Probabilidad y estadística

Transcripción

1 Probabilidad y estadístia Apliaiones a la ingeniería y las ienias Eduardo Gutiérrez González Profesor de matemátias de la UPIICSA IPN Seión de Estudios de Posgrado e Investigaión Olga Vladimirovna Panteleeva Profesora de matemátias de la UACH Área de matemátias PRIMERA EDICIÓN MÉXICO, 2014

2 info editorialpatriaommx wwweditorialpatriaommx Direión editorial: Javier Enrique Callejas Coordinadora editorial: Estela Delfín Ramírez Supervisor de preprensa: Gerardo Briones González Diseño de portada: Juan Bernardo Rosado Solís/Signx Imágenes: Adrian Zamorategui Berber Fotografías: Thinkstokphoto Revisión Ténia: Alex Polo Velázquez Universidad Autónoma Metropolitana-Azapotzalo Probabilidad y estadístia Apliaiones a la ingeniería y las ienias Derehos reservados: 2014, Eduardo Gutiérrez Gónzalez/ Olga Vladimirovna Panteleeva 2014, Grupo Editorial Patria, SA de CV Renaimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaa Azapotzalo, Méxio D F Miembro de la Cámara Naional de la Industrial Editorial Mexiana Registro Núm 43 ISBN: Queda prohibida la reproduión o transmisión total o parial del ontenido de la presenta obra en ualesquiera formas, sean eletrónias o meánias, sin el onsentimiento previo y por esrito del editor Impreso en Méxio Printed in Mexio Primera ediión: 2014

3 Eduardo Gutiérrez González Dotor en Cienias (f ísio-matemátias), realizó estudios de lieniatura, maestría y dotorado en la Universidad Estatal de San Petersburgo, Federaión Rusa en análisis matemátio de Dotor en Cienias (estadístia), realizó estudios de maestría de y dotorado de en el Colegio de Posgraduados-Méxio en el programa en Estadístia Maestro en ingeniería, realizó estudios de maestría en el Posgrado de Ingeniería de la UNAM-Méxio, en Ingeniería de Sistemas en el ampo disiplinario de Investigaión de Operaiones de Atualmente aadémio de tiempo ompleto en la Seión de Estudios de Posgrado e Investigaión de UPIICSA-IPN, beario por la DEDICT-COFAA y EDD Olga Vladimirovna Panteleeva Maestra en Cienias Físio-Matemátias (matemátias apliadas), realizó estudios de lieniatura y maestría en la Universidad Estatal de San Petersburgo, Federaión Rusa, en Matemátias apliadas y proesos de ontrol de Dotora en Cienias (estadístia), realizó estudios de maestría de y dotorado de en el Colegio de Posgraduados-Méxio en el progra ma en Estadístia Atualmente aadémia de tiempo ompleto en la Universidad Autónoma de Chapingo en el área de matemátias Agradeimientos Cuando se termina una obra existen infinidad de ompañeros y olegas a los que se les debe en ierta forma la onlusión de esta y sin haer a un lado a nadie, agradeemos infinitamente a todos nuestros ompañeros de trabajo, tanto de las Aademias de Matemátias omo de Investigaión de Operaiones y de la Seión de Graduados de UPIICSA-IPN, así omo a los ompañeros del Programa en Estadístia del olegio de Posgraduados ampus monteillo, donde adquirimos grandes onoimientos sobre la probabilidad y la estadístia que han heho posible la esritura de este texto Muy en partiular agradeemos a los ompañeros del grupo Gitam (Grupo de Investigaión y Trabajos Aadémios de Matemátias, de las aademias de matemátias de UPIICSA-IPN, fun dado en 2013) a través de la línea 2 de investigaión sobre probabilidad y estadístia por las aportaiones obtenidas durante el Seminario de Probabilidad y Estadístia (2013--), así omo a los integrantes del Diplomado en Formaión Doente en Probabilidad y Estadístia on vigenia Por último, agradeemos a todos los revisores de la editorial uyas ontribuiones han sido inmejorables para que el texto tenga una mejor presentaión y alidad en su desarrollo Eduardo Gutiérrez y Olga Vladimirovna

4 Prefaio Palabras de los autores En términos generales el libro está divido en tres partes En la primera trabajamos on los fenómenos probabilístios; en la segunda on la estadístia tanto desriptiva omo inferenial y en la terera los modelos de regresión lineales Con estas tres partes, el libro se perfeiona on un avane ompleto de los oneptos básios que tienen mayor apliaión en problemas prátios de las diferentes esferas de la ingeniería La primera parte del libro iniia on la expliaión de las diferentes orrientes que existen en la asignaión de probabilidades a un sueso Durante los primeros tres apítulos se realiza una onstruión matemátia de la teoría de las probabilidades, apoyada on los espaios muestrales, el álgebra de eventos, ténias de onteo, probabilidad ondiional y eventos independientes En los apítulos 4 al 8 se introdue al estudio de las funiones al álulo de probabilidades, por medio del onepto de variables aleatorias Es deir, de manera más formal se iniia el uso de funiones, tanto disretas omo ontinuas, en el desarrollo de la teoría de las probabilidades El paso que se da en estos apítulos es uno de los más trasendentales en el desarrollo de la obra, debido a la introduión a las funiones en el estudio de las probabilidades, formaliza la reaión de una verdadera ienia matemátia de las probabilidades El apítulo 8 tiene una relevania teória que forma el vínulo para pasar de la probabilidad a la estadístia En este apítulo se revisan las transformaiones de las variables aleatorias por medio de los métodos más omunes omo: la funión de distribuión aumulada, la funión generatriz de momento y la ténia de los jaobianos Con estas ténias se sustenta la demostraión de la mayoría de fórmulas que utilizamos en la segunda parte del texto sobre la estadístia inferenial La segunda parte del libro la dediamos al estudio de la estadístia; se iniia en los apítulos 9 y 10 on la parte desriptiva En el apítulo 9 revisamos la estadístia desriptiva para datos no agrupados, donde analizamos las diferentes medidas, tanto entrales omo de desviaión Dentro de las medidas entrales estudiamos la media, mediana, moda, media geométria, media ponderada, media armónia y uantiles En las medidas de desviaión analizamos el rango, la varianza y la desviaión estándar Revisamos los oefiientes de variaión y ovarianza, y los parámetros de forma para un onjunto de datos; al final se revisan algunas apliaiones de los datos no agrupados a inversiones En el apítulo 10 realizamos un trabajo bastante ompleto sobre la estadístia desriptiva para datos agrupados Estudiamos las lases de freuenias y sus medidas entrales (antes menionadas) y uantiles Agregamos un apartado para las gráfias de las lases de freuenia, on las que se analizan las distribuiones de los datos; simetría, sesgo y urtosis Por último, revisamos la ténia gráfia Q-Q, para realizar una prueba de bondad de ajuste El estudio sobre las distribuiones muestrales lo iniiamos en el apítulo 11 donde se explia a detalle sobre las distribuiones muestrales de la media y diferenia de medias para variables normales Ampliamos las distribuiones muestrales para la suma y el promedio de las distribuiones más omunes estudiadas en la teoría de las probabilidades Es deir, en el aso disreto, hablamos sobre las distribuiones Bernoulli, binomial, geométria, Poisson, et, mientras que en el aso ontinuo nos referimos a la familia exponenial, beta, Pareto, et Continuamos el apítulo on una breve introduión sobre las estadístias de orden Al final, haemos una revisión detallada del Teorema Central del Límite en sus diferentes presentaiones, media, suma y distribuiones espeífias En el apítulo 12 se habla de manera breve sobre los estimadores puntuales y sus propiedades más importantes: sufiienia, insesgamiento, efiienia relativa y varianza mínima Veremos algunas propiedades asintótias deseables de una suesión de estimadores Después, revisamos on muho detalle los intervalos de onfianza Iniiamos on los oneptos básios sobre las propiedades de un buen intervalo de onfianza, on estos oneptos revisamos a detalle la parte metodológia de los intervalos de onfianza para los parámetros de poblaiones normales o aproximadamente normales, para una poblaión y omparaión de estas Al final on intervalos de onfianza para proporiones y diferenia de proporiones en muestras grandes En el apítulo 13 haemos una revisión similar a la del apítulo 12, pero ahora utilizamos las pruebas de hipótesis Se iniia on la desripión de los oneptos básios sobre pruebas de hipótesis y su metodología Primero revisamos qué es una hipótesis estadístia y uáles son los errores que ometemos al llevar a abo una prueba Asimismo, tratamos a detalle la poten ia de la prueba Haemos un resumen de los asos más o munes en las pruebas de hipótesis: simple ontra simple, simple ontra

5 Prefaio v ompuesta y ompuesta ontra ompuesta, donde tratamos sobre la prueba uniformemente más potente Al final, revisamos a detalle la parte metodológia de las pruebas de hipó tesis para los parámetros de poblaiones normales o aproximadamente normales y poblaiones tipo Bernoulli En la terera parte del texto en un solo apítulo haemos una revisión detallada de los modelos de regresión tanto simples omo múltiples En el primer aso expliamos ómo llevar a abo un análisis sobre la regresión, desde la onstruión de un diagrama de dispersión, hasta los intervalos de onfianza y pruebas de hipótesis de los parámetros de regresión Durante el desarrollo de los resultados de una regresión vemos ómo enontrar e interpretar su euaión, ómo obtener prediiones y ómo alular intervalos de onfianza para estas Con la regresión múltiple ampliamos los modelos a regresiones urvilíneas, asos on errores multipliativos y problemas de Cobb- Douglas Además de expliar a detalle los diferentes problemas que se pueden presentar on las observaiones de una muestra omo puede ser la multiolinealidad, datos aberrantes, transformaiones Box-Cox para variables de respuesta no normales, etétera Sin importar los avanes que tengamos en omputaión y en la teoría de la estadístia en los textos metodológios sobre apliaiones de la estadístia inferenial se onserva el viejo esquema del uso exlusivo de la distribuión normal para las fórmulas y métodos que se aostumbra usar en los intervalos de onfianza y prueba de hipótesis Por otro lado, los textos que hablan sobre las bases teórias para diferentes tipos de distribuiones resultan ser demasiado teórios de manera que a un letor sin formaión matemátia se le difiulta omprender el desarrollo del libro En la presente obra damos un enfoque teório y metodológio Así, el letor que solo tenga interés en la parte metodológia de la estadístia desriptiva e inferenial podrá avanzar en su estudio sin problemas De manera paralela a la metodología damos un desarrollo teório de la probabilidad, así omo de la estadístia desriptiva e inferenial De esta manera los letores más avanzados podrán omprender las bases teórias para la reaión de otros estimadores puntuales de los parámetros de poblaiones diferentes a la normal Es deir, on estas bases los letores más avanzados estarán en posibilidad de onstruir intervalos de onfianza y llevar a abo pruebas de hipótesis para parámetros de poblaiones diferentes a la normal Otra aportaión de transendenia de la presente obra on respeto a otras reside en que la parte de probabilidad la mayoría de los autores se refieren a esta omo un simple esalón para el desarrollo de la estadístia En este texto mostramos parte de su importania, además de resaltar las apliaiones atuales de la teoría de las probabilidades, en diferentes áreas de las ienias, por ejemplo: Administraión Ingeniería Informátia Simulaión de sistemas Control de alidad Toma de deisiones Evaluaión de proyetos Entre muhas otras Unas palabras del estilo y forma de esritura El estilo de esritura del libro es muy senillo, muestra oneptos que son la base para los desarrollos teórios Cada tema tratado en el libro está reforzado por una gran antidad de ejemplos y ejeriios prátios, en ada seión abaran diferentes formas de ver un problema (en total se tienen más de ejeriios que inluyen más de inisos) Las soluiones y sugerenias a la mayoría de los problemas están en el CD-ROM y fueron hehas en Exel-Mirosoft bajo la onsideraión de todos los dígitos, por estas razones las soluiones que obtenga el letor pueden variar ligeramente respeto a las mostra das en el CD-ROM, pero estas variaiones deben ser mínimas El libro está esrito de la siguiente forma: Cada seión se esribe on el número del apítulo al que pertenee, seguida de un punto y el número orrespondiente a la seión dada; se iniia on la seión uno en ada apítulo Ejemplo 43, signifia la seión 3 del apítulo 4 En el aso de las subseiones, se utiliza una tipograf ía diferente para difereniarlos Bases teórias requeridas Para la omprensión de los temas se requiere solo onoimientos básios de los ursos de álulo diferenial e integral En algunos temas tal vez no sea neesario el manejo de las demostraiones, pero en los ejemplos y ejeriios orrespondientes sí Objetivos del texto El objetivo de este libro es presentar, a los futuros profesionistas, herramientas uantitativas que puedan apliar en los problemas que les orresponda resolver dentro de su ámbito laboral, y así llegar a una mejor toma de deisiones Al final del texto esperamos que el letor sea apaz de: Desribir las diferentes orrientes de la probabilidad de eventos Definir el onepto de variable aleatoria Nombrar los tipos de modelos disretos y ontinuos más omunes Identifiar el tipo de modelo al que pertenee el experimento Ejemplifiar las diferentes orrientes de probabilidad y los modelos más omunes de probabilidad Resolver problemas para el álulo de probabilidades Apliar los diferentes modelos en su área de trabajo Proponer e investigar experimentos aleatorios para rear modelos probabilístios

6 vi Prefaio Desribir las diferentes ténias de la estadístia desriptiva, para llevar a abo un estudio detallado del omportamiento de los datos Definir los oneptos de parámetros y estadístios Nombrar las diferentes ténias que se pueden utilizar para realizar inferenias Identifiar en un problema dado, uándo un dato se refiere a un parámetro y uándo a un estadístio Ejemplifiar las diferentes ténias para estimar un parámetro, tanto puntual omo por intervalos Apliar las inferenias a su área laboral Experimentar desde el punto de vista de la estadístia inferenial Proponer e investigar experimentos donde se tengan distribuiones muestrales para haer inferenias on respeto a sus parámetros Apliar la regresión lineal para determinar relaiones entre variables y poder lograr haer prediiones en situaiones de su área laboral

7 Contenido Agradeimientos Prefaio iii iv apítulo 1 Bases de la probabilidad 1 11 Modelos determinístios y probabilístios 3 12 Interpretaiones de la probabilidad 8 Corriente freuentista 9 Corriente lásia (a priori ) 9 Corriente subjetivista 10 Corriente bayesiana (a posteriori ) Álgebra de eventos 11 Coneptos fundamentales de eventos 11 Relaiones fundamentales entre eventos 13 Diagramas de Venn-Euler 14 Operaiones fundamentales entre eventos 14 Partiiones de eventos 17 Generalizaión de la unión e interseión de eventos 18 Leyes del álgebra de eventos Axiomatizaión de la probabilidad 21 apítulo 2 Ténias de onteo y probabilidad Regla de la multipliaión Diagrama de árbol Arreglos on y sin repetiión 35 Arreglos on repetiión (reemplazo) 35 Arreglos sin repetiión: permutaiones 36 Permutaiones on elementos indistinguibles 37 Permutaiones irulares 38

8 viii Contenido 24 Combinaiones 39 Propiedades en el álulo de C n k 40 Combinatorias multinomiales Regla de la suma Apliaión de las ténias de onteo a la probabilidad 46 apítulo 3 Probabilidad ondiional Probabilidad ondiional 60 Comprobaión de los axiomas de Kolmogórov para P (A B ) 61 Tabla de probabilidad onjunta Regla de la multipliaión de probabilidades 65 Generalizaión de la regla de multipliaión de probabilidades 66 Empleo de los diagramas de árbol en la probabilidad ondiional Teorema de Bayes Eventos independientes 78 Eleiones sin reemplazo en poblaiones grandes 81 Generalizaión de eventos independientes 81 Eventos independientes apliados a iruitos 83 apítulo 4 Variables aleatorias disretas Variables aleatorias 96 Generalizaión de la asignaión de probabilidades a los valores de la variable Variables aleatorias disretas 99 Distribuión de probabilidad Funión de una variable aleatoria disreta Valor esperado de una vad 105 Propiedades del valor esperado de una vad Variania de una vad 108 Propiedades de la variania de una vad Generadores de números aleatorios disretos 114 apítulo 5 Modelos disretos de probabilidad Modelo uniforme disreto 124 Cálulo de probabilidades 125

9 Contenido ix 52 Modelos de Bernoulli y binomial 126 Notaión de la funión de distribuión aumulada 129 Cálulo de probabilidades de los modelos binomiales y uso de tablas binomiales 130 Modelos aproximadamente binomiales Modelo geométrio 135 Cálulo de probabilidades de un modelo geométrio Modelo de Pasal o binomial negativa Modelo hipergeométrio 142 Aproximaión hipergeométria por binomial Modelo de Poisson 148 Cálulo de probabilidades de modelos de Poisson y uso de tablas 150 Aproximaión de la binomial por Poisson 153 apítulo 6 Variables aleatorias ontinuas Variables aleatorias ontinuas 166 Funión de densidad de probabilidad 167 Funión aumulada de una variable aleatoria ontinua 169 Propiedades de una funión de distribuión aumulada 169 Cálulo de probabilidades mediante la funión de distribuión aumulada Valor esperado y variania de una variable aleatoria ontinua 174 Propiedades del valor esperado de una va 174 Variania de una variable aleatoria ontinua 174 Propiedades de la variania de una va Desigualdad de Chebyshev Generadores de números aleatorios on la funión de distribuión aumulada, aso ontinuo 179 apítulo 7 Modelos ontinuos de probabilidad Modelo uniforme ontinuo Modelo triangular Modelo exponenial 197 Relaión entre las distribuiones exponenial y de Poisson Modelo normal 201 Cálulo de probabilidades 203

10 x Contenido Propiedades de la distribuión normal estándar 205 Uso de tablas de la funión aumulada 205 Uso de tablas porentuales Aproximaión de la binomial por la normal Modelos de probabilidad tipo gamma 213 Propiedades de la funión gamma Modelos de probabilidad tipo Erlang Modelos de probabilidad tipo Weibull Modelos lognormal Modelos de probabilidad tipo beta Distribuión ji uadrada 226 Uso de tablas de la distribuión ji uadrada Distribuión t-student 228 Uso de tablas de la distribuión t-student Distribuión F 230 Uso de tablas de la distribuión F 230 apítulo 8 Variables aleatorias onjuntas y transformaiones Multivariables disretas 242 Distribuión de probabilidad onjunta disreta 242 Funión de distribuión aumulada 243 Funión de probabilidad marginal 245 Funión de probabilidad ondiional 246 Variables aleatorias independientes 246 Valor esperado 248 Covariania 249 Distribuión multinomial Multivariables ontinuas Transformaión de variables on la funión de distribuión aumulada 265 Caso disreto 265 Caso ontinuo Funiones generadoras de momentos 267 Momentos 267 Funión generatriz de momentos 269 Funión generatriz de momentos y variables independientes 272

11 Contenido xi 85 Ténia de jaobianos para transformar variables aleatorias 273 Transformaiones uno a uno 274 Transformaiones que no son uno a uno Transformaiones y relaiones entre normales χ 2 n, t y F 281 apítulo 9 Estadístia desriptiva para datos no agrupados Estadístia Poblaión y muestra 289 Probabilidad ontra estadístia 290 Carateres y variables estadístias 290 Esalas de mediión de una variable 291 Esalas de medidas uantitativas o métrias Ténias de muestreo 294 Muestreo aleatorio simple 294 Muestreo estratifiado 295 Muestreo sistemátio on iniiaión aleatoria 296 Muestreo por onglomerados 296 Tamaño de la muestra 296 Uso de tablas de números aleatorios Parámetros y estadístios Medidas entrales 300 La media 300 La mediana 302 La moda 303 Otros valores medios Cuantiles Medidas de dispersión 310 Rango 310 Variania y desviaión estándar 310 Desviaión media 312 Rangos interuantiles o interuantílios 313 Coefiiente de variaión y ovarianza Parámetros de forma en la distribuión de la muestra Apliaión de las medidas para datos no agrupados a inversiones 323 apítulo 10 Estadístia desriptiva para datos agrupados Clases de freuenia 334 Cálulo de las freuenias aumuladas 335

12 xii Contenido Distribuión de freuenias para variables ualitativas 336 Distribuión de freuenias para variables uantitativas Medidas entrales en lases de freuenia 341 Media por lases de freuenia 341 Moda en lases de freuenia Cuantiles 342 Cálulo de los uantiles 343 Clasifiaión de los uantiles Medidas de dispersión en lases de freuenias Gráfios 347 Gráfio de barras 348 Gráfios lineales, polígonos de freuenias 352 Diagrama de tallo y hoja (stem-leaf ) 354 Diagrama irular o de pastel 356 Desviaión uartil y ajas de dispersión Asimetría y urtosis Apliaión de las gráfias a pruebas de bondad de ajuste 362 Ténia gráfia Q-Q para una prueba de ajuste de distribuiones 362 Ejemplo de la ténia gráfia Q-Q para una prueba de normalidad 362 Ténia analítia Q-Q, para una prueba de normalidad 365 apítulo 11 Distribuiones muestrales y teorema entral del límite Muestra aleatoria Estadístias importantes 381 Media y varianza de la media muestral 383 Media y varianza de una diferenia de medias 385 Media y varianza de la varianza muestral 385 Media y varianza de una ombinaión lineal Distribuiones muestrales asoiadas a la normal 386 Sumas, promedios y ombinaiones lineales de variables aleatorias normales on la misma media y varianza 386 Cálulo del tamaño de la muestra en distribuiones normales 388 Fórmulas para el tamaño mínimo de muestra en distribuiones normales 390 Diferenia de medias de distribuiones normales 392 Cálulo del tamaño de la muestra para diferenia de medias Distribuiones de Bernoulli 395 Distribuión de la suma de variables de Bernoulli (Binomial) 395 Media y varianza de una proporión 395

13 Contenido xiii Media y varianza de una diferenia de proporiones 396 Distribuión muestral de la suma y media de otras distribuiones Introduión a las estadístias de orden Teorema entral del límite media y suma muestral 400 Teorema entral del límite para la media de variables 400 Teorema entral del límite suma de variables Teorema entral del límite para diferenia de medias Teorema entral del límite para proporiones 407 Teorema entral del límite para diferenia de proporiones 407 Cálulo del tamaño mínimo de muestra para proporiones muestras grandes Teorema entral del límite para distribuiones espeífias 411 Teorema entral del límite para distribuiones disretas 413 Distribuiones a las que no se puede apliar el teorema entral del límite Ley de los grandes números 414 Desigualdades de Markov y Chebyshev 415 Convergenias en probabilidad y distribuión 415 Demostraión del teorema entral del límite 416 apítulo 12 Estimaión puntual y por intervalos de onfianza Coneptos básios sobre estimadores puntuales 425 Espaio paramétrio 425 Valores de los estimadores puntuales 427 Estimadores insesgados 428 Estimadores insesgados de distribuiones espeífias Estadístias sufiientes 433 Propiedad de invarianza 434 Búsqueda de estimadores insesgados 436 Estimadores insesgados on menor varianza Error uadrado medio Propiedades asintótias deseables de los estimadores Coneptos básios de los intervalos de onfianza Intervalos de onfianza para los parámetros de una poblaión normal 443 Intervalos de onfianza para la media de poblaiones normales o aproximadamente normales uando se onoe s 443 Intervalos de onfianza para medias de poblaiones normales o aproximadamente normales uando se desonoe s 443

14 xiv Contenido Ejemplos variados para la estimaión de la media 445 Intervalos de onfianza para la varianza de poblaiones normales 448 Ejemplos variados para varianzas Intervalos de onfianza para omparar dos poblaiones normales 452 Resultados posibles de las omparaiones entre dos medias 453 Intervalos de onfianza para la diferenia de medias, poblaiones aproximadamente normales uando se onoen s 1 y s Intervalos de onfianza para la diferenia de medias de poblaiones normales uando se desonoen s 1 y s 2, pero se sabe que s 2 = 1 s Intervalos de onfianza para la diferenia de medias de poblaiones normales uando se desonoen s 1 y s 2, pero se sabe s 2 1 s Intervalos de onfianza para la diferenia de medias de poblaiones aproximadamente normales, se desonoen s 1 y s 2 muestras grandes 456 Intervalos de onfianza para la diferenia de medias de observaiones pareadas on diferenias normales 458 Ejemplos variados para la estimaión de diferenia de medias 460 Intervalos de onfianza para la razón entre varianzas de poblaiones normales Intervalos de onfianza para proporiones 470 Intervalos de onfianza para proporiones muestras grandes 470 Ejemplos variados para proporiones 471 Intervalo de onfianza de diferenia de proporiones muestras grandes 473 apítulo 13 Metodología para pruebas de hipótesis sobre los parámetros de una distribuión normal Coneptos básios sobre pruebas de hipótesis 486 Regiones de rehazo y no rehazo 487 Tipos de errores en una prueba de hipótesis 488 Funión de potenia y tamaño de la prueba 491 Eleión de la hipótesis nula y alterna 494 Cálulo de las probabilidades para los dos tipos de errores 494 Coneptos básios sobre los tipos de pruebas de hipótesis Pruebas de hipótesis para los parámetros de una distribuión normal 499 Pruebas de hipótesis para la media de poblaiones aproximadamente normales uando se onoe s 499 Pruebas de hipótesis para la media de poblaiones aproximadamente normales uando se desonoe s 505 Pruebas para la varianza de poblaiones normales 508

15 Contenido xv 133 Pruebas de hipótesis para omparar dos poblaiones normales 513 Pruebas de hipótesis para la diferenia de medias sobre poblaiones aproximadamente normales uando se onoen s 2 y 1 s Pruebas de hipótesis para la diferenia de medias sobre poblaiones aproximadamente normales uando se desonoen s 2 y 1 s2 2 pero s 2 = 1 s Pruebas de hipótesis para la diferenia de medias sobre poblaiones aproximadamente normales uando se desonoen s 2 y 1 s2 2 pero s 2 1 s Pruebas de hipótesis para la diferenia de medias de observaiones pareadas on diferenias normales 523 Pruebas de hipótesis para la razón entre varianzas de poblaiones normales Pruebas para poblaiones tipo Bernoulli, proporiones 533 apítulo 14 Regresión lineal simple y múltiple (véase en el CD-ROM) Desarga el apítulo 141 Regresión lineal simple Diagrama de dispersión Supuestos de la variable dependiente en el análisis de regresión 142 Método de mínimos uadrados para optimizar el error Supuestos del error en un modelo lineal 143 Error estándar de estimaión y propiedades de los estimadores 144 Prueba de hipótesis para el parámetro de la pendiente 145 Coefiientes de orrelaión y determinaión Coefiiente de orrelaión lineal Coefiiente de determinaión 146 Intervalos de onfianza para la prediión y estimaión 147 Regresión lineal múltiple Planteamiento general del modelo de regresión lineal múltiple Generalizaión de resultados de la regresión lineal y prueba F Uso de Exel de Mirosoft para la regresión lineal múltiple Soluión de un modelo de regresión lineal múltiple Análisis de residuales en la regresión lineal múltiple Problemas en la regresión lineal múltiple Regresión urvilínea Modelos de regresión on variables de respuesta transformadas

16 1 Bases de la probabilidad Objetivos generales Objetivos espeífios Demostrar que en la atualidad los fenómenos aleatorios que ourren en la industria, las ienias soiales, los estudios de merado y los juegos de azar deben ser estudiados mediante modelos aleatorios Expliar que la probabilidad, aunque se utiliza on base en diferentes orrientes, onstituye un área de la ienia que está bien estruturada y tiene una justifiaión matemátia onsistente, razón por lo que es estudiada más allá de los problemas de juegos de azar Expliar qué es un modelo probabilístio Desribir y enumerar los espaios muestrales de experimentos probabilístios Ejemplifiar los eventos de un experimento probabilístio Desribir las uatro prinipales orrientes de la probabilidad Definir las operaiones fundamentales del álgebra de eventos Resolver problemas de operaiones entre eventos mediante sus definiiones y diagramas de Venn Calular probabilidades de eventos on base en los prinipales teoremas de la probabilidad axiomátia

17 2 CAPÍTULO 1 Bases de la pr obabilid ad Introduión Desde su apariión en la faz de la Tierra, el ser humano siempre ha estado en ontato on situaiones aleatorias, ya sean de experienias naturales o de juegos que él mismo rea, en las uales prevalee la inertidumbre Por ejemplo, en las tumbas egipias se han enontrado restos de dados úbios que datan del año 2000 ac on maras idéntias a las de los dados atuales; más aún, hay indiios de que era del año 3500 ac los egipios pratiaban juegos de azar on objetos de hueso Por estas razones, el estudio de la inertidumbre siempre ha tenido un interés partiular para la humanidad, desde onoer el lima, el resultado del lanzamiento de una moneda o un dado, hasta situaiones modernas, omo la antidad de artíulos defetuosos en un lote de tamaño n, ambios de voltaje en un iruito elétrio, urso del valor del dólar en un día determinado y los movimientos en la bolsa de valores para onoer uáles aiones tienen mayor o menor riesgo en su inversión, entre otras Así, desde su apariión, los juegos on inertidumbre han dejado un gran reto a diferentes matemátios para alular las probabilidades de éxito que tiene un jugador en un juego de azar De manera que, haiendo un poo de historia, resulta que la reaión de la probabilidad se atribuye a los matemátios franeses del siglo xvii Blaise Pasal ( ) y Pierre de Fermat ( ) uando lograron obtener probabilidades exatas para ierto tipo de problemas relaionados on el juego de los dados; por ejemplo, la soluión al problema propuesto por el noble franés Antoine Gombauld ( ), quien preguntó a Pasal, uál es la probabilidad de que ourran dos seises al menos una vez al lanzar un par de dados 24 vees? Aunque algunos matemátios anteriores, omo Gerolamo Cardano ( ) y Galileo Galilei ( ), en el siglo xvi, ya habían realizado importantes ontribuiones a su desarrollo alulando algunas ombinaiones numérias para iertos problemas relaionados on los dados Uno de los problemas lásios on los que dio iniio el álulo de probabilidades onsiste en saber uántos dados hay que lanzar para que la probabilidad de que salga algún 6 supere 50% En la atualidad, en Méxio hay una gran antidad de juegos de azar para los uales se requiere efetuar iertos álulos de probabilidades; por ejemplo, lotería, juegos de quinielas deportivas, juegos de quinielas numérias, entre muhos otros La historia nos muestra que la teoría de la probabilidad dio sus primeros pasos en el siglo xvi on Gerolamo Cardano y Galileo Galilei; posteriormente, en el siglo xvii, on Blaise Pasal, Pierre de Fermat, Jean y Jaques Bernoulli ( ) y De Moivre ( ); en el siglo xviii, on Daniel Bernoulli ( ), Kart Friedrih Gauss ( ) y Siméon Denis Poisson ( ); en el siglo xx, on A Markov, Chebyshev y Liapunov, entre otros Pero, sin duda, quien sentó las bases teórias para formalizar el desarrollo de la teoría de las probabilidades fue el matemátio ruso Kolmogórov, en 1933, al introduir la teoría de la medida en el álulo de probabilidades Durante todo este texto se habla de probabilidad, pero, qué se entiende por esta ienia? Probabilidad es la rama de las matemátias que se oupa de medir o determinar uantitativamente la posibilidad de que ourra un determinado sueso Así, en el desarrollo del texto, prinipalmente en los primeros apítulos, se analiza ómo, en general, la probabilidad está basada en el estudio de la Teoría ombinatoria, ampliándose al álulo, graias al uso de las funiones Hoy día, la teoría de la probabilidad es una herramienta importante en la mayoría de las áreas de ingeniería, ienias y administraión De manera que realizar un estudio adeuado de la probabilidad es fundamental para el éxito de muhas ompañías, en partiular las de seguros, ya que estas evalúan las probabilidades de los suesos que les interesan (p ej, aidentes de autos, inundaiones, epidemias, et) mediante una minuiosa reopilaión de datos (experienias) que permiten inferir dihas probabilidades on sufiiente aproximaión omo para poder asignar las uotas o ostos de manera que la aseguradora no sufra pérdidas Además de las ompañías de seguros, la probabilidad tiene diversas apliaiones en otras áreas omo mediina, meteorología, meradotenia, prediiones de terremotos, omportamiento humano, finanzas, etétera En el presente apítulo tratamos los fundamentos teórios en los que se basa la onstruión de la Teoría de las probabilidades Por tanto, el apítulo iniia on el tratamiento de los modelos y su importania en el estudio de los diferentes fenómenos; de igual forma se hae énfasis en los modelos matemátios, los uales se lasifian en: Determinístios Probabilístios Después, definimos los experimentos aleatorios y determinístios Por su parte, el estudio de las bases de la probabilidad omienza on una disusión aera de las diferentes orrientes para la asignaión de probabilidades a un sueso, omo: Corriente freuentista Corriente lásia Corriente subjetiva Corriente bayesiana Enseguida, se aborda la onstruión matemátia de la Teoría de las probabilidades, introduiendo los axiomas de Kolmogórov, on los que prátiamente iniiamos un estudio formal de las probabilidades omo una ienia

18 11 Modelos determinístios y probabilístios 3 Es importante resaltar que la axiomatizaión de la Teoría de las probabilidades se onserva hasta el final de la presente obra Para el desarrollo de esta se introdue una seión referente a la teoría de onjuntos a la que llamamos álgebra de eventos, la ual, junto on los axiomas de Kolmogórov, onstituyen la base ientífia del desarrollo de la probabilidad El apítulo ontinúa on la formulaión y demostraión de diferentes teoremas y finaliza on una breve expliaión de la apliaión de estos en el álulo de probabilidades Para terminar, revisamos algunas funiones en Exel para el álulo de probabilidades 11 Modelos determinístios y probabilístios Uno de los objetivos del estudio de las ienias es desarrollar estruturas oneptuales que permitan omprender los fenómenos que ourren en la naturaleza para poder predeir los efetos que de ellos se deriven De la experienia ientífia, se dedue fáilmente que para poder estudiar un fenómeno es neesaria su imitaión o reproduión en una antidad sufiiente, a fin de que su investigaión sea lo más preisa posible Esta neesidad es lo que da origen a los modelos Ahora bien, qué entendemos por modelo y qué lo origina? Por modelo, entenderemos la representaión o reproduión de los fenómenos Los modelos pueden ser de diferentes tipos, pero para los objetivos de este texto, son de interés los modelos matemátios Veamos a ontinuaión la definiión de modelo matemátio que se utiliza durante todo el texto Un modelo matemátio es una representaión simbólia de un fenómeno ualquiera, realizada on el fin de estudiarlo mejor, dihas representaiones puede ser fenómenos f ísios, eonómios, soiales, etétera Los modelos matemátios pueden lasifiarse en determinístios y probabilístios, y para poderlos difereniar es neesario onoer su definiión y algunos ejemplos Primero, presentamos la definiión de modelos determinístios Cuando se realiza el modelo matemátio de un fenómeno y en este se pueden manejar los fatores que intervienen en su estudio on el propósito de predeir sus resultados, se llamará modelo determinístio A ontinuaión se presentan algunos ejemplos de modelos determinístios Ejemplos 11 Modelos determinístios 1 El lanzamiento de una moneda on ambos lados iguales (p ej, águilas) Al plantear este modelo es posible determinar que siempre es posible predeir el resultado (suponiendo que la moneda no puede quedar en posiión vertial), puesto que solo hay una opión: águila 2 Cuando tenemos una inversión a una tasa r, podemos alular su Valor Presente Neto, VPN () El modelo es determinístio, puesto que tiene una inversión fija a una tasa fija r; por tanto, es posible predeir el resultado que ourrirá al abo de n años mediante el uso de la siguiente fórmula: VPN( ) = (1 + r) n Por ejemplo, si vamos a reibir = pesos dentro de uatro años, pero queremos saber uánto vale hoy, VPN(), debemos desontar los intereses que se generan desde hoy hasta dentro de uatro años Si el interés anual es de 8% en operaiones a uatro años, entones el día de hoy debemos invertir: VPN( ) = = ( ) Entones, si iniiamos la inversión on al abo de uatro años tendremos pesos 3 Sea una eonomía en equilibrio determinada por el modelo eonómio de entradas y salidas de Wassiley Leontief, apliado a tres empresas distintas a11x1+ a12x2+ a13x3+ e1= x1 a 21x1+ a22x2+ a23x3+ e2= x2 a31x1+ a32x2+ a33x3+ e3= x3 Donde: x i representa la produión de la empresa i; e i representa la demanda externa sobre la empresa i; y a ij representa el número de unidades de produto de la empresa i neesarias para produir una unidad de produto de la industria j Conoiendo la

19 4 CAPÍTULO 1 Bases de la pr obabilid ad Wassiley Leontief naió el 5 de agosto de 1906, en San Petersburgo, y murió el 5 de febrero de 1999, en Nueva York Iniió sus estudios superiores en la universidad de San Petersburgo y terminó el dotorado en la universidad de Humboldt, Berlín en 1928 En 1931 emigró de forma definitiva a Estados Unidos de Améria El modelo de entradas y salidas fue presentado por primera vez en el artíulo de Leontief Quantitative Input and Ouput Relations in the Eonomi System of the United States, Review of Eonomi Statistis 18 (1936), pp Una versión atualizada del modelo aparee en el libro de Leontief, Input-Output Analysis, Nueva York, Oxford University Press, 1966 Leontief ganó el premio Nobel de Eonomía en 1973 por su desarrollo del análisis de insumo y produión de entradas y salidas demanda externa por empresa y la demanda interna entre empresas, on este modelo es posible predeir la produión de ada empresa 4 El modelo de una ompañía donde se elaboran dos produtos al pasar en forma onseutiva, a través de una línea de produión, por tres máquinas distintas En este aso, el tiempo por máquina asignado a los dos produtos está limitado por una antidad determinada de horas por día; el tiempo de produión y la ganania por artíulo de ada produto se pueden estableer de manera que al ombinar los produtos podemos obtener una ganania óptima En el modelo anterior se puede notar que estamos ontrolando los diferentes parámetros que intervienen Por tanto, al estableer el modelo matemátio orrespondiente y los valores para los fatores es posible predeir su resultado 5 Se puede diseñar un modelo que muestre la influenia de la fuerza de friión sobre un uerpo que se mueve en una superfiie Con este modelo se puede onluir que en superfiies más ásperas se tiene mayor fuerza de rozamiento El modelo anterior es determinístio, ya que en este se manejan superfiies y se puede predeir el resultado Por ejemplo, la distania a la que se puede detener el móvil; esto es, si se mueve el uerpo on una fuerza iniial y ambiamos las asperezas podremos estableer una fórmula matemátia que indique (omo resultado de un álulo numério) la distania en la que se detendrá el móvil 6 La aída de voltaje en una resistenia de un iruito elétrio se puede observar en la figura 11 V-Voltaje i R-Resistenia Figura 11 Ciruito elétrio on una resistenia En general, sabemos que ualquier modelo físio es una aproximaión de la realidad; no obstante, este no la puede representar en forma exata, esto se debe a que en ada fenómeno intervienen infinidad de fatores y no es posible involurarlos a todos en el modelo Por esta razón, salvo que se diga otra osa, en el texto se onsideran los modelos onoidos sobre diferentes fenómenos físios omo determinístios Por ejemplo, en el iruito anterior, la aída real de voltaje está influeniada por los fatores: humedad, alentamiento del alambre ondutor, temperatura, etétera, que para fines prá tios se pueden onsiderar despreiables De manera similar, en el modelo del movimiento de un uerpo sobre una superfiie on friión, se onsidera que las otras fuerzas que intervienen son despreiables Por los ursos de f ísia sabemos que la Ley de Ohm india que la aída de voltaje en este iruito elétrio on una resistenia está dada por V = Ri, donde, R representa la resistenia, medida en ohms; i la orriente medida en amperes, y V el voltaje medido en volts El otro tipo de modelos que revisamos ourre uando no podemos ontrolar los fatores que intervienen en dihos modelos A partir de lo ual surge la definiión de modelo probabilístio o estoástio Los modelos probabilístios o modelos estoástios son aquellos modelos matemátios de los fenómenos en los uales no se pueden ontrolar los fatores que intervienen en su estudio, además de que dihos fatores ourren de tal manera que no es posible predeir sus resultados Los modelos probabilístios son de gran interés en el texto; por tanto, para una mejor omprensión de estos se presentan los siguientes ejemplos Ejemplos 12 Modelos probabilístios 1 Los modelos lásios probabilístios se refieren a los juegos de azar, omo el lanzamiento de una moneda equilibrada o legal (es deir, que no está argada a ningún lado), para determinar el resultado que va a ourrir En el lanzamiento de un dado no argado (esto es, que un lado del dado no pesa más que los otros) no es posible predeir qué número quedará en la parte de arriba del dado

20 11 Modelos determinístios y probabilístios 5 2 En el lanzamiento de una moneda equilibrada 10 vees para obtener ino águilas, el modelo es de tipo probabilístio, puesto que no podemos predeir el resultado que va a ourrir en el siguiente lanzamiento 3 Las artas o fihas que le toarán a una persona al iniio de una partida de un juego de artas o domino, respetivamente 4 En el ejemplo 2 de la lista 11 de ejemplos, la tasa anual de inversión para un año determinado en realidad está ondiionada a situaiones de inertidumbre del país; por onsiguiente, bajo estas ondiiones no podemos predeir el VPN para un año determinado si no onoemos on anterioridad la tasa r 5 En una línea de produión, al realizar el ontrol de alidad de los artíulos se deteta ierta antidad de produtos defetuosos; no es posible determinar la antidad o porentaje de estos en la línea 6 Si deseamos onoer los ingresos por aión para una ompañía de teléfonos, estos se pueden estimar mediante el PIB (Produto Interno Bruto) que se mide en millones de pesos Entones, estableemos, mediante una euaión, un modelo para su estimaión, pero no podemos saber on exatitud sus resultados 7 El onoimiento del urso de una aión referente a una empresa en la bolsa de valores es uno de los prinipales problemas que todo aionista quisiera saber ómo predeir Este es un problema finaniero muy omplejo que depende de muhos fatores, inluyendo los polítios, por lo que no se puede ontrolar el urso de la aión ya que esta se enuentra envuelta en muha inertidumbre; por tanto, solo es posible indiar un rango de valores posibles en el que se tengan evidenias que podrán enontrarse en el urso de la bolsa para diha aión En el aso del dólar podríamos tener evidenias de que al día siguiente su osto estará entre 1240 y 1280 pesos, pero en realidad no onoemos uál será su otizaión exata, puesto que este estará influido por fatores que pueden tener muha inertidumbre, omo situaiones polítias 8 Si deseamos onoer el lugar de aída de un satélite que se salió de su órbita y se dirige a la Tierra no podemos predeir el lugar donde aerá, puesto que no es posible ontrolar su movimiento; por tanto, solo es posible indiar una región en donde se ree que aerá, on un valor numério que represente la aseveraión 9 La posiión de un eletrón en un momento dado, la ual no es posible estableer, pues, de los ursos de f ísia sabemos que un eletrón no tiene una posiión fija, ya que ambia onstantemente, sin reglas en su movimiento En tal aso, solo podemos estableer un área en la que supongamos on un ierto valor numério la posibilidad de que el eletrón se enuentre ahí 10 Si en el iruito elétrio del ejemplo 6 de la lista 11 de ejemplos onsideramos los demás fatores que intervienen en el iruito y medimos los voltajes on un voltímetro de alta alidad, podremos apreiar que al tomar diferentes mediiones existen ambios pequeños en estas En estas ondiiones, podremos onsiderar a la aída de voltaje V = Ri omo un modelo probabilístio Al reproduir ualquier fenómeno, ya sea de manera determinístia o probabilístia, estamos experimentando, por lo que es neesario alarar lo siguiente: qué entenderemos por experimento al utilizar un modelo matemátio de tipo probabilístio (abe alarar que hasta este momento no se ha dado la definiión de probabilidad)? Así, para ir alarando los oneptos, a ontinuaión se presenta la definiión formal de experimento aleatorio Llamaremos experimento aleatorio al proeso de obtenión de una observaión en que se umple alguna de las siguientes ondiiones: a) Todos los resultados posibles son onoidos b) Antes de realizar el experimento el resultado es desonoido ) Es posible repetir el experimento en ondiiones ideales Ahora, on el propósito de alarar mejor la definiión de experimentos aleatorios, en los siguientes ejemplos ilustramos algunos proesos aleatorios que muestran este tipo de experimentos Ejemplos 13 Experimentos aleatorios 1 Lanzamiento de tres monedas hasta obtener dos águilas 2 Lanzamiento de una moneda tres vees hasta obtener dos águilas Existe alguna diferenia on el iniso anterior? 3 Lanzamiento de una moneda tres vees y la realizaión del onteo referente a la antidad de soles que apareen en estos lanzamientos 4 Lanzamiento de un dado, observando la ara superior que resulte 5 Lanzamiento de dos dados y la realizaión del onteo de la suma que resulta en sus aras superiores 6 Un inspetor de ontrol de alidad analiza lotes de 60 artíulos ada uno El proeso de ontrol de alidad onsiste en elegir ino artíulos sin reemplazo y determinar si son buenos o defetuosos 7 Sea un lote de 60 artíulos que tiene 10 defetuosos Entones, se define el proeso de seleionar los artíulos sin reemplazo y anotar los resultados hasta obtener el último defetuoso

21 6 CAPÍTULO 1 Bases de la pr obabilid ad 8 Observar las antidades máxima y mínima de personas que llegan a la estaión Potrero del metro en la Ciudad de Méxio, ada día, en intervalos de ino minutos 9 Medir ada 10 minutos la aída de voltaje en un iruito elétrio on una sola resistenia Al proeso por el ual se desriben los fenómenos uyos resultados pueden predeirse, lo llamaremos experimento determinístio Además de los experimentos aleatorios, también tenemos los determinístios, de los uales enseguida se presenta su definiión y se muestran algunos ejemplos para su mejor omprensión Ejemplos 14 Experimentos determinístios 1 En un modelo de valor presente neto de una serie de flujos de efetivo V i de una inversión, a una tasa fija r, podemos alular su VPN() al abo de n años, el ual se alula de la siguiente forma: n Vi VPN( ) = inversión( ) + i i= 1 (1 + r) 2 El tiempo de aída libre de un objeto Si se onoe la altura y no existen fuerzas externas, el tiempo de aída se puede predeir 1 por medio de la expresión obtenida en el urso de f ísia: h= gt 2, donde h es la altura, g la aeleraión de la gravedad y t el 2 tiempo de aída 3 La mezla de sustanias químias para la obtenión de algún ompuesto Entendemos por onjunto a una oleión de objetos bien definida mediante alguna o algunas propiedades en omún En tanto, por objeto omprendemos no solo osas físias (omo disos, omputadoras, entre otras), sino también osas abstratas, omo los números o las letras A los objetos que forman el onjunto, los llamamos elementos del onjunto Después de realizar un experimento, por lo general se registran sus resultados para obtener las onlusiones orrespondientes al fenómeno en estudio, por lo que surge la neesidad de introduir un nuevo onepto referente al onjunto de todos los resultados del experimento El onepto de espaio muestral se emplea en la seión 13, junto on sus propiedades de onjuntos; por ahora es sufiiente introduir su definiión Al onjunto de todos los resultados posibles de un experimento probabilístio lo llamaremos espaio muestral del experimento y lo denotaremos por S A su vez, a los elementos de un espaio muestral los llamaremos puntos muestrales Los espaios muestrales forman una parte primordial en el desarrollo de la teoría de las probabilidades, por lo que es indispensable mostrar algunos ejemplos de estos Aunque de aquí en adelante se hablará de estos en los apítulos subseuentes Ejemplos 15 Espaios muestrales 1 El experimento sobre el lanzamiento de una moneda se realiza tres vees y se anotan sus posibles resultados El espaio muestral está representado por a, en el aso de águila, y por s, en el aso de ara o sol Por tanto: S ={ sss, ssa, sas, ass, saa, asa, aas, aaa} 2 El experimento sobre el lanzamiento de una moneda se realiza tres vees y se anota la antidad de águilas que apareen De este modo, 0 representa la ausenia de águilas, 1 representa la presenia de un águila, etétera De este modo, el espaio muestral sería: S ={ 0,1, 2,3 } Compare los resultados de los ejemplos 1 y 2, qué puede onluir? 3 Se realiza el experimento sobre el lanzamiento de dos dados y se anota la suma de las aras superiores que resultan En este aso, el espaio muestral estará formado por: S ={ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }

22 11 Modelos determinístios y probabilístios 7 4 Se realiza el experimento de lanzamiento de dos dados, de los uales se toma la diferenia del valor mayor menos el valor menor que resulta en sus aras superiores En este aso, el espaio muestral resultante es: S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5} 5 Se realiza el experimento de lanzamiento de un dado dos vees, de las uales se toma la diferenia del valor del primer resultado menos el valor del segundo resultado de las aras superiores El espaio muestral resultante es: S = { 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} 6 Suponga que se tiene un lote de tres refrigeradores de tamaño 3 (dos de estos están en buen estado y uno está defetuoso) Entones, se realiza el experimento de extraer dos refrigeradores del lote, sin que haya un reemplazo Denotando al refrigerador bueno por b y al defetuoso por d, determine el espaio muestral a) Si en el par elegido se onsideran diferenias solo entre los dos buenos, no importa el orden Cuando se trata de onjuntos sabemos que no importa el orden en que se oloquen sus elementos Entones, denotando a los artíulos buenos por b 1 y b 2, respetivamente, se tiene: S= { b, b }, { b, d}, { b, d} { } b) Si en el par elegido se onsideran diferenias entre los dos buenos y el orden de extraión, para distinguir el orden de extraión de los refrigeradores, los pares elegidos se esriben juntos sin separarlos, indiando que el de la izquierda se extrae antes que el de la dereha: S= { b b, b b, b d, db, b d, db } ) Solo es de interés si el refrigerador es bueno o defetuoso, no importa el orden: S= { b,b}, { b, d} { } d) En el par elegido los dos buenos son indistinguibles, pero sí importa el orden de extraión: S= { bb, bd, db} Después de tratar on los espaios muestrales, entones nos preguntamos: qué pasa si solo onsideramos una parte de estos? Para poder dar una respuesta a la pregunta es neesario definir qué es un evento y qué es un evento simple Dado un experimento aleatorio y su espaio muestral S, se llama evento a un onjunto de resultados posibles de S Podemos notar que un evento no es más que un subonjunto de un espaio muestral A ontinuaión definimos los eventos que ontienen uno y solo un elemento del espaio muestral, y que serán utilizados de forma implíita en la siguiente seión uando hablemos sobre la orriente lásia de probabilidad Al evento que onsta de un solo elemento le llamaremos evento simple Ejemplos 16 Eventos simples Obtenga el evento indiado en los espaios muestrales de los ejemplos anteriores 1 Se lanza una moneda tres vees y se anotan los resultados posibles Sea el evento E: Aparee una sola águila Representando águila por a y sol por s, el evento será: E ={ ssa, sas, ass} 2 El lanzamiento de una moneda tres vees y el onteo de la antidad de águilas que apareen Sea el evento E : aparee un águila, E ={ 1 } 3 El lanzamiento de un dado y la ara superior que resulta Sea E el evento que denota: el número de la ara que resulta no es mayor a 4 E ={ 1, 2, 3, 4}