestos en orrespondenia on un subonjunto de números naturales Un espaio de muestras infinito es un onjunto infinito no numerable Un espaio de muestras finito Ω es equiprobable si ada sueso elemental de Ω tiene la misma probabilidad de ourrir En tal aso, si Ω = { w, w,, wn } es un espaio de muestras finito equiprobable y A es un sueso en Ω, entones puede probarse que: P( w i ) = =, para todo i =,,, n # Ω n # A r P( A ) =, es deir si A tiene r elementos y Ω tiene n entones P( A) = # Ω n { } 3 Ejeriios resueltos, paso a paso: Ejemplo (Apliaión en Cienias de la Salud) (Caso finito equiprobable) Un médio ha reabado informaión en dos onsultorios, A y B, para observar el número de paientes fumadores y no fumadores atendidos en ada uno de ellos Obtuvo la tabla adyaente Calular la probabilidad de que un paiente elegido al azar sea fumador o haya sido atendido en el onsultorio A

28 08 Esquema de soluión Paso Leer uidadosamente el enuniado del problema Paso Identifiar los suesos y los de probabilidad que hay que alular Experimento: Se seleiona aleatoriamente un paiente, entre los 8 del espaio, para observar si es atendido en el onsultorio A o es fumador En este ontexto se puede Ω = w, w,, w, P : Potenia( Ω ) = A R,, definida d por onsiderar { } Se pide: 8 P ({ w i} ) =, para todo i =,,,8 8 Calular la probabilidad de que un paiente elegido al azar sea fumador o haya sido atendido en el onsultorio A Con base en el párrafo anterior se definen los suesos F = A = { el paiente es fumador} { el paiente es atendido en el onsultorio A} Con esta definiión se da una forma notaional adeuada al álulo que se pide realizar, observando que estos suesos están relaionados por el onetivo lógio idiomátio o : sea fumador o haya sido atendido en el onsultorio A F A Notaionalmente la probabilidad pedida es: P( A D) Paso 3 Calular la probabilidad pedida: Se tiene P( A D) = P( A) + P( D) + P( A D) = + = = Paso 4 Responder a la pregunta planteada: Resp: La probabilidad de que un paiente elegido al azar sea fumador o haya sido atendido en el onsultorio A es 5 6 Ejemplo

29 09 (Apliaión en Cienias Ambientales) (Caso finito no equiprobable)un habitantre de un setor de la iudad puede estar expuesto sólo a tres tipos de ontaminaión que han sido estudiadas por el ministerio de salud: C : Contaminaión por plomo ; C : Contaminaión por arsénio C : Contaminaión por monóxido de arbono 3 Se ha observado que la ontaminaión C ourre dos vees más a menudo que la ontaminaión C y tantas vees omo la ontaminaión C 3 Cuál nes la probabilidad de que un habitante de ese setor de la iudad no sufra ontaminaión por plomo? Esquema de soluión Paso Leer uidadosamente el enuniado del problema para identifiar experimento, espaio de muestra, suesos y la pregunta Paso Identifiar los suesos y la probabilidad que hay que alular: Experimento: Se observa la ontaminaión por plomo, arsénio o monóxido de arbono para averiguar la posibilidad de que al esoger a una persona en este ambiente de ontaminaión pueda no estar ontaminada por plomo Espaio de muestras: Ω = { C, C, C } 3 Probabilidad: P: A Rdonde P, a su vez, se define omo sigue Debe umplirse que { } ({ }) { } ( ) ({ }) P C = P C = P C (*) 3 ( ) ({ }) ({ }) P C + P C + P C = ( 3 Reemplazando (*) en esta última euaión y resolviendo se obtiene 5 P( { C } ) = ; P( { C } ) = ; { 3} 5 ( ) P C = Paso 3 Reonoer suesos, expresar en la notaión adeuada lo que se pide responder y alular: La probabilidad de que un habitante de la iudad no sufra ontaminaión por plomo es 5

30 0 4 P( { C} ) + P( { C3} ) = + = Paso 4 Responder a la pregunta: Resp: La probabilidad de que un habitante de ese setor de la iudad no sufra ontaminaión por plomo es de Ejeriios Propuestos Sean A, B, y C tres suesos asoiados on un experimento Exprese las siguientes proposiiones verbales en notaión de onjuntos: a Al menos uno de los suesos ourre b Exatamente uno de los sueso ourre Exatamente dos de los suesos ourre d No ourren más de dos suesos simultáneamente Demostrar que ( P A B ) ( A B) = P( A) + P( B) P( A B) 3 Suponga que A y B son dos suesos para los uales P( A) = x, P( A B) = z Expresar ada una de las probabilidades siguientes en términos de x, y, z : a ( P A B ) b P( A B) P( A B) d ( P A B ) 4 Suponga que A, B y C son suesos tales que P( A) = P( B) = P( C) = 4 P( A B) = P( B C) = 0 P( A C) = 8 Calular la probabilidad de que al menos uno de los suesos A, B o C ourra 5 Se lanza un par de dados y se anotan los resultados ( X, X ), donde X i es el resultado del i-ésimo dado ( i =, ) Sean los suesos siguientes:

31 = {(, ) / + 0} ; B = {( x, x ) / x = 5} ; C = {( x, x ) / x = 5 o x = 5} A x x x x a Calular las siguientes probabilidades: i) PB ( A ) ii PC ( A ) b Son A y B independientes? Justifique Son A y B mutuamente exluyentes? Justifique 6 (Apliaión en Cienias de la Ingeniería) En una produión de artíulos eletrónios, el 5% de los artíulos presenta fallas de transistores, el 30% presenta fallas de fusibles y el 0% presenta ambas fallas Cuál es la probabilidad de que un artíulo elegido al azar de esa produión presente: a al menos una de las dos fallas? b falla de transistores pero no de fusibles? falla de fusibles si no presenta falla en los transistores? d falla de transistores si presenta al menos un tipo de falla? 7 (Apliaión en Cienias Administrativas) En una ediión de enero de 998 de una revista de omputaión, se reportaba que según una enuesta llevada a abo por esta revista, el 40% de sus susriptores prefería regularmente los equipos omputaionales IBM, el 3% de sus susriptores prefería regularmente los equipos omputaionales OLIVETTI y que el % de sus susriptores prefería regularmente ambos equipos Cuál es la probabilidad de que un susriptor elegido al azar: a Prefiera al menos uno de los equipos omputaionales b Prefiera el equipo IBM, pero no el equipo OLIVETTI Prefiera el equipo OLIVETTI, si no prefiere el equipo IBM? d Prefiera el equipo IBM, si prefiere al menos uno de los equipos? 8 (Apliaión en Cienias de la Ingeniería) Cierto tipo de motor elétrio falla por obstruión de los rodamientos, por ombustión del embobinado o por desgaste de las esobillas Suponga que la probabilidad de la obstruión es el doble de la ombustión, la ual es uatro vees más probable que el desgaste de las esobillas Cuál es la probabilidad de que el fallo se produza por ada uno de esos tres meanismos? 9 (Apliaión en Cienias de la Ingeniería) En un período de 4 horas, en un momento X, un interruptor se pone en la posiión "enendido" Posteriormente en un momento Y (aún en el período de 4 horas) el interruptor se pone en la posiión apagado Suponga que X e Y se miden en horas en el eje de tiempo on el omienzo del período omo origen El experimento onsta del par de números ( X, Y ) a Enuentre un espaio muestral asoiado a este experimento b Desriba los siguientes suesos: i El iruito funiona durante una hora o menos ii El iruito funiona durante un tiempo Z iii El iruito omienza a funionar antes de t y deja de funionar después de t 0 Los artíulos omeriales de una línea de produión se lasifian en defetuosos (D) y no defetuosos (N) Se observan los artíulos y se anota su ondiión Este proeso se ontinúa hasta

32 que se produzan dos artíulos defetuosos onseutivos o se hayan observado uatro artíulos Desriba un espaio muestral para este experimento 33 Probabilidad ondiional e independenia de suesos Palabras Clave: Probabilidad ondiional, independenia de suesos distribuión de probabilidad, suesos independientes, partiión del espaio de muestras, probabilidad total Resumen de oneptos y propiedades: Hay situaiones en las uales la informaión aportada por la ourrenia de un sueso es importante para alular la probabilidad de ourrenia de otros suesos del ontexto de estudio Éste es el aso de la probabilidad ondiionada uyo valor depende de la ourrenia o no de un sueso ondiionante Sea P: A R una probabilidad en el espaio ( Ω, A, P ) asoiado a un experimento ξ Sea B un sueso en Ω tal que P( B ) > 0, entones se llama medida de probabilidad ondiional del sueso A dado que ha ourrido el sueso B a la medida P B tal que P ( A) = B P( A B) P( B) PA ( B ) se lee probabilidad del sueso A dado que ha ourrido el sueso B o, simplemente, probabilidad de A dado B El sueso ondiionante B debe tener una probabilidad ierta de ourrir, por eso la exigenia P( B ) > 0 La probabilidad ondiional P B( ) o, según la notaión de distintos autores, PB ( B) se define en un espaio de probabilidad de todos los suesos A esritos en la forma A B (intersetados on el sueso ondiionante B ), onvirtiendo al sueso B en un espaio de muestras restringido Si B = Ω, entones P = P = P (la probabilidad que hemos estado usando y que está B ondiionada a la ourrenia del espaio muestral Ω ) Ω