2. Teoría BCS. Física de los pares de Cooper

Transcripción

1 . eoría CS. Físia de los pares de Cooper La primera teoría mirosópia de la superondutividad fue planteada en 957 por John ardeen, Leon Neil Cooper y Robert Shrieffer. La idea fundamental es tratar el problema on meánia uántia presente en sistemas metálios donde los portadores físios mirosópios de la superondutividad son los pares de Cooper. Pruebas experimentales omprobaron la validez y la existenia de lo pares. Claro, muhos años después. El hamiltoniano propuesto en la teoría CS se redue a inluir sólo pares de eletrones y es de la forma H CS ( ) V,, (.) El potenial de interaión V, inluye el término de la repulsión oulombiana entre eletrones y por supuesto la interaión efetiva entre éstos y los iones. Para enontrar la energía del estado base superondutor hay varias formas. Pero sin duda una de las formas más laras es mediante una diagonalizaión del hamiltoniano CS usando una transformaión anónia que lleva el nombre de transformaión Valatin ogoliubov 3. 39

2 . Operadores de ogoliubov Los operadores de la transformaión anónia on la ual se diagonaliza γ r u rr vr r γ r u r r vr r γ r u rr vr r r u r r vr r H CS son γ (.) r r donde ur, vr son funiones reales simétrias respeto a la transformaión. Como la transformaión debe ser unitaria también se debe umplir que u v (.3) Además, estos nuevos operadores umplen la regla de onmutaión para fermiones (se omite la notaión vetorial en el subíndie) { γ, γ } { γ, γ } { γ, γ } { γ γ } { γ, γ } δ, (.4) y sus relaiones inversas son u γ v γ u γ v γ u v u v r r r r r r r r r r γ γ γ γ (.5) r r r r r r r r r r Enseguida se esribe H CS en términos de dihos operadores. Para efetuar tal operaión, de la E. (.) se toma el término de la energía inétia (se omite el signo del espín y la notaión vetorial) H ( ) (.6) que se transforma en 4

3 H u γ γ v γ γ u v γ γ γ γ v γ γ u γ γ u v γ γ γ γ (.7) Para simplifiar la expresión anterior se aplian las reglas de onmutaión. Asimismo se requiere definir dos nuevos operadores 8 m y m de la siguiente forma m γ γ m γ γ (.8) Por otro lado, de la regla de onmutaión para fermiones se tiene γ γ γ γ γ γ (.9) γ γ y para los términos uadrátios ( ) ( ) u γ γ v γ γ v γ γ u γ γ u m v γ γ v γ γ u m um v m v m um v u v m m de tal forma que H H ahora se esribe ( ) ( ) ( ) [ v ( u v )( m m ) u v ( γ γ γ γ )] (.) (.) Para el término de la energía potenial se proede de igual forma. Primero el produto ( uγ vγ )( uγ vγ) uv ( m m) uγ γ vγ γ (.) Asimismo, ( uγ vγ )( uγ vγ ) (.3) on lo que se obtiene H V { u v u v m m m m V, ( )( ) uv m m u v γ γ γ γ } (.4) ajo la transformaión de ogoliubov, H CS se puede estableer ahora omo 4

4 H CS E (.5) H H H donde E es independiente de los operadores γ ; H se die que es un operador diagonal porque sus términos o son onstantes o dependen de los operadores m ; H no es diagonal y H ontiene términos de uatro operadores γ. En efeto, E v V u v uv (.6), érmino independiente de los operadores de Fermi. Corresponde a la energía del estado base, omo se alara más adelante. Asimismo, H es la parte diagonal dada por ( ) ( )( ), V u v u v ( m m ) H u v m m V u v u v m m m m (.7) por último, la parte no diagonal es ( γγ γγ) ( ) H { uv V u v m m u v } (.8) H es un término no diagonal que ontiene el produto de uatro operadores de Fermi. La CS hae una aproximaión al omitir dihos términos. Se asume que en el estado de mínima energía, los números de oupaión m y son ero, y que efetivamente no existen estados exitados (on energía mayor a la de Fermi), ondiión sólo válida a. Para anular H se impone la siguiente ondiión en la E (.8) ( u v ) V u v u v (.9) E que es al mismo tiempo la ondiión de mínima energía del estado base. v m 4

5 . Cálulo del gap eletrónio La idea de que en la transiión al estado superondutor se forman pares de eletrones onlleva el heho de que exista una breha energétia en el espetro eletrónio. Para estableer el álulo se parte de la siguiente definiión: V u v (.) Que es el parámetro del gap de la CS 4 Como manera: u y v no son independientes dado la E. (.9), se reesriben de otra u x v x, (.) La breha se reesribe ahora V x 4 (.) ambién es fáil obtener u v x x x (.3) on lo ual la E. (.9) ahora es x xv x 4 4 y se obtiene x ± ( ) (.4) Al sustituir en la E. (.) se demuestra que V (.5) 43

6 y en forma integral se tiene (usando ( ) d, donde ( ) estados de ada partíula) ( ) V d ( ) es la densidad de (.6) El valor de depende del espetro de energías de los estados de un eletrón sin interatuar y evaluados en el nivel de Fermi. ambién depende del potenial que inluye la interaión atrativa entre eletrones. La E. (.5) tiene soluión trivial uando, pero no tiene signifiado pues es el aso de la ausenia de atraión entre eletrones. Se requiere una soluión diferente. Un modelo simple, pero de gran utilidad, es manejar V de la siguiente forma V V V < hω { en otro aso (.7) V es una onstante y hω es la energía de ebye. Igualmente se establee que es una onstante que se onsidera igual a la densidad de estados en el nivel de Fermi N. Con tales supuestos el gap no depende de sino sólo de la energía, de tal manera que ahora se transforma. La integral de la E.(.6) se esribe N V ω d h hω (.8) Al resolver hω senh N V (.9) es deir, es la soluión no trivial del gap eletrónio. Ahora, si se hae la aproximaión de aoplamiento débil se enuentra que N V h ωe (.3) 44

7 .3 Cálulo de la energía de ondensaión Se entiende omo energía de ondensaión a la diferenia de energía entre el estado superondutor y el normal. Si ésta es negativa se interpreta omo un estado de menor energía el estado superondutor. Sea s y n ada aso, respetivamente. La energía del estado base está dada por el valor esperado de E H on la ondiión de que m m. Por otro lado, se onsidera que la funión de onda normalizada del estado base ψ orresponde al estado vaío de los operadores γ. Una soluión simple es ψ E ψ s v V u v uv, (.3) ados los valores de u y v se tiene entones s ( x ) V x x (.3), 4 4 Utilizando la E. (.) se enuentra que s ( x ) x (.33) 4 para estimar la energía de ondensaión se tiene que (.34) s n En el estado normal n n v < F orresponde a la energía de eletrones libres (.35) por tanto, ( x ) ( x ) x (.36) < > 4 F F 45

8 Se debe onsiderar que es negativa por debajo del nivel de Fermi, asimismo el gap es independiente de, entones < > 4 ( x ) ( x ) x (.37) F F Utilizando el heho de que x ( ) se tiene entones < F ( ) > F ( ) 4 4( ) (.38) Agrupando para una sola se establee la integral N hω d (.39) hω ado que se trata de una funión par hω N d ( ) N { } ( hω ) hω ( hω ) (.4) Si se usa el resultado hω senh N V la expresión del radial puede reesribirse omo 46

9 ( hω ) ( hω ) hω senh N V ( hω ) sh N V ( hω ) oth N V (.4) entones, la energía de ondensaión queda omo N( h ω ) oth N V (.4) Para la aproximaión de aoplamiento débil ( ) << N V oth e (.43) N V Finalmente, se tiene entones que la energía de ondensaión es N V ( ω ) N e h (.44) N (.45) La energía de ondensaión es negativa, lo que signifia que la energía del estado superondutor tiene una energía menor que la del estado normal, es deir el estado superondutor es el estado base 8. Esta antidad es proporional al número de eletrones que partiipan, todos on la energía de Fermi, donde se supone que en tal intervalo la energía es onstante. Asimismo también es proporional a la energía de ebye, típia de los fonones del material. N V 47

10 .4 Campo rítio y el gap e los modelos fenomenológios es bien sabido que la diferenia en la energía libre entre el estado normal y superondutor está dada por puede deir que µ H, por lo que se N de donde se obtiene que µ H (.46) H N (.47) µ Se inluye ahora el estado base superondutor propuesto en la CS: Funión de onda del estado base ψ ( u v ) (.48) Los operadores rean sobre un mar de Fermi pares de eletrones on números uántios y. Los oefiientes u y v están sujetos a la ondiión u r v r. La funión de onda del estado base superondutor ψ es una eigenfunión de H diagonalizado on m m CS para toda, es deir, está definida omo el estado vaío de las partíulas desritas por los operadores γ. Por tanto γ ψ γ ψ (.49) lo ual es palpable si se observa el efeto del operador γ ψ ( u v ) ( u v ) l ( u uv uv v ) ( ul v l l l) l l l l l (.5) 48

11 El segundo renglón de la euaión da ero, por tanto γ ψ. e igual forma se demuestra que γ ψ..5 Estados exitados Los estados exitados son eletrones libres que al retomar la energía, el estado superondutor regresa al estado base, el ual está onstituido sólo por pares de Cooper. Por tanto, debe haber una araterístia partiular en esos eletrones libres. Aquí será de gran ayuda la transformaión de ogoliubov-valatin omo se demuestra a ontinuaión. γ ψ ( ) u v ( u v ) l l l l ( u uv uv v ) ( u v ) l l l l l ( u v ) ψ, l l l l l (.5) e igual forma se obtiene γ ψ ( ul v l l l) ψ, (.5) l Lo anterior permite interpretar físiamente a γ y γ omo bogolones 8 de momento y y espín y, respetivamente. ado que las exitaiones son uasipartíulas apaes de formar pares de Cooper y éstas son readas por los operadores γ y γ al atuar sobre ψ por lo ual se denominan ogolones, y sus operadores de número son m y m. Por eso en el estado base éstos valen ero, es deir, sin exitaiones. Ahora, la parte diagonal de H CS es HCS s m m u v uv V u v ( ), (.53) 49

12 donde el término entre orhetes puede esribirse de la siguiente forma donde ( u ) ( ) v uvv u v Entones (.54) ( ) H m m CS s ( m m ) H E (.55) CS s ( ) E (.56) es la energía de las exitaiones. La eigenfunión orrespondiente a la energía E es el estado de un bogolón ψ o ψ dado por las Es. (.5) y (.5), respetivamente. Considerando la E. (.56) se tiene x E (.57) Las relaiones para u y v son ahora u E v E (.58) Las exitaiones no pueden rearse individualmente porque implia romper un par lo ual genera dos eletrones por enima del nivel de Fermi, es deir no se generan operando una sola γ sobre ψ. Por eso, ualquier operador que se aplique debe ontener al menos dos produtos de operadores de eletrones. Para mostrar lo anterior se presenta el siguiente ejemplo. 5

13 ( )( ) ψ uγ vγ uγ vγ ψ ( uu γ γ uv γγ vu γγ vv γγ ) ψ uv γγ ψ (.59) donde se han usado las siguientes expresiones para γ γ γ ψ γ γ ψ ψ v v v v (.6) Es deir, sólo pueden exitarse pares de uasipartíulas. Además de la euaión E se tiene que la energía neesaria para rear un par exitado es..6 emperatura finita e auerdo on la transformaión anónia para diagonalizar H CS se requiere fijar las ondiiones para u y v de tal forma que los términos fuera de la diagonal en las Es. (.) y (.4) se anulen. La euaión que se obtuvo fue la siguiente: uv V u v ( m m )( u v ) (.6) ( γγ γγ) Para enontrar la soluión se supone m m, es deir, no hay exitaiones (estado base). A temperatura finita habrá exitaiones y la suposiión ya no es válida. En un sistema de fermiones a temperatura finita, el número promedio de oupaión de ada estado está determinado por la distribuión de Fermi-ira: E m exp m f E (.6) ahora, sustituyendo m m, por sus promedios térmios, la E (.6) se satisfae si uv u v V u v f E (.63) Al usar las expresiones para u y v se tiene por tanto, 5

14 x xv x [ f ( E )] (.64) 4 4 Ahora se onsidera la siguiente definiión: 4 V x [ f ( E )] (.65) se obtiene entones x x ( ) (.66) 4 resolviendo para x x [ ] (.67) por tanto, la euaión para ( ) será de esta forma: V f E 4 4 ( ) ( ) V f E ( ) (.68) ésta euaión ontiene la energía de exitaión E dada por E [ ( )] (.69) El término que ontiene la distribuión promedio de fermiones se reesribe de la siguiente manera: E exp f ( E ) E E exp exp E tanh tanh ( ) (.7) 5

15 on lo ual se obtiene ( ) ( ) V tanh (.7) La teoría CS supone para el potenial la siguiente regla 4 : V V si ω <h si <h ω V en otro aso ( ) en otro aso entones, la euaión a resolver es VN ( ( )) tanh hω d ( ( )) (.7) Que onsidera la simetría de alrededor del nivel de Fermi. Para esta euaión para se redue a la E. (.9). Cuando aumenta la temperatura por arriba de ero el numerador del integrando se hae menor; entones, para que la euaión se umpla el denominador también debe disminuir. Esto signifia que deree monótonamente omo funión de. Para determinar el valor de la temperatura rítia, se alula en la teoría CS on la E. (.7) y se supone que se está en el límite de ambio de variable adimensional,. Asimismo, efetuando un ω h VN x tanhxdx (.73) y de aquí [ x tanh x] hω hω ln seh xln xdx VN (.74) 53

16 Para el aso de aoplamiento débil ( ω >> ) hω tanh h se puede estableer que ; asimismo, no ausa ambios signifiativos extender el límite de la integral. Entones se tiene hω xdx VN ln se hxln (.75) Al resolver la integral se determina que se h x ln xdx ln. 44, entones hω ln ln (.44) VN hω VN (.44) e (.76) (.77) Para llegar a:.4h ω exp (.78) VN Al relaionar este resultado on la E. (.3), es deir on, se tiene (.79) por lo tanto, 3.53 (.8).7 Cálulo de los límites del gap Enseguida se presenta el álulo del Gap uando. Se iniia on la euaión del gap 54

17 hω tanh ( ( )) ( ( )) VN d (.8) : sumando y restando hω hω tanh ( ( )) ( ( )) ( ) VN hω hω tanh tanh tanh tanh ( ( )) d hω d hω d ln ( ( )) VN ( ( )) d ( ( )) VN ( ( )) d ln exp hω ln ( ( )) VN ( ( )) ( ( )) ω exp VN d ln hω h hω ln (.8) Se propone el ambio de variable ( ) x x (.83) on lo que se demuestra que ln f (.84) donde se ha usado el efeto del ambio de variable 55

18 ( y ) x f dy (.85) yx e Ahora, introduiendo el desarrollo de e yx f n nyx x ( ) e ( y ) n dy (.86) y usando la funión Hanel K ν Γ ν Γ ν ( z) z e zy ν ( y ) dy (.87) se llega a f n ( x) K ( nx) n (.88) Para valores del argumento de K muy grandes, ésta disminuye exponenialmente, por tanto K π x x ( x) e (.89) Se determina entones para << : ( π ) exp (.9) El signifiado físio de este resultado es que la variaión de está asoiada on la apariión de uasipartíulas y el número de uasipartíulas es proporional a ( ) exp. Ahora se alula el Gap en el límite uando En este aso. Usando la E. (.8), haiendo un desarrollo de, y sumando y restando de igual manera que el límite anterior se obtiene 56

19 57 d ln tanh tanh (.9) Usando la propiedad 4 tanh x x x π π (.9) y si x π, la anterior euaión se reesribe omo 4 tanh π π (.93) 4 tanh π π (.94) Cuando x π la E. (.9) se transforma en 4 tanh π π (.95) entones se tiene 4 tanh π π (.96) la E. (.9) se esribe ahora omo

20 tanh tanh d 4 ( ) ( ) π π d 3 {[( π )( ) ] } ( π ) ( ) 4 d (.97) Para desarrollar el último término se utiliza la funión zeta de Riemann dada por ς x ( x, q) x n n Al desarrollar se tiene ς (.98) x n ( q n) ς (.99) () ς 3 ( x) ς 3 x, x n n 3 ς 3, (.) 3 ( ) 3 8 ς () 3 3 (.) 3 y así 3 ( ) 7 ( ) 7 () ς 3 (.) 3 8 ( ) Usando esta última y la E. (.97) se enuentra que la E. (.9) se puede esribir ln ( π ) 7 ς 8 () 3 (.3) esarrollando la funión logaritmo y ortando a primer orden obtenemos 58 ln ( π ) 7 ς 8 () 3 (.4)

21 de manera que 8 ( π ) ( ) (.5) 7 ς () 3 () 3 8 π ( ) (.6) 7ς y también se tiene.74 (.7) donde es el gap a Landau 4. K. iho resultado es ongruente on la teoría de Ginzburg.8 Calor espeífio eletrónio La energía para un superondutor está definida por el promedio térmio de la parte diagonal del hamiltoniano H CS E H, también usando [ f ( E )]. V u v En efeto se parte de [ v ( u v ) f ( f ) uv( )] (.8) s Ahora, usando u v E y u v y la E. (.58) E s f E E E ( f) E E ( f ) s E ( f ) E (.9) 59

22 El alor espeífio está dado por C es d s de modo que d C es df E E d de ( d E ) d ( f ) d d E d df ( d E ) E ( f) E d d df d f E d d E d E f d E Si se introdue β se tiene que C es N d E β d f d β E (.) El primer término representa la redistribuión de las uasipartíulas entre varios estados de energía uando ambia la temperatura. El segundo término desribe el efeto de la dependenia del gap respeto a la temperatura 8. Enseguida se estima la disontinuidad de la temperatura rítia. Primeramente, uando tiende a por la dereha ( ), que orresponde a una fase no superondutora, ( ), lo que posibilita ambiar E por. La E. (.) se redue al alor espeífio en el estado normal: C es N f d 4N d (.) β e π N γ 3 6

23 Se sabe que es ontinuo en. Ahora, uando ( ) se sabe que ( ). La dependenia de la temperatura la determina la E. (.7). Su derivada es disontinua en y en onseuenia, la transiión superondutora es de segundo orden. iho fenómeno se observa en el segundo término de la E. (.). La disontinuidad en la transiión se esribe omo C d dβ f ( C C ) N d s n (.) Se tiene que f d entones C 9.4N (.3) que resulta ser un resultado importante al momento de omparar on los experimentos. Si se utiliza la E. (.) se tiene que C γ.43 (.4) Las Es. (.8) y (.4) se llaman relaiones universales CS y son onfirmadas experimentalmente de auerdo a la abla. La segunda olumna ontiene la temperatura rítia, la terera el tamaño del gap a K. Cuarta y quinta olumnas ontienen el valor experimental de las relaiones universales. La última olumna desribe la magnitud del aoplamiento de la interaión eletrón-fonón. al medida es on base en un parámetro que se alula on la teoría de Eliashberg 4. Se sabe que si λ << el material es de aoplamiento débil. Se llama aoplamiento fuerte uando e f λ >>. La teoría CS tiene mejores resultados para el primer aso. Ver abla. e f 6

24 abla ELEMENOS [ K ] K C γ λ e f Al Zn Sn a V Nb Hg Pb Nb 3 Sn Nb 3 Ge Ya Cu 3 O Las bondades de la teoría CS se basan en que predie orretamente la existenia del gap eletrónio y un salto en el alor espeífio; sin embargo, es en realidad una aproximaión dado que onsidera el potenial onstante, V V te. ambién tiene la desventaja de onsiderar los materiales isotrópios, por lo que al apliarse en materiales on varios átomos falla. Por tanto, se requiere una teoría que involure mayor detalle de la interaión eletrón-fonón. Por eso la teoría de Eliashberg representó un avane en la superondutividad onvenional post CS. 6