DETERMINACIÓN NUMÉRICA DE PARÁMETROS FÍSICOS EN LA PELÍCULA FLUIDA DE COJINETES HIDRODINÁMICOS

Transcripción

1 Meánia Computaional Vol XXVIII, págs (artíulo ompleto) Cristian Garía Bauza, Pablo Lotito, Lisandro Parente, Marelo Vénere (Eds.) Tandil, Argentina, 3-6 Noviembre 009 DETEMINACIÓN NUMÉICA DE PAÁMETOS FÍSICOS EN LA PELÍCULA FLUIDA DE COJINETES HIDODINÁMICOS Gustavo G. Vignolo a,, Daniel O. Barilá, Lidia M. Quinzani b a Departamento de Ingeniería, Universidad Naional del Sur, Av Alem Bahía Blana - Buenos Aires, AGENTINA, gvignolo@plapiqui.edu.ar b Planta Piloto de Ingeniería Químia (PLAPIQUI), Universidad Naional del Sur CONICET Camino La Carrindanga km. 7 CC Bahía Blana - Buenos Aires, AGENTINA, lquinzani@plapiqui.edu.ar Universidad Naional de la Patagonia San Juan Boso, uta Prov. Nº 1, Km Comodoro ivadavia - Chubut, AGENTINA, dbarila@unpata.edu.ar Palabras Clave: Lubriaión Hidrodinámia, Cojinete, Método de Gear. esumen: La lubriaión hidrodinámia ourre uando existen dos superfiies deslizantes en medio de las uales se tiene un fluido lubriante que las mantiene separadas e impide su ontato graias al ampo de presiones generado por el flujo. Las propiedades del mismo se determinan a través de la resoluión de las euaiones de onservaión. En general, se utilizan los balanes de antidad de movimiento integrados en el balane de masa, obteniendo la onoida euaión de eynolds. En ella, la presión es onstante en el espesor de la pelíula fluida, por lo que el problema se redue a dos dimensiones (para el proeso isotérmio). Existen soluiones analítias de la euaión de eynolds para asos senillos, pero para obtener resultados de situaiones más realistas debe reurrirse al empleo de ténias numérias de resoluión de euaiones difereniales pariales. En este trabajo se presenta la plataforma para la soluión numéria de los balanes para el lubriante. Para ello, se genera una grilla omputaional elíptia que transforma el dominio físio, de forma irregular, en un retángulo. Los balanes se expresan en el dominio omputaional y se resuelven en el mismo, para luego reuperar la informaión en la grilla equivalente en el dominio físio. Se trabaja on diferenias finitas en las oordenadas oinidentes on la direiones prinipal del flujo, onsiderando diferenias entrales en los nodos interiores y diferenias haia adelante y haia atrás de orden dos en los extremos iniial y final, respetivamente. El sistema de euaiones resultante se resuelve por el método de Gear aoplado on una ténia de shooting, ya que sólo se onoen la mitad de los valores iniiales de las variables de integraión. En esta etapa, se trabajó on flujo reptante de un fluido newtoniano, inompresible e isotérmio sobre un ojinete alineado, on el objetivo de verifiar las soluiones analítias límite existentes. Hasta el presente se ha probado la robustez del sistema on diversas ondiiones iniiales y se han omparado los resultados obtenidos mediante esta formulaión on datos de otros métodos y otros autores, logrando buenas prediiones en las propiedades de la pelíula fluida. Los pasos posteriores ontemplan la inorporaión de términos ineriales a los balanes de antidad de movimiento, fluidos no newtonianos, ompresibilidad, variaiones de temperatura, desalineaión y demás variantes que se deseen. Copyright 009 Asoiaión Argentina de Meánia Computaional

2 1690 G.G. VIGNOLO, D.O. BAILA, L.M. QUINZANI 1 INTODUCCION Los ojinetes de deslizamiento son omponentes fundamentales de un sinnúmero de máquinas de muy distinta potenia usadas en las más diversas apliaiones (Hamrok et al., 004; Pinkus, 1961). Conoer y entender el omportamiento de los ojinetes en funión del tipo de soliitaión a la que son sometidos, el lubriante utilizado y las ondiiones de trabajo puede ser útil tanto en la etapa de diseño omo en el análisis de fallas. Su prinipio de operaión se basa en la presión generada por el fluido lubriante que mantiene separadas a las superfiies sólidas en movimiento relativo (eje y ojinete). La desripión físio-matemátia de este fenómeno lleva usualmente a una euaión diferenial de segundo orden en derivadas pariales onoida omo euaión de eynolds. La no linealidad de diha euaión hae que sólo se onozan soluiones analítias a asos extremos, omo lo son los ojinetes isotérmios infinitamente ortos e infinitamente largos (Pinkus, 1961). Si bien existen modifiaiones a la euaión de eynolds para que pueda apliarse a situaiones más generales (euaión de eynolds Generalizada) omo el empleo de fluidos no Newtonianos, superfiies rugosas, et., la inorporaión de esenarios reales se torna sumamente difiultosa por dos motivos prinipales. El primero es que la euaión es independiente del espesor de la pelíula fluida, por lo que se neesita a priori el onoimiento de las variables integradas en diho espesor (Vignolo et al., 008). El segundo es que la soluión de situaiones más realistas implia la apliaión de ténias omplejas de perturbaión o métodos omputaionales (Vignolo et al., 007). Por ello, en este trabajo se resuelven numériamente las euaiones de onservaión antes de ser integradas en el espesor. Esto permite evaluar, por ejemplo, la validez de las hipótesis onsideradas en la euaión de eynolds, a la vez que permite inorporar más fáilmente efetos omo la existenia de ineria en el fluido, desalineaión en el eje, flujo no isotérmio, fluido no Newtoniano, et. En esta instania se presenta el desarrollo de las euaiones, método numério y resultados obtenidos para ojinetes de longitud arbitraria, on flujo isotérmio de un lubriante Newtoniano. ECUACIONES DE CONSEVACIÓN En su forma más elemental, un ojinete onsta de un eje que gira ontenido dentro de un ilindro de ajuste estreho (ojinete), uyas superfiies están separadas por una pequeña pelíula de lubriante. Si el eje gira a una veloidad angular Ω y existe una fuerza F apliada al mismo, los entros del eje y del ojinete no permaneen oinidentes, sino que muestran ierta exentriidad, e (Figura 1a). Esto genera una geometría onvergente-divergente en la pelíula fluida que, junto on el movimiento relativo entre las superfiies sólidas, permite que se desarrolle presión por efetos visosos en la misma, logrando así apaidad para soportar la arga apliada y evitar el ontato entre dihas superfiies. Para onoer el omportamiento de este sistema, es neesario estudiar el flujo de lubriante. La prinipal hipótesis simplifiatoria que se onsidera en el análisis es que la apa de fluido es tan delgada, omparada on el radio del ojinete, que su urvatura puede despreiarse. Así, el tratamiento que en prinipio debería haerse en oordenadas ilíndrias, se hae en oordenadas artesianas (Figura 1b). Copyright 009 Asoiaión Argentina de Meánia Computaional

3 Meánia Computaional Vol XXVIII, págs (009) 1691 Figura 1b Figura 1a Figura 1: Geometría de un ojinete hidrodinámio (a) y de la seión de flujo equivalente en oordenadas artesianas (b). Al despreiarse la urvatura, la oordenada X puede onsiderarse omo θ..1 Análisis dimensional Si se onsidera que el fluido es Newtoniano, on densidad, ρ, y apaidad alorífia, Cv, onstantes, y que el huelgo, = B -, entre el eje y el ojinete es varios órdenes de magnitud menor que el diámetro, D=, los términos dominantes de las euaiones de onservaión adimensionales son: 1 u v w Balane de Masa: 0 = + + (1) π Θ y z Balane de Cantidad de Movimiento (Θ): Balane de Cantidad de Movimiento (y): Balane de Cantidad de Movimiento (z): 1 L p t u u 0 = + f κ1 + π Θ y y y 0 = + + y y y y L p t v v f κ1 0 = + + z y y y p t w w f κ1 () (3) (4) Balane de Energía: u t t t t u L w + v + w = λ + f + π Θ y z y y y (5) k donde λ =, k es la ondutividad del fluido, U la veloidad tangenial del eje y f es U ρcv la ley de variaión de la visosidad on la temperatura. En este aso se adopta la Ley de Vogel, definida omo: 0 0 0( T T0) e β μ = μ f = μ (6) que puede reesribirse de la forma Copyright 009 Asoiaión Argentina de Meánia Computaional

4 169 G.G. VIGNOLO, D.O. BAILA, L.M. QUINZANI β ( T T ) β tt κ t μ = μ e = μ e = μ e (7) EF μ0u donde κ1 = β0tef = β0 se onoe omo parámetro adimensional de aumento de ρ C v temperatura y β 0 es una onstante que depende del fluido. Las variables adimensionales se definen omo: P p = on P EF P EF μ0u L =, T T0 t = on T EF T EF μ0u = ρc v Θ= X π, y = Y, Z z =, L VΘ u =, U v V U V =. U L y z =, y w, (8) Si se onsidera el flujo isotérmio de lubriante (derivadas de la temperatura nulas) el Balane de Cantidad de Movimiento en direión y es de orden de magnitud / si se lo ompara on, por ejemplo, el balane en la direión Θ, por lo que podría asumirse que la presión es prátiamente independiente de la oordenada y. No obstante si se onsidera la variaión de temperatura dentro de la pelíula fluida, diho balane debe ser tenido en uenta dado que el oefiiente de adimensional к 1 modifia el orden de magnitud de la euaión, resultado: 0 p μ0u t v v = + f β + y ρ Cv L y y L y (9) Claramente puede observarse que la presión será variable en el espesor dependiendo de la relaión (/L). Esta onsideraión suele obviarse en el análisis termohidrodinámio de ojinetes ya que, por lo general, se trabaja on la euaión de eynolds Generalizada, la ual no ontempla la euaión de onservaión en la direión y (Mitsui, 1987). En este trabajo, si bien se analiza el omportamiento isotérmio del flujo, se onsidera el Balane de Cantidad de Movimiento en la direión y on la finalidad de failitar la inorporaión de nuevas variables en trabajos futuros.. Condiiones de Borde para Flujo Isotérmio El problema queda determinado por las ondiiones de borde sobre las superfiies del eje ( y = h ) y del ojinete ( y = 0) para las omponentes de la veloidad, y de la presión exterior al sistema y de suministro de lubriante: u = 0, 1 1 dh u y = 0 y = = h, v 0 y = =, v = 0 y= h, w 0 π y 0 dθ = =, y w 0 y = = h, (10) p Θ= = 0, p 0 0 Θ= =, p 0 1 z = =, y p 0 0 z = =, 1 donde h es el espesor de pelíula adimensional. Para el aso de eje y ojinete alineados (ejes paralelos) diho espesor se define omo: Copyright 009 Asoiaión Argentina de Meánia Computaional

5 Meánia Computaional Vol XXVIII, págs (009) 1693 h h = = 1+εos( πθ) (11) e siendo ε= la exentriidad relativa. Puede verse en las Euaiones (8) que se ha empleado una ondiión de borde tipo Gümbel (Vignolo et al., 007), en donde se onsidera que la presión adimensional de 1<Θ< es nula, on el objetivo de onsiderar la inapaidad de los líquidos de tomar presiones negativas sin ambiar de estado. 3 GENEACIÓN DE LA GILLA COMPUTACIONAL A pesar de que la apliaión del método tradiional de diferenias finitas presenta varias ventajas, su apliaión a dominios de forma irregular requiere de interpolaión y manipulaión numéria sobre las fronteras físias. Estas operaiones son engorrosas, reduen la exatitud del método, y lo haen difíil de apliar a programas de propósito general (Tuker, 1989). Otras ténias numérias, omo por ejemplo elementos finitos, pueden fáilmente manejar dominios de forma irregular y, de heho, se emplean ampliamente en la resoluión de problemas de flujo en ojinetes (Durani et al., 006; Liu et al., 004; Zhang et al., 00). El método de diferenias finitas puede también haerlo on failidad y exatitud, usando ténias de generaión de grilla numéria. La generaión de grilla numéria es esenialmente una ténia de transformaión (mapping). En primer lugar, un dominio físio on geometría ompleja es llevado a un dominio omputaional de forma regular. Luego, un problema equivalente se plantea en el dominio omputaional transformando las euaiones gobernantes al sistema de oordenadas omputaional. Por último, las euaiones transformadas se resuelven en el dominio omputaional utilizando el método tradiional de diferenias finitas. Estas transformaiones requieren relaiones entre ambos sistemas de oordenadas dadas por un onjunto de euaiones defereniales en derivadas pariales (Tuker, 1989). En prinipio, las euaiones de generaión de la grilla pueden ser de ualquier tipo: parabólias, hiperbólias o elíptias. En este trabajo se emplean generadoras de grillas elíptias porque distribuyen los nodos suavemente en el dominio físio y manejan efetivamente disontinuidades y singularidades en las fronteras. Si se onsidera el aso mostrado en la Figura 1 en donde h= h( Θ ) (eje y ojinete alineados), pueden emplearse euaiones de transformaión en dos dimensiones dado que el espesor es independiente de la oordenada axial z. Las euaiones elíptias de generaión de grillas tipo Poisson para un problema bidimensional son: ξ Θ ξ y + = S Θ y + = Q ( ξ, ) ( ξ, ), y donde (Θ,y) son las oordenadas físias, y (ξ,) son las oordenadas urvilíneas omputaionales. S y Q son funiones de ontrol de grilla que permiten manipular la distribuión de nodos en el dominio físio. Al resolver las Euaiones (1) para generar el par (x,y) orrespondiente a ada (ξ,) se (1) Copyright 009 Asoiaión Argentina de Meánia Computaional

6 1694 G.G. VIGNOLO, D.O. BAILA, L.M. QUINZANI tiene: x x x x x α β +γ + J S + Q = 0 ξ ξ ξ y y y y y α β +γ + J S + Q = 0 ξ ξ ξ J es el Jaobiano de la transformaión dado por x y x y J = ξ ξ, y (14) los oefiientes geométrios α, β y γ son: x y α= +, x x y y β= ξ ξ, y (13) x y γ= + ξ ξ. (15) La soluión de las Euaiones (13) a (15) genera la grilla. En este trabajo, dado que se onoe a priori la funión que desribe la superfiie irregular del dominio (y=h), se utilizan funiones de ontrol S(,ξ) y Q(,ξ) para garantizar la distribuión uniforme de nodos, definidas omo: h( ) h ξ ( ξ) h( ) ξ ξ ξ S( ξ, ) = 0, y Q( ξ, ) =. (16) h ( ξ) De esta manera, la transformaión de oordenadas queda definida por: Θ=ξ, e y = h( ξ ) (17) En la Figura puede observarse la grilla en oordenadas físias y oordenadas omputaionales. y Θ Figura a ξ Figura b Figura : Transformaión del sistemas de oordenadas físio (a) al sistema urvilíneo omputaional (b) 4 TANSFOMACIÓN DE LAS ECUACIONES AL DOMINIO - ξ - z El siguiente paso en la soluión del problema es la transformaión de las euaiones gobernantes y sus ondiiones de borde al dominio omputaional. Dado que se trata de euaiones difereniales pariales, deben sustituirse las derivadas de un sistema de oordenadas al otro. En este aso, las derivadas de interés de ualquier variable φ quedan expresadas de la siguiente forma: Copyright 009 Asoiaión Argentina de Meánia Computaional

7 Meánia Computaional Vol XXVIII, págs (009) h ( ξ ) ϕ ϕ ϕ ϕ 1 ϕ = h( ξ), = Θ h ( ξ) ξ ξ y h( ξ ), y ϕ 1 ϕ = (18) y h( ξ ) quedando las derivadas respeto de z sin ambios. Así, para el aso presentado de un ojinete isotérmio on lubriante Newtoniano, el balane de masa (BM) y los balanes de antidad de movimiento (BCM) de las Euaiones (1) a (4) se transforman en: 1 u dh( ξ ) u v w BM: 0 = h( ) + + h ξ ( ξ) π ξ dξ (19) z BCM (Θ): h( ) dh ξ L p ( ) p u 0 ξ h( ξ ) = + π ξ dξ (0) BCM (y): BCM (z): 0 L p 1 v = + ( ) h( ξ ) p 1 w 0 = + z h ξ (1) () El Balane de Energía arae de interés preisamente por no onsiderarse variaiones de temperatura. 5 MÉTODO NUMÉICO La soluión numéria del problema planteado es ompleja debido a la no linealidad de las euaiones. Trabajos previos han utilizado tanto el método de diferenias finitas omo el de elementos finitos. No obstante, no se ha enontrado una plataforma de ódigo abierto que permita inorporar las variables físias ya menionadas que aeran el problema a la realidad. En este trabajo se emplea el método de diferenias finitas en las oordenadas ξ y z onsiderando diferenias entrales en los nodos interiores y diferenias haia adelante y haia atrás de orden dos en los extremos (Failla et al., 1996). El sistema resultante onsiste de N euaiones difereniales ordinarias en la oordenada, donde N es el produto del número de variables por nodo por el número total de nodos. En este aso, se trabaja on seis variables u por nodo: u, v, w,, w, y p. En número de nodos por ada plano ξ - z está dado por el produto (NINX+1)(NINZ+1), donde NINX y NINZ son la antidad de divisiones que se onsideran en el eje ξ y z, respetivamente. Las euaiones gobernantes (19) a () se asoian y reesriben para obtener de forma explíita las derivadas de las variables de interés respeto de la oordenada : v 1 u dh( ξ ) u w = h( ) h ξ ( ξ) π ξ dξ z (3) Copyright 009 Asoiaión Argentina de Meánia Computaional

8 1696 G.G. VIGNOLO, D.O. BAILA, L.M. QUINZANI L p dh( ) u dh( ) u dh( ) w ξ ξ ξ πh( ) + h( ) πh ξ ξ ( ξ) u ξ dξ ξ dξ + dξ z = dh ( ξ ) π + dξ w p = h( ξ ) z u dh( ) dh ξ u L ( ξ) p w πh ( ) π h( ) h ξ + π ξ ( ξ) p ξ dξ dξ ξ z = L dh ( ξ ) h ( ξ ) π + dξ (4) (5) (6) Las euaiones de diferenias resultantes, para los nodos interiores, quedan expresadas omo: du( ) = ZP6i 5+ 6( k 1)( NINT + 1) = Z6i + 6( k 1)( NINT + 1) (7) d dv( ) h Z i 6i++ 1 6( k 1)( NINT + 1) Z6i 11+ 6( k 1)( NINT + 1) = ZP6i 4+ 6( k 1)( NINT + 1) = + d π Δξ Z Z dhi 6i 3+ 6 k ( NINT + 1) 6i 3+ 6( k )( NINT + 1) Z 6i + 6( k 1)( NINT + 1) h i z + π Δ (8) dw( ) = ZP6 i 3+ 6( k 1)( NINT + 1) = Z6i 1+ 6( k 1)( NINT + 1) (9) d Z 6i+ 6+ 6( k 1)( NINT + 1) Z6i 6+ 6( k 1)( NINT + 1) L hi π d du( ) Δξ = ZP6i + 6( k 1)( NINT + 1) = + d d π + dh i + + ( Z i+ + k NINT + Z i + k NINT + ) 6 4 6( 1)( 1) 6 8 6( 1)( 1) dh i hi dh i Z6i + 6( k 1)( NINT+ 1) dh h π i i Δξ π + dh i ( Z6i + 1 6( k)( NINT+ 1) Z6i + 1 6( k )( NINT+ 1) ) π Δz + dh i + (30) dw( ) Z 6i+ 6 k ( NINT + 1) Z6i+ 6( k )( NINT + 1) = ZP 6i k ( NINT + 1) = hi d Δz (31) Copyright 009 Asoiaión Argentina de Meánia Computaional

9 Meánia Computaional Vol XXVIII, págs (009) 1697 ( Z6i+ 4+ 6( k 1)( NINT + 1) Z6i 8+ 6( k 1)( NINT + 1) ) h i π dp( ) Δξ = ZP6i + 6( k 1)( NINT + 1) = d L hi π + dh i L ( Z6i+ 6+ 6( k 1)( NINT + 1) Z6i 6+ 6( k 1)( NINT + 1) ) i 6i + 6( k 1)( NINT+ 1) π i i dh Z dh h L hi π + dh i ( Z6i + 1 6( k )( NINT + 1) Z6i 1 6( k )( NINT 1) ) + + π h i Δz L hi π + dh i Δξ (3) h i y dh i equivalen a h ( ξ ) y su derivada primera respeto de ξ, respetivamente, para ada posiión i sobre el eje ξ. Las variables ZP son las derivadas respeto de de las variables de interés Z, en donde para ada nodo i,k quedan representadas por: ui, k = Z6i 5+ 6( k 1)( NINT + 1) vi, k = Z6i 4+ 6( k 1)( NINT + 1) w = Z ik, 6i 3+ 6( k 1)( NINT+ 1) du d ik, = Z dw d ik, = Z p = Z 6i + 6( k 1)( NINT + 1) 6i + 1 6( k 1)( NINT + 1) ik, 6i+ 6( k 1)( NINT+ 1) Para las fronteras del dominio, se reemplazan las diferenias entrales de las Euaiones (7) a (3) por diferenias haia adelante o haia atrás, según orresponda. El sistema de euaiones resultante se resuelve por el método de Gear (Pozrikidis, 1998) aoplado a una ténia de shooting, ya que sólo se onoen la mitad de los valores iniiales de las variables de integraión (u, v y w en =0). Los valores iniiales de las otras variables (du/d, dw/d y p) son estimaiones que se ajustan de iteraión en iteraión hasta umplir on las ondiiones en el otro borde (u, v y w en =1). Para ello, se implementó un algoritmo modular en Visual Fortran onsiderando la posibilidad y failidad de expandirlo a situaiones más omplejas. 6 ECUACIÓN DE EYNOLDS Y SOLUCIONES LÍMITE Con el objetivo de verifiar el orreto funionamiento del programa implementado, se elaboró en Maple un algoritmo para resolver la euaión de eynolds por diferenias finitas. Diha euaión, que surge de integrar las Euaiones (1), () y (4) en el espesor de la pelíula fluida, se expresa de la siguiente forma: (33) Copyright 009 Asoiaión Argentina de Meánia Computaional

10 1698 G.G. VIGNOLO, D.O. BAILA, L.M. QUINZANI h( Θ) L p p 6π = h +π h Θ Θ Θ 3 3 ( Θ) ( Θ) z z. (34) Asimismo, se analizaron las soluiones límite existentes a la Euaión 34. Esto es, el ojinete infinitamente orto y el infinitamente largo (Pinkus, 1961). Las expresiones analítias respetivas para ada aso son: 3 ε sin( π Θ) p = z z ( 1+ ε os( π Θ) ) ( ) 3 ( ) ( ε )( 1 ε os( π )), y (35) ε + ε os( π Θ) sin( π Θ) p = 6. (36) L + + Θ 7 ESULTADOS A ontinuaión se presentan los perfiles de presión obtenidos para diversas ondiiones geométrias y operativas. La Figura 3 muestra los perfiles tangeniales de presión en el entro del ojinete (z=0) para diversas relaiones L/. En todos los asos se mantuvo una exentriidad ε=0,5 y una relaión /=0,001. De igual manera, en la Figura 4 pueden verse los perfiles axiales de presión para Θ=0,5. 1 L/=0, Soluión Numéria eq. eynolds Soluiones Analítias Límite Soluión Numéria Fortran L/=1 0.6 p L/= L/=100, p x Figura 3 Θ Figura 3: Comparaión de perfiles de presión para z=0, ε=0,5 y L/ de 0,01, 1, y 100 obtenidos mediante el método numério propuesto, la soluión numéria de la eq. de eynolds y las soluiones analítias límite. Copyright 009 Asoiaión Argentina de Meánia Computaional

11 Meánia Computaional Vol XXVIII, págs (009) L/=0, L/=1 L/= p 0. L/=100, p x Soluión Numéria eq. eynolds Soluiones Analítias Límite Soluión Numéria Fortran Figura 4 z Figura 4: Comparaión de perfiles de presión para Θ=0, ε=0,5 y L/ de 0,01, 1, y 100 obtenidos mediante el método numério propuesto, la soluión numéria de la eq. de eynolds y las soluiones analítias límite. Puede deduirse de las Figuras 3 y 4 que el método propuesto predie orretamente los perfiles de presión ya que oinide tanto on la soluión numéria de la e. de eynolds omo on las soluiones analítias límite (ojinete infinitamente orto e infinitamente largo), uando orresponde. Cabe señalar que la soluión numéria de la e. de eynolds para estas dos situaiones límite (no inluida en las figuras) también oinide on las soluiones analítias (Vignolo et al., 007). Debe alararse que el tiempo de álulo del método propuesto es muho mayor que el empleado por la resoluión de la euaión de eynolds sola. Esto se debe a dos razones fundamentales: la primera es que mientras en la euaión de eynolds se resuelve una únia variable por nodo (p), el método propuesto resuelve seis variables por nodo; y la segunda es que al número de nodos que se resuelven en la euaión de eynolds (plano Θ,z), debe multipliarse por la antidad de divisiones que se onsideran en el eje para el método propuesto. A fin de evaluar las posibilidades del algoritmo elaborado, en la Figura 5 se analizaron los perfiles radiales de presión para distintas relaiones /. Cabe alarar que para que los resultados fuesen absolutamente válidos, debería trabajarse en oordenadas ilíndrias. No obstante, puede evaluarse la tendenia del perfil de presión al aumentar el espesor de la pelíula fluida y determinar el espesor en el que diho perfil debería onsiderarse no onstante. Puede observarse que para relaiones / mayores a aproximadamente 0,01 la presión deja de ser onstante en el espesor de la pelíula. Igualmente, tales espesores deberían Copyright 009 Asoiaión Argentina de Meánia Computaional

12 1700 G.G. VIGNOLO, D.O. BAILA, L.M. QUINZANI ser tratados en sistemas de oordenadas ilíndrias. No obstante, la posibilidad de evaluar el BCM en la direión y permitirá en trabajos futuros ontemplar, por ejemplo, variaiones de presión debidas a ambios de temperatura en el espesor / = 0,001 / = 0,01 / = 0, p Figura 5 Figura 5: Perfiles de presión para z=0, Θ=0,5, ε=0,5, L/=1 y / de 0,001, 0101 y 0,1 obtenidos mediante el método numério propuesto. En la Figura 6 se muestran perfiles axiales de presión para ojinetes omúnmente denominados largos on el objetivo de evaluar el espesor de la zona de influenia de la aída de presión en los bordes. Si se observa la Euaión (36) puede notarse que la presión adimensional depende úniamente de la variable Θ, por lo que no umple on las ondiiones de presión nula en los bodes (esto puede verse también en la Figura 4). Lo que suede es que existe una apa límite adyaente a los extremos uyo espesor es de orden /L, donde la presión ae del valor dado por la Euaión (36) a ero (Barrero ipoll and Pérez-Saborid Sánhez-Pastor, 005). Para mostrar este fenómeno se superpone a los perfiles de presión de la Figura 6 una línea en ada extremo que orta a ada perfil on el valor de distania respeto del borde igual al /L orrespondiente. De auerdo on los resultados mostrados en esta Figura, el espesor de la zona de influenia de la aída de presión en los bordes es del orden /L, neesitándose ontar on ojinetes de largo de al menos 0 para que esta zona pueda interpretarse efiazmente omo una apa límite que se aopla a una zona de presión onstante. Copyright 009 Asoiaión Argentina de Meánia Computaional

13 Meánia Computaional Vol XXVIII, págs (009) L/=5 L/= L/=0 p 10-3 L/=50 L/= Figura 6 z Figura 6: Perfiles axiales de presión para ojinetes largos para Θ=0,5, ε=0,5, /=0,001 y L/ de 5, 10, 0, 50 y 100 obtenidos mediante el método numério propuesto. La línea de trazos orresponde al espesor de la apa límite de valor /L. 8 CONCLUSIONES En esta etapa del trabajo sistemátio que se viene llevando a abo (Vignolo et al., 007, 008) para ontar on herramientas analítias y numérias para el análisis de ojinetes en ondiiones reales de uso, se ha desarrollado un ódigo abierto en Visual Fortran para resolver las euaiones de onservaión en la pelíula fluida de ojinetes hidrodinámios isotérmios. Los resultados muestran buena onordania entre las prediiones de este ódigo y la de soluiones previamente onoidas. La estrutura del programa admite modifiaiones para inorporar diversas variantes omo flujo no isotérmio, fluido no Newtoniano, desalineaión, ineria, et, que serán tenidos en uenta en trabajos futuros. EFEENCIAS Barrero ipoll, A., and Pérez-Saborid Sánhez-Pastor, M., Fundamentos y Apliaiones de la Meánia de Fluidos. M Graw Hill, 005. Durany, J., Pereira, J., Varas, F., Análisis Termohidrodinámio de un par Eje-Cojinete Combinando Métodos de Volúmenes Finitos y Elementos de Contorno, Meânia Experimental, 13:13-5, 006. Failla, M., Sarmoria, C., Villar, M., Brandolin, A., and Quinzani, L., Extrusion of Polymeri Films from a Planar Die., Atas del 5 Simposio Latinoameriano de Polímeros (SLAP'96) y 3 Simp. Iberoameriano de Polímeros (SIAP), , Hamrok, B.J., Shmid, S.., and Jaobson, B.O., Fundamentals of Fluid Film Lubriation, Copyright 009 Asoiaión Argentina de Meánia Computaional

14 170 G.G. VIGNOLO, D.O. BAILA, L.M. QUINZANI Seond Edition, Marel Dekker, In., 004. Liu, W.K., Xiong, S., Guo, Y., Wang, Q.J., Wang, Y., Yang, Q., and Vaidyanathan, K., Finite Element Method for Mixed Elastohydrodynami Lubriation of Journal-Bearing Systems, Int. J. Numer. Meth. Engng, 60: , 004. Mitsui, J., A Study of Thermohydrodynami Lubriation in a Cirular Journal Bearing, Tribology International, 0: , Pinkus, O., Theory of Hydrodynami Lubriation, MGraw Hill, Pozrikidis, C., Numerial Computation in Siene and Engineering, Oxford University Press, Tuker, C.L., Computer Modeling for Polymer Proessing, Fundamentals. Hanser Publishers, Vignolo, G.G., Barilá, D.O., and Quinzani, L.M., Análisis del Comportamiento del Cojinete de Longitud Finita Usando el Método de Perturbaión egular, Meánia Computaional, XXVI:59-604, 007. Vignolo, G.G., Barilá, D.O., and Quinzani, L.M., Estudio del Comportamiento de Cojinetes Hidrodinámios de Longitud Finita, Atas del I CAIM, 008. Zhang, Q., Guo, G., and Winoto, S.H., Analysis of Hydrodynami Journal Bearing with GDQ Method, Magneti eording Conferene, TU.P , 00. Copyright 009 Asoiaión Argentina de Meánia Computaional